Метод итераций
Численные методы: решение нелинейных уравнений
Описание ООП по направлению подготовки 010101.65 "Алгебра"
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования. Часто возникает необходимость, как в самой математике, так и ее приложениях в разнообразных областях получать решения математических задач в числовой форме. Для представления решения в графическом виде также требуется предварительно вычислять его значения. При этом для многих задач известно только о существовании решения, но не существует конечной формулы, представляющей ее решение. Даже при наличии такой формулы ее использование для получения отдельных значений решения может оказаться неэффективным. Наконец, всегда существует необходимость решать и такие математические задачи, для которых строгие доказательства существования решения на данный момент отсутствуют. Во всех этих случаях используются методы приближенного, в первую очередь численного решения. Методы численного решения математических задач всегда составляли неотъемлемую часть математики и неизменно входили в содержание естественно-математического и инженерного образования. Как самостоятельная математическая дисциплина вычислительная математика оформилась в начала го века. К этому времени в основном были разработаны разнообразные, достаточно эффективные и надежные алгоритмы приближенного решения широкого круга математических задач, включающего стандартный набор задач из алгебры, математического анализа и дифференциальных уравнений. Прогресс в развитии численных методов способствовал постоянному расширению сферы применения математики в других научных дисциплинах и прикладных разработках, откуда в свою очередь поступали запросы на решение новых проблем, стимулируя дальнейшее развитие вычислительной математики. Метод математического моделирования, основанный на построении и исследовании математических моделей различных объектов, процессов и явлений и получении информации о них из решения связанных с этими моделями математических задач, стал одним из основных способов исследования в так называемых точных науках. Современной формой метода математического моделирования, базирующейся на мощной вычислительной базе в виде ЭВМ и программного обеспечения, реализующего алгоритмы численного решения, является вычислительный эксперимент, рассматриваемый как новый теоретический метод исследования различных явлений и процессов. Этот теоретический метод включает существенные черты методологии экспериментального исследования, но эксперименты выполняются не над реальным объектом, а над его математической моделью, и экспериментальной установкой является ЭВМ. Построение математической модели исследуемого объекта сюда же относится и анализ модели, выяснение корректности поставленной математической задачи. Построение вычислительного алгоритма - метода приближенного решения поставленной задачи и его обоснование. Проведение серии расчетов с варьированием определяющих параметров исходной задачи и алгоритма. Каждый из этих этапов допускает возврат к любому из предыдущих этапов с целью его уточнения и корректировки. В данном курсе рассматриваются вопросы, связанные со вторым этапом вычислительного эксперимента. Во многих случаях вычислительный алгоритм решения сложной задачи строится из набора базовых компонент, представляющих собой алгоритмы решения некоторых стандартных математических задач. Изучение численных методов решения этих задач - необходимый элемент овладения современной технологией математического моделирования. При этом идея модели лежит в основе того, что можно назвать методом вычислительной математики. Как правило, алгоритмы приближенного решения базируются на том, что исходная математическая задача заменяется аппроксимируется некоторой более простой или чаще последовательностью более простых задач. Решение этих более простых задач трактуется как приближенное решение задачи исходной. Во многих научных и инженерных задачах возникает необходимость решения уравнений вида: Решениями или корнями уравнения 1 называются такие значения х , которые при подстановке в уравнение обращают его в тождество. Только для простейших уравнений удается найти решение в аналитическом виде, то есть записать формулу, выражающую искомую величину х в явном виде. В большинстве же случаев приходится решать уравнение вида 1 численными методами. Хотя иногда, даже при наличии аналитического решения, имеющего сложный вид, бывает проще провести численное решение по известному алгоритму, чем программировать громоздкую аналитическую формулу. На первом этапе необходимо определить интервал изменения переменной х , где расположен один корень или, что означает то же самое, определить достаточно хорошее приближение окрестности этой точки. На втором этапе тем или иным численным методом определяется величина х , соответствующая корню уравнения 1 с заданной погрешностью. Для применения метода половинного деления необходимо установить окрестность или отрезок [ a, b ], на котором расположен один из корней уравнения, который необходимо уточнить с погрешностью Е рисунок 1. Пусть дано уравнение , где непрерывна на отрезке [ a, b ] и. Метод половинного деления, или дихотомии, заключается в следующем. Для нахождения корня уравнения, принадлежащего отрезку [ a, b ], делим отрезок пополам, то есть выбираем начальное приближение, равное:. Если , то является корнем уравнения. Если , то выбираем, одну из двух частей отрезка или для дальнейшего уточнения корня. Естественно, что корень будет находиться в той половине отрезка, на концах которого функция имеет разные знаки, а именно проверяем условие: На рисунке 1 это будет отрезок , т. Итерационный повторяющийся процесс деления будет продолжаться до тех пор, пока не будет выполнено условие:. Задать в явном виде уравнение , корни которого необходимо определить. Задать точность нахождения корня уравнения. Предположим, что у нас определено начальное приближение х 0 к одному из корней уравнения 1. Тогда в точке х 0 можно вычислить левую часть решаемого уравнения. Рассмотрение метода Ньютона начнем с его геометрического представления рисунок 2. Получим значение х 1 , в котором касательная пересекает ось 0x. Угловой коэффициент касательной равен значению производной от функции в точке касания. Следовательно, уравнение касательной, проходящей через точку с координатами имеет вид:. Абсциссу х 1 точки пересечения можно взять в качестве приближенного значения корня. Проведя касательную через новую точку с координатами и находя точку ее пересечения с осью 0х , получим второе приближения корня х 2. Аналогично определяются последующие приближения. Из формулы вытекает необходимость вычисления значения производной функции в каждой точке. Процесс нахождения корня может считаться законченным, когда модуль отношения значения функции в точке x k к ее производной меньше заданной величины погрешности , то есть когда