Математические методы моделирования информационных процессов и систем
Направления подготовки
Лекция №2 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ИНФОРМАЦИОННЫХ ПРОЦЕССОВ И СИСТЕМ
Задачи изложения и изучения дисциплины — дать необходимые знания по основам математики и теории вероятностей для решения задач в профессиональной деятельности. Теория двойственности, теоремы двойственности. Экономическая интерпретация двойственных переменных. Экономический анализ решения задачи линейного программирования. Построение начального допустимого плана. Метод наименьшего и наибольшего элемента. Задачи, сводящиеся к транспортной. Метод ветвей и границ. Задача построения оптимального целого ассортимента решение. Критерии Байеса, Лапласа, Вальда, Сэвиджа, Модуль 4. Аналитический и геометрический методы решения задач нелинейного программирования. Научиться составлять математические модели. Научиться решать задачи графическим методом, симплекс-методом. Методические рекомендации по изучению темы: Вопросы для самопроверки 3. Математическая модель прямой задачи 4. Математическая модель двойственной задачи 5. Математическая модель прямой задачи в стандартном виде 6. Графический способ решения 7. Симплекс-метод решения задач линейного программирования 9. Теоремы двойственности Содержание темы: При выполнении заданий обратить внимание цель задачи и дополнительные условия. Вопросы для самопроверки 1. Проверка задачи на сбалансированность 2. Проверка начального плана на вырожденность 3. Составление математических моделей 4. Метод наименьшего элемента Содержание темы: Задача построения оптимального целого ассортимента изделий Цели изучения темы: Научиться решать задачи графическим методом, методом ветвей и границ Методические рекомендации по изучению темы: Составление математической модели 2. Требования к системе ограничений 3. Графический способ решения Содержание темы: Решение антагонистических игр в чистых и смешанных стратегиях. Критерии Байеса, Лапласа, Вальда, Сэвиджа, Гурвица. Научиться решать задачи графически, аналитически. Нахождение нижней и верхней цены игры 2. Определение игры в чистых и смешанных стратегиях 3. Составление математической модели 4. Алгоритм решения задачи теории игр графически. Задача распределения капитала на 1 и 2 года. Составление математической модели 3. Алгоритм решения задачи распределения капитала на 1 и 2 года. Научиться решать задачу о замене оборудования Методические рекомендации по изучению темы: Схема принципа Беллмана 3. Алгоритм решения задачи о замене оборудования Содержание темы: Аналитический и геометрический методы. Научиться решать задачи аналитическим, графическим методами, методом множителей Лагранжа. Геометрический метод решения 2. Аналитический метод решения 3. Алгоритм решения методом множителей Лагранжа. Эта линейная функция называется целевой, а ограничения, которые математически записываются в виде уравнений или неравенств, называются системой ограничений. Определение Математическое выражение целевой функции и ее ограничений называется математической моделью экономической задачи. Определение Допустимое решение, при котором целевая функция достигает своего экстремального значения, называется оптимальным решением задачи линейного программирования и обозначается Хопт. Виды математических моделей ЛП Математическая модель задачи ЛП может быть канонической и неканонической. Определение Если все ограничения системы заданы уравнениями и переменные Xj неотрицательные, то такая модель задачи называется канонической. Если хотя бы одно ограничение является неравенством, то модель задачи ЛП является неканонической. Каждая задача линейного программирования, называемая прямой или исходной, тесно связана с другой задачей, ее называют двойственной. В этой задаче y1, y2, y3 — предельные оценки стоимости единицы каждого ресурса, целевая функция — оценка стоимости всех ресурсов, а каждое ограничение есть условие, что оценка ресурсов, идущих на производство продукции x1, x2, x3, не менее чем цена единицы продукции. Если одна из двойственных задач неразрешима вследствие неограниченности целевой функции на множестве допустимых решений, то система ограничений другой задачи противоречива. Экономическое содержание первой теоремы двойственности: Совпадения, значений целевых функций для соответствующих решений пары двойственных задач достаточно для того, чтобы эти решения были оптимальными. Это значит, что план производства и вектор оценок ресурсов являются оптимальными только тогда, когда полная стоимость произведенной продукции и суммарная оценка ресурсов совпадает. Двойственные оценки обладают тем свойством, что они гарантируют рентабельность оптимального плана, то есть равенство общей стоимости продукции и ресурсов обуславливает убыточность всякого другого плана отличающегося от оптимального. Двойственные оценки позволяют сопоставлять и сбалансировать затраты и результаты производства. Эти условия называются условиями дополняющей нежесткости. Из них следует, что если какое-либо неравенство системы ограничений в одной из задач не обращается в строгое равенство оптимальным планом этой задачи, то соответствующий элемент оптимального плана двойственной задачи должен