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August 22, 2018 14:01
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word cloud로 수학3,수학4를 그려보기
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| "## 수학4 및 수학3를 Word_colud로 그려봄." | |
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| "Requirement already satisfied: numpy>=1.6.1 in c:\\users\\boram\\anaconda3\\lib\\site-packages (from wordcloud) (1.14.2)\n", | |
| "Requirement already satisfied: pillow in c:\\users\\boram\\anaconda3\\lib\\site-packages (from wordcloud) (5.1.0)\n", | |
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| "\"\\n수학Ⅳ\\n\\n C O N T E N T S\\n\\n\\n\\nⅠ이차곡선\\n1. 포물선\\t4\\n\\n2. 타원\\t14\\n\\n3. 쌍곡선\\t25\\n\\n\\n\\n\\nⅡ행 렬\\n1. 행렬의 뜻과 연산\\t 39\\n\\n2. 역행렬과 연립일차방정식\\t 56\\n\\n\\n\\nⅢ공간도형과\\n \\n 공간좌표\\n1. 공간도형 73\\n \\n2. 공간좌표 94\\n\\n\\n\\nⅣ벡 터\\n1. 벡터와 그 연산\\t 114\\n\\n2. 벡터의 성분과 내적\\t 124\\n\\n3. 벡터 방정식\\t 140\\n\\n4. 공간도형의 방정식\\t 144\\n\\n\\n\\n\\nⅤ일차변환\\n1. 일차변환\\t 171\\n\\n2. 행렬식과 그 활용\\t193\\n\\n3. 고윳값과 고유벡터 205\\n\\n\\n\\n\\n\\n정 답\\t 221\\n\\n\\nⅠ. 이차곡선\\n\\n\\n 1. 포물선\\t\\t2. 타원 3. 쌍곡선\\n\\n공이 날아가는 자취, 태양계에서 행성의 궤도, 수면 위에서의 물결의 간섭 현상 등 자연 현상에서 나타나는 곡선은 포물선, 타원, 쌍곡선과 같은 모양을 만든다. 이 단원에서는 이차곡선인 포물선, 타원, 쌍곡선의 뜻과 방정식을 구하고, 이차곡선과 직선의 위치관계, 이차곡선의 접선의 방정식 등에 대해 공부한다.\\n\\n\\n1\\n포물선\\n \\n\\n§1 포물선\\n\\n\\n초점\\n축\\n꼭짓점\\n준선\\nF\\n\\n\\n(1)포물선의 정의\\n\\n포물선을 영어로 \\nparabola라고 한다.\\n 평면 위에서 한 정직선 과 그 위에 있지 않은 정점 F에 이르는 거리가 같은 점들의 집합을 포물선이라 한다. 이때, 정직선 을 포물선의 준선, 정점 F를 포물선의 초점이라 한다.\\n 또, 포물선의 초점을 지나고 준선에 수직인 직선을 포물선의 축이라 하고, 포물선과 그 축과의 교점을 포물선의 꼭짓점이라 한다.\\n(2)포물선의 방정식\\n 0이 아닌 실수 에 대하여 점 을 초점으로 하고, 직선 를 준선으로 하는 포물선의 방정식을 구해보자.\\n 포물선 위의 임의의 점 에서 직선 에 내린 수선의 발을 라고 하면 포물선의 정의로부터\\n\\t\\n이므로\\n\\t\\n양변을 제곱하여 정리하면\\n\\t\\n 0이 아닌 실수 에 대하여 축 위의 점 를 초점으로 하고, 직선 를 준선으로 하는 포물선의 방정식을 같은 방법으로 구하면\\n\\t\\n이다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n이상을 정리하면 다음과 같다.\\n\\n\\n\\n\\n포물선의 방정식\\n\\n\\n\\n(1) 초점이 , 준선이 인 포물선의 방정식은\\n\\t\\t (단, )\\n(2) 초점이 , 준선이 인 포물선의 방정식은\\n\\t\\t (단, )\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n포물선 에서 이므로 이면 이다. 따라서 이면 포물선은 축의 오른쪽에 있고, 이면 포물선은 축의 왼쪽에 있다.\\n\\t \\t\\t\\t \\t \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n(3)포물선의 평행이동\\n\\n곡선 을 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 평행이동한 도형의 방정식은\\n\\n 포물선 를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 포물선의 방정식은\\n\\t\\n이때, 꼭짓점은 , 초점은 , 준선은 , 축은 이다.\\n 포물선 를 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 포물선의 방정식은\\n\\t\\n이때, 꼭짓점은 , 초점은 , 준선은 , 축은 이다. \\n\\n에 대한 이차방정식을\\n\\n또는\\n\\n의 꼴로 변형해 본다.\\n\\n예제 1\\n\\n다음 포물선의 초점의 좌표와 준선의 방정식을 구하여라.\\n(1) \\t\\t\\t(2) \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 다음 물음에 답하여라.\\n(1) 점 (6, 5)를 지나고 초점이 (3, 1)이며 준선이 축에 평행한 포물선의 방정식을 구하여라.\\n(2) 꼭짓점이 원점이고 준선이 인 포물선이 점 를 지날 때, 의 값을 구하여라.\\n(3) 점 (4, 3)이 의 초점이 되도록 상수 의 값을 정하여라.\\n\\n\\n\\n문제 02\\n 원점과 직선 에 이르는 거리가 같은 점의 자취와 직선 와의 교점의 좌표를 구하여라.\\n\\n\\n\\n문제 03\\n 반원 에 내접하면서 동시에 축에 접하는 원 의 중심의 자취의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n\\n문제 04\\n 포물선 의 초점을 지나는 임의의 직선이 이 포물선과 만나는 두 점을 라 할 때, 선분 의 중점의 자취의 방정식을 구하여라.\\n§2 포물선과 직선\\n(1)포물선과 직선의 위치관계\\n 일반적으로 포물선과 직선의 교점의 좌표는 포물선의 방정식과 직선의 방정식을 연립하여 풀었을 때의 에 대한 이차방정식의 실근이다.\\n 따라서 포물선 와 직선 의 교점의 개수는 두 식에서 를 소거하여 만든 에 대한 이차방정식\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\t … ㉠\\n의 실근의 개수와 일치한다.\\n ㉠의 판별식을 라고 하면 포물선과 직선의 위치관계는 다음과 같다.\\n(ⅰ) ⇔ 서로 다른 두 점에서 만난다.(ⅱ) ⇔ 한 점에서 만난다. (접한다.)(ⅲ) ⇔ 만나지 않는다.\\n\\n\\n예제 1\\n\\n포물선 와 직선 의 위치 관계를 실수 의 값의 범위에 따라 조사하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 포물선 와 직선 의 위치 관계가 다음과 같을 때, 실수 의 값 또는 범위를 구하여라.\\n(1) 서로 다른 두 점에서 만난다.\\n(2) 한 점에서 만난다.\\n(3) 만나지 않는다.\\n\\n\\n문제 02\\n 포물선 가 직선 과 서로 다른 두 점에서 만날 때 실수 의 값을 구하여라.\\n\\n(2)포물선과 접선\\n❚기울기가 주어진 경우\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n직선 에서 이면 포물선과의 교점은 1개이지만 접선은 아니다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n 포물선 에 접하고 기울기가 인 접선의 방정식을 구해 보자.\\n이 접선의 방정식을 이라 하면 두 식 와 에서 를 소거하여 만든 에 대한 이차방정식\\n … ㉠\\n이 중근을 가져야 한다.\\n식 ㉠의 판별식을 라고 하면\\n\\t\\t∴ \\n따라서 접선의 방정식은\\n\\t\\n❚접점이 주어진 경우\\n 포물선 위의 한 점 에서의 접선의 방정식을 구해 보자.\\n(ⅰ) 일 때, 의 양변을 에 대하여 미분하면\\n\\t \\t∴ \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n즉, 점 에서의 접선의 기울기는 이다.\\n따라서 점 에서의 접선의 방정식은\\n\\t\\n\\t\\n을 대입하여 정리하면\\n\\t\\n(ⅱ) 일 때, 이므로 접선의 방정식은 이고, 이 경우에도 이 성립한다.\\n\\n\\n\\n\\n포물선의 접선의 방정식\\n\\n\\n\\n(1) 포물선 에 접하고 기울기가 인 접선의 방정식은\\n (단, )\\n(2) 포물선 위의 점 에서의 접선의 방정식은\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n❚보기❚\\n\\n(1) 포물선 에 접하고 기울기가 2인 접선의 방정식은\\n 이고 이므로 ∴ \\n(2) 포물선 위의 점 에서의 접선의 방정식은\\n 이고 , 이므로 \\n \\t∴ \\n\\n\\n문제 03\\n 다음 포물선에 대한 접선의 방정식을 구하여라.\\n (1) 위의 점 (2, 2)에서의 접선\\n (2) 위의 점 (2, 1)에서의 접선 \\n\\n\\n\\n문제 04\\n 다음 포물선에 접하는 기울기 2인 직선의 방정식을 구하여라.\\n (1) \\t\\t\\t(2) \\n\\n\\n\\n문제 05\\n 의 접선이 축의 양의 방향과 의 각을 이룰 때, 그 접선의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n\\n문제 06\\n 포물선 에 접하고 에 수직인 직선의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n예제 2\\n\\n점 에서 포물선 에 그은 접선의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 07\\n 점 에서 포물선 에 그은 접선이 서로 수직일 때, 실수 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n문제 08\\n 포물선 위의 두 점 에서 각각 접하는 두 접선의 교점의 좌표를 구하여라.