выполняется следующее условие:. Определить первую производную функции в аналитическом виде. Определить начальное приближение х 0 , обеспечивающее быструю сходимость метода. Далеко не всегда бывает удобно находить аналитическое выражение для производной функции, в таком случае можно использовать метод секущих. Для начала итерационного процесса необходимо задать два начальных приближения х 0 и х 1. Если х 0 и x 1 расположены достаточно близко друг к другу, то производную можно заменить ее приближенным значением в виде отношения приращения функции равного к отношению приращения аргумента равного x 1 — x Таким образом, формула метода секущих может быть получена из формулы Ньютона 2 заменой производной выражением 4 и записана в виде:. Однако следует помнить, что при этом нет необходимости, чтобы значения функции и обязательно имели разный знак, как в методе половинного деления. Процесс нахождения корня при использовании метода секущих можно считать законченным, когда выполняется следующее условие:. Метод секущих несколько уступает методу Ньютона в скорости сходимости, однако не требует вычислений производной левой части уравнения. Определить начальные приближения х 0 и х 1 , обеспечивающие быструю сходимость метода. Результатом проведения лабораторной работы является программа, реализующая один из описанных методов с решением контрольного примера согласно, полученного индивидуального задания. При решении большого класса прикладных задач возникает необходимость в нахождении корней СЛАУ. Методы решения СЛАУ можно разделить на два больших класса: Точные методы решения, например метод Гаусса, дают, вообще говоря, точное значение корней СЛАУ, при этом при корректном составлении программы точность определяется только погрешностями, связанными с округлением и представлением чисел в ЭВМ. Итерационные методы решения СЛАУ характеризуется тем, что точное решение системы они могут, вообще говоря, давать лишь как предел некоторой бесконечной последовательности векторов. Исходное приближение при этом разыскивается каким-либо другим способом или задается произвольно. При выполнении определенных требований можно получить достаточно быстро сходящийся к решению итерационный процесс. К этому классу методов относятся: Известно, что система 7 имеет единственное решение, если ее матрица невырожденная т. В случае вырожденности матрицы система может иметь бесконечное число решений если ранг матрицы и ранг расширенной матрицы, полученной добавлением к столбца свободных членов равны или не иметь решений вовсе если ранг матрицы и расширенной матрицы не совпадают. Метод Гаусса основан на известном из обычного школьного курса алгебры методе исключений. Комбинируя каким-либо образом уравнения системы, добиваются того, что во всех уравнениях, кроме одного, будет исключено одно из неизвестных. Затем исключают другое неизвестное, третье и т. Рассмотрим систему уравнений размера. Алгоритм гауссова исключения состоит из нескольких шагов. Если система записана в виде 7 , то первый шаг состоит в исключении из последних n-1 уравнений. Это достигается вычитанием из второго уравнения первого, умноженного на , из третьего уравнения первого, умноженного на , и т. Этот процесс приводит к преобразованной системе уравнений:. Применяя теперь тот же самый процесс к последним n-1 уравнениям системы 8 , исключаем из последних n-2 уравнений и т. Этим завершается фаза прямого исключения или приведением к треугольной форме алгоритма гауссова исключения. Решение треугольной системы 9 теперь легко получается на фазе обратной подстановки , в ходе которой уравнения системы 9 решаются в обратном порядке:. Существует большое количество модификаций вычислительных схем, реализующих метод Гаусса. В качестве примера рассмотрим компактную схему Гаусса. Для примера выбрана СЛАУ 3-го порядка. Первый основной шаг гауссова исключения состоит в исключении первой переменной x 1 из второго и третьего уравнений. Если из второго уравнения системы вычесть первое, умноженное на 0. Второй основной шаг состоит в исключении из третьего уравнения. Это может быть сделано вычитанием из третьего уравнения второго, умноженного на —0. Проделанные операции называются элементарными преобразованиями строк. К этому моменту завершается первая часть алгоритма гауссова исключения, которую обычно называют прямым исключением или приведением к треугольной форме. Эта часть завершается тогда, когда все элементы последней строки системы, кроме крайне правого, обращаются в нуль. Вторая часть алгоритма заключается в решении полученной верхней треугольной системы. Это легко осуществляется с помощью процесса обратной подстановки. Подставляя теперь это значение во второе уравнение: Чтобы проверить найденное решение, выполним умножение. При составлении программы для ЭВМ, реализующей этот алгоритм, следует обратить внимание на то, что последовательно преобразуемые в ходе этого процесса элементы можно записывать в те же ячейки памяти, где располагались элементы исходной матрицы. На это указывает пятая строка алгоритма. Если это будет сделано, то исходная матрица, разумеется, будет испорчена. При разработке алгоритма, реализующего метод Гаусса , на первом этапе рекомендуется преобразовать исходную матрицу к виду, когда на главной диагонали выстраиваются максимальные по абсолютной величине коэффициенты. При этом если хотя бы одно значение коэффициента, стоящего на главной диагонали, равно нулю, применять метод Гаусса нельзя. Способ итераций дает возможность получить последовательность приближенных значений, сходящихся к точному решению системы. Разрешим первое уравнение относительно x 1 , второе относительно x 2 и т. Тогда систему можно переписать в виде:. Правые части системы являются функциями переменных x 1 , x 2 , Обозначив правы части уравнений через L i x 1 , x 2 , Итерации начинаются с задания начального приближенного решения x 0 1 , x 0 2 , Чем ближе исходное приближение к решению, тем меньше итераций необходимо для его получения. Для заданных начальных приближений x 0 1 , x 0 2 , Полученные первые приближения могут быть таким же образом использованы для получения 2-х, 3-их и т. Итерации проводятся до получения решения с требуемой точностью, которая не должна превышать заданной погрешности вычислений, то есть окончание итерационного процесса происходит при выполнении следующего неравенства:. Естественно возникает вопрос об условиях, выполнение которых обеспечивает сходимость полученных приближений к истинному решению системы. Достаточное условие сходимости, то есть возможности решения СЛАУ методом итераций, формулируется следующим образом. Для того чтобы итерационный процесс сходился, достаточно, чтобы в любой строке сумма отношений коэффициентов системы к диагональным коэффициентам, взятым из той же строки была строго меньше единицы. FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Соседние файлы в папке Методические указания
