Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы — это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами. Эти правила обязательно надо знать — без них не решается ни одна серьезная логарифмическая задача. К тому же, их совсем немного — все можно выучить за один день. Рассмотрим два логарифма с одинаковыми основаниями: Тогда их можно складывать и вычитать, причем:. Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность — логарифму частного. Если основания разные, эти правила не работают! Эти формулы помогут вычислить логарифмическое выражение даже тогда, когда отдельные его части не считаются см. Взгляните на примеры — и убедитесь:. Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы: Основания одинаковые, используем формулу разности: Снова основания одинаковые, поэтому имеем: Но после преобразований получаются вполне нормальные числа. На этом факте построены многие контрольные работы. Да что контрольные — подобные выражения на полном серьезе иногда — практически без изменений предлагаются на ЕГЭ. Теперь немного усложним задачу. Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:. Несложно заметить, что последнее правило следует их первых двух. Но лучше его все-таки помнить — в некоторых случаях это значительно сократит объем вычислений. Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: Именно это чаще всего и требуется. Избавимся от степени в аргументе по первой формуле: Заметим, что в знаменателе стоит логарифм, основание и аргумент которого являются точными степенями: Думаю, к последнему примеру требуются пояснения. До самого последнего момента мы работаем только со знаменателем. Теперь посмотрим на основную дробь. В числителе и знаменателе стоит одно и то же число: По правилам арифметики, четверку можно перенести в числитель, что и было сделано. В результате получился ответ: Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. А что, если основания разные? Что, если они не являются точными степенями одного и того же числа? Пусть дан логарифм log a x. Эти формулы редко встречается в обычных числовых выражениях. Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств. Впрочем, существуют задачи, которые вообще не решаются иначе как переходом к новому основанию. Заметим, что в аргументах обоих логарифмов стоят точные степени. Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, мы спокойно перемножили четверку и двойку, а затем разобрались с логарифмами. Основание и аргумент первого логарифма — точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:. Часто в процессе решения требуется представить число как логарифм по заданному основанию. В этом случае нам помогут формулы:. В первом случае число n становится показателем степени, стоящей в аргументе. Число n может быть абсолютно любым, ведь это просто значение логарифма. Вторая формула — это фактически перефразированное определение. Она так и называется: В самом деле, что будет, если число b возвести в такую степень, что число b в этой степени дает число a? Подобно формулам перехода к новому основанию, основное логарифмическое тождество иногда бывает единственно возможным решением. Учитывая правила умножения степеней с одинаковым основанием, получаем:. В заключение приведу два тождества, которые сложно назвать свойствами — скорее, это следствия из определения логарифма. Вот и все свойства. Обязательно потренируйтесь применять их на практике! Скачайте шпаргалку в начале урока, распечатайте ее — и решайте задачи. ЕГЭ ОГЭ Мои курсы Вебинары Школьникам Студентам Блог Обо мне Основные свойства логарифмов 2 февраля Материалы к уроку Скачать все формулы Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Сложение и вычитание логарифмов Рассмотрим два логарифма с одинаковыми основаниями: Тогда их можно складывать и вычитать, причем: Взгляните на примеры — и убедитесь: Вынесение показателя степени из логарифма Теперь немного усложним задачу. Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам: Переход к новому основанию Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы: Запишем это и избавимся от показателей: В этом случае нам помогут формулы: Учитывая правила умножения степеней с одинаковым основанием, получаем: Логарифмическая единица и логарифмический ноль В заключение приведу два тождества, которые сложно назвать свойствами — скорее, это следствия из определения логарифма. Запомните раз и навсегда: Основание a может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица — логарифм равен нулю!
Новости в дагестане на сегодня свежие аварии
Эксель вставить значение
Как можно украсить кроватьсвоими руками