равняться нулю. Если же в некотором оптимальном плане оценок его j-й элемент больше нуля, то в оптимальном плане производства расход соответствующего ресурса равен его запасу. Двойственные оценки yj часто называются скрытыми теневыми или маргинальными оценками ресурсов. Решение задач линейного программирования графическим методом При решении задач линейного программирования геометрическим способом необходимо помнить, что визуализация решения достигается только при рассмотрении задачи с двумя переменными и небольшим количеством ограничений. Также желательно выбрать масштаб осей так, чтобы график был компактным, но было четко видно все точки пересечения ограничений. С геометрической точки зрения в задаче линейного программирования ищется такая угловая точка или набор точек из допустимого множества решений, на которой достигается самая верхняя нижняя линия уровня, расположенная дальше ближе остальных в направлении наискорейшего роста. Для нахождения экстремального значения целевой функции при графическом решении задач ЛП используют вектор grad Z на плоскости Х2ОХ2. Строим координатные оси Х1ОХ2 и с учетом коэффициентов математической модели выбираем масштаб. Находим область допустимых решений ОДР системы ограничений математической модели. Строим прямую целевой функции и показываем направление наискорейшего ее изменения нормаль-grad L. Линию целевой функции линия уровня перемещаем по направлению нормали для задач на максимум целевой функции и в противоположном направлении - для Перемещение линии уровня через ОДР производится до тех пор, пока у нее окажется только одна общая точка с областью допустимых решений. Эта точка будет точкой экстремума, и будет определять единственное решение задачи ЛП. Если окажется, что линия уровня совпадает с одной из сторон ОДР, то задача ЛП будет иметь бесчисленное множество решений. Если ОДР представляет неограниченную область, то целевая функция — Задача ЛП может быть неразрешима, когда определяющие ее ограничения окажутся противоречивыми. Торговая фирма для продажи товара трех видов использует ресурсы: Затраты ресурсов на продажу одной партии товаров каждого вида даны в таблице. Прибыль получаемая от реализации одной парии товаров 1 вида — 5 у. Непосредственное решение состоит из построения нескольких прямых на плоскости XOY. Построение неравенств на плоскости состоит из построения соответствующих прямых и выбора нужной полуплоскости. Для выбора полуплоскости необходимо подставить какуюнибудь точку плоскости чаще всего точку 0,0 в соответствующее неравенство и о выполнении или невыполнении этого неравенства сделать вывод о том, какая именно полуплоскость соответствует неравенству. Целевая функция приравнивается к 0 для возможности ее построения. Потом с помощью параллельного переноса функция цели двигается так, чтобы из положения секущей она стала касательной. В точке, где целевая функция становится касательной области допустимых значений и будет точка оптимального решения. Решая эту систему, получаем, что для получения максимальной прибыли необходимо продавать единиц товара первого вида и товара второго вида. Так как оба ограничения этой задачи активно, то товары обоих видов необходимо продавать. По второй теореме двойственности это означает, что остатков ресурсов не будет, и ограничения-неравенства двойственной модели превратятся в ограничения-равенства. Это означает, что выручка от продажи товаров будет равна суммарным расходам на продажу товаров первого и второго вида. Для товара первого вида: Тем не менее, вопрос о покупке ресурсов невозможно рассматривать без учета устойчивости. Так как малейшее изменение условий задачи приведется к изменению оптимального плана продаж. Для того чтобы определить устойчивость необходимо найти матрицу, обратную к матрице ограничений. С помощью анализа решения можно ответить и на вопрос продажи нового продукта, если известны затраты ресурсов и продажная цена. Например, если предлагается на продажу товар третьего вида по цене 10 ден. Это явно больше 10 ден. Метод является универсальным, так как позволяет решить практически любую задачу линейного программирования. Математическая модель задачи приводится к каноническому стандартному виду. Заполняется опорная симплекс — таблица с использованием коэффициентов целевой функции и системы ограничений. Решается задача по алгоритму. Идея симплексного метода заключается в том, что начиная с некоторого исходного опорного решения осуществляется последовательно направленное перемещение по допустимым решениям к оптимальному. Значение целевой функции для задач на максимум не убывает. Так как число допустимых решений конечно, то через конечное число шагов получим оптимальное решение. Алгоритм симплексного метода 1. Математическую модель задачи привести к каноническому стандартному 2. Построить начальную симплекс-таблицу исходя из стандартного вида. В строке коэффициентов ЦФ найти значение с самим маленьким отрицательным числом. Этот столбец и будет разрешающим. Вычислить разрешающую строку и ведущий элемент. Почленно разделить столбец свободных членов на элементы разрешающего столбца, за исключением строки ЦФ. Выбрать наименьшее из частных. Эта строка будет разрешающей. Ведущий