\\n\\n\\n\\n문제 09\\n 기울기가 인 직선과 가 만날 때 생기는 교점을 이은 선분의 중점의 자취의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n\\n도전문제\\n 초점이 인 포물선 위의 임의의 한 점 에서의 접선과 포물선의 축과의 교점을 라고 하면 임을 보여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n❚포물선의 성질\\n오른쪽 그림과 같이 포물선의 초점 에서 나온 빛이 포물선 위의 한 점 에 도달하면, 그 점에서 반사될 때 점 에서의 접선과 빛이 이루는 입사각과 반사각이 같으므로 빛은 포물선의 축과 평행하게 진행하고, 반대로 축에 평행한 빛은 포물선에 반사되어 초점을 지난다.\\n\\n\\n연습 문제 A\\n\\n\\n\\n01\\n점 와 직선 에서 같은 거리에 있는 점의 자취를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n02\\n직선 위의 한 점 에서 축에 평행한 선을 그어 이 선과 포물선 가 만나는 점을 라 하자. 이 때, 의 길이의 최솟값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n03\\n포물선 를 직선 에 관하여 대칭이동시킨 도형의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n04\\n그림과 같은 포물선 에 대하여 축 위의 세 점 가 이 순서대로 등차수열을 이룬다. \\n 일 때, 의 길이를 구하여라.\\n\\n\\n\\nF\\n4\\n2\\nD\\nA\\nB\\nP\\nC\\n\\n\\n\\n05\\n그림의 포물선 과 직선 에 대하여 점 는 각각 포물선의 초점, 꼭짓점이고 점 에서 직선 에 내린 수선의 발을 각각 라 하자. 일 때, 사각형 의 넓이를 구하여라. (단, 점 는 직선 위에 있다.)\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n06\\n포물선 가 축과 만나는 두 점을 라 하자. 의 길이가 양의 정수가 되는 이하의 정수 의 값의 개수를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n07\\n포물선 위의 점 에서 직선 에 이르는 거리가 최소가 되는 점 의 좌표와 최소거리를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n08\\n축과 원 에 동시에 외접하는 원의 중심의 자취를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n09\\n포물선 와 직선 의 두 교점 사이의 거리가 가 되도록 의 값을 정하여라.\\n\\n\\n\\n연습 문제 B\\n\\n\\n\\n01\\n포물선 위의 서로 다른 두 점 에 대하여 직선 와 평행하고 이 포물선에 접하는 직선 이 있다. 접점의 좌표는 선분 의 중점의 좌표임을 증명하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n02\\n그림과 같이 점 를 초점, 직선 를 축으로 갖는 포물선 위에 세 점 가 있다. 일 때, 의 넓이를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n03\\n점 와 포물선 에 대하여 다음 물음에 답하라.\\n (1) 점 에서 포물선에 그을 수 있는 접선이 두 개일 조건을 구하여라.\\n (2) 점 에서 포물선에 접선을 그을 수 없는 조건을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n04\\n포물선 의 준선 위의 한 점에서 포물선에 그은 두 개의 접선은 직교함을 증명하여라.\\n\\n\\n2\\n타원\\n \\n\\n§1 타원\\n\\n타원을 영어로 \\nellipse라고 한다.\\n(1)타원의 정의\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n 평면 위의 두 정점 , 으로부터 거리의 합이 일정한 점들의 집합을 타원이라 하고, 두 정점 , 을 타원의 초점이라 한다.\\n 오른쪽 그림과 같이 타원의 초점을 잇는 직선이 타원과 만나는 점을 각각 , 이라 하고, 선분 의 수직이등분선이 타원과 만나는 점을 각각 , 이라 할 때, 이 네 점을 타원의 꼭짓점이라 하고, 을 장축, 을 단축, 장축과 단축의 교점을 타원의 중심이라고 한다.\\n(2)타원의 방정식\\n 축 위의 두 점 , 을 초점으로 하고 그 두 점으로부터 거리의 합이 인 타원의 방정식을 구해 보자.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n 타원 위의 임의의 점을 라 하면 타원의 정의로부터\\n\\t (일정)\\n\\t\\n\\t\\n이므로\\n\\t\\n\\t\\n양변을 제곱하여 정리하면\\n\\t\\n다시 양변을 제곱하여 정리하면\\n\\t\\n그런데 이므로 이다.\\n여기서, 으로 놓고 양변을 으로 나누면\\n\\t\\n 타원 에서 이므로\\n\\t\\n따라서 초점의 좌표는\\n\\t, \\n이고, 꼭짓점의 좌표는 각각\\n\\t, , , \\n이다. 또, 장축의 길이는 , 단축의 길이는 이다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n 축 위의 두 초점 , 로부터 거리의 합이 인 타원의 방정식을 같은 방법으로 구하면\\n\\t (단, )\\n이다.\\n이때, 초점의 좌표는\\n\\t, \\n이고 장축의 길이는 , 단축의 길이는 이다.\\n이상을 정리하면 다음과 같다.\\n\\n\\n\\n\\n타원의 방정식\\n\\n\\n\\n(1) 두 초점 , 으로부터 거리의 합이 인 타원의 방정식은\\n (단, , )\\n(2) 두 초점 , 으로부터 거리의 합이 인 타원의 방정식은\\n (단, , )\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 두 초점 , 으로부터 거리의 합이 10인 타원의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n문제 02\\n 두 초점 , 으로부터 거리의 합이 4인 타원의 방정식을 구하여라.\\n(3)타원의 평행이동\\n 타원 을 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 타원의 방정식은\\n\\t … ㉠\\n이다. 일 때 이라 하면 타원 ㉠의 초점의 좌표는\\n\\t, \\n이고 일 때 이라 하면 타원 ㉠의 초점의 좌표는\\n\\t, \\n이다.\\n\\n예제 1\\n\\n다음 타원의 초점, 꼭짓점, 장축, 단축의 길이를 구하고, 그래프를 그려라.\\n(1) \\t\\t\\t(2) \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 03\\n 타원 과 두 초점을 공유하고 점 를 지나는 타원의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n문제 04\\n 길이가 5인 선분 의 양 끝점 가 각각 축, 축 위를 움직일 때, 선분 를 로 내분하는 점 의 자취의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n문제 05\\n 타원 에서 다음을 구하여라.\\n(1) 초점의 좌표 \\t\\t\\t(2) 꼭짓점의 좌표\\n(3) 장축의 길이 \\t\\t\\t(4) 단축의 길이\\n§2 타원과 직선\\n(1)타원과 직선의 위치관계\\n 일반적으로 타원과 직선의 교점의 좌표는 타원의 방정식과 직선의 방정식을 연립하여 풀었을 때의 에 대한 이차방정식의 실근이다.\\n 따라서 타원 과 직선 의 교점의 개수는 두 식에서 를 소거하여 만든 에 대한 이차방정식\\n\\t … ㉠\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n의 실근의 개수와 같다.\\n ㉠의 판별식을 라 하면 타원과 직선의 위치관계는 다음과 같다.\\n(ⅰ) ⇔ 서로 다른 두 점에서 만난다.(ⅱ) ⇔ 한 점에서 만난다. (접한다.)(ⅲ) ⇔ 만나지 않는다.\\n\\n\\n예제 1\\n\\n타원 와 직선 의 위치 관계를 실수 의 값의 범위에 따라 조사하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 타원 과 직선 의 위치 관계가 다음과 같을 때, 실수 의 값 또는 범위를 구하여라.\\n(1) 서로 다른 두 점에서 만난다.\\n(2) 한 점에서 만난다.\\n(3) 만나지 않는다.\\n\\n\\n문제 02\\n 타원 와 직선 가 만나도록 하는 정수 의 개수를 구하여라.\\n(2)타원과 접선\\n❚기울기가 주어진 경우\\n타원 에 접하고 기울기가 인 접선의 방정식을 구해 보자.\\n이 접선의 방정식을 이라 하면 두 식 과 에서 를 소거하여 만든 에 대한 이차방정식\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n … ㉠\\n이 중근을 가져야 한다. ㉠의 판별식을 라고 하면\\n \\n \\t∴ \\n따라서 접선의 방정식은\\n\\t\\n이다.\\n❚접점이 주어진 경우\\n타원 위의 한 점 에서의 접선의 방정식을 구해 보자.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n(ⅰ) 일 때 의 양변을 에 대하여 미분하면\\n\\t\\t\\t\\n\\t∴ \\n즉, 점 에서의 접선의 기울기는 이다.\\n따라서 점 에서의 접선의 방정식은\\n\\t\\n\\t\\n\\t\\n양변을 으로 나누고 을 대입하면\\n\\t\\n(ⅱ) 일 때 이므로 접선의 방정식은 이고, 이 경우에도 이 성립한다.\\n이상을 정리하면 다음과 같다.\\n\\n\\n\\n\\n타원의 접선의 방정식\\n\\n\\n\\n(1) 타원 에 접하고 기울기가 인 접선의 방정식은\\n\\n(2) 타원 위의 점 에서의 접선의 방정식은\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 03\\n 타원 에 접하고 직선 에 평행한 직선의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n문제 04\\n 타원 위의 점 에서의 접선의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n예제 2\\n\\n점 에서 타원 에 그은 접선의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 05\\n 점 에서 타원 에 그은 접선의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n\\n문제 06\\n 점 에서 타원 에 그은 두 접선은 서로 수직임을 보여라.