= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
Файл: >>>>>> Скачать ТУТ!
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
Дискретная математика
/ Лекция 06. Метод математической индукции
Метод математической индукции.
Одним из самых важных методов математических доказательств по праву является метод математической индукции. Подавляющее большинство формул, относящихся ко всем натуральным числам n , могут быть доказаны методом математической индукции к примеру, формула суммы n первых членов арифметической прогрессии , формула бинома Ньютона и т. В этой статье сначала остановимся на основных понятиях, далее рассмотрим сам метод математической индукции и разберем примеры его применения при доказательстве равенств и неравенств. Индукцией называют переход от частных утверждений к общим. Напротив, переход от общих утверждений к частным называется дедукцией. Из этого частного утверждения можно сформулировать массу более общих утверждений, причем как истинных так и ложных. К примеру, более общее утверждение, что все целые числа, оканчивающиеся четверкой, делятся на 2 без остатка, является истинным, а утверждение, что все трехзначные числа делятся на 2 без остатка, является ложным. Таким образом, индукция позволяет получить множество общих утверждений на основе известных или очевидных фактов. А метод математической индукции призван определить справедливость полученных утверждений. В качестве примера, рассмотрим числовую последовательность: Тогда последовательность сумм первых n элементов этой последовательности будет следующая. Исходя из этого факта, по индукции можно утверждать, что. Он заключается в следующем: Вернемся к предыдущему примеру и докажем формулу. Докажем, что отталкиваясь от справедливого равенства из второго пункта. Так как из второго пункта, то. Осталось привести дроби к общему знаменателю, привести подобные слагаемые, воспользоваться формулой сокращенного умножения квадрат суммы и произвести сокращение: Таким образом, выполнены все три шага метода математической индукции и тем самым доказано наше предположение о формуле. Для этого нам понадобятся основные формулы тригонометрии. Так как по формуле из тригонометрии то. Доказательство равенства из третьего пункта завершено, следовательно, исходное тождество доказано методом математической индукции. Формула бинома Ньютона может быть доказана методом математической индукции. Пример доказательства неравенства методом математической индукции можете посмотреть в разделе метод наименьших квадратов при выводе формул для нахождения коэффициентов аппроксимации. Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www. Примеры доказательств уравнений и неравенств методом математической индукции. Так как по формуле из тригонометрии то Доказательство равенства из третьего пункта завершено, следовательно, исходное тождество доказано методом математической индукции.
Слово индукция по-русски означает наведение, а индуктивными называют выводы, на основе наблюдений, опытов, то есть полученные путем заключения от частного к общему. Например, мы каждый день наблюдаем, что Солнце восходит с востока. Поэтому можно быть уверенным, что и завтра оно появится на востоке, а не на западе. Этот вывод мы делаем, не прибегая ни к каким предположениям о причине движения Солнца по небу более того, само это движение оказывается кажущимся, поскольку на самом деле движется земной шар. И, тем не менее, этот индуктивный вывод правильно описывает те наблюдения, которые мы проведем завтра. Роль индуктивных выводов в экспериментальных науках очень велика. Они дают те положения, из которых потом путем дедукции делаются дальнейшие умозаключения. И хотя теоретическая механика основывается на трех законах движения Ньютона, сами эти законы явились результатом глубокого продумывания опытных данных, в частности законов Кеплера движения планет, выведенных им при обработке многолетних наблюдений датского астронома Тихо Браге. Наблюдение, индукция оказываются полезными и в дальнейшем для уточнения сделанных предположений. После опытов Майкельсона по измерению скорости света в движущейся среде оказалось необходимым уточнить законы физики, создать теорию относительности. В математике роль индукции в значительной степени состоит в том, что она лежит в основе выбираемой аксиоматики. После того как длительная практика показала, что прямой путь всегда короче кривого или ломанного, естественно было сформулировать аксиому: Лежащее в основе арифметики понятие следовать за тоже появилось при наблюдениях за строем солдат, кораблей