Технология расчета электромагнитных полей численными методами
Лейтес Л. В. Электромагнитные расчеты трансформаторов и реакторов
дипломная работа Радиолокационные установки
Архитектура- Астрономия- Биология- Биотехнологии- Военное дело- Высокие технологии- География- Геология- Государство- Демография- Дом- Журналистика и СМИ- Изобретательство- Иностранные языки- Информатика- Искусство- История- Компьютеры- Косметика- 55 Кулинария- Культура- Лингвистика- Литература- Маркетинг- Математика- Машиностроение- Медицина- Менеджмент- Механика- Науковедение- Образование- Охрана труда- Педагогика- Полиграфия- Политика- Право- Приборостроение- Программирование- Производство- Промышленность- Психология- Религия- Связь- Сельское хозяйство- Социология- Спорт- Строительство- Торговля- Транспорт- Туризм- Физика- Философия- Финансы- Химия- Экология- Экономика- Электроника- Электротехника- Энергетика- Юриспруденция- Ядерная техника- ПРИ СЛОЖНЫХ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЯХ. Квазистационарные переменные токи характеризуются тем, что в каждый момент времени создают такое же пространственное распределение магнитного поля, как постоянные стационарные токи. Изменяющийся во времени ток распределен внутри проводников по не заданному наперед закону, поэтому для квазистационарного электромагнитного поля функция подлежит определению. Принимаем только в объеме, где. Сопоставление уравнений и позволяет записать соотношение, связывающее напряженности Н, искомого и вспомогательного полей, , переходящее в диэлектрике в уравнение. Для получения уравнения, связывающего и потенциал u, можно вычислить rot обеих частей соотношения , следующего из уравнения: Учитывая, что , находим. В это уравнение наряду с входит и скалярный магнитный потенциал u, для получения уравнения относительно которого используем условие:. Обозначая , можно записать, что скалярный магнитный потенциал удовлетворяет внутри проводника уравнению и вне его уравнению. Таким образом, искомые переменные , u внутри проводящей среды можно найти, решая систему уравнений. В точках, где плотность вихревых токов ,. Решив систему 1 , можно найти лишь три независимые функции, поскольку ее второе уравнение следует из первого. Поэтому ее можно дополнить условием , где — произвольная функция. Краевые условия относительно скалярного магнитного потенциала записывают на границе расчетной области, а для функции — на поверхности проводящего массива. При расчете трехмерного поля, когда плотность J вихревого тока имеет все три составляющие, вектор также может содержать три составляющие. Тогда функцию внутри проводящего массива можно выбрать произвольно. Если же принять, что одна из составляющих вектора равна нулю что возможно даже если J — трехмерный вектор , то функцию задать произвольно нельзя. Краевые условия для в этих двух случаях записываются по-разному. Рассмотрим способы введения вектора подробнее. Случай, когда составляющие не равны нулю. Выберем функцию так, чтобы в наибольшей мере упростить вид уравнений системы 1. Учитывая, что , первое уравнение системы 1 можно записать в виде. Если принять , то для однородного проводящего массива система уравнений 1 преобразуется к виду. Число искомых скалярных функций равно четырем внутри проводящих массивов три составляющие вектора и скалярный магнитный потенциал u и одной потенциал u вне их. Таким образом, путем введения скалярного магнитного потенциала в области, где плотность вихревого тока не равна нулю, достигается существенное упрощение задачи, так как вне объемов с вихревыми токами для расчета поля достаточно определить скалярный, а не векторный потенциал. Если отказаться от принятого условия и допустить, что всюду, за исключением точек поверхности проводящего массива, где , то можно упростить задачу определения значений. В этом случае можно принять ; и, учитывая , записать краевое условие для в виде. При этом уравнения для переменных и u в точках внутри проводника образуют систему. Так как на поверхности проводника , а вне его , то это эквивалентно размещению на поверхности проводника простого слоя магнитных зарядов с поверхностной плотностью. Нормальная производная скалярного магнитного потенциала имеет на поверхности S разрыв, равный. При таком способе задания функции число уравнений внутри проводника равно четырем для трех составляющих вектора и скалярного магнитного потенциала u , но одновременно решение упрощается за счет возможности