\\n\\n\\n\\n문제 07\\n 타원 위의 점에서 직선 까지의 거리의 최솟값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n문제 08\\n 타원 에 접하는 기울기가 인 직선이 두 좌표축과 만나는 점을 라고 할 때, 선분 의 길이의 최솟값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n도전문제\\n 타원 의 한 초점에서 타원의 접선에 내린 수선의 발의 자취를 구하여라. (단 )\\n\\n연습 문제 A\\n\\n\\n\\n01\\n타원 위의 한 점에서 접선이 축, 축과 만나는 점을 각각 라고 할 때, 의 최솟값을 구하여라. (단, )\\n\\n\\n\\n\\n02\\n에서 세 변의 길이가 , , 일 때, 두 점 를 초점으로 하고 점 를 지나는 타원의 단축의 길이를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n03\\n그림과 같이 벽에 기대어 있는 나무막대 의 양끝이 벽과 지면에 닿으면서 미끄러질 때, 나무막대 위의 점 가 그리는 도형은 어떤 도형의 일부가 되는가? (단, 은 막대의 중점, 는 선분 위의 점이다.)\\n\\n\\n\\n\\n04\\n가 임의의 실숫값을 취할 때, , 를 만족하는 점 의 자취의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n05\\n밑면의 반지름이 인 직원기둥을 밑면과 의 각을 이루는 평면으로 잘랐을 때 생기는 단면의 모양은 타원이다. 이 타원의 두 촛점 사이의 거리를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n06\\n오른쪽 그림과 같이 동심원 와 이 원점을 지나는 직선과 만나는 점을 각각 라고 하자. 점 에서 축에 내린 수선에 점 에서 내린 수선과의 교점을 이라고 할 때, 점 의 자취의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n07\\n점 을 지나고 기울기가 인 직선이 타원 과 만나는 두 점을 라 고 한다. 또, 점 을 정할 때, 이들 세 점 를 꼭짓점으로 하는 의 둘레의 길이를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n08\\n점 에서 에 그은 두 접선이 직교할 때 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n09\\n원 위의 점 에서 축에 내린 수선의 발을 라고 한다.선분 를 로 내분하는 점 의 자취를 구하여라.\\n\\n\\n연습 문제 B\\n\\n\\n\\n01\\n정점 와 정직선 에 이르는 거리의 비 인 점 의 자취를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n02\\n두 점 과 타원 위의 동점 로 이루어지는 의 무게중심 의 자취를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n03\\n원 위의 점 에서의 접선과, 같은 좌표 을 갖는 타원 위의 점 에서의 접선은 축 위에서 만남을 증명하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n04\\n타원 위를 움직이는 점 와 세 점 , ,이 있다. 점 가 제 사분면 위를 움직일 때, 사각형 의 넓이의 최댓값과 그 때의 점 의 좌표를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n모래를 이용하여 이차곡선 만들기\\n\\n\\n 마른 모래는 받침대의 모양에 따라 여러 가지를 만들 수 있다. 원판 위에 쌓인 모래는 자연스럽게 흘러내려 원뿔 모양을 만들 수 있으며, 정사각형 모양 위에 쌓인 모래는 자연스럽게 흘러내려 사각뿔을 만들 수 있다. \\n 다음과 같이 모래 받침대를 만들어 모래를 쌓아보고 그 모습을 관찰하여 보자. 받침대가 임의의 사각형이면 뿔의 꼭짓점은 어떤 의미를 가질까? 그 도형의 무게중심을 이룬다. 이와 같은 관점에서 이차곡선을 만들어 보자.\\n\\n [그림1]과 같이 작은 구멍을 막고 빈 상자에 모래를 가득 채운다. 모래를 채운 다음 막았던 구멍을 열면 모래가 구멍을 통해 흘러내린다. 쌓여 있는 모래의 모양을 관찰해 보면 공간에 나타난 포물선임을 알 수 있다. 이렇게 나타난 포물선에서 구멍은 포물선의 초점이고, 상자의 한쪽 모서리가 준선이 된다.\\n 또, [그림2]와 같이 작은 구멍을 막고 원판 위에 모래를 쌓자. 구멍을 열면 모래가 흘러내리고, 쌓여 있는 모래의 모양을 공간에서 관찰하면 타원임을 알 수 있다. 이렇게 나타난 타원에서 구멍은 타원의 한 초점이 된다.\\n\\n\\n\\n ��\\n ��\\n\\n\\n[그림1]\\n[그림2]\\n\\n<참고 자료>\\nhttps://www.youtube.com/watch?v=pt9Kf54-Hfc\\n\\n\\n3\\n쌍곡선\\n \\n\\n§1 쌍곡선\\n\\n쌍곡선을 영어로 \\nhyperbola라고 한다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n(1)쌍곡선의 정의\\n 평면 위의 두 정점 , 으로부터 거리의 차가 일정한 점들의 집합을 쌍곡선이라 하고, 두 정점 , 을 그 쌍곡선의 초점이라고 한다.\\n 오른쪽 그림과 같이 쌍곡선의 초점을 잇는 직선이 쌍곡선과 만나는 점을 각각 , 이라 할 때, 이 두 점을 쌍곡선의 꼭짓점이라 하고, 을 쌍곡선의 주축, 주축의 중점을 쌍곡선의 중심이라고 한다.\\n(2)쌍곡선의 방정식\\n 축 위의 두 점 , 을 초점으로 하고 그 두 점으로부터 거리의 차가 인 쌍곡선의 방정식을 구해 보자.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n 쌍곡선 위의 임의의 점을 라 하면 쌍곡선의 정의로부터\\n\\t (일정)\\n\\t\\n\\t\\n이므로\\n\\t\\n\\t\\n양변을 제곱하여 정리하면\\n\\t\\n그런데 이므로 이다.\\n여기서, 으로 놓고 양변을 으로 나누면\\n\\t\\n이다. 이때, 이므로 초점의 좌표는\\n\\t, \\n이고, 꼭짓점의 좌표는 각각\\n\\t, \\n이다. 또, 주축의 길이는 이고 중심은 원점이다.\\n 축 위의 두 초점 , 로부터 거리의 차가 인 쌍곡선의 방정식을 같은 방법으로 구하면\\n\\t (단, )\\n이다.\\n이때, 초점의 좌표는\\n\\t, \\n이고, 꼭짓점의 좌표는 각각\\n\\t, \\n이다. 또, 주축의 길이는 이고 중심은 원점이다.\\n이상을 정리하면 다음과 같다.\\n\\n\\n\\n\\n쌍곡선의 방정식\\n\\n\\n\\n(1) 두 초점 , 으로부터 거리의 차가 인 쌍곡선의 방정식은\\n (단, , )\\n(2) 두 초점 , 으로부터 거리의 차가 인 쌍곡선 방정식은\\n (단, , )\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n❚보기❚\\n두 초점 , 으로부터 거리의 차가 인 쌍곡선의 방정식은 에서 , ∴ \\n\\n\\n문제 01\\n 쌍곡선 의 초점의 좌표, 꼭짓점의 좌표, 주축의 길이를 구하여라.\\n\\n\\n문제 02\\n 꼭짓점이 , 이고 초점이 , 인 쌍곡선의 방정식을 구하여라.\\n(3)쌍곡선의 평행이동\\n 쌍곡선 을 축의 방향으로 만큼, 축의 방향으로 만큼 평행이동한 쌍곡선의 방정식은\\n\\t … ㉠\\n이다. 이라 하면 쌍곡선 ㉠의 초점의 좌표는\\n\\t, \\n이다.\\n(4)쌍곡선의 점근선\\n 쌍곡선의 방정식 을 에 대하여 풀면\\n\\t … ㉠\\n여기서, 가 한없이 커지면 의 값이 0에 한없이 가까워지므로 쌍곡선 ㉠은 두 직선 에 한없이 가까워진다. 이 두 직선이 쌍곡선 의 점근선이다. 특히, 점근선이 직교하는 쌍곡선을 직각쌍곡선이라 한다.\\n이상을 정리하면 다음과 같다.\\n\\n\\n\\n\\n쌍곡선의 점근선\\n\\n\\n\\n쌍곡선 의 점근선의 방정식은 \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n❚보기❚\\n쌍곡선 의 점근선의 방정식은 \\n\\n\\n문제 03\\n 쌍곡선 의 초점의 좌표, 꼭짓점의 좌표, 점근선의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n문제 04\\n 직선 이 점근선이고 점 를 지나는 쌍곡선의 방정식을 구하여라.\\n\\n예제 1\\n\\n쌍곡선 에 대하여 다음을 구하여라.\\n (1) 주축의 길이 \\t(2) 초점\\t\\t (3) 중심 \\n (4) 꼭짓점\\t\\t(5) 점근선\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 05\\n 쌍곡선 이 직각쌍곡선이 되기 위한 조건을 구하여라. (단 는 양수)\\n\\n\\n\\n문제 06\\n 쌍곡선 위를 움직이는 점 와 정점 를 잇는 선분 를 로 내분하는 점 의 자취를 구하여라. \\n\\n\\n\\n문제 07\\n 다음 각각의 조건을 만족하는 쌍곡선의 방정식을 구하여라. \\n (1) 초점이 이고 주축의 길이가 \\n (2) 꼭짓점 이고 점 을 지난다.\\n (3) 점근선의 방정식이 이고 점 를 지난다.\\n\\n\\n\\n문제 08\\n 이 쌍곡선이 되도록 실수 의 범위를 정하여라.\\n\\n§2 쌍곡선과 직선\\n(1)쌍곡선과 직선의 위치관계\\n 일반적으로 쌍곡선과 직선의 교점의 좌표는 쌍곡선의 방정식과 직선의 방정식을 연립하여 풀었을 때의 에 대한 이차방정식의 실근이다.\\n 따라서 쌍곡선 과 직선 의 교점의 개수는 두 식에서 를 소거하여 만든 에 대한 이차방정식\\n (단, )… ㉠\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n의 실근의 개수와 같다.\\n ㉠의 판별식을 라 하면 쌍곡선과 직선의 위치관계는 다음과 같다.\\n(ⅰ) ⇔ 서로 다른 두 점에서 만난다.(ⅱ) ⇔ 한 점에서 만난다. (접한다.)(ⅲ) ⇔ 만나지 않는다.