элемент будет на пересечении разрешающего столбца 5. Построить новую симплекс-таблицу-второй шаг. При построении новой таблицы убрать из базиса строку с переменной разрешающей строки в предыдущей таблице. Ввести в базис строку с названием разрешающего столбца предыдущей таблицы. Построение ведущей строки в новой таблице. Почленно поделить всю разрешающую строку на разрешающий элемент. Построение других строк в новой таблице. Почленно умножить ведущую строку на соответствующие этим строкам элементы разрешающего столбца из предыдущей таблицы и прибавить к соответствующим строкам в старой 6. Проверяем таблицу второго шага на оптимальность. Если в строке целевой функции нет отрицательных элементов, тогда таблица имеет оптимальный план, записать ответ. Если в строке ЦФ есть отрицательный элемент элементы , тогда переходят к следующему третьему шагу, строят новую симплекс-таблицу в соответствии п. Написать математическую модель двойственной задачи в стандартном виде Решить двойственную модель симплекс - методом Записать ответ. Связь между задачами двойственной пары в том, что, решая симплексным методом одну из них, автоматически получаем решение другой. Для этого достаточно воспользоваться соответствием переменных прямой и двойственной задач в последней симплекс-таблице. Задача На предприятии имеется возможность выпускать n видов продукции 1,2,…n. При ее изготовлении используются ресурсы Р1, Р2, Р3. Размеры прямых затрат ресурсов ограничены соответственно величинами b1, b2, b3. Расход i —го ресурса на единицу продукции j-того вида составляют aij. Цена единицы продукции j-того вида равна cj ден. Сформулировать прямую и двойственную задачу и раскрывать экономический смысл всех переменных. Найти решение двойственной задачи Указать дефицитность ресурсов Обосновать эффективность плана производства Оценить целесообразность приобретения ресурса Оценить целесообразность выпуска новой продукции Данные:. Прибыль при этом составит 59 ден. Ресурс 1 типа стоит 1,4 ден. Третий тип ресурса у нас остался в количестве 2,5 ед. Мы же готовы покупать только по 0,8 ден. Требуется составить такой план перевозок, при котором запасы всех поставщиков вывозятся полностью, запросы всех потребителей удовлетворяются полностью и суммарные затраты на перевозку всех грузов минимальны. Эти переменные могут быть записаны в виде матрицы перевозок. Математическая модель транспортной задачи Математическая модель транспортной задачи в общем виде имеет вид:. Целевая функция задачи Z X выражает требование обеспечить минимум суммарных затрат на перевозку всех грузов. Вторая группа из уравнений ограничений записанных в общем виде, выражает требование, что запасы всех m, поставщиков вывозятся полностью, а также полностью должны удовлетворятся запросы всех n потребителей. Последнее неравенство является условием неотрицательности всех переменных. В рассмотренной математической модели транспортной задачи предполагается, что суммарные запасы поставщиков равны суммарным запросам потребителей, то есть такая задача называется сбалансированной, а её модель закрытой. Если же это равенство не выполняется, то задача называется несбалансированной с неправильным балансом , а её модель — открытой. Для того чтобы транспортная задача линейного программирования имела решение, необходимо, чтобы суммарные запасы поставщиков равнялись суммарным запросам потребителей, то есть задача должна быть сбалансированной. U i V j C ij экономический смысл перемененных двойственной задачи:. В этом случае необходимо добавить нулевую перевозку. Кроме того, математическая модель составляется с учетом этой суммарной стоимости. Если таких клеток несколько, то выбрать клетку с наибольшей потенциальной грузоперевозкой. Продолжать до тех пор, пока груз этого поставщика будет полностью распределен. Если план вырожденный, то поставить фиктивное значение груза так, чтобы иметь возможность найти потенциалы всех базисных клеток ставить нулевую перевозку. Выбрать переменную Ui или Vj, которой соответствует наибольшее количество занятых клеток, приравнять её к нулю, решить систему уравнений относительно Ui и Vj и найти эти значения. Если хотя бы для одной клетки не выполняется это неравенство, то необходимо улучшить опорный план с помощью коэффициента перераспределения W. Если таких клеток несколько, то выбирается любая. Из этих клеток найти клетку с наименьшим значением перевозки, коэффициент W будет равен перевозке в выбранной клетке. Если в математической модели целевая функция на максимум Zmax , то задача решается методом максимального элемента, то есть грузоперевозка Xij распределяется при составлении опорного плана с учетом наибольшего значения Cij аналогично метода наименьшего элемента. В методе потенциалов проверяется выполнение неравенства План перевозок:. Проверяем на сбалансированность Задача не сбалансированная. Введем фиктивного потребителя В5 с потребностью в грузе, равной ед. Стоимость перевозки для фиктивного потребителя определим равной нулю. В качестве общей стоимости будем брать сумму затрат на доставку единицы продукции из соответствующего пункта и ее себестоимость в этом пункте. Математическая модель прямой задачи при условии что, x11 x12 