явного задания краевых условий для ,. Число рассчитываемых внутри проводящих массивов скалярных функций можно уменьшить, если принять и. В результате представления потенциала в виде 5 число искомых скалярных функций, определяемых внутри проводящего массива, можно уменьшить до двух. Переменные , связаны с потенциалом u на поверхности проводящего массива граничными условиями , которые можно записать через переменные u, , , учитывая, что. Введение скалярных функций , позволяет рассчитать квазистационарное электромагнитное поле с помощью минимально возможного числа уравнений: Изложенный способ пригоден для решения только тех задач, в которых проводящие массивы однородны. Кроме того, хотя число подлежащих решению уравнений невелико, такой подход требует дополнения уравнений относительно переменных u, , уравнениями, выражающими граничные условия сопряжения. Так как напряженность поля выражается через вторую производную функции , то и граничное условие сопряжения также содержит слагаемое , что усложняет численное решение задачи. Случай, когда одна из составляющих равна нулю. В число скалярных функций, которые следует рассчитать в точках внутри проводников, входят скалярный магнитный потенциал и две составляющие вектора. Вне объемов с вихревыми токами поле описывается скалярным магнитным потенциалом. Наложенное на вектор ограничение задание его в виде, обусловливающем равенство нулю одной из его составляющих не позволяет выбрать произвольной функцию. Поэтому при записи уравнений 1 для в принятой системе координат функцию следует выразить в этой системе. Так, в прямоугольной системе координат. Уравнения, которым удовлетворяют искомые составляющие , следуют из На поверхности S проводящего массива решается уравнение 1 , записанное в проекциях на направления нормали и касательной этой поверхности:. Граничные условия на поверхности S выполняются, так как любых значениях , скалярный магнитный потенциал имеет разрыв своей нормальной к S производной здесь располагается простой слой магнитных зарядов плотностью и касательной производной , равной. Для получения единственного решения задачи может быть задано равным нулю в произвольной точке поверхности проводящего массива. Если S — сечение проводника , то в этой точке следует поместить линейный ток , который можно заменить эквивалентным ему двойным слоем магнитных зарядов. Уравнения 7 совместно с уравнением, описывающим скалярный магнитный потенциал, образуют систему, позволяющую рассчитать электромагнитное поле и плотность вихревых токов в проводящем массиве с учетом как анизотропных, так и нелинейных свойств его материала. Рассмотренный метод расчета квазистационарного электромагнитного поля аналогичен методу, основанному на использовании другой пары потенциалов: Применение этих потенциалов приводит к необходимости решения системы уравнений. Учитывая, что на поверхности S массива, исходя из допущения , где n — нормаль к поверхности S, можно записать , потенциал определяют только внутри и на поверхности проводника. В соответствии с этим методом внутри проводящего массива расчету подлежат четыре три составляющие потенциала А и скалярный электрический потенциал , а вне его — три составляющие потенциала А скалярные функции. При использовании переменных и векторного потенциала тока и скалярного магнитного потенциала в общем случае необходимо решить уравнения 1 внутри проводящих массивов, т. Однако трудоемкость расчета снижается, во-первых, потому, что в пространстве вне проводящих массивов, используют только скалярный магнитный потенциал и, во-вторых, появляется возможность записи краевого условия для вектора в простом виде: Применение скалярного магнитного потенциала для расчета поля вне проводящих массивов позволяет легко учесть неоднородность сред и нелинейные свойства ферромагнитных материалов, что связано с серьезными трудностями при использовании векторного магнитного потенциала. Преимущества метода могут возрасти еще в большей мере, если для определения поля в проводящих массивах перейти к расчету двух скалярных функций , либо двух составляющих вектора и скалярного магнитного потенциала. При расчете стационарных и квазистационарных полей известные способы получения уравнений метода конечных элементов приводят к алгебраическим уравнениям одного и того же вида. В то же время применение вариационного подхода к решению уравнений с несимметричными операторами, например, при расчете квазистационарных