Основная образовательная программа высшего профессионального образования по специальности "Математика" разработана на математическом факультете КемГУ в соответствии с государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования, утвержденным приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от Нормативный срок освоения основной образовательной программы подготовки выпускника по специальности "Математика" при очной форме обучения - 5 лет. Нормативный срок освоения основной образовательной программы подготовки выпускника по специальности "Математика" при очно-заочной форме обучения - 6 лет. Область профессиональной деятельности выпускника: Специалист-математик осуществляет деятельность, в областях, использующих математические методы и компьютерные технологии; работы по созданию и использованию математических моделей процессов и объектов в различных областях человеческой деятельности; организует и выполняет работы по разработке эффективных математических методов решения задач естествознания, техники, экономики и управления. Занимается программно-управленческим обеспечением научно-исследовательской, проектно конструкторской и эксплуатационно-управленческой деятельности. Составляет научно-технические отчеты, готовит документацию по сопровождению программных разработок, проводит патентную работу, участвует в работе научно-практических семинаров и конференций. Исходя из своих квалификационных возможностей и в соответствии со специализацией специалист-математик подготовлен к самостоятельной работе на должностях математика, математика-программиста, научного сотрудника в научно-исследовательских и научно-производственных учреждениях в соответствии с требованиями Квалификационного справочника должностей руководителей, специалистов и других служащих, утвержденного постановлением Минтруда России от Объектами профессиональной деятельности математика являются научно-исследовательские центры, органы управления, образовательные учреждения, промышленное производство. Выпускник подготовлен к обучению в аспирантуре по математическим и смежным специальностям. Обеспеченность основной учебной и методической литературой всех дисциплин образовательной программы соответствует установленным нормам и требованиям образовательного стандарта по данному направлению подготовки. Целями практики является самостоятельное выполнение студентами в условиях образовательных учреждений определенных практикой реальных производственных и общественных задач на основе закрепления теоретических и практических знаний, умений и навыков по предмету; формирование в условиях производства профессиональных способностей студента на основе решения следующих современных проблем: Задачами педагогической практики является: Углубление и закрепление теоретических знаний, и их использование в процессе педагогической практики. Приобретение студентами навыков самостоятельного ведения научной, учебной, воспитательной и профориентационной работы с учетом особенностей предприятия. Подготовка студентов к проведению различного типа, вида и форм педагогической деятельности, использование разнообразных методов и приемов, активизирующих познавательную, учебную, общественную деятельность обучающихся. Развитие у студентов любви к профессии, стремления к изучению специальных и педагогических дисциплин, совершенствованию педагогических, профессиональных знаний в целях подготовки к творческому решению задач и проблем. Развитие у студентов интереса к научно - исследовательской работе, привития им навыков ведения исследований в области специальных и педагогических наук, поиска наиболее эффективных методов обучения и воспитания. Целями производственной практики является закрепление и расширение знаний обучающихся по основным и специальным дисциплинам математики, их взаимосвязям с естествознанием, техникой, философией. Итогом производственной практики должно стать: Задачами производственной практики является: Определение темы научного или научно-методического исследования. Получение теоретических и практических знаний, умений, навыков по математике или информатике. Проведение анализа научной, научно-методической литературы. Постановка и решение задач, доказательство основных положений. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования. Четная неделя Зарегистрироваться Войти. Поварича Направления научной деятельности Кафедра маркетинга Направления научной деятельности Кафедра экономической теории, налогообложения, предпринимательства и права Направления научной деятельности Заочная форма обучения Магистратура Институт филологии, иностранных языков и медиакоммуникаций Администрация института и контактная информация Кафедра русского языка Направления научной деятельности Кафедра истории и теории литературы и фольклора Направления научной деятельности Лаборатория герменевтики Фольклорная лаборатория Кафедра стилистики и риторики Направления научной деятельности Кафедра журналистики и русской литературы ХХ в. Противодействие идеологии терроризма Наши партнеры Управление кампусом Обеспечение процессов инклюзивного образования в университете Образование Образовательные программы Перечень образовательных программ и описание ООП подготовка кадров высшей квалификации аспирантура Текстология Описание ООП по направлению подготовки Педагогический научно-педагогический состав Материально-техническое обеспечение и оснащенность образовательного процесса Стипендии и иные виды материальной поддержки Платные образовательные услуги Финансово-хозяйственная деятельность Вакантные места для приема перевода. Абитуриенту Приемная кампания Приемная комиссия График работы. Студенту Расписание Вакансии Платное обучение Перевод с платного обучения на бесплатное Стипендии и социальная поддержка Конференции ЭИОС. Работнику Официальные документы, приказы Антикоррупция Конкурсы Профком ЭИОС. Официально Самообследование Лицензии Контакты и Реквизиты Сведения об образовательной организации Показатели мониторинга. Описание ООП по направлению подготовки Красная, 6 Адрес сайта: При использовании материалов как полностью, так и частично, ссылка на сайт обязательна. Нормативный срок освоения ООП при очной форме обучения: Срок действия государственной аккредитации образовательной программы: Иметь представление об основных способах сочетаемости лексических единиц и основных словообразовательных моделях. Владеть навыками и умениями речевой деятельности применительно к сфере бытовой и профессиональной коммуникации, основами публичной речи. Владеть формами деловой переписки, навыками подготовки текстовых документов и управленческой деятельности. Уметь работать с оригинальной литературой по специальности, иметь навык работы со словарем, владеть основной иноязычной терминологией специальности, знать русские эквиваленты основных и слов и выражений профессиональной речи. Владеть основами