Метод координат в задачах типа С2.
Метод координат в пространстве: формулы и комментарии репетитора
Метод координат в пространстве
Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников классов и дошкольников. Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников: Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний; 2. Бесплатные наградные документы для учителей; 3. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса; и многое другое Подайте заявку сейчас - https: Министерство Образования Российской Федерации. Координаты точки в пространстве………………………………. Задание фигур в пространстве…………………………………. Разложение вектора по координатным векторам. Линейные операции над векторами в координатах………….. Условие коллинеарности двух векторов в координатах…………….. Простейшие задачи в координатах………………………………… Скалярное произведение векторов и вычисление угла между векторами через их координатами………………………………………. Вычисление углов между прямыми и плоскостями………………….. Применение координатного метода к решению стереометрических. Данная тема актуальна на сегодняшний момент для любого выпускника средней школы так как: Для достижения цели были поставлены следующие задачи: Метод координат — это способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Числа, с помощью которых определяется положение точки, называют координатами точки. Хорошо известные нам географические координаты определяют положение точки на поверхности Земли — каждая точка на земной поверхности имеет две координаты: Чтобы определить положение точки в пространстве, нужны три числа. Например, чтобы определить положение спутника, можно указать высоту его над поверхностью Земли, а также широту и долготу точки, над которой он находится. С помощью метода координат можно изложить почти весь курс школьной геометрии без единого чертежа, используя только числа и алгебраические операции. Например, окружность можно определить как совокупность точек, удовлетворяющих уравнению , а прямую линию как совокупность точек удовлетворяющих уравнению. Таким образом, с помощью данного метода удалось связать между собой, казалось бы, совершенно разные науки алгебру и геометрию. Данное установление связи было, по существу, революцией в математике. Оно восстановило математику как единую науку. Создателем метода координат считают французского философа и математика Рене Декарта , который в последней части большого философского трактата Декарта, вышедшего в году, дал описание метода координат и его применение к решению геометрических задач. Развитие идей Декарта привело к возникновению особой ветви математики, которую теперь называют аналитической геометрией. Само это название выражает основную идею теории. Аналитическая геометрия — это та часть математики, которая решает геометрические задачи аналитически то есть алгебраическими средствами. Наряду с Декартом основоположником аналитической геометрии является замечательный французский математик П. С помощью метода координат Ферма изучил прямые линии и кривые второго порядка. Изучение аналитической геометрии в пространстве трех измерений существенно продвинул в XVIII веке А. Явно и последовательно аналитическую геометрию на плоскости и в трехмерном пространстве изложил Л. Эйлер в г. В XIX веке был сделан еще один шаг в развитии геометрии — изучены многомерные пространства. У него точка на плоскости - это пара чисел , точка в трехмерном пространстве — тройка чисел ; в новой теории точка четырехмерного пространства — это четверка чисел. У Декарта - уравнение окружности на плоскости, - уравнение поверхности шара в трехмерном пространстве; в новой теории поверхность сферы в четырехмерном пространстве. Аналогичным образом в n - мерной геометрии рассматриваются плоскости, прямые, расстояния между точками, углы между прямыми и т. Идеи многомерной геометрии прочно вошли в математику в конце XIX века, а в самом начале XX века, они нашли применение в специальной теории относительности, где к трем пространственным координатам добавляется четвертая — время. Таким образом, идеи геометрии Декарта, развитые учеными последующих поколений, лежат в основе современной науки. Координаты точки в пространстве. Говорят, что задана прямоугольная декартовая система координат, если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление и выбрана единица измерения отрезков. Плоскости, проходящие соответственно через оси координат и , и , и , называются координатными плоскостями и обозначаются , ,. К оординатами точки в пространстве называются координаты проекций этой точки на координатные оси. В пространстве, кроме координатных осей, удобно рассматривать еще координатные плоскости, то есть плоскости, проходящие через две какие-либо оси. Плоскость проходящая через оси и - множество точек вида , где и - любые числа;. Плоскость проходящая через оси и - множество