Методы решения ОДУ.
Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
Занятие № 16. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Классификация методов. Метод Пикара.
Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
Занятие № 16. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Классификация методов. Метод Пикара.
РЕШЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Решение задачи Коши является частным решением уравнения 1 при условии 2. Достаточные условия существования и единственности задачи Коши содержатся в следующей теореме. То есть метод Эйлера имеет довольно низкую точность, как и метод левых прямоугольников. Это наиболее распространенный метод решения задачи Коши. Вычислим интеграл в 3 по формуле Симпсона. На участках плавного изменения решения счет можно вести с достаточно крупным шагом. На участках, где происходят резкие изменения поведения решения, необходимо выбирать более мелкий шаг интегрирования. Обычно начальное значение шага задает пользователь. Далее шаг интегрирования меняется в соответствии с величиной, получаемой в ходе вычислений оценки погрешности. Изменение шага для методов Рунге - Кутты сложности не представляет. Оценить погрешность достаточно сложно, так как простые способы оценки погрешности отсутствуют. Вывод формулы аналогичен выводу формулы для правила Рунге в методах численного интегрирования. Данная оценка достаточно грубая и тем точнее, чем выше порядок точности метода. Условия существования и единственности решения данной задачи Коши такие же , как и для ОДУ первого порядка:. Формулы метода Рунге-Кутта 4-го порядка для системы двух уравнений:. Задача Коши для систем ОДУ высших порядков преобразуется к задаче Коши для системы ОДУ первого порядка. Методы Рунге - Кутта, в которых для нахождения значения функции в новой точке используется информация только об одной предыдущей точке. Численные методы, в которых для нахождения значения функции в новой точке используется информация о нескольких предыдущих точках. В качестве интерполяционного полинома можно взять, например, полином Лагранжа степени m. В зависимости от степени полинома мы получим различные методы решения ОДУ. В начале вычислений известна информация только в точке x 0 , тогда как необходима информация еще в нескольких точках: Существуют также неявные модификации методов Адамса. Они предназначены в первую очередь для решения жестких ОДУ. Численное решение дифференциальных уравнений 1. Задача Коши Формулировка задачи Коши для ДУ первого порядка:
Боинг 735 500 схема салона
Правило лопиталя раскрытия неопределенностей
50 поликлиника красносельского района расписание врачей
Салехард на карте россии яндекс
Концепции прав и свобод человека и гражданина
Подробная карта австралии