Метод конечных объёмов
Метод контрольного объема
Метод конечных объёмов
Основная идея метода контрольного объема МКО легко понятна и поддается прямой физической интерпретации. Расчетную область разбивают па некоторое число непересекающихся контрольных объемов. Дифференциальное уравнение интегрируют по каждому контрольному объему. Для вычисления интегралов внутри контрольного объема используют функции формы, которые описывают изменение некоторой интересующей переменной между расчетными узловыми точками. В результате находят дискретный аналог дифференциального уравнения, в который входят значения в нескольких расчетных узловых точках. В качестве расчетного узла в МКО принимается центр контрольного объема [4, 5, 7, 11, 12, 13]. Полученный подобным образом дискретный аналог выражает закон сохранения для конечного контрольного объема точно так же, как дифференциальное уравнение выражает закон сохранения для бесконечно малого контрольного объема [4]. Для получения математической формулировки МКО необходимо обратиться к основным дифференциальным зависимостям -. Уравнение неразрывности, количества движения и обобщенное дифференциальное уравнение , записанные в координатной форме примут следующий вид [15]:. Далее, руководствуясь указанными выше соображениями, каждое из выражений - следует проинтегрировать по контрольному объему. При этом, некоторые объемные интегралы удобно преобразовать в поверхностные, используя теорему Остроградского-Гаусса. Можно заметить, что при отсутствии деформации контрольного в течение времени расчетная сетка не меняется с течением времени , соответствующие производные могут быть вынесены за знак интеграла:. В интегральных соотношениях объемные интегралы характеризуют собой количественный уровень переменных внутри контрольного объема, а поверхностные представляют собой потоки переменных. Затем необходимо перевести точные интегральные уравнения - в дискретную форму, для чего используются схемы дискретизации различного порядка точности. Следовательно, МКО сводится к дискретизации основных дифференциальных уравнений в интегральной форме. Объемные составляющие преобразуются путем аппроксимации переменных внутри отдельных сегментов ячейки рис. Поверхностные составляющие потоки сначала вычисляются для точек интегрирования, расположенных в центре сегмента поверхности, в которую заключен контрольный объем, а затем полное изменение вычисляется интегрированием полученных потоков через отдельные грани [15]. Формирование контрольных объемов на основе сеточной модели. Дискретная форма интегральных соотношений может иметь вид использована Эйлерова схема аппроксимации c разностью назад первого порядка:. Величины, полученные при решении, приводятся к центрам контрольного объема. Несмотря на это некоторые члены уравнений требуют решения для точек интегрирования. Для нахождения величин внутри элемента сетки используются аппроксимирующие функции функции формы конечных элементов. Суммирование происходит по всем узлам элемента. При этом аппроксимирующая функция обладает следующими свойствами:. Одним из важных свойств МКО является то, что в нем заложено точное интегральное сохранение таких величин, как масса, количество движения и энергия на любой группе контрольных объемов и, следовательно, на всей расчетной области. Это свойство проявляется при любом числе узловых точек, а не только в предельном случае очень большого их числа. Таким образом, даже решение на грубой сетке удовлетворяет точным интегральным балансам [4, 5, 7]. Существует две основных разновидности МКО, характеризуемые расположением контрольного объема по отношению к элементам исходной геометрической сетки рис. МКО, центрированного по узлу и МКО, центрированного по ячейке [4, 11, 12, 13]. Схема контрольного объема, центрированного по узлу слева и центрированного по ячейке справа. Также в вычислительных алгоритмах могут использоваться так называемые разнесенные шахматные либо совмещенные сетки. Это связано с различными подходами в расчете поля давления. При этом расчетным узлом , как указано выше, является центр контрольного объема. Грани расположены посередине между узловыми точками сетки, узел геометрической сетки является центром контрольного объема. Таким образом, базовым является положение узлов, вокруг которых располагаются контрольные объемы. Указанный подход удобен при использовании структурированных регулярных сеток при дискретизации расчетной области [12]. Тем не менее, при использовании МКО, центрованного по узлу, возникает ряд затруднений. Расчетная сетка и исходная геометрическая не совпадают. Расположение центров контрольного объема или узлов геометрической сетки прослеживается без затруднений, однако формирование ячеек контрольных объемов представить гораздо сложнее. Контрольные объемы могут иметь форму значительно сложнее, чем элементы геометрической сетки. Кроме того, расположение контрольных объемов на границах требует отдельного рассмотрения рис. Преимуществом расположения контрольного объема вокруг узла геометрической сетки является высокая точность нахождения градиентов и производных, поскольку грани, на которых они вычисляются, расположены точно посередине между двумя соседними узлами геометрической сетки. При этом точность величин, полученных для расчетного узла интегрированием по контрольному объему, оказывается ниже. Для построения расчетной сетки используется уже имеющаяся геометрическая сетка. Грани контрольного объема совпадают с гранями ячейки исходной сетки, расчетным узлом является центр геометрической ячейки [12, 13]. Указанная формулировка позволяет использовать уже готовые ячейки, созданные на этапе дискретизации расчетной области, в качестве контрольных, что хорошо реализуется на основе дискретизации неструктурированными сетками. Эта разновидность МКО избавлена от необходимости введения дополнительных условий при рассмотрении граничных областей рис. С другой стороны, контроль за формированием расчетных узлов, их распределением по расчетной области становится весьма затруднительным. Наибольшую точность при использовании ячеек геометрической сетки в качестве контрольных объемов имеют