x13 x14 x15 , x21 x22 x23 x24 x25 , x31 x32 x33 x34 x35 , xij Математическая модель двойственной задачи:. Проверяем план на оптимальность, используя метод потенциалов. В ряде экономических задач, относящихся к задачам линейного программирования, элементы решения должны выражаться в целых числах. В этих задачах переменные означают количество единиц неделимой продукции. В случае если переменные оптимального решения оказываются нецелочисленными, то, применяя методы отсечения или метод перебора целочисленных решений. Метод ветвей и границ заключается в упорядоченном переборе вариантов и рассмотрении лишь тех из них, которые оказываются по определенным признакам перспективными, и отбрасывании бесперспективных вариантов. Метод ветвей и границ состоит в следующем: Процесс продолжается до тех пор. Пока не получено оптимальное целочисленное решение исходной задачи. Процесс решения можно продолжать в виде дерева, цифры в узлах вершинах которого обозначают план решения задачи искомые переменные. При наличии в задаче линейного программирования двух переменных, а в системе ограничения — неравенств, она может быть решена графическим методом без требований целочисленных переменных. Если оптимальное решение этой задачи является целочисленным, то оно и является оптимальным для исходной задачи. Если же полученное оптимальное решение не целочисленное, то строится дополнительное линейное ограничение. Оно обладает следующими свойствами:. Построить целевую функцию, являющуюся линией уровня и на ней указать направление нормали. Переместить линию целевой функции по направлению нормали через ОДР, чтобы она из секущей стала касательной к ОДР и проходила через наиболее удаленную от начала координат точку. Эта точка будет являться точкой экстремума, то есть решением задачи. Если окажется, что линия целевой функции параллельна одной из сторон ОДР, то в этом случае экстремум достигается во всех точках соответствующей стороны, а задача линейного программирования будет иметь бесчисленное множество решений. Найти координаты, точки экстремума и значение целевой функции в ней. Если полученные значения не целочисленные, то перейти к следующему шагу. Найти точки с целыми значениями искомых переменных, подставить в уравнение целевой функции и найти её значение. Максимальное из полученных значений целевой функции и будет решением задачи. Находим координаты точек каждого линейного уравнения системы ограничений и строим прямые 1 прямая: Перемещаем прямую целевой функции по направлению через ОДР до тех пор, пока она не станет касательной к ней, и находим точку А0. Предприятие может выпускать три вида продукции — A1, A2 и A3, получая при этом прибыль, зависящую от спроса, который может быть в одном из четырех состояний — B1, B2, B3, B4. Дана матрица, ее элементы aij характеризуют прибыль, которую получит предприятие при выпуске i-й продукции при j-м состоянии спроса. Определить оптимальные объемы выпускаемой продукции, гарантирующие среднюю величину прибыли при любом состоянии спроса, считая его неопределенным. Ознакомимся с основными понятиями теории игр. Математическая модель конфликтной ситуации называется игрой, стороны, участвующие в конфликте, — игроками, а исход конфликта — выигрышем. Для каждой формализованной игры вводятся правила, то есть система условий, определяющая: Как правило, выигрыш или проигрыш может быть задан количественно. Игра называется парной, если в ней участвуют два игрока, и множественной, если число игроков больше двух. Мы будем рассматривать только парные игры. В них участвуют два игрока: А и В, интересы которых противоположны, а под игрой будем понимать ряд действий со стороны игроков А и В. Игра называется игрой с нулевой суммой или антагонистической, если выигрыш одного из игроков равен проигрышу другого, то есть для полного "задания" игры достаточно указать величину выигрыша первого игрока. Выбор и осуществление одного из предусмотренных правилами действий называется ходом игрока. Стратегией игрока называется совокупность принципов, определяющих выбор его действий при каждом личном ходе в зависимости от сложившейся ситуации. Игра называется конечной, если у каждого игрока имеется конечное число шагов. Для того чтобы найти решение игры, следует для каждого игрока выбрать стратегию, которая удовлетворяет условию оптимальности, то есть один из игроков должен получать максимальный выигрыш, когда второй игрок придерживается своей стратегии. В то же время второй игрок должен иметь минимальный проигрыш, если первый придерживается своей стратегии. Такие стратегии называются оптимальными. Оптимальные стратегии должны также удовлетворять условию устойчивости, то есть любому из игроков должно быть невыгодно отказаться от своей стратегии в этой игре. При выборе оптимальной стратегии естественно полагать, что оба игрока ведут себя разумно с точки зрения своих интересов. Матрица, элементы которой характеризуют прибыль первого игрока при всех возможных стратегиях, называется платежной матрицей игры. Рассматриваемая задача сводится к игровой модели, в которой игра предприятия А против спроса В задана платежной матрицей Обозначим через ai наименьший выигрыш игрока А при выборе им стратегии А. Назовем