реферирования и аннотирования литературы по специальности. Физическая культура в общекультурной и профессиональной подготовке студентов; социально-биологические основы физической культуры; основы здорового образа и стиля жизни; оздоровительные системы и спорт теория, методика, практика ; профессионально-прикладная физическая подготовка. Сущность, формы, функции исторического знания. Методы и источники изучения истории. Понятие и классификация исторического источника. Античное наследие в эпоху Великого переселения народов. Проблема этногенеза восточных славян. Основные этапы становления государственности. Место и роль философии в культуре. Основные направления, школы философии и этапы ее исторического развития. Монистические и плюралистические концепции бытия, самоорганизация бытия. Понятия материального и идеального. Движение и развитие, диалектика. Динамические и статистические закономерности. Научные, философские и религиозные картины мира. Общество и его структура. Гражданское общество и государство. Человек в системе социальных связей. Человек и исторический процесс; личность и массы, свобода и необходимость. Формационная и цивилизационная концепции общественного развития. Представления о совершенном человеке в различных культурах. Эстетические ценности и их роль в человеческой жизни. Религиозные ценности и свобода совести. Сознание, самосознание и личность. Рациональное и иррациональное в познавательной деятельности. Действительность, мышление, логика и язык. Научное и вненаучное знание. Структура научного познания, его методы и формы. Научные революции и смены типов рациональности. Взаимодействие цивилизаций и сценарии будущего. Введение в экономическую теорию. Основные этапы развития экономической теории. Совокупный спрос и совокупное предложение. Равновесие на товарном рынке. Государственные расходы и налоги. Деньги и их функции. Равновесие на денежном рынке. Экономический рост и развитие. Внешняя торговля и торговая политика. Преобразования в социальной сфере. Структурные сдвиги в экономике. Стили современного русского литературного языка. Языковая норма, ее роль в становлении и функционировании литературного языка. Устная и письменная разновидности литературного языка. Нормативные, коммуникативные, этические аспекты устной и письменной речи. Функциональные стили современного русского языка. Специфика использования элементов различных языковых уровней в научной речи. Речевые норны учебной и научной сфер деятельности. Официально-деловой стиль, сфера его функционирования, жанровое разнообразие. Языковые формулы официальных документов. Приемы унификации языка служебных документов. Интернациональные свойства русской официально-деловой письменной речи. Язык и стиль распорядительных документов. Язык и стиль коммерческой корреспонденции. Язык и стиль инструктивно-методических документов. Реклама в деловой речи. Речевой этикет в документе. Жанровая дифференциация и отбор языковых средств в публицистическом стиле. Особенности устной публичной речи. Оратор и его аудитория. Основные приемы поиска материала и виды вспомогательных материалов. Словесное оформление публичного выступления. Понятливость, информативность и выразительность публичной речи. Разговорная речь в системе функциональных разновидностей русского литературного языка. Условия функционирования разговорной речи, роль внеязыковх факторов. Основные направления совершенствования навыков грамотного письма и говорения. Место психологии в системе наук. История развития психологического знания и основные направления в психологии. Индивид, личность, субъект, индивидуальность. Психика, поведение и деятельность. Развитие психики в процессе онтогенеза и филогенеза. Соотношение сознания и бессознательного. Психическая регуляция поведения и деятельности. Межгрупповые отношения и взаимодействия. Структура и состав современного культурологического знания. Культурология и философия культуры, социология культуры, культурная антропология. Культурология и история культуры. Теоретическая и прикладная культурология. Этническая и национальная, элитарная и массовая культуры. Восточные и западные типы культур. Специфические и "серединные" культуры. Место и роль России в мировой культуре. Тенденции культурной универсализации в мировом современном процессе. Культура и глобальные проблемы современности. Объект, предмет и метод политической науки. Политическая жизнь и властные отношения. Роль и место политики в жизни современных обществ. Мировая политика и международные отношения. Особенности мирового политического процесса. Национально-государственные интересы России в новой геополитической ситуации. Методология познания политической реальности. Экспертное политическое знание; политическая аналитика и прогностика. Изучение данного курса логически примыкает к общему курсу истории России, расширяя её знания, обогащая её сведениями о конкретных событиях и явлениях, происходивших на каждом историческом этапе на территории одного из крупнейших индустриальных регионов страны - событий в Кузбассе. Их роль в жизни общества. Норма права и нормативно-правовые акты. Основные правовые системы современности. Международное право как особая система права. Современные стратегии и модели образования. Концепция воспитательной работы классного руководителя. Составление конспектов воспитательных дел. Особенности воспитательной работы со старшими школьниками. Реализация воспитательной задачи на уроке. Общество и социальные институты. Социальные группы и общности. Социальное неравенство, стратификация и социальная мобильность. Социальное взаимодействие и социальные отношения. Культура как фактор социальных изменений. Исторические исследования, их особенность и структура. Философские системы в исторических исследованиях. Закономерности и случайности в истории и их отношения в исторических исследованиях. Формирование понятия числа в цивилизованном отражении. Историческая хронология и особенности ее создания. Количественные методы в обработке исторических материалов и создании исторических теорий. Особенности развития основных понятий теории вероятности и статистики. Основные понятия в психологии социологии и матстатистике. Основные типы распределений и соответствующие критерии, статистическое оценивание, факторный, дискретный и кластерный анализ. Проблемы и методы современных естественных наук; методы математического моделирования в современном естествознании и экологии. Понятие информации, общая характеристика процессов сбора, передачи, обработки накопления информации; технические и программные средства реализации информационных процессов. Рекурсивные и итерационные алгоритмы обработки данных. Структуры данных в прикладных программах; примеры использования и реализации различных структур редактор текстов, стековой калькулятор Компиляция и интерпретация: Методы тестирования и отладки программ. Понятие об