\\n\\n\\n예제 1\\n\\n쌍곡선 과 직선 의 위치 관계를 실수 의 값의 범위에 따라 조사하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 쌍곡선 과 직선 의 위치 관계가 다음과 같을 때, 실수 의 값의 범위를 구하여라.\\n(1) 서로 다른 두 점에서 만난다.\\n(2) 한 점에서 만난다.\\n(3) 만나지 않는다.\\n\\n(2)쌍곡선과 접선\\n❚기울기가 주어진 경우\\n 쌍곡선 에 접하고 기울기가 인 접선의 방정식을 타원에서와 같은 방법으로 구하면\\n\\t (단, )\\n이다.\\n❚접점이 주어진 경우\\n쌍곡선 위의 한 점 에서의 접선의 방정식을 타원에서와 같은 방법으로 구하면\\n\\t\\n이다. \\n\\n 원이나 포물선, 타원, 쌍곡선의 방정식은 모두 에 대한 이차방정식으로 나타내어진다. 이와 같이 두 일차식의 곱으로 인수분해되지 않는 에 대한 이차방정식\\n\\t\\n으로 나타내어지는 곡선을 이차곡선이라고 한다.\\n\\n❚보기❚\\n쌍곡선 위의 점 에서의 접선의 방정식은\\n\\t\\t\\t∴ \\n\\n\\n문제 02\\n 기울기가 2이고 쌍곡선 에 접하는 접선의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n문제 03\\n 쌍곡선 위의 점 에서의 접선의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n예제 2\\n\\n점 에서 쌍곡선 에 그은 접선의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 04\\n 점 에서 쌍곡선 에 그은 접선의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n문제 05\\n 쌍곡선 위의 점 에서의 접선에 두 초점에서 내린 수선의 길이의 곱을 구하여라.\\n\\n\\n문제 06\\n 두 직선 에 점 에서 그은 수선의 발을 각각 이라 할 때, 이 되는 점 의 자취를 구하여라.\\n\\n\\n문제 07\\n 직선 과 쌍곡선 에 대하여 다음 물음에 답하여라.\\n (1) 직선과 쌍곡선이 서로 다른 두 점에서 만날 때, 실수 의 값의 범위를 구하여라.\\n (2) 직선과 쌍곡선이 서로 다른 두 점 에서 만날 때, 선분 의 중점 의 자취를 구하여라.\\n\\n\\n도전문제\\n 직원뿔을 자른 단면이 쌍곡선이 나오기 위해서는 어떻게 잘라야 하는가? 이것이 쌍곡선의 일부임을 보일 수 있는가?\\n\\n\\n연습 문제 A\\n\\n\\n\\n01\\n다음 쌍곡선의 방정식을 구하여라.\\n(1) 초점이 \\n(2) 초점이 이고, 점 를 지난다.\\n(3) 꼭짓점이 이고 점근선 \\n(4) 중심 : 주축의 길이 : , 점근선의 기울기 : \\n\\n\\n\\n\\n02\\n점 과 직선 에 이르는 거리의 비가 인 점의 자취를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n03\\n쌍곡선 위의 점 와 두 촛점 에 대하여 의 둘레의 길이가 일 때, 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n04\\n쌍곡선 위의 점 에서의 접선과 축, 축으로 둘러싸인 삼각형의 넓이를 구하여라. (단, \\n\\n\\n\\n\\n05\\n두 직선 의 교점 의 자취를 구하여라.\\n\\n\\n06\\n세 점 로 결정되는 삼각형 의 내부에 있는 점 에서 변 에 내린 수선의 발을 각각 라고 한다. 이때, 를 만족시키는 점 는 어떤 도형의 일부를 움직이는가? (단, 는 원점)\\n\\n\\n\\n\\n07\\n곡선 과 점 가 있다. 곡선 위의 점 에서 접선과 가 수직이 되는 점 가 한 개만 존재할 때, 상수 의 최댓값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n08\\n쌍곡선 에 그은 두 접선이 수직인 점의 자취의 방정식을 구하여라. (단, )\\n\\n\\n\\n\\n09\\n두 동점 가 각각 직선 위를 움직이고 의 넓이가 항상 가 된다고 할 때, 선분 의 중점의 자취의 방정식을 구하여라. (단, 는 원점)\\n\\n\\n\\n\\n10\\n좌표평면에서 쌍곡선 위의 임의의 한 점을 라 하고 두 촛점을 라고 할 때, 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n연습 문제 B\\n\\n\\n\\n01\\n쌍곡선 위의 임의의 점 에서의 접선이 점근선과 만나는 점을 라 할 때, 다음을 증명하여라.\\n(1) 는 의 중점이다. \\t\\n(2) 은 일정하다. (단, 는 원점)\\n\\n\\n\\n02\\n직각쌍곡선 의 초점을 이라 하자. 곡선 위의 임의의 점을 라고 할 때, (는 원점)임을 증명하라.\\n\\n\\n\\n03\\n쌍곡선 과 직선 가 서로 다른 두 점 에서 만나고 있다. 다시 이 직선이 쌍곡선의 점근선과 만나는 점을 이라 하자. \\n(1) 의 중점 과 의 중점 을 각각 구하여라.\\n(2) 임을 밝혀라.\\n\\n\\n\\n04\\n점 에서 쌍곡선 위의 점 까지의 거리를 라 하자.\\n(1) 을 와 로 나타내어라.\\n(2) 의 최솟값 을 구하여라.\\n\\n\\n\\n05\\n쌍곡선 위의 임의의 한 점 에서 두 점근선에 평행선을 그을 때, 두 직선과 점근선으로 둘러싸인 평행사변형의 넓이는 일정함을 증명하여라.\\n\\n타원과 쌍곡선의 매개변수 표현\\n\\n\\n\\n1\\n 타원의 매개변수 표현\\n타원 과 원 에 대하여 원점을 지나며 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 인 반직선을 그어 원과의 교점을 , 점 에서 축에 내린 수선의 발을 , 선분 와 타원의 교점을 라 고 하면 점 의 좌표는 점 의 좌표와 같으므로 이다. \\n 를 에 대입하면 \\n\\t, ∴ \\n따라서 이므로 타원 은 \\n로 나타낼 수 있다.\\n\\n\\n2\\n 쌍곡선의 매개변수 표현\\n쌍곡선 과 원 에 대하여 원점을 지나며 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 인 반직선을 그어 원과의 교점을 , 점 에서 원에 그은 접선과 축의 교점을 , 점 를 지나며 축에 수직인 직선과 쌍곡선의 교점을 라고 하면 의 좌표는 의 좌표와 같으므로 이다.\\n 를 에 대입하면 \\n\\t, \\n \\t∴ \\n따라서 이므로 쌍곡선 은\\n로 나타낼 수 있다.\\n\\n\\n대단원 종합 문제\\n\\n\\n\\n01\\n점 를 지나는 직선이 에 의하여 잘리는 선분의 중점의 자취를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n02\\n그림과 같이 포물선 위에 세 점 가 있다. 의 무게중심 의 좌표가 일 때, 의 값을 구하여라. (단, 점 는 포물선의 초점이다.)\\n\\n\\n\\n\\n\\n03\\n포물선 위에 원점이 아닌 두 점 , (단, )가 있다. 가 직각이고 선분 의 길이가 최소일 때, 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n04\\n포물선 과 직선 가 서로 다른 두 점에서 만날 때, 실수 의 값의 범위와 두 점을 이은 선분의 중점 의 자취의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n\\n05\\n타원 의 방정식이 이다.\\n (1) 타원 위에 서로 다른 두 점 과 를 지나는 직선의 기울기를 라고 할 때, 를 각각 의 식으로 나타내어라.\\n (2) 타원 위의 점 중에서 의 좌표가 유리수인 점이 무한히 많이 있는가를 조사하여라.\\n\\n\\n\\n\\n06\\n타원 의 장축을 등분한 후 각 등분점에서 장축에 수직인 직선을 그어 이 타원과의 교점 개를 정하였다. 이 개의 점 각각에서 타원의 초점 중 오른쪽에 있는 초점까지의 거리를 각각 , , …, 이라 하자. 이 때, 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n07\\n원점 를 지나고 두 직선 ㉠, ㉡ 을 점근선으로 하는 쌍곡선 의 방정식은 \\n\\n 이고, 와 축과의 교점 중에서 원점이 아닌 점을 라고 할 때, 점 에서 쌍곡선 에 접하는 접선의 방정식은 \\n\\n 이다. 위의 빈칸에 알맞은 식을 순서대로 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n08\\n쌍곡선 의 임의의 접선과 두 점근선으로 둘러싸인 삼각형의 넓이는 일정함을 밝혀라.\\n\\n\\n\\n\\n09\\n곡선 위를 움직이는 점 와 두 점 , 에 대하여 삼각형 의 넓이를 라 하자. 이 때, 의 최솟값을 구하여라.\\n\\nⅡ. 행렬\\n\\n\\n 1. 행렬의 뜻과 연산 2. 역행렬과 연립일차방정식\\n\\n무질서하게 흩어져 있는 자료와 정보를 질서 있게 배열하고 정돈하면 필요한 자료와 정보를 쉽게 찾을 수 있으며, 이를 유용하게 활용할 수 있다. 여러 상품의 월별 판매량이나 재고량을 관리하거나 전기나 가스의 생산량과 공급량, 소비량을 관리할 때에도 자료를 엑셀프로그램 등을 이용하여 직사각형 모양으로 배열하여 많은 자료나 수, 문자를 손쉽게 처리한다. \\n이와 같이 수나 문자를 정리 정돈할 때, 직사각형 모양으로 배열하면 여러 가지 정보를 한꺼번에 처리할 수 있어 편리하다. \\n\\n\\n1\\n행렬의 뜻과 연산\\n \\n§1 행렬의 뜻\\n(1)행렬 \\n 아래 표는 어느 상점에서 월, 월에 판매된 세 종류의 컴퓨터 의 판매 대수를 나타 낸 것이다. 이 때, 판매 대수인 을 괄호를 사용하여 다음과 같이 간단히 나타낼 수 있다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n1열\\n2열\\n3열\\n1행\\n\\n1행\\n\\n\\n\\t\\t\\n이와 같이 수 또는 문자를 직사각형 모양으로 배열하여 괄호로 묶은 것을 행렬이라고 한다. 그리고 행렬 안의 숫자 또는 문자를 행렬의 성분이라고 한다. 또, 행렬에서 가로의 배열을 행, 세로의 배열을 열이라고 한다.\\n일반적으로, 행의 수가 , 열의 수가 인 행렬을 행렬 또는 행 열의 행렬이라고 한다. 또, 행의 수와 열의 수가 같은 행렬을 정사각행렬이라 하고, 특히 행렬을 차정사각행렬 이라고 한다.\\n\\n\\n❚보기❚\\n \\n : 행렬, : 행렬, : 이차정사각행렬\\n(2) 행렬의 표현\\n행렬 의 제 행, 제 열의 교차점 위치에 있는 성분을 로 나타내고, 이를 행렬 의 성분이라고 한다. 