нижней ценой игры или максимальным выигрышем максими-ном. Это гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В. Стратегия, соответствующая максимину, называется максиминной стратегией. Игрок В заинтересован в том, чтобы уменьшить выигрыш игрока А. Выбирая стратегию Bj, он учитывает максимально возможный при этом выигрыш для игрока А. Это гарантированный проигрыш игрока В. Стратегия, соответствующая минимаксу, называется минимаксной стратегией. Принцип, диктующий игрокам выбор наиболее "осторожных" минимаксной и максиминной стратегий, называется принципом минимакса. Этот принцип следует из разумного предположения, что каждый игрок стремится достичь цели, противоположной цели противника. Определим нижнюю и верхнюю цену игры и соответствующие стратегии в задаче: Так как, то седловая точка отсутствует и оптимальное решение следует искать в смешанных стратегиях игроков. Динамическое программирование — раздел оптимального программирования оптимального управления , в котором процесс принятия решения и управления, может быть разбит на отдельные этапы шаги. Динамическое программирование позволяет свести одну сложную задачу со многими переменными ко многим задачам с малым числом переменных. Это значительно сокращает объем вычислений и ускоряет процесс принятия управленческого решения. Управление — совокупность решений, принимаемых на каждом этапе для влияния на ход развития процесса. Операция — управляемый процесс, то есть мы можем выбирать какие-то параметры, влияющие на ход процесса и управлять шагами операции, обеспечивать выигрыши на каждом шаге и в целом за операцию. При распределении средств между предприятиями шагами целесообразно считать номер очередного предприятия; при распределении на несколько лет ресурсов деятельности предприятия — временной период. В других задачах разделение на шаги вводится искусственно. В общем случае шаговые управления х1, х2, … хm могут стать числами, векторами, функциями. Исходя из условий, каждой конкретной задачи длину шага выбирают таким образом, чтобы на каждом шаге получить простую задачу оптимизации и обеспечить требуемую точность вычислений. Основным методом динамического программирования является метод рекуррентных соотношений; который основывается на использовании принципа оптимальности, разработанного американским математиком Р. Использование данного принципа гарантирует, что управление, выбранное на любом шаге, не локально лучше, а лучше с точки зрения процесса в целом. Условная оптимизация Безусловная оптимизация Si — состояние системы на i-м шаге. Основная рекуррентная формула динамического программирования в случае решения задачи максимизации имеет вид:. Величина fm i — есть максимальная прибыль завершения задачи из состояния i, если предположить, что на шаге m, система находится в состоянии i. Планируя многошаговую операцию надо выбирать управление на каждом шаге с учетом всех его будущих последствий на ещё предстоящих шагах. Управление на i-м шаге выбирается не так, чтобы выигрыш именно на данном шаге был максимальным, а так, чтобы была максимальна сумма выигрышей на всех оставшихся шагах плюс данный шаг. Среди всех шагов последний шаг планируется без оглядки на будущее, то есть чтобы он сам, как таковой принес наибольшую выгоду. Задача динамического программирования начинает решаться с конца, то есть с последнего шага. Решается задача в 2 этапа:. Проводится условная оптимизация, в результате чего находится условные оптимальные управления и условные оптимальные выигрыши по всем шагам процесса. Каковы бы ни были начальное состояние на любом шаге и управление, выбранное на этом шаге, последующие управления должны выбираться оптимальными относительно состояния, к которому придет система в конце каждого шага. На 4-ом предприятии может остаться либо 0, либо 20, либо 40, либо 60, либо д. Тогда прибыль от вложения денег можно получить следующую. На 3-ем и 4-ем предприятии может остаться либо 0, либо 20, либо 40, либо 60, либо д. Если 3-му предприятию мы выдаем 20 д. Прибыль от вложения денег в 3-е предприятие берется в исходной матрице прибылей, а прибыль от вложений, денег в 4-е предприятие берется из таблицы предыдущего шага Прибыль на 3-м шаге берется максимальной по каждому вложению. Максимальная прибыль равна 15 д. Расположить денежные средства между проектами можно несколькими способами:. Цели изучения С течением времени любое оборудование изнашивается физически и морально, поэтому на каком-то этапе его эксплуатация становится менее выгодной, нежели приобретение и использование нового оборудования. Сформулировать по матрице максимальных прибылей оптимальные стратегии замены оборудования возрастов t1 и t2 лет в плановом периоде, продолжительностью 4 и 3 года. SHi - предполагаемый возраст оборудования в начале i-го периода, то есть после того, как мы примем решение сохранить или заменить его;. В формулах максимальная прибыль на очередном шаге определяется с учетом всех возможных состояний системы, в которых она может находиться сразу после принятия решения в начале данного года. Предмет, цели, задачи исследования операций, построение математических моделей. Понятие двойственности в задачах линейного программирования, правила