архитектуре ЭВМ: Локальные и глобальные сети ЭВМ; основы зашиты информации и сведений, составляющих государственную тайну; методы защиты информации. Введение в численные методы; постановка задачи интерполяции; интерполяционный многочлен Лагранжа; его существование и единственность; оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа; понятие о количестве арифметических операций, как об одном из критериев оценки качества алгоритма; разделенные разности; интерполяционный многочлен Лагранжа в форме Ньютона с разделенными разностями; многочлены Чебышева, их свойства; минимизация остаточного члена погрешности интерполирования; тригонометрическая интерполяция; дискретное преобразование Фурье; наилучшее приближение в нормированном пространстве; существование элемента наилучшего приближения; Чебышевский альтернате, примеры; ортогональные многочлены; процесс ортогонализации Шмидта; запись многочлена в виде разложения по ортогональным многочленам, ее преимущества; рекуррентная формула для вычисления ортогональных многочленов; сплайны; экстремальные свойства сплайнов; построение кубического интерполяционного сплайна; простейшие квадратурные формулы прямоугольников, трапеций; квадратурные формулы Ньютона- Котеса; оценки погрешности этих квадратурных формул; квадратурные формулы Гаусса, их построение, положительность коэффициентов, коэффициентов, сходимость; составные квадратурные формулы, оценки погрешности; интегрирование сильно осциллирующих функций; вычисление интегралов в нерегулярных случаях; численное дифференцирование, вычислительная погрешность формул численного дифференцирования; правило Рунге оценки погрешности; основные задачи линейной алгебры, метод Гаусса; метод простой итерации, теорема о достаточном условии сходимости, необходимое и достаточное условие сходимости; метод простой итерации для симметричных положительно определенных матриц, оптимизация параметра процесса; процесс ускорения сходимости итераций; метод наискорейшего градиентного спуска; метод Зейделя; методы решения нелинейных уравнений метод бисекций, метод простой итерации и метод Ньютона ; метод разложения в ряд Тейлора решения задачи Коши для ОДУ, метод Эйлера и его модификации, методы Рунге-Кутта; конечно-разностные методы, понятие об аппроксимации, исследование свойств конечно-разностных схем на модельных примерах; основные понятия теории разностных схем аппроксимация, устойчивость, сходимость; аппроксимация, устойчивость и сходимость для простейшей краевой задачи для ОДУ второго порядка; методы решения системы ЛАУ с трехдиагональной матрицей метод стрельбы и метод прогонки ; метод конечных элементов; простейшие разностные схемы для уравнения переноса, спектральный признак устойчивости, примеры; простейшие разностные схемы для уравнения теплопроводности с одной пространственной переменной, явная и неявная схемы, схема с весами, устойчивость и аппроксимация схемы с весами, схема со вторым порядком аппроксимации; разностная схема для уравнения Пуассона в прямоугольнике, ее корректность; методы решения сеточной задачи Дирихле для уравнения Пуассона метод Гаусса, метод разложения в дискретный ряд Фурье, метод простой итерации ; численные методы решения интегральных уравнений второго рода; метод регуляризации решения интегральных уравнений первого рода. Естественнонаучная и гуманитарная культуры; научный метод; история естествознания; панорама современного естествознания; тенденции развития. Химические процессы, реакционная способность веществ. Эволюция Земли и современные концепции развития геосферных оболочек. Особенности биологического уровня организации материи; принципы эволюции, воспроизводства и развития живых систем; многообразие живых организмов - основа организации и устойчивости биосферы; генетика и эволюция. Предмет, основные цели и задачи математической экономики. Математическое моделирование экономических систем и явлений. Методика и этапы проведения математических исследований в экономике. Экономика как объект математического моделирования. Формализация предпочтения потребителя при выборе товаров. Функция полезности как критерий оценки товаров. Предельный анализ и понятие эластичности в теории потребления. Оптимизационная модель задачи потребительского выбора. Анализ влияния дохода и цен на спрос. Уравнение Слуцкого Пространство затрат и производственная функция. Предельный анализ и эластичность в теории производства. Математические модели задачи фирмы. Анализ влияния цен на объемы затрат и выпуска. Основное уравнение фирмы Моделирование ценообразования в монополии. Рыночный спрос и рыночное предложение. Описание общей модели Вальраса. Модель регулирования цен и устойчивость конкурентного равновесия Планирование выпуска на уровне отраслей Модель Леонтьева "Затраты-выпуск" Планирование производства в динамике Модель расширяющейся экономики Неймана Магистральные траектории в линейных моделях экономики Математическая модель олигополии. Краткий анализ других видов дуополии. Отображение геометрического объекта на плоскости; аппарат проецирования: Классические фракталы и самоподобие: Множества Жюлиа и Мандельброта и их компьютерное построение. Число Фейгенбаума и его универсальность. Кодирование изображений с помощью простых преобразований. Основные термины и понятия бухгалтерского учета. Основные разделы учета на предприятии. Основные свойства и приемы работы с программой "1С: Отражение хозяйственной деятельности предприятия за отчетный период в программе " 1С Бухгалтерия". Понятие информации, экономической информации. Форма представления экономической информации. Классификаторы, коды и технология их применения. Штриховое кодирование, технология и области применения. Этапы обработки экономической информации. Автоматизированные информационные технологии обработки экономической информации. Информационная технология и этапы ее развития. Концепция "новой информационной технологии". Развитие автоматизированной информационной технологии обработки экономической информации. Особенности технологии автоматизированной обработки экономической информации. Учреждения как центры обработки информации. Автоматизированное рабочее место АРМ , его назначение, виды, обеспечение функционирования. Телекоммуникация и информация Технологии передачи данных. Глобальные компьютерные сети в финансово- экономической деятельности. Правовое обеспечение информационной деятельности. Законодательство в области информации и информационных технологий. Предел и непрерывность функции одной переменной. Дифференцирование функций одной переменной. Исследование функции и построение её графика. Приложения и приближённые вычисления интеграла Римана. Предел последовательности в En и предел функции нескольких переменных. Дифференцирование функций нескольких переменных. Локальный экстремум условный и безусловный функции нескольких переменных. Бесконечные произведения, двойные и