예를 들어, 행렬 가 행렬인 경우는 와 같이 나타낸다.\\n(3) 서로 같은 행렬\\n행렬 와 행렬 에서 \\n1) 이고 일 때, 두 행렬 는 동형(같은 꼴)이라고 한다.\\n2) 두 행렬 가 동형이고, 대응하는 원소가 모두 같을 때, 두 행렬 는 같다고 하고 로 나타낸다.\\n\\n\\n\\n\\n서로 같은 행렬 \\n\\n\\n\\n \\n \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n예제 1\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n그림과 같이 정의된 함수 에 대하여\\n 행렬 의 성분 를 \\n\\t \\n 으로 정의할 때, 행렬 를 구하여라. \\n\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 행렬 의 성분을 라 하면 가 성립한다. 이 때, 행렬 의 모든 성분의 합을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 02\\n 원 를 직선 에 대하여 대칭이동한 원이 축과 만나는 서로 다른 교점의 개수를 성분으로 하는 행렬을 구하여라 \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n도전문제\\n 표와 같이 자연수를 한없이 나열할 때, 서로 인접하는 9개 정사각형을 선택하여 가로 방향으로 위쪽부터 차례로 1행, 2행, 3행으로 하고, 세로 방향으로 왼쪽부터 차례로 1열, 2열,3열로 하는 행렬을 \\n\\t \\n라 하자. 인 행렬의 개수를 구하여라.\\n\\n\\n§2 행렬의 덧셈과 뺄셈, 실수배\\n(1) 행렬의 덧셈\\n두 행렬 가 같은 꼴의 행렬일 때, 와 의 대응하는 성분의 합을 성분으로 하는 행렬을 와 의 합이라 하고, 로 나타낸다.\\n\\n두 행렬 와 가 행렬일 때 는 다음과 같다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n행렬의 덧셈\\n\\n\\n\\n일 때,\\n \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n \\n 행렬에서 모든 성분이 인 행렬을 영행렬이라 하며 기호 로 나타낸다.\\n\\n❚보기❚\\n , , , \\n행렬 와 같은 꼴의 영행렬 에 대하여\\n \\t\\n가 성립한다. 즉, 영행렬은 같은 꼴의 행렬의 집합에서 덧셈에 대한 항등원이다.\\n또, 행렬의 모든 성분의 부호를 바꾼 것을 성분으로 하는 행렬을 로 나타낸다 \\n행렬 와 에 대하여\\n\\t\\n가 성립한다. 즉, 같은 꼴의 행렬의 집합에서 는 행렬 의 덧셈에 대한 역원이다.\\n\\n❚보기❚\\n 일 때, \\n \\n\\n일반적으로 행렬의 덧셈에서도 수의 덧셈과 같이 교환법칙이 성립한다.\\n\\n행렬 가 동형일 때,\\n (1) \\t \\t (교환법칙)\\n (2) \\t (결합법칙)\\n (3) \\t \\t (항등원)\\n (4) 인 행렬 존재\\t (역원)\\n이 때, 이 되는 를 로 나타낸다. 즉,행렬 의 모든 성분의 부호를 \\n바꾸어 놓은 것을 성분으로 하는 행렬을 로 나타낸다.\\n\\n질문\\nD\\n 이차정사각행렬 에 대하여 (1), (2), (4)를 증명하여라.\\n(2) 행렬의 뺄셈\\n두 행렬 가 같은 꼴의 행렬일 때, 를 로 나타내며 이것을 에서 를 뺀 행렬이라 한다. 즉, 는 의 각 성분에서 의 대응하는 성분을 뺀 것을 성분으로 하는 행렬이다.\\n\\n두 행렬 와 가 행렬일 때 는 다음과 같다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n행렬의 뺄셈\\n\\n\\n\\n 일 때,\\n \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n❚보기❚\\n 두 행렬 에 대하여\\n\\t\\t \\n\\n(3) 행렬의 실수배\\n가 실수일 때, 행렬 의 각 성분을 배한 값을 성분으로 하는 행렬을 로 나타낸다. \\n즉, 가 실수이고, 일 때, \\n\\t\\n 일반적으로 행렬의 실수배에 대하여 다음과 같은 성질이 성립한다. \\n\\n행렬의 실수배의 성질\\n 이 실수이고, 두 행렬 가 동형일 때, \\n(1) \\t (2) \\t\\t(3) \\n\\n\\n질문\\nD\\n이차정사각행렬 에 대하여 (1), (2), (3)을 증명하여라.\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 일 때, 를 만족시키는 행렬 를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n문제 02\\n 두 행렬 에 대하여 두 조건 \\n\\t\\n을 만족시키는 두 행렬 의 합 를 구하여라.\\n\\n\\n§3 행렬의 곱셈\\n(1) 행렬의 곱셈\\n를 행렬, 를 행렬이라고 할 때,\\n\\t (, )\\n를 성분으로 하는 행렬을 와의 곱이라 하고 로 나타낸다. \\n의성분은 의 제 행과 의 제 열의 성분을 차례로 곱하여 더한 것이다. \\n따라서, 행렬 와 행렬 의 곱 는 행렬이다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n행렬의 곱셈 \\n\\n\\n\\n 일 때,\\n \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n❚보기❚\\n , \\n\\n\\n문제 01\\n , , 일 때, 다음을 구하여라.\\n(1) (2) (3) (4) (5) \\n\\n\\n\\n\\n문제 02\\n 이차방정식 의 두 근을 라 할 때, 두 행렬의 곱 의 모든 성분의 합을 구하여라.\\n\\n문제 03\\n , , 일 때, 를 만족하는 의 값의 합을 구하여라.\\n\\n\\n\\n(2) 행렬의 곱셈에서의 성질과 단위행렬\\n\\n, 일 때,\\n \\t, \\n따라서, 이다.\\n행렬의 곱셈에서는, 수의 경우와는 달리 교환법칙이 성립하지 않는다.\\n\\n합과 곱이 정의되는 세 행렬 에 대하여 다음이 성립한다. \\n(1) 교환법칙이 성립하지 않는다. \\n(2) \\n(3) , \\t\\n\\n<참고> 이므로 \\n\\n\\n질문\\nD\\n두 행렬 에 대하여 가 성립하는 예를 찾아 보아라.\\n\\n \\n수의 연산에서는 이면 또는 이 성립한다.\\n그러나 행렬에서는 라도 일 수가 있다. \\n이를테면 , 일 때, \\n이와 같이 인데 일 때, 는 의 영인자, 는 의 영인자라 한다.\\n또, 실수에서는 ()이면 이지만 행렬에서는 라고 하여 반드시 인 것은 아니다.\\n세 행렬 , , 에 대하여\\n\\t, \\n따라서, 이다. 그러나 이다.\\n\\n차 정사각행렬 의 성분이 인 행렬을 차 단위행렬이라 하고, 일반적으로 기호 로 나타낸다.\\n(예) 일차단위행렬, 이차단위행렬 , 삼차단위행렬 \\n차 단위행렬 에 대하여 를 만족한다. 즉 차 단위행렬 는 차 정사각행렬들의 집합에서 곱셈에 대한 항등원이다.\\n\\n\\n예제 1\\n\\n일 때, 가 성립하도록 의 값을 정하여라. \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 04\\n 두 행렬 ,에 대하여 , 가 성립할 때, 행렬 의 성분을 구하여라.\\n\\n\\n\\n문제 05\\n 두 행렬 , 에 대하여 이 성립할 때, 의 값을 구하여라. \\n\\n문제 06\\n 두 행렬 과 이 있다. 두 상수 와 가 등식\\n\\t\\n를 만족시킬 때, 의 값을 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n문제 07\\n 두 행렬, 에 대하여 이 성립할 때, 좌표평면에서 점 가 그리는 도형의 자취의 길이를 구하여라.\\n\\n\\n\\n(3) 행렬의 거듭제곱\\n 실수의 거듭제곱과 마찬가지로 정사각행렬 에 대하여\\n \\t, , , \\n 과 같이 행렬의 거듭제곱을 정의한다.\\n 이 자연수일 때, 정사각행렬 에 대하여 다음이 성립한다.\\n \\t, , .\\n \\n\\n\\n문제 08\\n 다음 행렬에 대하여 을 구하여라.\\n (1) (2) (3) (4) \\n\\n\\n\\n\\n문제 09\\n 일 때, 을 구하여라.\\n\\n\\n문제 10\\n 일 때, 일 때, 상수 을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n문제 11\\n 행렬 가 일 때, 을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n도전문제\\n 행렬 ()에 대하여 가 성립할 때 다음 물음에 답하여라.\\n(1) 의 값을 구하여라. \\n(2) 을 구하여라. \\n\\n\\n\\n§4 케일리-해밀턴 정리 \\n이차정사각행렬 에 대하여 다음 등식이 성립한다.\\n\\t\\n이 등식을 이차정사각행렬에 대한 케일리-해밀턴 정리라고 한다. \\n\\n\\n질문\\nD\\n케일리- 해밀턴 정리를 증명하여라.\\n\\n행렬 에서 이면 케일리-해밀턴의 정리에 의하면, 가 성립한다. \\n역으로, 이면 도 성립하는지 알아보자.\\n\\n케일리-해밀턴의 정리에 의하면 \\n\\t \\n주어진 조건에서 \\n① - ②에서 \\n(ⅰ) 일 때,\\n\\t ∴ \\n 즉, 이면 \\n(ⅱ) 일 때, 의 꼴이므로 이것을 에 대입하면\\n , \\n ∴ , 또는 \\n ∴ \\n ∴ 또는 \\n(ⅰ), (ⅱ)에서 를 만족시키는 행렬 는 () 또는 이므로 케일리-해밀턴의 정리의 역은 성립하지 않음을 알 수 있다. \\n\\n\\n\\n문제 01\\n 일 때, 다음을 구하여라.\\n (1) 이 성립할 때, 실수 를 구하라.\\n (2) 을 계산하라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 02\\n 다음 물음에 답하여라.\\n(1) 가 를 만족시킬 때, 의 값을 구하여라.\\n(2) 가 를 만족시킬 때, 의 값을 구하여라.\\n\\n문제 03\\n 두 행렬 , 에 대하여 를 만족하는 행렬 가 존재할 때, 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n<참고> 유형별 구하기 \\n① …등을 차례로 계산하여 규칙성을 찾는다.\\n② 또는 를 만족하는 자연수 과 실수 를 찾는다.\\n → 케일리-해밀턴 정리를 이용하면 쉽게 알아낼 수 있다.