построения двойственной задачи. Общие уравнения алгоритма, реализующие принципы Беллмана. Применение графов при решении задач исследования операций. Классическая задача нелинейной оптимизации, необходимые и достаточные условия оптимальности. Геометрический и аналитический методы решения задач нелинейного программирования. На титульном листе указывается вариант. Решения задач должны следовать в том порядке, в каком они предложены. При её изготовлении используются ресурсы Р1, Р2, и Р3. Цена единицы продукции i-го вида равна Сi денежных единиц. Составить математическую модель прямой и двойственной задачи. Раскрыть экономический смысл всех переменных, принятых в задаче;. Симплексным методом рассчитать план выпуска продукции по видам с учетом имеющихся ограничении ресурсов, который обеспечивал бы предприятию максимальный доход;. Используя решение исходной задачи и соответствия между прямыми и двойственными переменными, найти параметры оптимального плана двойственной 4. Указать наиболее дефицитный и недефицитный избыточный ресурс, если он 5. С помощью двойственных оценок yj обосновать эффективность оптимального плана, сопоставить оценку израсходованных ресурсов и максимальный доход. Zmax от реализации готовой продукции по всему оптимальному плану и по каждому виду продукции отдельно;. Необходимо определить такой набор продуктов, который обеспечил бы необходимое содержание питательных веществ, и полная стоимость его при этом была бы наименьшей. Составить математическую модель прямой и двойственной задач. Себестоимость единицы продукции в i-м пункте равна Ci. Написать математическую модель прямой и двойственной задач с указанием экономического смысла всех переменных;. Составить план перевозки продукции, при котором минимизируются суммарные затраты по ее изготовлению и доставке потребителям для условия что продукция произведенная в пункте Ai, где себестоимость её производства наименьшая, распределяется полностью;. Установить пункты, в которых останется нераспределенная продукция, и указать её Необходимые исходные числовые данные приведены в таблице 2. Трудовые бригады Б1, Б2, Б3 численностью, а1, а2, и а3 человек, сформированы для уборки картофеля. Для уборки картофеля на четырех полях П1, П2, П3 и П4 необходимо выделить b1, b2, b3, и b работников. Производительность труда работника зависит от урожайности картофеля, а так же от численности бригады и характеризуется для указанных бригад и полей элементами матрицы Pij в центнерах на человека за рабочий день. Распределить работников каждой трудовой бригады по полям так, чтобы за рабочий день было убрано максимально возможное количество картофеля;. Определить сколько центнеров картофеля будет убрано с четырех полей при оптимальном распределении работников. Вариант Предприятие имеет возможность самостоятельно планировать объемы выпуска сезонной продукции A1, A2, А3. Не проданная в течение сезона продукция позже реализуется по сниженной цене. Данные о себестоимости продукции, отпускных ценах и объемах реализации в зависимости от уровня спроса приведены в таблице:. Для уменьшения размерности платежной матрицы считать, что одновременно на все три вида продукции уровень спроса одинаков: За некоторый период времени на предприятии потребление исходного сырья в зависимости от его качества составляет в1, в2, в3 и в4. Если для выпуска запланированного объема основной продукции сырья окажется недостаточно, его запасы можно пополнить, что потребует дополнительных затрат в сумме с1 в расчете на единицу сырья. Если же запасы сырья превысят потребности, то дополнительные затраты на хранение остатка составят с2 в расчете на единицу сырья. Использовать критерии Байеса, Лапласа, Вальда, Сэвиджа, Гурвица значение параметра в критерии Гурвица задается. Распределить средства S0 между предприятиями так, чтобы суммарный прирост продукции на всех четырех предприятиях достиг максимальной 2. Используя решение основной задачи, найти оптимальное распределение между Данные необходимо для решения, приведены в таблице 4. Параметр f1 20 f2 20 f3 20 f4 20 f1 40 f2 40 f3 40 f4 40 f1 60 f2 60 f3 60 f4 60 f1 80 f2 80 f3 80 f4 80 f1 f2 f3 f4 ЗАДАЧА 5. В начале планового периода продолжительностью 6 лет имеется оборудование, возраст которого t. Проблемы занятости и безработицы и рынок труда в России на современном этапе 1. Теоретико-методологические подходы к анализу проблем занятости и безработицы Понятие и сущность занятости и безработицы. Стереотипы в понимании проблем занятости и безработицы и возможные пути их Реализация образовательных программ СМК — РОП - РУП - 2. Студент должен знать, уметь, владеть 2. Чехова, Таганрог, Инициативная 48, Nikonova T. Данный экземпляр методических рекомендаций является предварительным, черновым вариантом и будет дорабатываться. Изменениям подвергнутся методические рекомендации по изучению учебной дисциплины и рекомендации по выполнению домашних контрольных работ. Задания для домашних контрольных работ и распределение их по вариантам изменены НЕ БУДУТ!!!!!! Приносим извинения за временные неудобства. Структурные элементы работы 2. Пирогова, 2 1 В информационный Бюллетень новых поступлений включены документы, поступившие в различные