величины, полученные интегрированием по объему. Градиенты и производные, вычисляемые на гранях, будут иметь меньший порядок точности. Для расчета поля давления и скоростей МКО в указанной выше постановке используется общая расчетная сетка, состоящая из контрольных объемов и расчетных узлов центров контрольного объема. Без дополнительных модификаций метода в этом случае может возникнуть ряд проблем [4, 12, 13]. Во-первых, при аппроксимации градиента давления для уравнения количества движения дискретный аналог будет содержать разность давлений между двумя не соседними точками. Это означает, что давление берется с сетки более грубой, чем основная расчетная, и это должно вести к снижению точности решения. Подобные рассуждения справедливы также построения градиента скоростей из уравнения неразрывности для случая несжимаемой жидкости. Во-вторых, возможным ошибочным следствием аппроксимации может стать возникновения неоднородных волнистого, шахматообразного полей давления и скоростей, которые, тем не менее, будут восприниматься как однородные. Появление осцилляций в решении для давления и скорости может возникнуть, если центральные разности используются для аппроксимации всех производных на совмещенной сетке. Осциллирующее решение появляется из-за двух несвязанных на различных точках сетки решений для давления, которое возможно, если центральные разности используются совмещенной сетке. Осцилляции, как правило, возрастают при увеличении числа Рейнольдса, поскольку диссипативные члены посредством которых осуществляется связь значений , и в соседних точках, в этом случае малы. Избежать неоднородного представления распределения давления и скоростей можно избежать при использовании разнесенных шахматных сеток для расчета полей давления и скоростей либо модификацией МКО [4, 15]. Первый способ означает, что для каждой зависимой переменной можно использовать свою сетку. При расчете составляющих скорости значительную выгоду дает определение их на сетке, отличной от сетки, которая используется для всех других переменных. Использование такой сетки лежит в основе процедур SIVA и SIMPLE, а также алгоритмов на их основе [4, 11]. При расположенной в шахматном порядке сетке составляющие скорости рассчитываются для точек, лежащих на гранях контрольных объемов. Таким образом, составляющая скорости вдоль оси рассчитывается на гранях, перпендикулярных направлению оси. Следует отметить, что по отношению к узловым точкам основной сетки точки, в которых определяется , смещены только в направлении оси. Другими словами, эти точки лежат на отрезках, соединяющих две соседние вдоль оси расчетные точки. Расчетная точка для должна лежать на грани контрольного объема. Использование разнесенных сеток не является единственным решением [15]. Путем некоторой модификации Хи Rhie и Чоу Chow предложили альтернативную схему дискретизации переноса массы, чтобы избежать шахматной картины полей давления и скоростей; затем Маджумдар Majumdar модифицировал данную схему, что позволило устранить зависимость уравнений стационарного течения от шага по времени. Подобная стратегия использована в решателе программного комплекса ANSYS-CFX. Перейти к загрузке файла. Главная Информатика Компьютерные системы ANSYS CFX. Уравнение неразрывности, количества движения и обобщенное дифференциальное уравнение , записанные в координатной форме примут следующий вид [15]: Можно заметить, что при отсутствии деформации контрольного в течение времени расчетная сетка не меняется с течением времени , соответствующие производные могут быть вынесены за знак интеграла: Формирование контрольных объемов на основе сеточной модели Дискретная форма интегральных соотношений может иметь вид использована Эйлерова схема аппроксимации c разностью назад первого порядка: Изменение массы массовый расход через поверхность элемента объема получено как. Изменение некоторой переменной внутри объема можно записать как , где - аппроксимирующая функция для -го узла; - значение переменной в -м узле; - число узлов элемента. При этом аппроксимирующая функция обладает следующими свойствами: Схема контрольного объема, центрированного по узлу слева и центрированного по ячейке справа Также в вычислительных алгоритмах могут использоваться так называемые разнесенные шахматные либо совмещенные сетки.
Выбирается некоторая замкнутая область течения жидкости или газа, для которой производится поиск полей макроскопических величин например, скорости, давления , описывающих состояние среды во времени и удовлетворяющих определенным законам, сформулированным математически. Наиболее используемыми являются законы сохранения в Эйлеровых переменных. Другими словами, при формулировке МКО используется физическая интерпретация исследуемой величины. Например, при решении задач переноса тепла используется закон сохранения тепла в каждом контрольном объеме. Этот метод применяется, в частности, при моделировании задач гидрогазодинамики в свободном пакете OpenFOAM. Материал из Википедии — свободной энциклопедии. Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии , проверенной 31 августа ; проверки требуют 3 правки. Проверено 7 июня Методы решения дифференциальных уравнений. Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые авторитетные источники , подтверждающие написанное. Численные методы механики сплошных сред. Статьи к викификации Википедия: Статьи без ссылок на источники Википедия: Статьи без источников тип: Статьи к доработке по физике. Навигация Персональные инструменты Вы не представились системе Обсуждение Вклад Создать учётную запись Войти. Пространства имён Статья Обсуждение. Просмотры Читать Текущая версия Править Править вики-текст История. Эта страница последний раз была отредактирована 29 сентября в Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike ; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия. Свяжитесь с нами Политика конфиденциальности Описание Википедии Отказ от ответственности Разработчики Соглашение о cookie Мобильная версия.
Кольпоскопия на какой день цикла делать
Выгрузка в дерево значений
Dead rising 3 описание
Хлоргексидин для десен инструкция
Фидерное удилище yintai