повторные ряды. Матрицы и операции над ними. Элементарные преобразования матриц и приведение их к ступенчатой форме. Определитель n-го порядка и его свойства. Теорема Лапласа и ее следствия. Линейные операции над векторами. Понятие вещественного линейного пространства. Линейная зависимость векторов и ее геометрический смысл. Теорема о базисном миноре и ее следствия. Система линейных алгебраических уравнений. Системы с квадратной невырожденной матрицей. Исследование систем общего вида. Прямая линия и плоскость: Евклидовы и унитарные векторные пространства: Понятие дифференциального уравнения; поле направлений, решения; интегральные кривые, векторное поле; фазовые кривые. Продолжение решений; линейные системы и линейные уравнения любого порядка; интервал существования решения линейной системы уравнения. Линейная зависимость функций и определитель Вронского; формула Лиувилля-Остроградского; фундаментальные системы и общее решение линейной однородной системы уравнения ; неоднородные линейные системы уравнения. Движение под действием центральной силы, законы Кеплера, движение по поверхности и кривой точка со связью , реакции связей, теорема об изменении энергии для несвободной точки, относительное движение и относительное равновесие точки со связью, вес тела на Земле. Кривизна плоских кривых, пространственные кривые, репер Френе, кривизна и кручение пространственных кривых, формулы Френе, натуральное уравнение кривой, Эволюта и эвольвента. Поверхности способы задания поверхностей, координаты на поверхности, касательная плоскость, первая квадратичная форма поверхности, площадь поверхности, кривизна кривых на поверхности, вторая квадратичная форма и ее свойства, инварианты пары квадратичных форм; средняя и гауссова кривизна поверхности; деривационные формулы, символы Кристоффеля поверхности, геодезическая кривизна, геодезические и их свойства. Пространство исходов; операции над событиями; алгебра и сигма-алгебра элементарных событий; измеримое пространство; алгебра борелевских множеств; аксиоматика А. Вероятностное пространство как математическая модель случайного эксперимента; теорема об эквивалентности аксиом аддитивности и непрерывности вероятности; дискретное вероятностное пространство; классическое определение вероятности; функция распределения вероятностной меры, ее свойства; теорема о продолжении меры с алгебры интервалов в Р на сигма-алгебру борелевских множеств; взаимнооднозначное соответствие между вероятностными мерами и функциями распределения; непрерывные и дискретные распределения; примеры вероятностных пространств. Случайные величины и векторы: Условная вероятность; формула полной вероятности; независимость событий; задача о разорении игрока; прямое произведение вероятностных пространств; схема Бернулли; предельные теоремы для схемы Бернулли. Общие сведения из общей топологии: Тензорный анализ на многообразиях. Тензоры на римановом многообразии: Связность и ковариантное дифференцирование: Дифференциальные формы и теория интегрирования: Метрические и топологические пространства: Мера и интеграл Лебега: Функции комплексного переменного и отображения множеств: Интеграл по комплексному переменному, его простейшие свойства, связь с криволинейными интегралами 1-го и 2-го рода; сведение к интегралу по действительному переменному; первообразная функция, формула Ньютона-Лейбница; переход к пределу под знаком интеграла; интегральная теорема Коши. Вывод уравнений колебаний струны, теплопроводности, Далласа; постановка краевых задач, их физическая интерпретация. Теорема Коши-Ковалевской; понятия характеристического направления, характеристики; приведение к каноническому виду и классификация линейных уравнений с частными производными второго порядка. Волновое уравнение; энергетические неравенства; единственность решения задачи Коши и смешанной задачи; вывод формул Кирхгофа и Пуассона, исследование этих формул; метод Фурье для уравнения колебаний струны, общая схема метода Фурье. Уравнения Далласа и Пуассона; формулы Грина; фундаментальное решение оператора Далласа; потенциалы; свойства гармонических функций; единственность решений основных краевых задач для уравнения Далласа ; функция Грина задачи Дирихле; решение задачи Дирихле для уравнения Далласа в шаре; единственность решения внешней задачи Дирихле; обобщенные решения краевых задач. Уравнение теплопроводности; принцип максимума в ограниченной области и единственность решения задачи Коши; построение решения задачи Коши для уравнения теплопроводности. Понятие корректной краевой задачи; примеры корректных и некорректных краевых задач. Статистические модели и основные задачи статистического анализа, примеры; экспоненциальные семейства; статистическое оценивание, методы оценивания; неравенство информации; достаточные статистики; условное распределение, условное математическое ожидание; улучшение несмещенной оценки посредством усреднения по достаточной статистике; полные достаточные статистики; наилучшие несмещенные оценки; теорема факторизации; линейная регрессия с гауссовыми ошибками; факторные модели; общие линейные модели; достаточные статистики в линейных моделях; метод наименьших квадратов, ортогональные планы; анализ одной нормальной выборки, доверительные интервалы; проверка статистических гипотез, основные понятия; лемма Неймана- Пирсона; равномерно наиболее мощные критерии, примеры; проверка линейных гипотез в линейных моделях; критерий К. Пирсона "хи-квадрат"; оценки наибольшего правдоподобия, состоятельность; понятие асимптотической нормальности случайной последовательности; асимптотическая нормальность оценок максимального правдоподобия; примеры преобразований, стабилизирующих экспертные оценки. Определение случайного процесса, конечномерные распределения; траектории; теорема Колмогорова о существовании процесса с заданным семейством конечномерных распределений без доказательства. Свойства многомерных гауссовских процессов; существование гауссовского процесса с заданным средним и корреляционной матрицей; свойства симметрии и согласованности. Винеровский процесс; критерий Колмогорова непрерывности траектории; следствие для гауссовских процессов. Пуассоновский процесс; построение пуассоновского процесса по последовательности независимых показательных распределений; определение Хинчина пуассоновского процесса. Пример стационарного, гауссовского, марковского процесса; примеры стационарных в широком смысле процессов. Цепи Маркова с непрерывным временем; уравнение Колмогорова-Чепмэна; прямые и обратные дифференциальные уравнения Колмогорова; время пребывания процесса в данном состоянии. Процессы гибели и размножения; связь с теорией массового обслуживания; применение к расчету пропускной способности технических систем. Элементы дифференциального исчисления и выпуклого анализа; гладкие задачи с равенствами и неравенствами; правило множителей Лагранжа; задачи линейного