Aufgabe 15 der UE Wahrscheinlichkeitstheorie

Beispiel 15.ipynb

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    "# Beispiel 15"
   ]
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    "Beim Zahlenlotto 6 aus 45 interessieren wir uns für die Situation von Zwillingszahlen in Ziehungen. Es ist $\\Omega = Kom^{45}_6(oW)=\\{(a_1,\\dots,a_6),1 \\leq a_1 < \\dots < a_6 \\leq 45\\}$. Weiters betrachten wir die Menge aller 6-Tupel mit Elementen $b = (b_1,\\dots , b_6)$, die für jedes $a\\in \\Omega$ gegeben sind durch $b_1 = a_1$, $b_2 = a_2 - 1$, $b_3 = a_3 - 2$, $\\dots$, $b_6 = a_6-5$, genauso wie diese in der Vorlesung defniert wurden.\n",
    "***"
   ]
  },
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    "Zuerst definieren wir zwei Funktionen welche einer Liste von $a_i$'s die entsprechenden $b_i$'s zuordnet und die dazugehörige Umkehrfunktion."
   ]
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    "def b(a):\n",
    "    '''Transformiere Folge von a_i in Folge von b_i'''\n",
    "    return [a[i]-i for i in range(len(a))]\n",
    "\n",
    "def a(b):\n",
    "    '''Transformiere Folge von b_i in Folge von a_i'''\n",
    "    return [b[i]+i for i in range(len(b))]"
   ]
  },
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   "source": [
    "## (a)\n",
    "\n",
    "Geben Sie b jeweils für $a \\in \\Omega$ an, mit $a = (1, 2, 3, 4, 5, 6)$, $(1, 2, 3, 4, 5, 7)$, $(1, 3, 5, 7, 9, 11)$, $(2, 4, 6, 8, 10, 12)$, $(10, 15, 20, 25, 30, 35)$, $(10, 15, 20, 25, 30, 31)$, $(40, 41, 42, 43, 44, 45)$, $(35, 37, 39, 41, 43, 45)$ und $(36, 38, 39, 40, 43, 45)$."
   ]
  },
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    "Wir erstellen eine neue Liste indem wir jedes Tupel an $a$'s in das entsprechende Tupel der $b$'s umwandeln."
   ]
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    {
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      "text/plain": [
       "[[1, 1, 1, 1, 1, 1],\n",
       " [1, 1, 1, 1, 1, 2],\n",
       " [1, 2, 3, 4, 5, 6],\n",
       " [2, 3, 4, 5, 6, 7],\n",
       " [10, 14, 18, 22, 26, 30],\n",
       " [10, 14, 18, 22, 26, 26],\n",
       " [40, 40, 40, 40, 40, 40],\n",
       " [35, 36, 37, 38, 39, 40],\n",
       " [36, 37, 37, 37, 39, 40]]"
      ]
     },
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    }
   ],
   "source": [
    "lst_a = [(1, 2, 3, 4, 5, 6), (1, 2, 3, 4, 5, 7), (1, 3, 5, 7, 9, 11), (2, 4, 6, 8, 10, 12), \n",
    "         (10, 15, 20, 25, 30, 35), (10, 15, 20, 25, 30, 31), (40, 41, 42, 43, 44, 45), \n",
    "         (35, 37, 39, 41, 43, 45), (36, 38, 39, 40, 43, 45)]\n",
    "[b(a) for a in lst_a]"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
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   "source": [
    "## (b)\n",
    "\n",
    "Bestimmen Sie nun die 6-Tupel, die sich aus der inversen Zuordnung aus den folgenden $b$'s ergeben: $b =(1, 2, 3, 4, 5, 6)$, $(1, 2, 3, 4, 5, 5)$, $(35, 36, 37, 38, 39, 40)$, $(36, 37, 38, 39, 40, 41)$."
   ]
  },
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   "execution_count": 3,
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   "outputs": [
    {
     "data": {
      "text/plain": [
       "[[1, 3, 5, 7, 9, 11],\n",
       " [1, 3, 5, 7, 9, 10],\n",
       " [35, 37, 39, 41, 43, 45],\n",
       " [36, 38, 40, 42, 44, 46]]"
      ]
     },
     "execution_count": 3,
     "metadata": {},
     "output_type": "execute_result"
    }
   ],
   "source": [
    "lst_b = [(1, 2, 3, 4, 5, 6), (1, 2, 3, 4, 5, 5), (35, 36, 37, 38, 39, 40), (36, 37, 38, 39, 40, 41)]\n",
    "[a(b) for b in lst_b]"
   ]
  },
  {
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   "metadata": {},
   "source": [
    "## (c)\n",
    "\n",
    "Zeigen Sie, dass $a \\in \\Omega$ genau dann keine Zwillingszahlen besitzt, wenn $b$ ein streng monoton steigendes 6-Tupel ist. *Hinweis:* Zeigen Sie, dass $a_j + 2 \\leq a_{j+1} \\Leftrightarrow b_j + 1 \\leq b_{j+1}$ für $j = 1, 2, 3, 4, 5$."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "### Beweis\n",
    "\n",
    "Es gilt nach der Definition der $b_j$'s: $$b_j=a_j-j+1$$ und somit auch $$b_{j+1}=a_{j+1}-j$$ und für die $a_j$'s $$a_j=b_j+j-1$$ und somit auch $$a_{j+1}=b_{j+1}+j$$\n",
    "\n",
    "**\"$\\Rightarrow$\"**\n",
    "\n",
    "Es gelte $$a_j + 2 \\leq a_{j+1}$$. Addition von $(-j+1)$ auf beiden Seiten führt zu $$a_j + 2 -j+1 \\leq a_{j+1}-j+1$$. Ersetzen durch entsprechende $b$'s auf beiden Seiten führt zu $$b_j+2 \\leq b_{j+1}+1$$ und schließlich durch Subtraktion von 1 auf beiden Seiten zu $$b_j+1 \\leq b_{j+1}$$. ✓ \n",
    "\n",
    "**\"$\\Leftarrow$\"**\n",
    "\n",
    "Es gelte $$b_j + 1 \\leq b_{j+1}$$. Addtion von $j$ auf beiden Seiten führt zu $$b_j + 1+j \\leq b_{j+1}+j$$. Addition und gleichzeiteige Subtraktion von $1$ auf der linken Seite (aktive Null) führt auf $$b_j +j-1+2 \\leq b_{j+1}+j$$. Ersetzen der $b$'s durch die entsrpechenden $a$'s führt schließlich auf $$a_j + 2 \\leq a_{j+1}$$. ∎"
   ]
  }
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   "display_name": "Python 3",
   "language": "python",
   "name": "python3"
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    "name": "ipython",
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