отделы НБ НГУ за месяц период времени. Бюллетень составлен на основе записей Электронного каталога. Материал расположен в систематическом порядке по отраслям знаний, внутри разделов — в алфавите авторов или заглавий. Записи включают полное библиографическое Рекомендовано к печати Научно-методическим советом ЯОУНБ имени Н. Некрасова К 53 Книжная культура Ярославского края — Бурункова Нанокомпозиты — новые материалы фотоники Учебное пособие Санкт-Петербург Министерство образования Российской федерации Санкт-Петербургский Государственный университет информационных технологий, механики и оптики Нанокомпозиты Учебное пособие Санкт-Петербург И. Бурункова СПб; СПбГИТМО ТУ , , - с. Полимеры и нанокомпозиты В пособии представлены основные сведения о современных оптических полимерах, технологии их Колупаева Математическое и компьютерное моделирование Учебное пособие Под общей редакцией Т. Корнеевой Томск УДК Колупаева Математическое и компьютерное моделирование: Учебное пособие является частью учебно-методического комплекса по курсу информатики. В нём рассмотрены основные понятия, определения, положения и подходы математического и компьютерного Никашина под редакцией акад. Ченцова Москва ББК В перечисленных ниже изданиях содержатся методические рекомендации, которые помогут должным образом подготовить, оформить и успешно защитить выпускную квалификационную работу. Основы научных исследований и изобретательства [Электронный ресурс]: Клюй КУРС ЛЕКЦИЙ по экономике и бухгалтерскому учету в здравоохранении Минск БелМАПО УДК Кульпанович Ольга Александровна - доцент, кандидат медицинских наук, Легостаев ; генеральный директор ГНЦ Новиков Методические указания и задания по выполнению курсовой работы по дисциплине Информатика для студентов II курса заочной формы обучения технических специальностей. Материалы этого сайта размещены для ознакомления, все права принадлежат их авторам. Если Вы не согласны с тем, что Ваш материал размещён на этом сайте, пожалуйста, напишите нам , мы в течении рабочих дней удалим его. В результате изучения дисциплины студент должен: Построение математических моделей прямой и двойственной задач Графический метод решения.
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны. Требования определяются, прежде всего, ее назначением, то есть характером поставленной задачи:. Математическая модель, в широком смысле, это приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики. Применительно к задачам исследования качества системы математическая модель должна обеспечивать адекватное описание влияния параметров и условий функционирования на показатели ее качества. Что касается точности модели, то ее уровень должен обеспечивать достоверное сравнительное оценивание и ранжирование по уровню качества альтернативных вариантов. В основе изучения и моделирования процессов функционирования технических систем всегда лежит эксперимент - реальный или логический. Суть реального эксперимента состоит в непосредственном изучении конкретного физического объекта. В ходе логического эксперимента свойства объекта исследуются не на самом объекте, а с помощью его математической или содержательной словесной модели, изоморфной объекту с точки зрения изучаемых эксперименте свойств. Отсюда ясно, что уравнение 2. Для полного описания процесса функционирования системы необходимо задать условия определения состояния системы. Для этого вводится понятие уравнения состояния:. Таким образом, модель функционирования системы должна обеспечивать прогнозирование процесса функционирования на всем интервале функционирования T множество времени по заданному вектору начального состояния записанном в векторном виде входному процессу T. Согласно изложенному выше, для решения этой задачи достаточно задать множества допустимых значений входных X и выходных Y процессов, а также множество возможных состояний системы Z и операторы выхода A и перехода B. Модель функционирования системы без предыстории представляет собой кортеж. Если все компоненты в 2. Множества и операторы, составляющие общесистемную модель 2. Наделяя систему теми или иными свойствами общесистемная модель конкретизируется до системной модели. Если, кроме того непрерывны операторы А и В, то система наз. Поскольку стационарная система при фиксированном начальном состоянии Z t 0 одинаково реагирует на эквивалентные, отличающиеся только сдвигом по времени, входные воздействия, то наложение интервала t 0 , t на оси времени не оказывает влияния на процесс функционирования системы. Модель М для стационарных систем не содержит в явном виде интервал функционирования Т. Для стохастической вероятностной системы Y и Z, случайные величины, заданные законами распределения. Они, безусловно, необходимы для теоретических исследований и полезны, так как выявляют общие закономерности, присущие весьма широкому классу систем. Но в повседневной практической деятельности инженеры традиционно используют так называемые конструктивные модели - гораздо менее общие, но позволяющие производить конкретные вычисления. Конструктивные модели в сущности представляют собой алгоритмы, пользуясь которыми, можно определить значения одних переменных, характеризующих данную систему, по заданным