и другими упорядоченными множествами. Не следует, однако, думать, что этим исчерпывается роль индукции в математике. Разумеется, мы не должны экспериментально проверять теоремы, логически выведенные из аксиом: Но из данной системы аксиом можно вывести очень много утверждений. И отбор тех утверждений, которые надо доказывать, вновь подсказывается индукцией. Именно она позволяет отделить полезные теоремы от бесполезных, указывает, какие теоремы могут оказаться верными, и даже помогает наметить путь доказательства. Суть метода математической индукции. Во многих разделах арифметики, алгебры, геометрии, анализа приходится доказывать истинность предложений А n , зависящих от натуральной переменной. Доказательство истинности предложения А n для всех значений переменной часто удается провести методом математической индукции, который основан на следующем принципе. Предложение А n считается истинным для всех натуральных значений переменной, если выполнены следующие два условия: Этот принцип называется принципом математической индукции. Обычно он выбирается в качестве одной из аксиом, определяющих натуральный ряд чисел, и, следовательно, принимается без доказательства. Под методом математической индукции понимают следующий способ доказательства. Если это удается доказать, причем доказательство остается справедливым для каждого натурального значения k, то в соответствии с принципом математической индукции предложение А n признается истинным для всех значений n. Метод математической индукции широко применяется при доказательстве теорем, тождеств, неравенств, при решении задач на делимость, при решении некоторых геометрических и многих других задач. Метод математической индукции в решении задач на. С помощью метода математической индукции можно доказывать различные утверждения, касающиеся делимости натуральных чисел. Следующее утверждение можно сравнительно просто доказать. Покажем, как оно получается с помощью метода математической индукции. Если n — натуральное число, то число четное. Предположим, что - четное число. Так как , a 2k — четное число, то и четное. Значит, четно при всех натуральных значениях n. Действительно, первое слагаемое делится на 19 в силу предположения, что A k истинно; второе слагаемое тоже делится на 19, потому что содержит множитель Оба условия принципа математической индукции выполнены, следовательно, предложение A n истинно при всех значениях n. Применение метода математической индукции к. Прибавим к обеим частям этого равенства и преобразуем правую часть. Это утверждение справедливо при любом натуральном значении k. Итак, второе условие принципа математической индукции тоже выполнено. Доказать, что сумма n первых чисел натурального ряда равна. Обозначим искомую сумму , то есть. Доказать, что сумма квадратов n первых чисел натурального ряда равна. Примеры применения метода математической индукции к. Обозначим левую часть неравенства через. Пусть при некотором k. Докажем, что тогда и. Сравнивая и , имеем , то есть. При любом натуральном k правая часть последнего равенства положительна. Но , значит, и. Найти ошибку в рассуждении. При любом натуральном n справедливо неравенство. Действительно, не меньше 2 при любом натуральном k. Прибавим к левой части неравенства 1 , а к правой 2. Получим справедливое неравенство , или. Действительно, по условию, , поэтому справедливо неравенство. Перепишем неравенство 3 так: Отбросив в правой части последнего неравенства положительное слагаемое , получим справедливое неравенство 2. Так как , то справедливо неравенство. Прибавив к каждой части неравенства 3 по , получим неравенство 2. Так как, по условию, , то получаем следующее справедливое неравенство: Для того чтобы доказать справедливость неравенства 5 , достаточно показать, что. Неравенство 8 равносильно неравенству. Если , то , и в левой части неравенства 9 имеем произведение двух положительных чисел. Если , то , и в левой части неравенства 9 имеем произведение двух отрицательных чисел. В обоих случаях неравенство 9 справедливо. Метод математической индукции в применение к другим. Наиболее естественное применение метода математической индукции в геометрии, близкое к использованию этого метода в теории чисел и в алгебре, - это применение к решению геометрических задач на вычисление. Вычислить сторону правильного - угольника, вписанного в круг радиуса R. Далее, согласно формуле удвоения. Можно предположить поэтому, что сторона правильного вписанного 2 n — угольника при любом равна. Допустим, что сторона правильного вписанного - угольника выражается формулой 1. В таком случае по формуле удвоения. На сколько треугольников n-угольник не обязательно выпуклый может быть разбит своими непересекающимися диагоналями? Для треугольника это число равно единице в треугольнике нельзя провести ни одной диагонали ; для четырехугольника это число равно, очевидно, двум. Рассмотрим одно из разбиений n-угольника А 1 А 2 …А n на треугольники. В силу сделанного предположения, общее число треугольников разбиения будет равно. Указать правило вычисления числа P n способов, которыми выпуклый n-угольник может быть разбит на треугольники непересекающимися диагоналями. Для треугольника это число равно, очевидно, единице: Для этого рассмотрим выпуклый n-угольник А 1 А 2 …А n. При всяком разбиении его на треугольники сторона А 1 А 2 будет стороной одного из треугольников разбиения, третья вершина этого треугольника может совпасть с каждой из точек А 3 , А 4 , …,А n. Число способов разбиения n-угольника, при которых эта вершина совпадает с точкой А 3 , равно числу способов разбиения на треугольники n-1 -угольника А 1 А 3 А 4 …А n , то есть равно P n Таким образом, мы приходим к следующему соотношению: С помощью этой формулы последовательно получаем: Так же при помощи метода математической индукции можно решать задачи с графами. Пусть на плоскости задана сеть линий, соединяющих между собой какие-то точки и не имеющие других точек. Такую сеть линий мы будем называть картой, заданные точки ее вершинами, отрезки кривых между двумя смежными вершинами — границами карты, части плоскости, на которые она разбивается границами — странами карты. Пусть на плоскости задана некоторая карта. Мы будем говорить, что она правильно раскрашена, если каждая ее страна закрашена определенной краской, причем любые две страны, имеющие между собой общую границу, закрашены в разные цвета. На плоскости дано n окружностей. Доказать, что при любом расположении этих окружностей образуемую ими карту можно правильно раскрасить двумя красками. Удалив одну из этих окружностей, мы получим карту, которую в силу сделанного предположения можно правильно раскрасить двумя красками, например черной и белой. Версия для слабовидящих О школе. Уважаемые пользователи и посетители нашего сайта! Чтобы скачать расписание уроков, вы должны зарегистрироваться. Директор Сегодня в Таким образом, занятия не будут проводиться 23, 24, 25, 26 февраля. Директор 7 февраля Марина 7 февраля Подскажите, как будут учиться дети в праздничные дни на 23 февраля? Работающие люди отдыхают с 23 по 26 февраля. Директор 20 января Все это только с вашего добровольного согласия. По всем вопросам принуждения детей к участию в подобных мероприятиях звоните Уважаемые родители учащихся первой ступени начальная школа! Участие ваших детей в различных олимпиадах, конкурсах, организованных за деньги, не является обязательной частью учебного процесса. Директор 14 декабря SashaM , Проблему удалось решить. Все оценки выставляются в электронный дневник. Директор 8 декабря Да, такая проблема есть. К сожалению, кроме бумажной формы журнала ничего Вам предложить не могу. SashaM 7 декабря Директор 2 ноября Ваша жалоба на холодную пищу для учащихся 2-ой смены передана руководителю столовой для принятия мер и ответственному за питание для контроля данного вопроса. Готовят пищу для второй смены во второй половине дня. Zolot 1 ноября Подскажите, пожалуйста, почему дети, учащиеся со второй смены, вынуждены питаться в столовой холодной пищей, разогревают еду только учителям. Видимо готовят только утром, правда цена за питание одинаковая для всех. Заранее спасибо за ответ. Только зарегистрированные посетители могут вести диалоги. Главная Расписание Ресурсные центры Сведения о школе Олимпиады Наши успехи Карта сайта. Навигация Версия для слабовидящих О школе Новости История нашей школы Руководитель ОУ Коллектив Контакты Фотоальбомы Связь Форум Юбилей школы Начальная школа Наши Учителя Материалы к урокам Конспекты уроков Презентации Для Вас ребята ПДД и ОБЖ Мастер классы Сценарии праздников Родителям Портфолио ученика Школа Правила внутреннего распорядка Детские телефоны доверия Добрые советы учащимся Памятные даты Странички наших учителей Странички безопасности Организация питания Внеурочная занятость Полезные ссылочки ЕГЭ, ОГЭ ШДГ "Элизиум" Конституция Общая информация Библиотека Учебный фонд Наши партнеры.
Краткое описание принцесса на горошине
17 принципы российского права
1с демо скачать
Оптимальное значение метод максимального правдоподобия
Приложение для генерации кодов