полей, формально не обосновано так же строго, как использование метода невязок метода Галеркина. Учитывая, что метод невязок можно применить для получения уравнений не только при расчете стационарных и квазистационарных гармонических, но и переменных полей, целесообразно с единых позиций использовать этот путь получения алгебраических уравнений метода конечных элементов. В соответствии с методом невязок для решения уравнения. Для любого значения i интеграл 8 в прямоугольной системе координат можно представить в виде суммы трех интегралов:. Интеграл можно преобразовать с помощью формулы Грина:. Для получения системы алгебраических уравнений относительно узловых переменных в 9 — 11 следует подставить , приравнять к нулю сумму для каждого значения i. С этой целью расчетную область представляют в виде совокупности элементов, площади которых , и записывают интегралы 10 — 12 в виде. Нетрудно убедиться в том, что при записи второго интеграла 12 в виде коэффициенты выражают через базисные функции. Интеграл I можно записать в матричной форме. Для расчета следует подставить в Если рассматривать как элементы матрицы , то можно записать. Первый интеграл в 12 определяется граничным условием второго рода на контуре l расчетной области. Если функция задана, то он не зависит от искомых узловых переменных и принимает значение. Коэффициенты образуют матрицу D: В тех случаях, когда функция на контуре l неизвестна, интеграл зависит от узловых переменных и его можно представить в виде. Уравнения метода Галеркина можно записать, подставив в 8 выраженные через потенциалы значения интегралов:. Рассмотрим особенности расчета нестационарного электромагнитного поля методом конечных элементов. В соответствии с методом невязок уравнения относительно искомых значений можно записать так:. Так как оно отличается от рассмотренных ранее наличием слагаемого , то при замене площади S совокупностью элементов площади и переходе к алгебраическим уравнениям можно получить те же уравнения, что и при расчете стационарных полей, но дополненные слагаемым, соответствующим последнему интегралу в Если ввести матрицы В и с элементами — и , то система уравнений для узловых переменных примет вид. Уравнение 16 записывают относительно: Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Методы отдельных навесок и пипетирования. Аддитивный подход расчета физико-химических свойств углеводородных газов Амортизация основных средств и методы ее начисления в целях бухгалтерского учета. Амортизация основных средств и методы ее начисления в целях налогового учета. Аналитический учет материалов на складах и в бухгалтерии. Методы аналитического учета материалов Аппаратные методы защиты Асептика и антисептика. Определение понятий, методы, область применения. Биохимические методы переработки и использования отходов производства и потребления В остальном методы защиты не отличаются от защиты от ЭМП промышленной частоты. Некоторые методы, используемые при изучении мотивации. Главная Случайная страница Контакты Спросить на ВикиКак. В это уравнение наряду с входит и скалярный магнитный потенциал u, для получения уравнения относительно которого используем условие: Главная Случайная страница Контакты Спросить на ВикиКак END RotaBan. Уравнения, которым удовлетворяют искомые составляющие , следуют из 1: На поверхности S проводящего массива решается уравнение 1 , записанное в проекциях на направления нормали и касательной этой поверхности: Уравнения метода Галеркина можно записать, подставив в 8 выраженные через потенциалы значения интегралов: В соответствии с методом невязок уравнения относительно искомых значений можно записать так:
Метод расчета электромагнитного поля в задачах микроэлектроники. Получена 8 июня г. Предлагается метод расчёта электромагнитного поля, описываемого волновым уравнением, учитывающий особенности радиоэлектроники и ориентированный на оценку перекрёстных наводок в коммуникационных проводниках радиоэлектронных модулей. Метод основан на использовании эквивалентной постоянной распространения и позволяет снизить объём вычислений по сравнению с другими методами, основанными на строго динамическом подходе и использующими пространственную дискретизацию моделируемого объекта или интеграл Зоммерфельда. Проводится оценка области корректного использования метода. A method of computation of the electromagnetic field described with the wave equation is offered with respect to the