или измеренным значениям других переменных. Однако между системными и конструктивными моделями нет противоречия. По мере накопления знаний о системе, уточнения и конкретизации ее свойств и характеристик системная модель естественным образом преобразуется в конструктивную. Следовательно, конструктивная модель может и должна закономерно вырастать из более общей системной модели. Такой - истинно системотехнический подход - представляется более обоснованным, чем априорное задание конструктивной модели исследователем, использующим для этого лишь свою интуицию и субъективные представления о возможностях тех или иных математических схем. Моделирование процессов функционирования конкретной системы должно начинаться с записи всех компонент общесистемной модели 2. Общесистемная и системные модели обладая высшей степенью общности устанавливают закономерности, которые присущи всем или достаточно широкому классу систем. В инженерной практике используют так называемые конструктивные модели, пригодные для инженерных расчетов. КМ - алгоритмы, пользуясь которыми можно определить значения одних переменных, характеризующих систему по заданным или измеренным значениям других переменных. КМ - может и должна вырастать из большой общей системной модели путем конкретизации ее свойств. Исследование особенностей разработки и построения модели социально-экономической системы. Характеристика основных этапов процесса имитации. Экспериментирование с использованием имитационной модели. Организационные аспекты имитационного моделирования. Особенности управления состоянием сложных систем. Способы нахождения математической модели объекта системы методом площадей в виде звена 2-го и 3-го порядков. Формы определения устойчивости ЗСАУ. Нахождение переходной характеристики ЗСАУ и основных ПКР. Понятие и типы моделей. Этапы построения математической модели. Основы математического моделирования взаимосвязи экономических переменных. Определение параметров линейного однофакторного уравнения регрессии. Оптимизационные методы математики в экономике. Математические модели и методы их расчета. Некоторые сведения из математики. Примеры задач линейного программирования. Методы решения задач линейного программирования. Классификация бизнес-процессов, различные подходы к их моделированию и параметры качества. Методология и функциональные возможности систем моделирования бизнес-процессов. Сравнительная оценка систем ARIS и AllFusion Process Modeler 7, их преимущества. Гомоморфизм - методологическая основа моделирования. Последовательность разработки математической модели. Модель как средство экономического анализа. Понятие об имитационном моделировании. Разделение моделирования на два основных класса - материальный и идеальный. Два основных уровня экономических процессов во всех экономических системах. Идеальные математические модели в экономике, применение оптимизационных и имитационных методов. Цель математического моделирования экономических систем: Разработка или выбор программного обеспечения. Расчет экономико-математической модели межотраслевого баланса. Основные категории и критерии инструментальных средств, предназначенных для моделирования информационных систем. Проведение анализа предметной области проекта автомастерской массового обслуживания и построение математической модели данной системы. Основные математические модели макроэкономических процессов. Мультипликативная производственная функция, кривая Лоренца. Различные модели банковских операций. Модели межотраслевого баланса Леонтьева. Динамическая экономико-математическая модель Кейнса. Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Главная Библиотека "Revolution" Экономико-математическое моделирование Математические методы моделирования информационных процессов и систем. Изучение основных этапов построения математической модели. Адекватное описание влияния параметров и условий функционирования на показатели качества. Условия определения состояния системы. Процесс реализации системотехнической цепочки преобразований. Требования к математической модели: Требования определяются, прежде всего, ее назначением, то есть характером поставленной задачи: Для этого вводится понятие уравнения состояния: N - непрерывность; L - линейность; C - стационарность; P - стохастичность вероятность. Для линейных систем выполняется принцип суперпозиции. Классификация системных моделей Размещено на http: При построении моделей функционирования систем применяют следующие подходы: Имитационные модели глобальных систем. Процесс создания математической модели объекта. Основные понятия и методы экономико-математического моделирования. Экономико-математические методы и модели. Информационные технологии моделирования бизнес-процессов. Теоретико-системные основы математического моделирования. Математические модели в экономике. Моделирование информационной системы "Автосервис". Моделирование макроэкономических процессов и систем. Другие документы, подобные "Математические методы моделирования информационных процессов и систем".
Рабочая станция ямаха
Карта стрелка не читается что делать
Доехать москва санкт петербург поезд
Правила разводапри наличии детей
Помогут вам добиться успеха