программирования и проблемы экономики; теорема двойственности; классическое вариационное исчисление; уравнение Эйлера; условия второго порядка Лежандра и Якоби; задачи классического вариационного исчисления с ограничениями; необходимые условия в изопериметрической задаче и задаче со старшими производными; классическое вариационное исчисление и естествознание; оптимальное управление; принцип максимума Понтрягина; оптимальное управление и задачи техники; методы решения задач линейного программирования; симплекс-метод; методы решения задач без ограничения; градиентные методы; метод Ньютона; методы сопряженных направлений; численные методы решения задач вариационного исчисления и оптимального управления. Предмет курса; краткий исторический обзор развития теории чисел; основные направления исследований и основные методы; влияние теории чисел на развитие других разделов математики; применение теоретико-числовых результатов в математике и ее приложениях; роль русских и советских математиков в развитии теории чисел; простые числа: Мера Лебега плоских множеств. Лебегово продолжение меры, произведение мер. Измеримые функции, свойства, сходимость последовательностей измеримых функций. Поточечная сходимость, сходимость по мере. Простые функции, измеримость простых функций, интеграл Лебега от произвольной измеримой функции. Теоремы Лебега, Леви, Фату. Интеграл по множеству бесконечной меры. Интеграл Лебега с переменным верхним пределом и его свойства. Сходимость в пространстве Д-основных функций. Регулярные обобщенные функции класса Д. Сходимость в пространстве Д-функций. Пространство обобщенных функций медленного роста. Свойства прямого и обратного преобразований Фурье обобщенных функций медленного роста. Функции на топологическом пространстве. Фактор-топология, группы, действующие на пространствах. Курс "Дополнительные главы дифференциальных уравнений с частными производными" посвящен методам исследования вопросов корректности математических моделей естественнонаучных явлений, которые приводят к задачам для дифференциальных уравнений с частными производными. Теоретической основой таких методов является функциональный анализ, обобщенные функции и пространства Соболева. Алгебра Ли группы Ли. Левые и правые сдвиги на группе Ли. Левоинвариантные векторные поля и их свойства. Примеры алгебр Ли матричных групп. Алгебра Ли группы вращений трехмерного пространства. Структурные константы алгебры Ли. Левоинвариантные формы на группе Ли и их свойства. Структурное уравнение группы Ли. Экспоненциальное отображение алгебры Ли. Нормальные координаты на группе Ли. Накрывающие пространства Подгруппы Ли. Неприводимые, вполне приводимые пространства. Разрешимые и нильпотентные алгебры Ли. Структура полупростых алгебр Ли. Качественная теория дифференциальных уравнений - это раздел классической теории дифференциальных уравнений, основным методом которой является изучение качественных свойств поведения дифференциальных уравнений без непосредственного построения самих решений. В этом и состоит значимость данной учебной дисциплины, поскольку известно, что явное аналитическое представление решения возможно только для очень узкого класса дифференциальных уравнений и систем. Настоящий курс посвящен вопросам исследования на устойчивость решений систем дифференциальных уравнений, изучения качественного поведения траекторий автономных систем в окрестности ее точек покоя, бифуркации точек покоя и циклов автономных систем дифференциальных уравнений. Эти вопросы имеют важное прикладное значение связанное с устойчивостью реальных объектов, моделируемых системами дифференциальных уравнений. Сравнительное описание различных систем, используемых для подготовки текстов естественно-научного характера. Команды, структуры и приемы оформления текстов в Латехе. Оформление таблиц, рисунков, графики. Управление размерами и типами шрифтов. Оформление библиографии и ссылок на ее элементы. Способы поиска и исправления ошибок. Способы перекодировки материалов, приготовленных в различных форматах и программах. Одними из интересных и важных примеров групп являются группы симметрий бесконечных фигур на плоскости или в пространстве. Бордюры, орнаменты, кристаллы - доставляют нам примеры таких фигур, группы симметрий которых представляют собой важный пример групп, называемых в литературе плоскими кристаллографическими группами. Методы симметричных систем защиты информации. Асимметричные системы защиты информации. Элементы криптографии на эллиптических кривых. Методы установления подлинности и целостности данных. Методы слабой аппроксимации решения многомерных задач математической физики. Данный курс посвящается методам построения и математического анализа численного решения прикладных задач. Этот метод является одним из основных экономичных разностных схем. Курс "Специальные математические модели" построен с позиции моделирования физических задач. При изучении данной дисциплины необходимым является владение основными методами уравнений дифференциальных уравнений и численного анализа; также является знакомство с методами моделирования объектов, рассматриваемых в различных областях практических знаний: Линейное пространство и сопряженное к нему. Базис пространства L2 V. Базис пространства Lp V. Альтернация форм и ее свойства. Сопряжённые отображения пространств p-форм и их свойства. Тензоры в евклидовом пространстве. Тензорные поля в области евклидова пространства. Векторные поля, скобка Ли. Локальные однопараметрические группы локальных преобразований, порождаемые векторными полями. Метрический тензор, римановы пространства, ковариантная производная, символы Кристоффеля. Дифференциальные p-формы в области евклидова пространства. Производная Ли векторного поля и дифференциальной формы. Равномерно сходящиеся асимптотические ряды. Регулярно зависящие от параметра краевые задачи. Алгебраические уравнения и краевые задачи, регулярно зависящие от параметра. Сингулярно зависящие от параметра краевые задачи. Алгебраические уравнения и краевые задачи, сингулярно зависящие от параметра. Метод пограничного слоя построения равномерных асимптотических разложений некоторых краевых задач, сингулярно зависящих от малого параметра. Тензоры кручения и кривизны линейной связности и их свойства. Выражения связности, тензоров кручения и кривизны в локальных координатах. Параллельный перенос линейной связности. Связность Леви-Чевита, ее существование. Геодезические и нормальные координаты. Тензор Риччи и скалярная кривизна. Первая и вторая фундаментальные формы. Формулы Гаусса и Вейнгартена. Выражение символов Кристоффеля через структурные константы. Голоморфные и биголоморфные отображения. Дифференциальные формы на многообразии. Формулы Мартинелли-Бохнера и Лере. Фундаментальные группы и накрытия. Римановы поверхности - определение и примеры. Группа гомологий и фундаментальная группа на