peculiarities of radio electronics. The method is based upon the employment of the equivalent propagation constant and is oriented at the estimation of crosstalk in the conductors of radio electronic units. It enables to diminish the amount of computation if compared to other techniques based upon the strict dynamical approach and employing the spatial discretization of the object simulated or the Sommerfeld integral. The applicability domain of the method is assessed. Оценка паразитных электромагнитных эффектов ПЭМЭ в радиоэлектронных модулях — актуальная наукоёмкая задача, требующая соответствующего научно-методического обеспечения. Получить удовлетворительное решение этой задачи возможно лишь при разработке изделий радиоэлектроники средствами комплексной САПР на основе маршрута проектирования, который был предложен в [ 1 ]. Он предполагает экстракцию эквивалентной электрической схемы проектируемого модуля, которая, помимо элементов принципиальной схемы, включает элементы, моделирующие ПЭМЭ. Экстракция проводится в автоматическом режиме. Для оценки влияния ПЭМЭ проводится расчёт выходных электрических характеристик средствами подсистемы схемотехнического проектирования. Недостаток такого подхода — слишком высокая размерность решаемой задачи, неадекватная возможностям современных вычислительных средств широко доступного класса. Имеется настоятельная необходимость снижения вычислительной ёмкости используемого решения. Решение задачи учёта влияния ПЭМЭ проводится или на основе прямых расчётов электромагнитного поля, или на основе использования схем замещения, включающих частотонезависимые активные сопротивления, ёмкости и индуктивности. Однако при использовании таких схем замещения погрешность моделирования ПЭМЭ имеет две составляющие. Во-первых, это — погрешность за счёт использования для моделирования поля реактивностей, которые рассчитываются через статическую составляющую поля, превалирующую в ближней зоне, но быстро убывающую с расстоянием. Моделирование наводок через взаимные ёмкости и индуктивности в классичекой трактовке этих понятий принципиально не учитывает полe излучения и полe переходной зоны. Это может привести к недопустимо высокой погрешности при проектировании устройств субнаносекундного диапазона, поэтому паразитные ёмкости и индуктивности целесообразно использовать только для моделирования распространения поля вдоль коммутационных проводников для расчёта времени задержки, волнового сопротивления и т. Для моделирования взаимного влияния проводников следует использовать иные математические модели, учитывающие все составляющие поля, в том числе поле излучения. Во-вторых, это — погрешность, обусловленная пространственной дискретизацией системы с распределёнными параметрами, состоящей из объекта — источника помехи, объекта — приёмника помехи и канала распространения электромагнитной энергии. Эта дискретизация неминуемо приводит к использованию цепочечных схем замещения, причём для обеспечения приемлемой точности степень дискретизации и число звеньев цепочечных эквивалентных схем приходится увеличивать настолько, что размерность задачи становится недопустимо большой. Промежуточное положение занимает известный метод, основанный на использовании теории связанных линий с распределёнными параметрами. Этот метод не предполагает пространственную дискретизацию моделируемого объекта, имеет относительно небольшую вычислительную ёмкость [1] , однако электромагнитная связь линий моделируется также через взаимные ёмкость и индуктивность, что принципиально и неизбежно ограничивает область корректного использования метода по частотному диапазону. По-видимому, продолжение попыток решать проблему оценки наводимых помех прежними методами через расчёт взаимных емкостей и индуктивностей в классической трактовке этих понятий, с использованием пространственной дискретизации или без неё для решения проектных задач большой размерности бесперспективно. Приемлемое решение необходимо искать на пути прямого использования методов теории электромагнитного поля, органично учитывающих распределённый характер конструктива и позволяющих построить модели, область корректного использования которых не ограничена ближней зоной. Как ЭДС такого генератора, так и параметры элементов эквивалентной схемы следует рассчитывать по формулам, которые должны быть получены с помощью интегрирования всех составляющих а не только статической составляющей электромагнитного поля