\\n③\\u3000 ()일 때\\n → 을 이용한다. \\n④ 을 만족하는 를 찾아 이를 이용한다.\\n※ 를 추론하고, 수학적 귀납법으로 이를 증명한다.\\n\\n연습 문제 A\\n\\n\\n\\n\\n01\\n\\t이차정사각행렬 가\\n\\t\\t , \\n을 만족할 때, 를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n02\\n\\t좌표평면에서 세 점 을 꼭짓점으로 삼각형를 \\t\\t와 같이 행렬로 나타내기로 하자. 일 때, 다음 삼각형을 행렬로 나타내어라.\\n(1) 를 원점에 대하여 대칭이동시킨 삼각형\\n(2) 를 축, 축 방향으로 각각 만큼 평행이동한 삼각형\\n(3) 를 원점을 중심으로 배 확대한 삼각형\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n03\\n\\t이차정사각행렬 이 를 만족할 때, 를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n04\\n\\t행렬 에 대하여 \\t\\t이라 할 때, 을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n05\\n\\t일 때, 를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n06\\n\\t두 이차정사각행렬 에 대하여등식 (는 상수 )가 성립할 때, 모든 자연수 에 대하여 등식 이 성립함을 증명하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n07\\n\\t두 행렬 , 에 대하여 일 때, 다음 물음에 답하여라.\\n(1) 일 때, 임을 보여라.\\n(2) 일 때, 임을 보여라.\\n(3) 일 때, (은 자연수)을 만족시키는 를 구하여라.\\n\\n\\n연습 문제 B\\n\\n\\n\\n01\\n\\t이차정사각행렬 에 대하여 이라 할 때, 를 로 나눈 나머지를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n02\\n\\t행렬 가 을 만족할 때, 점 의 존재 범위를 도시하라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n03\\n\\t이고 에서 을 만족하는 이차정사각행렬 을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n04\\n\\t자연수 과 행렬 에 대하여 일 때, 를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n05\\n\\t행렬 에 대하여 다음을 구하여라.\\n(1) \\t\\t\\t(2) \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n06\\n\\t행렬 에 대하여 두 이차정사각행렬 가 다음 세 조건을 만족한다.\\n\\t\\t, , ()\\n다음 물음에 답하여라.\\n(1) 를 구하여라.\\n(2) 를 구하여라.\\n(3) 자연수 에 대하여 를 만족시키는 를 추정하고, 이를 수학적 귀납법으로 증명하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n07\\n 행렬 에 와 두 실수 에 대하여 가 성립할 때, 다음 물음에 답하여라.\\n(1) 를 로 나타내어라.\\n(2) 정수 에 대하여 일 때, 의 값을 구하여라.\\n(3) 정수 에 대하여 , 일 때, 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n행렬의 역사\\n\\n\\n\\n케일리\\n역사적으로는 행렬보다 행렬식에 관한 이론이 먼저 나왔다. 1693년 라이프니츠(Leibniz, G. W; 1646~1716)가 로피탈(L'Hospital, F.A.;1661~1704)에게 보낸 편지에서 미지수가 3개인 연립일차방정식을 다루었는데, 이때에 변수를 소거하는 방법에서 처음으로 행렬식을 다루었다고 알려져 있다. 그러나 그의 연구가 발표되지 않아 실제 이론의 발전에는 큰 영향을 주지 못하였다. 50년 후 크라머(Cramer, G.; 1704~1752)가 행렬식을 재발명하였으며 코시(Cauchy, A. L.; 1789~1857)에 이르러 오늘날의 행렬식에 가까운 형태로 발전하였다. 행렬식(determinant)이란 말은 1815년에 코시가 처음으로 명확하게 정의하고 사용하였다.\\n케일리\\n\\n행렬(matrix)은 1850년 실베스터(Sylvester,J,J.;1814~1897)가 직사각형의 수의 배열에 이름을 붙인 것으로 행렬에 관한 이론은 행렬식보다는 상당히 늦게 영국의 수학자 케일리(Cayley, A.; 1821~1895)가 변환의 이론에 대한 1858년에 발표한 논문 ‘행렬론’ 으로부터 시작하여 학문적으로 체계를 갖추게 되었다. \\n케일리는 이 논문에서 일차변환 를 로 \\n나타내었다. 하나의 일차변환을 실시한 후에 일차변환을 다시 실시한 결과는 또 다른 일차변환이 됨을 밝히고 이는 두 행렬의 곱과 관계가 있음을 알았다.\\n\\n프로베니우스\\n또한 케일리는 행렬의 합, 실수배, 단위행렬 등을 정의함으로써 행렬에 관한 연산 자체가 하나의 대수적인 구조를 형성하고 있다고 생각한 최초의 사람이었다.\\n프로베니우스\\n\\n케일리가 생각한 행렬은 케일리 자신과 실베스터, 프로베니우스(Frobenius, G. F.; 1849~1917) 등에 의하여 선형대수학으로 발전하였으며, 행렬을 오늘날과 같이 기호화하여 발전시킨 수학자는 독일의 프로베니우스(Frobenius, G. F. ; 1849~1917)이다. 그가 수학에 남긴 업적은 프로베니우스의 정리를 비롯하여 행렬에 대한 연구를 들 수 있으며, 그에 의하여 발견된 개념, 결과 등은 오늘날 중요한 의미를 가진다.\\n행렬의 이론은 19세기 후반에 발견된 수학의 한 분야이지만 현대 수학의 기초가 되는 내용으로 물리학이나 화학, 경제학을 비롯하여 컴퓨터를 이용하는 분야의 연구에 폭넓게 활용되고 있다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n2\\n역행렬과 연립일차방정식\\n\\n\\n§1 역행렬\\n(1) 역행렬의 뜻\\n\\n질문\\nD\\n세 행렬 에 대하여 를 만족시키는 행렬 를 구하여 보자.\\n\\n가 정사각행렬일 때, 를 동시에 만족하는 정사각행렬 가 존재하면 를 의 역행렬이라 하고 기호로 라 쓴다. 정사각행렬 가 역행렬이 존재할 때, 행렬 를 정칙행렬(nonsingular)이라 한다.\\n\\t\\t\\n<주의> 실수 에 대하여 , 이지만 행렬에서는 임을 유의하자.\\n\\n예제 1\\n\\n이차정사각행렬 에 대하여 의 역행렬이 일 때, 행렬 의 역행렬을 구하여라. (단, 는 단위행렬이다.)\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 이차정사각행렬 에 대하여 행렬 의 역행렬이 일 때, 의 역행렬을 로 나타내어라.\\n\\n\\n\\n\\n문제 02\\n 일 때, 의 역행렬을 로 나타내어라.\\n\\n\\n문제 03\\n 역행렬의 정의에 따라, 은 의 역행렬임을 밝혀라. 또, 이 외에 자기 자신이 역행렬인 행렬을 찾아보아라.\\n\\n\\n(2) 역행렬의 존재 조건\\n\\n질문\\nD\\n두 이차정사각행렬 에 대하여 조건 을 만족하는 행렬 의 역행렬 가 존재할 수 있는지를 알아 보아라. \\n\\n이므로 은 정칙행렬이 아니다.\\n의 역행렬은 존재할까?\\n의 역행렬을 라 가정하면 \\n\\n따라서, 의 역행렬은 존재하지 않는다. 영행렬 또는 을 만족하는 이차정사각행렬 처럼 역행렬이 존재하지 않는 행렬도 존재한다.\\n\\n영행렬이 아닌 이차정사각행렬 에 대하여 역행렬 가 존재하는 조건을 알아보고 역행렬 를 구하여 보자.\\n\\n케일리-헤밀턴의 정리에서 \\n\\t\\t\\n 따라서 이면 의 역행렬 가 존재하고\\n \\t\\t\\n 한편, 일 때, 의 역행렬 이 존재한다고 가정하자.\\n 라고 하면\\n \\t\\t이므로 ∴ \\n 따라서 , 즉 이 되어 모순이다.\\n\\n\\n\\n\\n이차정사각행렬의 역행렬\\n\\n\\n\\n행렬 에 대하여\\n(1) 일 때 의 역행렬가 존재하지 않는다.\\n(2) 일 때 의 역행렬 가 존재하고 \\n\\t\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n<참고> 에서 가 인지에 따라 의 역행렬의 존재유무를 판별한다. 이때, 를 행렬 의 행렬식(Determinant)이라 하고, 다음과 같이 나타낸다.\\n\\t\\t\\n\\n예제 2\\n\\n행렬 일 때, 실수 의 값에 관계없이 행렬 가 항상 역행렬을 갖도록 하는 상수 의 값의 범위를 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 04\\n 행렬 에 대하여 이고 인 이차정사각행렬 가 존재할 때, 상수 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n문제 05\\n 행렬 에 대하여 와 가 모두 역행렬을 갖지 않을 때, 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n문제 06\\n 임의의 실수 에 대하여의 역행렬이 존재하도록 상수 의 값의 범위를 구하여라.\\n\\n문제 07\\n 행렬 가 임의의 실수 에 대하여 역행렬을 갖도록 두 정수 의 값을 정할 때, 순서쌍 의 개수를 구하여라.\\n\\n\\n\\n도전문제\\n 이차정사각행렬 이\\n\\t, \\n을 만족할 때, 과 는 모두 역행렬을 갖는다. \\n(1) 이라 할 때, 과 사이의 관계식을 구하여라.\\n(2) 을 구하여라.\\n\\n\\n\\n(3) 역행렬에 대한 성질 \\n이차정사각행렬 의 역행렬이 존재할 때 역행렬은 오직 하나 뿐일까?\\n의 역행렬 가 있다고 하면,\\n\\t\\n즉, 의 역행렬은 오직 하나 뿐임을 알 수 있다.\\n또한, 가 존재할 때 이므로 는 의 역행렬이다.\\n즉, 다음이 성립한다.\\n\\t\\n\\n\\n\\n\\n역행렬의 성질\\n\\n\\n\\n의 역행렬이 존재하면\\n(1) 의 역행렬은 오직 하나 뿐이다. \\n(2) \\n(3) \\t\\t\\t\\n(4) (은 자연수)\\n(5) (는 이 아닌 실수) \\t\\n(6) 이면 \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n【증명】\\n(3) <주의> \\n\\n\\n문제 08\\n 역행렬의 성질 (4), (5) 를 증명하여라.