Lösung mit Python von Beispiel 4 Wahrscheinlichkeitstheorie

Beispiel 4.ipynb

{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Beispiel 4"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {
    "hideCode": false,
    "hideOutput": false,
    "hidePrompt": false,
    "tags": [
     "hidecode"
    ]
   },
   "source": [
    "Wir betrachten ein Zufallsexperiment, bei dem ein Würfel zweimal hintereinander geworfen wird. $\\Omega$ sei dabei die Ergebnismenge:\n",
    "\n",
    "$$\\Omega = \\{(i,j):i,j\\in\\{1,2,3,4,5,6\\}\\}$$\n",
    "\n",
    "Die Zufallsvariablen $X_1$, $X_2$ beschreiben die Augenzahl des ersten bzw. zweiten Wurfes. Welchen Wertebereich besitzen die folgenden Zufallsvariablen?\n",
    "\n",
    "(a) $X_1 \\cdot X_2$\n",
    "\n",
    "(b) $\\frac{X_1}{X_2}$\n",
    "\n",
    "(c) $2 \\cdot X_1 - 3 \\cdot X_2$\n"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Zu Beginn importieren wir die Python eigene Funktion um kartesische Produkte zweier Mengen zu berechnen."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 1,
   "metadata": {
    "hideCode": false,
    "hidePrompt": false
   },
   "outputs": [],
   "source": [
    "from itertools import product"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Danach importieren wir eine Klasse zur Repräsentation von Brüchen in Python. Die benötigen wir für Beispiel (b)."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 2,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "from fractions import Fraction"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Nun erzeugen wir die Ergebnismenge oder Grundraum $\\Omega$ als kartesisches Produkt $\\{1,2,3,4,5,6\\}^2$.\n",
    "\n",
    "`product` liefert einen Iterator der durch Aufruf der `list` Funktion in eine Liste konvertiert wird. Dies ist notwendig da ein Iterator nur einmal von Beginn zum Ende durchlaufen werden kann, wir aber $\\Omega$ mehrmals verwenden wollen.\n",
    "\n",
    "Die `range(a, b)` Funktion liefert in dieser Form eine Liste aller ganzen Zahlen von $a$ bis $b-1$, also $1,2,3,4,5,6$"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 3,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "omega = list(product(range(1,7), repeat=2))"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "Nun wollen wir die beiden Zufallsvariablen definieren. Dies sind jeweils Funktionen welche ein Ergebnis $\\omega$ des Grundraumes $\\Omega$ als Argument erhalten und eine reelle Zahl zurückgeben. In diesem Beispiel ist jedes $\\omega$ ein 2-Tupel mit dem  Ergebnis des ersten, bzw. zweiten Würfelwurfes an der entsprechnden Position."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 4,
   "metadata": {},
   "outputs": [],
   "source": [
    "def X1(w): # Augenzahl erster Würfel\n",
    "    return w[0]\n",
    "\n",
    "def X2(w): # Augenzahl zweiter Würfel\n",
    "    return w[1]"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## (a) $X_1 \\cdot X_2$\n",
    "\n",
    "Den Teil `{expression(w) for w in omega}` nennt man eine *set comprehension*. Es durchläuft die ganze Ergebnismenge $\\Omega$, führt die Berechnung `expression` für jedes Element aus und erzeugt aus den berechneten Werten eine mathematische Menge, also ohne Duplikate.\n",
    "\n",
    "Diese Menge wird durch die `sorted` Funktion in eine sortierte Liste konvertiert und schließlich mit der `print` Funktion ausgegeben."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 5,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "[1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 30, 36]\n"
     ]
    }
   ],
   "source": [
    "print(sorted({X1(w)*X2(w) for w in omega})) # Wertemenge X1*X2"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## (b) $\\frac{X_1}{X_2}$\n",
    "Wir lösen dieses Problem ähnlich wie in der letzten Codezeile. \n",
    "\n",
    "Wir verwenden wieder eine *set comprehension*, diesmal besteht unsere erzeugte Menge aber aus Brüchen die wir mithilfe der von Python zur Verfügung gestellten `Fraction` Klasse erzeugen. Die Brüche werden dann sortiert, und daraus eine Liste mit lesbaren Brüchen erstellt. Würden wir den `str(x) for x in ...` Teil weglassen, so würden die Brüche von Python statt in der Form $a/b$ als $Fraction(a,b)$ ausgegeben werden. Die `str` Funktion wandelt die Repräsentation von Python in eine menschlich besser lesbare Form um."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 6,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "['1/6', '1/5', '1/4', '1/3', '2/5', '1/2', '3/5', '2/3', '3/4', '4/5', '5/6', '1', '6/5', '5/4', '4/3', '3/2', '5/3', '2', '5/2', '3', '4', '5', '6']\n"
     ]
    }
   ],
   "source": [
    "print([str(x) for x in sorted({Fraction(X1(w), X2(w)) for w in omega})]) # Wertemenge X1/X2"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## (c) $2 \\cdot X_1 - 3 \\cdot X_2$\n",
    "Die ist nun äquivalent zu den beiden oberen Fällen zu lösen."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "code",
   "execution_count": 7,
   "metadata": {},
   "outputs": [
    {
     "name": "stdout",
     "output_type": "stream",
     "text": [
      "[-16, -14, -13, -12, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9]\n"
     ]
    }
   ],
   "source": [
    "print(sorted({2*X1(w) - 3*X2(w) for w in omega})) # Wertemenge 2*X1 - 3*X2"
   ]
  }
 ],
 "metadata": {
  "hide_code_all_hidden": false,
  "kernelspec": {
   "display_name": "Python 3",
   "language": "python",
   "name": "python3"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": {
    "name": "ipython",
    "version": 3
   },
   "file_extension": ".py",
   "mimetype": "text/x-python",
   "name": "python",
   "nbconvert_exporter": "python",
   "pygments_lexer": "ipython3",
   "version": "3.6.1"
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 2
}