источника помехи по его объёму, как в [ 3 ]. При таком подходе индуцированная ЭДС и значения параметров являются интегральными характеристиками системы, состоящей из источника, рецептора помехи и канала паразитной связи. Для количественной оценки помехи пространственная дискретизация такой системы совершенно не обязательна. Однако, хорошо известные методы расчёта поля, использующие пространственную дискретизацию моделируемого объекта на мелкой сетке метод граничных элементов, метод моментов и др. Необходим иной подход, учитывающий особенности радиоэлектроники. Вычислительную ёмкость задач можно значительно снизить, если использовать электродинамический подход на основе метода эквивалентной постоянной распространения ЭПР , предложенный в [ 4 ]. В этом случае функция Грина , которая является решением волнового уравнения, для слоистой среды описывается выражением того же вида, что и для однородной среды: Выражение 1 может использоваться не только для описания распространения поля в азимутальном направлении, но и перпендикулярно границам раздела слоёв. Поле в слое, где расположен источник помехи, определяется, в основном, физическими характеристиками этого слоя; поле вблизи границы раздела определяется, в основном, физическими характеристиками слоёв, прилегающих к границе раздела. Влияние остальных слоёв существенно ниже, особенно на малых азимутальных расстояниях r , характерных для микроэлектроники. Поэтому влияние неприлегающих слоёв можно смоделировать в квазистационарном приближении, считая слои тонкими. Частотные характеристики предлагаемой математической модели. Идея описания электромагнитного процесса динамической математической моделью, один из параметров которой рассчитывается в квазистационарном приближении, не нова. Этот приём был использован, например, для описания электромагнитных процессов в линиях с распределёнными параметрами с помощью уравнения Гельмгольца [ 9 ]. Решение этого уравнения хорошо известно. Оно описывает распространение падающей и отражённой волн в канале распространения электромагнитной энергии, включающем проводни к, и представляет собой сумму двух слагаемых с экспоненциальной зависимостью от расстояния. Показатели экспонент отличаются знаком и вычисляются через распределённые параметры линии, в том числе — через ёмкость и индуктивность, которые рассчитываются на основе решения уравнений Лапласа для потенциалов электрического и магнитного полей, т. Тем не менее, полученная математическая модель эффективно используется в весьма широком диапазоне частот. На этой основе была построена мощная теория, известная как теория линий с распределёнными параметрами, область корректного применения которой весьма обширна и давно известна. Корректность использования указанного приёма для описания аналогичных процессов в канале распространения электромагнитной энергии, не содержащем проводник, обсуждалась в [ 7 ]. Рассмотрим точностные характеристики математической модели 1 более подробно, проведя оценку степени её адекватности на примере задачи, допускающей строгое решение. Именно через поле горизонтального диполя вычисляются помехи в коммутационных проводниках микросхем и печатных плат. Кроме того, именно поле горизонтального источника на плоской границе полупространств является главной то есть наиболее весомой составляющей поля в слоистой среде, особенно на малых расстояниях, характерных для микроэлектроники [ 8 ]. Как известно [ 9 ,с. Выделив модуль и аргумент, это выражение можно представить в виде. В соответствии с методом ЭПР поле на плоской границе полупространств описывается выражением. Представляет особый интерес частотная зависимость модуля и аргумента фазы вектор-потенциала на нижних частотах. Представленные на этих рисунках зависимости являются типичными. Для снижения влияния погрешности округления вычисления проводились с учётом 32 десятичных знаков мантиссы каждого операнда. Анализ и обобщение результатов вычислительного эксперимента по исследованию частотной зависимости погрешности моделирования позволяют сделать следующие выводы. Ч астотная зависимость относительной погрешности моделирования фазы в области нижних частот, строго говоря, немонотонна, хотя с ошибкой в несколько десятых долей процента эту погрешность можно считать постоянной не зависящей от частоты вплоть до частоты, при которой обеспечивается набег фазы. До указанной частоты эта погрешность составляет единицы процентов и при дальнейшем