\\n\\n\\n\\n문제 09\\n 이차방정식 의 두 근을 라 할 때, 두 행렬 에 대하여 행렬 를 구하여라.\\n\\n\\n\\n문제 10\\n 에 대하여 일 때, 의 역행렬의 모든 성분의 합을 구하여라.\\n\\n\\n\\n문제 11\\n 이차정사각행렬 중 적어도 하나가 역행렬을 갖지 않으면 가 역행렬을 갖지 않음을 증명하여라.\\n\\n\\n§2 연립일차방정식과 행렬\\n(1) 역행렬에 의한 연립일차방정식의 풀이\\n에 대한 연립일차방정식 를 행렬을 이용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다. \\n\\t ⇔ \\n <참고> 위의 연립방정식을 로 나타낼 수 있다.\\n\\n에 대한 연립일차방정식 를 행렬을 이용하여 풀어 보자.\\n라 하면 로 나타낼 수 있다. \\n\\t ⇔ \\n1) 일 때\\n의 역행렬 가 존재하므로 양변에 를 곱하면\\n\\t\\n즉, \\n2) 일 때\\n\\n하면 \\n\\n이상을 정리하면 다음과 같다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n연립일차방정식의 해\\n\\n\\n\\n에 대한 연립일차방정식 \\n ⇔ 에서\\n1) 인 단 한 쌍의 해가 존재\\n2) 부정 또는 불능\\n ⅰ) 부정\\n ⅱ) 불능\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n<참고> 에서 이외의 해를 가질 (즉 부정)조건\\n \\t\\t\\n\\n\\n예제 1\\n\\n행렬 의 역행렬이 일 때, 두 직선 의 교점의 좌표를 라 하자. 이 때, 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 연립일차방정식 의 해를 라 하면 가 성립한다. 이 때, 의 값을 구하여라. (단, , )\\n\\n\\n\\n문제 02\\n 점 를 지나고 기울기가 인 직선과 점를 지나고 기울기가 인 직선이 점 에서 만날 때, 이차정사각행렬 에 대하여 등식\\n\\t \\n가 성립한다. 행렬 를 구하여라. (단, ) \\n\\n\\n\\n문제 03\\n 에 대한 연립방정식 가 이외의 해를 갖도록 하는 실수 에 대하여 좌표평면에서 점 가 그리는 도형의 길이를 구하여라.\\n\\n\\n\\n문제 04\\n 두 행렬 에 대하여 \\n\\t , \\n를 모두 만족하는 실수 가 존재하도록 하는 상수 의 값을 구하여라.\\n\\n(2) 가우스 소거법 \\n행렬의 연산에 의하여 연립방정식을 풀거나 역행렬을 구하는 방법을 가우스 소거법이라 한다. 아래와 같은 행렬의 기본변형을 이용하여 계수행렬을 단위행렬로 변형할 때, 변형된 상수항의 행렬이 해가 된다.\\n(1) 연립방정식의 기본변형 \\n \\u3000① 두 방정식의 위치를 바꾼다.\\n ② 방정식의 양변에 0이 아닌 상수를 곱한다.\\n ③ 한 방정식의 양변에 적당한 수를 곱하여 다른 방정식에 더한다.\\n(2) 행렬의 기본변형\\n ① 두 행을 바꾸어 놓는다.\\n ② 한 행에 이 아닌 상수를 곱한다.\\n ③ 한 행에 어떤 수를 곱한 것을 다른 행에 더한다.\\n\\n\\n이를 테면 연립방정식 을 가우스 소거법으로 풀어 보자\\n방정식의 순서를 바꾸면 두 행을 바꾸어 놓는다.\\n \\t \\t\\n①×②를 하면\\n\\t \\t\\n①×③을 하면\\n\\t \\t\\n②×③을 하면\\n\\t \\t\\n③에 을 곱하면\\n\\t \\t\\n③×②를 하면\\n\\t\\t \\n②①을 하면\\n\\t\\t\\n③①을 하면\\n\\t \\t\\t\\n\\n\\n가우스 소거법의 순서(예)\\n① 삼차정사각행렬\\n →→→→→→→→\\n② 이차정사각행렬\\n → → → \\n\\n\\n\\n근이 무수히 많거나 근이 없는 경우(부정, 불능)의 가우스 소거법 또는 역행렬이 존재하지 않는 경우의 가우스 소거법은 보기와 같은 방법으로 한다. \\n\\n❚보기1❚\\n →→ \\n즉, 2행을 으로 만들 수 없으므로 오른쪽 행렬을 단위행렬로 변형할 수 없어 역행렬이 존재하지 않는다. \\n\\n\\n❚보기2❚\\n → : 해가 없다.\\n\\n❚보기3❚\\n → : 해가 무수히 많다. \\n\\n문제 05\\n 가우스 소거법을 이용하여 다음 행렬의 역행렬을 구하여라.\\n 1) \\t\\t\\t(2) \\n\\n\\n\\n문제 06\\n 연립방정식 을 다음 세 가지 방법으로 풀어라.\\n(1) 가감법 \\t\\t(2) 역행렬 \\t (3) 가우스 소거법\\n\\n\\n연습 문제 A\\n\\n\\n\\n01\\n행렬 에 대하여 행렬 가 를 만족할 때, 의 모든 성분의 합을 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n02\\n\\t역행렬이 존재하는 두 행렬 에 대하여 가 성립할 때, 을 간단히 나타내어라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n03\\n\\t이차방정식 의 두 실근 에 대하여 행렬 를 라 할 때, 행렬 의 역행렬 의 모든 성분의 합을 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n04\\n 행렬 의 역행렬의 모든 성분이 자연수가 되도록 하는 실수 를 구하여라.\\n \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n05\\n\\t, 일 때, 를 만족시키는 행렬 에 대하여 을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n06\\n\\t이차 정사각행렬 가 역행렬을 갖지 않고, 등식\\n\\t\\t \\n가 성립하도록 두 양수 의 값을 정할 때, 의 최솟값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n07\\n\\t일 때, 의 연립방정식 이 이외의 해를 갖는 다. 이 때, 의 최솟값을 구하여라.\\n \\n\\n\\n\\n\\n \\n\\n08\\n\\t다음 연립일차방정식을 가우스 소거법을 이용하여 풀어라.\\n (1) \\t\\t(2) \\n\\n\\n\\n\\n\\n연습 문제 B\\n\\n\\n\\n01\\n행렬 가 등식 을 만족시키고 의 역행렬이 존재 할 때, 의 값을 구하여라. (단, 는 단위행렬이고 는 영행렬이다.)\\n\\n\\n\\n\\n\\n \\n\\n02\\n\\t이하의 세 자연수 에 대하여 두 행렬 를\\n \\t\\t \\n라 하자. 의 역행렬 가 존재할 때, 를 만족시키는 행렬 를 모두 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n03\\n\\t음이 아닌 두 실수 에 대하여 행렬 가 를 만족할 때, 점 와 점 사이의 최단거리를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n04\\n\\t실수 에 대하여 두 집합 A, B를 다음과 같이 정의하자.\\n\\t\\t, \\n\\t\\t\\n일 때, 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n05\\n\\t오르막이 , 내리막이 인 언덕이 있다. 자동차로 이 언덕을 시속 로 일정하게 달릴 때, 오르막은 1당 , 내리막은 1당 를 갈 수 있다고 한다. 시속 를 유지하며 이 언덕을 넘었더니 연료는 를 사용했으며 시간이 걸렸다. \\n의 값을 행렬을 이용하여 구하면 등식\\n\\t\\t\\n이 성립한다고 할 때, 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n \\n\\n06\\n\\t행렬 에서 이 성립한다.\\n(1) 행렬 을 로 나타내어라. \\n(2) 실수 에 대하여 인 0이 아닌 실수 가 존재할 때 , 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n대단원 종합 문제\\n\\n\\n01\\n행렬 의 역행렬을 라 할 때, 의 모든 성분의 합을 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n02\\n행렬 에 대하여 , 으로 귀납적으로 정의할 때, 을 구하여라.(단, 의 자연수)\\n\\n\\n\\n\\n\\n03\\n행렬 , 에 대하여 가 어떤 실수 값을 갖더라도 인 관계를 만족하는 행렬 가 존재하도록 하는 정수 는 몇 개인지 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n04\\n2행 2열의 행렬 에 대하여 는 실수이고, 인 행렬 을 삼각행렬이라고 하자. 또 이다.\\n(1) 을 만족하는 삼각행렬 를 구하여라. \\n(2) 을 만족하는 삼각행렬 를 구하여라.\\n(3) 삼각행렬 가 을 만족하면 임을 증명하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n05\\n이차정사각행렬 에 대하여 가 성립할 때, 의 역행렬을 구하여라. (단, 는 실수, 는 단위행렬, 는 영행렬이다.) \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n06\\n두 행렬 , 에 대하여 \\n\\n를 만족하는 행렬 가 존재할 때, 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n07\\n행렬 이고, 에서 을 만족하는 이차정사각행렬 을 모두 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n08\\n실수 에 대하여 라 할 때\\n(1) 을 만족하는 행렬 를 구하여라.\\n(2) 를 만족하는 행렬 를 구하여라.\\n\\nⅢ. 공간도형과\\n 공간좌표\\n\\n\\n 1. 공간도형\\t\\t2. 공간좌표\\n\\n우리가 살고 있는 3차원 공간은 건축물, 책상, 연필, 축구공 등과 같은 입체로 가득차 있는데 이들은 다면체나 원기둥, 구 등의 공간도형으로 이루어져 있다. 따라서 공간도형의 기본 성질에 대한 이해는 우리가 살고 있는 3차원 공간을 이해하는 데 필수적이다. \\n\\n\\n1\\n공간도형\\n \\n\\n§1 직선과 평면의 위치관계\\n(1)공간도형에서 사용되는 공리\\n\\n\\n① 두 점을 지나는 직선은 오직 하나 있다.(결합의 공리)\\n② 도형은 그 모양, 크기를 변하지 않고 임의의 위치에 이동시킬 수 있다.(합동의 공리)\\n③ 한 직선 밖의 한 점을 지나서, 그 직선에 평행인 직선은 오직 하나 있다.