римановой поверхности. Функции и абелевы дифференциалы на компактной римановой поверхности. Теорема Вейерштрасса о пробелах на компактной римановой поверхности. Линейные системы дивизоров и их базисные точки. Точки Вейерштрасса на компактной римановой поверхности. Компонентная организация системы "1С: Предприятие" Аппаратный ключ защиты. Подключение новой информационной базы к системе. Процедуры и функции программного модуля. Управляющие операторы, системные процедуры и функции языка 1С. Константы, перечисления и справочники. Отчеты и печатные формы. Объект "Счет", "Оперативный учет" и "Расчет". Оборотный регистр и регистр остатков. Работа с документами и формами. Таблица значений, оборотно-сальдовая ведомость, регламентированные отчеты. Квазилинейное уравнение с частными производными первого порядка; метод характеристик; нелинейные волны и явление "градиентной катастрофы". Сильные и слабые разрывы в решениях. Законы сохранения и проблема единственности решения задачи Коши. Обобщенное решение сильного разрыва ударной волны. Нелинейное уравнение первого порядка с двумя независимыми переменными. Полный, общий и особый интегралы. Касательные преобразования Лежандра и Коула-Хопфа. Дифференциальная факторизация; преобразования Лапласа. Объекты, классы и абстрактные типы данных. Линейный и двоичный поиск. Математические модели жидкой среды. Основные уравнения и упрощающие предположения. Размерностный подход к решению задач механики и жидкости. Нелинейные конформные отображения и их применение к задачам газовой динамики. Некоторые плоские задачи механики. Парадоксы в схеме идеальной жидкости. Задачи со свободными границами. Этапы создания документа в LaTeX. Целые и мероморфные функции, формула Кристоффеля - Шварца, проблема коэффициентов, уравнение Левнера, метод Куфарева. Действия групп на множествах. Внешние дифференциальные системы уравнений. Метод подвижного репера Линейчатые поверхности. Проблема воспитания интереса к математике на уроке. Необходимые условия и антистимулы. Поиск способов заинтересовать учащихся при изучении конкретных тем школьной математике. Предмет и методы механики сплошных сред. Математический аппарат механики сплошных сред. Представление движения сплошной среды. Законы сохранения в механике. Простейшие модели механики сплошных сред идеальная и вязкая жидкости. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Постановка краевых задач для ОДУ. Функция Грина и ее свойства. Собственные функции и собственные значения. Связь краевых задач с теорией интегральных уравнений. Уравнения движения несжимаемой жидкости. Вихревые и потенциальные плоские течения. Задачи обтекания твердых тел. Волновое движение идеальной жидкости. Основные понятия и математический аппарат теории разностных схем. Разностные схемы для стационарных уравнений. Разностные схемы для нестационарных уравнений. Некоторые вопросы функционального анализа. Вариационные неравенства в конечномерных пространствах. Вариационные неравенства в гильбертовом пространстве. Вспомогательные сведения из функционального анализа. Вариационная постановка и исследование задач со свободной границей. Методы решения алгебраических соотношений на основе принципа равносильности. Векторная алгебра и декартов метод как основные формализованные методы решения задач школьной геометрии. Психолого-педагогические основы организации внеклассной работы по математике. Основные цели, принципы и формы внеклассной работы по математике. Системы нестандартных задач по математике для кружковой работы. Арифметические методы решения задач. Алгебраические методы решения задач. Основы ведения внеурочной работы по математике. Точки экстремума функции одной переменной. Производная, ее геометрический и физический смысл. Необходимое и достаточное условие экстремума функции одной переменной. Решение задач на экстремум, зависящих от параметра. Приложение производной к доказательству неравенств и тождеств и решению функциональных уравнений. Доказательство неравенств и тождеств. Решение функциональных уравнений с помощью производной. Доказательство неравенств, тождеств и утверждений методом математической индукции. Решение алгебраических уравнений, сводящихся к уравнениям второй, третьей и четвертой степени. Доказательство неравенств и тождеств с помощью метода математической индукции. Предмет методики преподавания математики. Цели изучения математики в средней школе. Анализ программы по математике. Анализ и синтез в обучении математике. Математические понятия, предложения, доказательства. Задачи в обучении математике. Функции и графики, элементы дифференциального интегрального исчисления. Принципы построения школьного курса геометрии. Взаимное расположение прямых и плоскостей. Зарождение математики от древнейших времен до средних веков Египет, Греция, Арабский мир. Дифференциация математики в средние века Италия, Франция. Синтез алгебры и геометрии у Декарта. Становление современной алгебры и геометрии в 19 веке. Интеграционные процессы в современной математике. Аксиоматика школьных учебников по геометрии. Отдельные главы алгебра, начал анализа и геометрии: Активизация учебной деятельности школьников, активные методы обучения, их классификация, средства активизации, различные формы урока. Активизация учебной деятельности на факультативах. Особенности работы в классах с углубленным изучением математики. Введение в технические средства построения информационных систем и сетей передачи данных. Правовые основы деятельности по защите информации. Этапы создания информационных систем. Безопасность основных информационных ресурсов. Организационные средства обеспечения безопасности. Система стандартов для разработки и обеспечения качества программных систем. Проектирование информационного ресурса с использованием языков НТML и JavaScript. Предмет курса, обработка психологической информации, методы непараметрической статистики, корреляционный анализ для различных шкал измерения, многомерный анализ психологических исследований. Решение нестандартных задач алгебры и геометрии. Методика выполнения тестов по математике. Теоретические основы безопасности жизнедеятельности в системе "человек - среда обитания"; правовые, нормативно-технические и организационные основы безопасности жизнедеятельности; основы физиологии человека и рациональные условия деятельности; анатомо-физиологические последствия воздействия на человека травмирующих, вредных и поражающих факторов; идентификацию травмирующих, вредных и поражающих факторов чрезвычайных ситуаций; средства и методы повышения безопасности, экологичности и устойчивости технических средств и технологических процессов; методе прогнозирования чрезвычайных ситуаций и разработки моделей их последствий.
Мотовилихинские заводы новости
Шейка матки москва
Грибковые заболевания профилактика
Питьевая сода и перекись водорода
Casio инструкция по эксплуатации на русском