точек вида , где и - любые числа. Для любой точки М пространства можно найти три числа , которые будут служить ее координатами. Чтобы найти первое число , проведем через точку М плоскость, параллельную координатной плоскость перпендикулярную к оси x. Точка пересечения этой плоскости с осью точка М 1 имеет на этой оси координату. Это число - координата точки М 1 на оси - называется абсциссой точки М. Чтобы найти вторую координату, через точку М проводят плоскость параллельную плоскости перпендикулярную к оси y , находят на оси y точку М 2. Число y — координата точки М 2 на оси y — называется ординатой точки М. Третью координату точки М найдем, проведя аналогичные построения, но перпендикулярно оси z. Полученное число z назовем аппликатой точки М. Задание фигур в пространстве. Также как на плоскости, координаты в пространстве дают возможность задавать с помощью чисел и числовых соотношений не только точки, но и линии, поверхности и другие множества точек. Посмотрим, например, какое множество точек получится, если задать только две координаты, а третью считать произвольной. Условие , где и - заданные числа. Все точки такой прямой имеют одну и ту же абсциссу и одну ординату. Координата может принимать любые значения. Точно также условия , где b и c заданные числа, определяют прямую, параллельную оси. Условия , где a и c заданные числа, задают прямую, параллельную оси. Если задать только одну координату, например: Рассмотрим еще несколько примеров, показывающих как можно задать в. Поскольку расстояние точки от начала координат задается выражением , то ясно, что в переводе на геометрический язык соотношение означает, что точка с координатами , находится на расстоянии R от начала координат. Значит, множеством всех точек, для которых выполняется соотношение , является поверхность шара - сфера с центром в начале координат и радиусом R. Рассмотрим, где расположены точки, координаты которых удовлетворяют соотношению. Так как это соотношение означает, что расстояние точки от начала координат меньше единицы, то искомое множество - это множество точек, лежащих внутри шара с центром в начале координат и радиусом, равным единице. Базисом пространства называется любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов , , , обозначаемая символом. Частным случаем является прямоугольный ортонормированный базис , где - единичный вектор оси абсцисс, через - единичный вектор оси ординат и через -единичный вектор оси аппликат, то есть , , ,. Этот базис и начало отсчета О определяют прямоугольную декартову систему координат в пространстве. Любой вектор пространства можно разложить по координатным векторам, то есть представить в виде -. Ч исла называются координатами вектора , то есть. Так как нулевой вектор можно представить в виде , то все координаты нулевого вектора равны нулю,. Линейные операции над векторами в координатах. Координаты равных векторов соответственно равны, то есть если векторы и равны, то , и. Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. Другими словами, если и -данные векторы, то вектор имеет координаты. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующих координат вектора на это число. Другими словами, если -данный вектор, -данное число, то вектор имеет координаты. Найти координаты вектора , если , ,. Вектор имеет координаты , а вектор - координаты. Так как , то его координаты можно вычислить как: Связь между координатами векторов и координатами точек. Вектор, конец которого совпадает с данной точкой, а начало - с началом координат, называется радиус-вектором данной точки. Координаты любой точки равны соответствующим координатам ее радиус - вектора. Каждая координата вектора равна разности соответствующих координат его конца и начала. Условие коллинеарности двух векторов в координатах. Пусть в системе координат заданы два вектора своими координатами и. Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны,. Координаты вектора пропорциональны соответствующим координатам вектора: Поэтому , и , следовательно векторы коллинеарны. Координаты вектора не пропорциональны соответствующим координатам вектора , например Значит векторы не являются коллинеарными. Простейшие задачи в координатах. Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат его концов. Р ассмотрим вектор ,. Рассмотрим две произвольные точки: Выразим расстояние d между точками и через их координаты. Рассмотрим вектор , где. Таким образом, расстояние между точками и. Скалярное произведение векторов и вычисление угла между векторами через их координаты. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. Скалярный квадрат векторов равен квадрату его длины, то есть. Скалярное произведение векторов и в координатах выражается формулой. Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы перпендикулярны, то есть. Скалярное произведение ненулевых векторов положительно тогда и только тогда, когда угол между векторами - острый,. Скалярное произведение ненулевых векторов отрицательно тогда и только тогда, когда угол между векторами - тупой,. Для любых векторов , , , и любого числа k справедливы равенства: К осинус угла между ненулевыми векторами и вычисляется по формуле ,. Вычисление углов между прямыми и плоскостями. Для решения данной задачи введем понятие направляющего вектора прямой. Ненулевой вектор называется направляющим вектором прямой a , если он лежит, либо на прямой a , либо на прямой, параллельной a. Векторы и направляющие прямых a и b , соответственно. Углом между прямыми называется угол между направляющими векторами данных прямых. Угол между прямыми a и b равен углу между направляющими векторами данных прямых, и. Угол между прямой и плоскостью. Углом между прямой и плоскостью называется угол между направляющим вектором данной прямой и ненулевым вектором перпендикулярным плоскости нормаль. Пусть , , а - искомый угол. Применение координатного метода к решению стереометрических задач. В основании пирамиды МАВС лежит прямоугольный треугольник АВС. Ось направим вдоль ребра АС , а плоскость Ох y вдоль основания пирамиды АВС. В этой системе координат: Так как по условию , то точка М лежит в плоскости xz и имеет координаты. Опустим из точки М перпендикуляр М D на плоскость АВС , тогда , так как. Следовательно, и расстояние между точками М и D равно , так как. Найдем значение координаты z используя расстояния между точками, содержащими данную координату: Так как , то Значит высота пирамиды равна. В прямоугольном параллелепипеде , ,. Введем систему координат с началом в точке. Оси , и направим вдоль ребер , и соответственно. Так как угол между прямыми изменяется от до , а угол между векторами от до , то угол между прямыми и равен углу между векторами и , если он острый, или смежному с ним, если угол между векторами тупой. Вычислим угол между векторами и. Найдем координаты векторов, используя координаты точек и: Тогда координаты векторов и. Найти угол между прямой и плоскостью основания. Угол между нормалью к плоскости и прямой дополняет его до 90 0 , поэтому. Значит для того, чтобы найти угол между прямой и плоскостью , следует найти угол между прямой и нормалью к плоскости. Напишем уравнение плоскости , подставив координаты точек A , B 1 и С в уравнение плоскости. Получим систему линейных уравнений: Следовательно, уравнение плоскости имеет вид , или , а вектор нормали имеет координаты. Рассмотрим решение задачи двумя способами. На ребрах , и куба взяты соответственно точки и - середины этих ребер, а на диагонали взята точка такая, что. Считая ребро куба равным а , найдем расстояние между следующими парами точек: Соединим точку с точками и. По условию , значит. По теореме Пифагора получаем. Соединим точку с точками и , точку с точками и. Рассмотрим , где - медиана. Так как и , то - параллелограмм и. По условию точка середина стороны треугольника. Тогда отрезок - средняя линия треугольника. Значит, , и так как , то. Так как точки и - середины соответственно ребер и , то -средняя линия треугольника и , но , следовательно. Так как -средняя линия треугольника , то. Пифагора , где - средняя линия треугольника , то есть. Т ак как ребра куба равны и попарно перпендикулярны, зададим в пространстве прямоугольную систему координат с началом в точке. В качестве единицы измерения примем отрезок, равный ребру куба. По условию точки и - середины ребер и куба соответственно. Так как , , то середина отрезка точка имеет координаты , а точка - середина отрезка координаты -. Согласно условия задачи, точка - середина отрезка , значит имеет координаты. Значит расстояние между точками Q и F: Значит расстояние между точками и: При выполнении работы была поставлена цель: Считаю, что поставленная цель была достигнута. Теоретический материал по теме был рассмотрен не только в рамках школьной программы, было введено понятие нормали. Изученный теоретический материал был систематизирован. При использовании метода к решению задач были выявлены особенности применения метода: Было рассмотрено применение метода как к решению различных видов задач, так и в сравнении с другими методами. При выполнении работы столкнулся с трудностями: Практикум по элементарной математике. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Учебное пособие по высшей математике. Применение координатного вектора к решению стереометрических задач. Декарт и его геометрия. Выберите специальность, которую Вы хотите получить: Воспитатель детей дошкольного возраста Менеджер образования Педагог-воспитатель группы продлённого дня Педагог дополнительного образования детей и взрослых Педагог по обучению лиц с ограниченными возможностями здоровья Педагог-библиотекарь Преподаватель бухгалтерского учета Преподаватель права Преподаватель экономики Специалист в области охраны труда Учитель английского языка Учитель биологии Учитель географии Учитель информатики Учитель испанского языка Учитель истории Учитель китайского языка Учитель математики Учитель начальных классов Учитель немецкого языка Учитель обществознания Учитель основ безопасности жизнедеятельности Учитель основ религиозных культур и светской этики Учитель русского языка и литературы Учитель физики Учитель физической культуры Учитель французского языка Учитель химии. Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок". По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца. ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ. Если скачивание материала не началось, нажмите еще раз "Скачать материал". ВХОД В ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ. Предметы Биология География Директору-завучу Другое ИЗО, МХК Иностранные языки Информатика История Классному руководителю Логопедия Математика Музыка Начальные классы ОБЖ Обществознание Русский язык и литература Технология Украинский язык Физика Физкультура Химия Школьному психологу Архив Содержание. Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников классов и дошкольников Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников: Метод координат в пространстве. Воспитатель детей дошкольного возраста Менеджер образования Педагог-воспитатель группы продлённого дня Педагог дополнительного образования детей и взрослых Педагог по обучению лиц с ограниченными возможностями здоровья Педагог-библиотекарь Преподаватель бухгалтерского учета Преподаватель права Преподаватель экономики Специалист в области охраны труда Учитель английского языка Учитель биологии Учитель географии Учитель информатики Учитель испанского языка Учитель истории Учитель китайского языка Учитель математики Учитель начальных классов Учитель немецкого языка Учитель обществознания Учитель основ безопасности жизнедеятельности Учитель основ религиозных культур и светской этики Учитель русского языка и литературы Учитель физики Учитель физической культуры Учитель французского языка Учитель химии Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок". Чтобы скачать материал, введите свой email, укажите, кто Вы, и нажмите кнопку Ваше имя. Я учитель Я родитель Я ученик. Скачивание материала начнется через 60 сек. Реферат по геометрии по теме "Метод координат в пространстве", написанный учеником 11 класса. Необходимо исправить следующие ошибки: Введите символы, которые изображены на картинке: Презентация по математике на тему "Постороение на клетчатой бумаге" Разработка рабочей программы по математике, 7 класс В копилку учителю предметнику Урок математики на тему "Где живет Дед Мороз? Презентация к уроку математики в 5 классе "Числовые и буквенные выражения" Разработка математического КВН"Математика - царица всех наук" Обратная связь Кнопки и баннеры Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности.
На первый взгляд, выглядит угрожающе, но достаточно немного практики — и все будет работать великолепно. Поскольку эта плоскость проходит через точки M, N и K, то координаты этих точек должны обращать уравнение в верное числовое равенство. Найти координаты вектора, перпендикулярного данной плоскости. А что, если в задаче нет векторов — есть только точки, лежащие на прямых, и требуется вычислить угол между этими прямыми? Эта теорема одинаково работает и на плоскости, и в пространстве. В пространстве расположены три точки, заданные своими координатами: Найти координаты векторов AB, AC и BC. Следовательно, чтобы найти его координаты, надо из координат точки B вычесть координаты точки A: Аналогично, начало вектора AC — все та же точка A, зато конец — точка C. Наконец, чтобы найти координаты вектора BC, надо из координат точки C вычесть координаты точки B: Обратите внимание на вычисление координат последнего вектора BC: Это касается переменной y: Не допускайте таких глупых ошибок! Если вы внимательно прочитаете задачу C2, то с удивлением обнаружите, что никаких векторов там нет. Там только прямые да плоскости. Для начала разберемся с прямыми. Кто-нибудь понял, что написано в предыдущем абзаце? Я и сам не понял, поэтому объясню проще: Если ввести систему координат и рассмотреть вектор с началом и концом в этих точках, получим так называемый направляющий вектор для прямой:. Зачем нужен этот вектор? Дело в том, что угол между двумя прямыми — это угол между их направляющими векторами. Таким образом, мы переходим от непонятных прямых к конкретным векторам, координаты которых легко считаются. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 проведены прямые AC и BD 1. Найдите координаты направляющих векторов этих прямых. Введем систему координат с началом в точке A и осями x, y, z, направленными вдоль прямых AB, AD и AA 1 соответственно. Теперь найдем координаты направляющего вектора для прямой AC. Нам потребуются две точки: Теперь разберемся с прямой BD 1. На ней также есть две точки: В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, проведены прямые AB 1 и AC 1. Для начала разберемся с прямой AB 1. Теперь найдем направляющий вектор для AC 1. Все то же самое — единственное отличие в том, что у точки C 1 иррациональные координаты. Небольшое, но очень важное замечание насчет последнего примера. Если начало вектора совпадает с началом координат, вычисления резко упрощаются: К сожалению, это верно лишь для векторов. Например, при работе с плоскостями присутствие на них начала координат только усложняет выкладки. Нормальные векторы — это не те векторы, у которых все в порядке, или которые чувствуют себя хорошо. По определению, нормальный вектор нормаль к плоскости — это вектор, перпендикулярный данной плоскости. Другими словами, нормаль — это вектор, перпендикулярный любому вектору в данной плоскости. Наверняка вы встречали такое определение — правда, вместо векторов речь шла о прямых. Однако чуть выше было показано, что в задаче C2 можно оперировать любым удобным объектом — хоть прямой, хоть вектором. Итак, плоскость тоже можно успешно заменить вектором — той самой нормалью. Всякая плоскость задается в пространстве тремя точками. Как найти уравнение плоскости а следовательно — и нормали , мы уже обсуждали в самом начале статьи. Однако этот процесс у многих вызывает проблемы, поэтому приведу еще парочку примеров:. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 проведено сечение A 1 BC 1. Найти нормальный вектор для плоскости этого сечения, если начало координат находится в точке A, а оси x, y и z совпадают с ребрами AB, AD и AA 1 соответственно. Поскольку плоскость не проходит через начало координат, ее уравнение выглядит так: Поскольку эта плоскость проходит через точки A 1 , B и C 1 , то координаты этих точек обращают уравнение плоскости в верное числовое равенство. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 проведено сечение AA 1 C 1 C. Поскольку плоскость проходит через точки A 1 и C, координаты этих точек обращают уравнение плоскости в верное числовое равенство. Вообще говоря, в приведенных задачах надо составлять систему уравнений и решать ее. Получится три уравнения и три переменных, но во втором случае одна из них будет свободной, то есть принимать произвольные значения. Очень часто в задаче C2 требуется работать с точками, которые делят отрезок пополам. Координаты таких точек легко считаются, если известны координаты концов отрезка. Тогда координаты середины отрезка — обозначим ее точкой H — можно найти по формуле:. Единичный куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA 1 соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Точка K — середина ребра A 1 B 1. Найдите координаты этой точки. Поскольку точка K — середина отрезка A 1 B 1 , ее координаты равных среднему арифметическому координат концов. Теперь найдем координаты точки K:. Найдите координаты точки L, в которой пересекаются диагонали квадрата A 1 B 1 C 1 D 1. Из курса планиметрии известно, что точка пересечения диагоналей квадрата равноудалена от всех его вершин. ЕГЭ ОГЭ Мои курсы Вебинары Школьникам Студентам Блог Обо мне Метод координат в пространстве 30 мая Для того, чтобы использовать метод координат, надо хорошо знать формулы. Уравнение плоскости в трехмерном пространстве: Поскольку координаты векторов нам даны, подставляем их в первую формулу: Составим и решим систему уравнений: Получили, что уравнение плоскости имеет вид: Вычисление координат векторов А что, если в задаче нет векторов — есть только точки, лежащие на прямых, и требуется вычислить угол между этими прямыми? Чтобы найти координаты вектора, надо из координат его конца вычесть координаты начала. Вычисление направляющих векторов для прямых Если вы внимательно прочитаете задачу C2, то с удивлением обнаружите, что никаких векторов там нет. Если ввести систему координат и рассмотреть вектор с началом и концом в этих точках, получим так называемый направляющий вектор для прямой: Вычисление нормальных векторов для плоскостей Нормальные векторы — это не те векторы, у которых все в порядке, или которые чувствуют себя хорошо. Однако этот процесс у многих вызывает проблемы, поэтому приведу еще парочку примеров: Координаты середины отрезка Очень часто в задаче C2 требуется работать с точками, которые делят отрезок пополам. Тогда координаты середины отрезка — обозначим ее точкой H — можно найти по формуле: Другими словами, координаты середины отрезка — это среднее арифметическое координат его концов. Теперь найдем координаты точки K:
Статья 209 часть 2 ук рб
Инструкция на русском языке medeli pd 388
Образец фонетического разбора 5 класс
Где самый большой ассортимент чешского бисера
Скорпион г характеристики