увеличении частоты происходит быстрое увеличение относительной погрешности моделирования фазы по абсолютной величине. Однако, оставаясь ограниченной, эта погрешность с ростом частоты изменяется также немонотонно, проходя через ноль и меняя знак. Рабочая область метода ЭПР. Сформированная таким образом рабочая область при самых различных сочетаниях параметров соответствует монотонному участку изменения ошибки моделирования, который предшествует участку быстрого увеличения относительной погрешности по абсолютной величине. Границы заштрихованных областей соответствуют пятипроцентному в обе стороны от номинального значения разбросу значений диэлектрической проницаемости материала платы. Поскольку влияние технологического разброса размеров проводников и значений остальных параметров математической модели конструкции весьма мало по сравнению с влиянием названного фактора, можно сделать вывод о том, что метод ЭПР устойчив к технологическому разбросу значений параметров. Анализ и обобщение результатов вычислительного эксперимента, проведённого для проводников, часть которых представлена на рис. Предлагаемый метод ЭПР позволяет моделировать поле далеко за пределами области квазистационарного приближения. Он приводит к математическим моделям, которые несколько уступают моделям, использующим строго динамический подход и пространственную дискретизацию моделируемого объекта, по диапазону рабочих частот, значительно превосходя их по экономичности требуемому расходу машинного времени и требуемой ёмкости оперативной памяти. ООО "Группа ИТД", Математическая модель конструкции микросхемы. Область корректного использования метода эквивалентной постоянной распространения. Конников Получена 8 июня г. При решении названной проблемы основной акцент должен быть сделан не на изучение условий приёмопередачи, как требуется в радиотехнике, а на количественную оценку напряжений или токов помехи от конкретного источника. Важной особенностью этой проблемы является существенно большее, чем в радиотехнике, количество источников и приёмников поля, учитываемых при анализе, что проявляется в более высокой размерности подлежащих решению частных задач радиоэлектроники. Слоистые среды радиоэлектроники отличаются более правильной формой границ раздела слоёв и имеют другие электрофизические свойства слоёв по сравнению с естественной средой распространения радиоволн, что часто не позволяет вводить используемые в радиотехнике допущения. В то же время свойства используемых в радиоэлектронике изоляционных материалов нередко позволяют пренебречь активной проводимостью канала распространения электромагнитной энергии fhf , что значительно упрощает расчёт поля. С другой стороны, расстояния и размеры объектов радиоэлектроники особенно микроэлектроники принципиально меньше, чем расстояния и размеры объектов радиотехники и поэтому характеризуются меньшей электрической длиной. Следовательно, квазистационарное приближение при разработке математических методов, моделей, алгоритмов, расчёте помех и анализе электромагнитной совместимости, вообще говоря, является в радиоэлектронике более корректным, и это является главным методическим отличием решения задач радиоэлектроники от задач радиотехники, сходных по постановке и характеру электромагнитных процессов. В частности, важнейшей особенностью слоистых сред радиоэлектроники являются их малые по сравнению с длиной волны поперечные размеры, поэтому математическое моделирование слоистости среды при расчёте поля в микросхемах и на печатных платах вполне допустимо и целесообразно проводить в квазистационарном приближении, считая слои тонкими. Решение ориентировано на проектные задачи большой размерности с максимальным использованием аналитических методов, реализуемых заранее при разработке соответствующего математического и программного обеспечения, в отличие от ориентации на численные методы, предполагающие проведение основного, причём гораздо большего, объёма вычислений в процессе моделирования. Выделив модуль и аргумент, это выражение можно представить в виде , где главное значение аргумента , , , а модуль. Границы заштрихованных областей соответствуют пятипроцентному в обе стороны от номинального значения разбросу значений диэлектрической проницаемости материала платы или подложки подстилающего слоя.
Сонник ванги крысы
Устав частного учреждения образец
Оригами из модулей голубь схема
1 10 сколько градусов
Сколько стоит железобетонная плита