(평행선의 공리)\\n④ 평면 위의 두 점을 지나는 직선 위의 점은 모두 그 평면 위에 있다.(평면과 직선의 관계) → 이 때, 평면은 직선을 품는다고 한다.\\n⑤ 한 직선 위에 없는 세 점을 지나는 평면은 오직 하나 있다.(평면 결정의 공리)\\n⑥ 두 평면은 한 점만을 공유할 수 없다.(평면과 평면의 관계)\\n 1) ①, ②, ③은 평면도형에서의 기본성질(공리)이다.\\n 2) ① : 직선의 결정공리, ⑤ : 평면의 결정공리, ④ : 평면과 직선의 관계 공리\\n※ 공간도형에서는 점은 …, 직선은 평면은 등의 문자를 사용한다.\\n\\n(2)평면의 결정조건\\n 공간에서 서로 다른 두 점 A, B를 지나는 직선은 오직 하나 존재하지만 서로 다른 두 점 A, B를 지나는 평면은 무수히 많다. 그러나 공간에서 한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점을 지나는 평면은 오직 하나이다.\\n\\nA\\nB\\nC\\n\\n\\n 이때, 두 점 A, B는 한 직선을 결정하므로 직선 AB와 직선 AB 위에 있지 않은 한 점 C를 동시에 지나는 평면은 단 하나 뿐이다.\\n 또, 공간에서 한 점에서 만나는 두 직선은 한 평면을 결정하고 평행한 두 직선도 한 평면을 결정한다.\\n 따라서 공간에서 오직 하나의 평면이 결정될 조건은 다음과 같다.\\n\\n\\n\\n\\n평면의 결정조건\\n\\n\\n\\n(1) 한 직선 위에 있지 않은 세 점 \\t \\n(2) 한 직선과 직선 밖의 한 점\\n(3) 만나는 두 직선\\n(4) 평행한 두 직선\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n정리 1\\n 한 직선과 직선 밖의 한 점을 포함하는 평면은 오직 하나 존재한다.\\n\\n【증명】 \\nⅰ) 존재성\\n한 직선을 , 직선 밖의 한 점을 라 하자. \\n직선 위의 두 점 를 잡으면, 세 점 는 한 직선 위에 있지 않으므로 공리 에 의하여 세 점 를 포함하는 평면이 오직 하나 존재한다. \\n이 평면을 라 하자. (즉 )공리 ④에 의하여 두 점 를 지나는 직선 는 평면 에 포함된다. 따라서 직선 와 점 를 포함하는 평면 가 존재한다.\\nⅱ) 유일성\\n공리 ⑤에 의하여 직선 와 점를 포함하는 평면은 한 직선 위에 있지 않은 세 점 를 포함하므로 직선 와 점를 포함하는 평면은 오직 하나 있다.\\n\\n\\n\\n정리 2\\n 교차하는 두 직선을 포함하는 평면은 오직 하나이다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n【증명】 두 직선 의 교점을 라 하자. 위에 점 이외의 두 점 를 잡으면 세 점 를 지나는 평면은 오직 하나 있다. (공리⑤)\\n점 와 점 는 평면 위에 있으므로 직선 는 평면 에 포함된다.(공리④)\\n따라서 만나는 두 직선을 포함하는 평면은 오직 하나이다.\\n\\n\\n\\n 정의\\n\\n 두 직선이 같은 평면 위에 있고 두 직선이 교차하지 않을 때, 두 직선은 평행하다.\\n\\n\\n정리 3\\n 평행한 두 직선을 포함하는 평면은 오직 하나이다.\\n\\n【증명】 평행한 두 직선 를 포함하는 평면은 적어도 하나 존재 (∵ 평행선의 정의)\\n직선 와 직선 위의 한 점 를 포함하는 평면은 오직 하나 존재한다. 그 평면을 라 하자. 즉 \\n그런데 두 직선 를 포함하는 평면의 집합은 와 를 포함하는 집합의 부분집합이므로 이 평면은 평면 와 같다.\\n\\n(3)두 직선의 위치관계\\n\\n 공간에서 서로 다른 두 직선이 한 평면을 결정하면 이 두 직선은 서로 만나거나 평행하지만 두 직선이 한 평면을 결정하지 않으면 서로 만나지도 평행하지도 않는다. 즉, 두 직선은 꼬인 위치에 있다.\\n 일반적으로 공간에서 서로 다른 두 직선 의 위치 관계는 다음 세 가지 경우가 있다.\\n\\n\\n\\n\\n두 직선의 위치관계\\n\\n\\n\\n(1) 한 점에서 교차한다\\n(2) 평행하다 \\n(3) 꼬인 위치에 있다 ⇔ 같은 평면 위에 있지 않다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n정리 1\\n 이고 라 하면 직선 는 같은 평면에 있지 않다.\\n\\n【증명】 가 같은 평면 위에 있다고 가정하면 는 와 를 포함하므로 이다. ∴ 이므로 모순\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 꼬인 위치에 있는 두 직선 위에 서로 다른 두 점 와 를 각각 잡으면 직선 와 직선 도 꼬인 위치에 있음을 보여라.\\n\\n\\n(4)직선과 평면의 위치관계\\n 공리 ④에 의하면 직선과 평면이 두 점 이상을 공유하면 직선은 평면에 포함된다. 또한 직선과 평면이 한 점을 공유할 때도 있고, 공유점이 없을 때도 있다.\\n 직선과 평면이 한 점 만을 공유할 때, 직선과 평면은 교차한다 또는 만난다 라고 하고 그 공유점을 교점이라 한다. 또, 직선과 평면이 공유점이 없을 때, 직선과 평면은 평행하다고 하고. 기호로 와 같이 나타낸다.\\n\\n\\n\\n\\n직선과 평면의 위치관계\\n\\n\\n\\n(1) 직선이 평면에 포함된다. \\t(포함)\\n(2) 한 점만 공유한다. \\t\\t(교차)\\n(3) 한 점도 공유하지 않는다. \\t(평행)\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 02\\n 정사면체 ABCD에 대하여 다음을 구하여라.\\n(1) 직선 AB를 포함하는 평면\\n(2) 직선 AB와 만나는 평면\\n\\n(5)두 평면의 위치관계\\n \\n 두 평면이 공유점을 가지면 그 점뿐만 아니라 그 점을 지나는 한 직선을 공유한다. 이때, 두 평면은 만난다고 하고, 공유하는 직선을 두 평면의 교선이라 한다. 또, 두 평면 가 공유점을 가지지 않을 때, 두 평면 , 는 평행하다고 하고 기호로 와 같이 나타낸다.\\n 일반적으로 서로 다른 두 평면 의 위치 관계는 다음 두 가지 경우가 있다.\\n\\n\\n\\n\\n두 평면의 위치관계\\n\\n\\n\\n(1) 두 평면이 한 직선을 공유하는 경우\\n(2) 두 평면이 평행한 경우\\n \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n정리 1\\n 서로 다른 두 평면이 한 점을 공유하면 이들 두 평면은 한 직선을 공유하고 그 직선 외에는 공유점이 없다. 즉, \\n, 은 직선\\n\\n【증명】 가 공유점을 가질 때는 공리 ⑥에 의하여 한 점만을 공유할 수 없으므로 적어도 두 점 를 공유한다.\\n두 점 를 지나는 직선 (공리 ④)\\n \\n두 평면 가 직선 밖의 점 를 공유한다면 이므로 모순\\n\\n\\n\\n예제 1\\n\\n세 직선 가 평면 와 각각 세 점에서 만날 때, 세 점은 동일 직선 위에 있음을 증명하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 03\\n 세 평면 와 두 직선 에 대하여 이면 임을 증명하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 04\\n 서로 다른 세 평면 에 의하여 공간은 개의 부분으로 나누어진다. 이때, 자연수 의 최솟값과 최댓값을 구하여라.\\n\\n§2 직선과 평면의 평행과 수직\\n(1)직선과 평면의 평행\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n정리 1\\n 평면 위의 직선 와 평면 위에 있지 않는 직선 가 평행하면 직선 는 평면 와 평행하다. 즉,\\n , \\n\\n【증명】 와 가 평행이 아니라 가정하면 \\n \\n 이므로 인 평면 가 존재한다. 따라서\\n \\n ∴ \\n(모순) \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n정리 2\\n 직선 가 평면 와 평행하고, 직선 를 포함하는 평면 와 평면 의 교선이 이면 두 직선 는 평행하다. 즉,\\n\\n\\n【증명】 가 평행이 아니라고 가정하면 \\n (모순)\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n정리 3\\n 평행한 두 직선 는 각각 평면 , 위에 있고, 두 평면 와 의 교선을 라 하면 두 직선 는 모두 직선 와 평행하다. 즉, \\n \\n\\n【증명】 (∵ 정리1)\\n (∵ 정리1)\\n (∵ 정리2)\\n (∵ 정리2)\\n\\n\\n예제 1\\n\\n세 직선 에 대하여 임을 보여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 평면 밖의 한 점 A에서 만나는 두 직선 가 모두 에 평행하면 를 포함하는 평면 는 와 평행임을 증명하여라.\\n\\n\\n\\n문제 02\\n 평행한 두 직선 가 있다. 직선 와 평면 의 교점을 라고 하면 직선 와 평면 는 만남을 보여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n따름정리\\n 이면 \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n【증명】 라 가정하면 \\n와 위의 점를 포함하는 평면을 , 라 하면 (정리2)\\n, 이므로 (문제2)\\n따라서 이 되어 모순\\n\\n\\n\\n문제 03\\n 세 평면 와 직선 에 대하여 \\n 일 때, 다음을 보여라. \\n(1) \\n(2) 직선 에 대하여 라 하면 \\n(2)직선과 평면의 수직\\n\\n\\n질문\\nD\\n공간에서 두 직선 사이의 각을 정의하기 위해서는 어떤 사실들이 필요한가?\\n\\n\\n질문\\nD\\n평면에서 두 직선이 이루는 각은 두 직선을 각각 평행하게 이동하여도 변하지 않는다. 공간에서도 이 사실이 성립하는가?\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n정리 1\\n 공간에서 두 직선 와 각각 같은 방향으로 평행한 두 직선 를 임의의 한 점 를 지나서 그으면 의 크기는 일정하다. (두 직선이 이루는 각에 대한 정의가 well-defined임)\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n【증명】 , , , 되게 를 그으면 \\n 은 평행사변형이 된다. \\n∴ , \\n평행사변형\\n∴ \\n\\n\\n\\n 정의\\n\\n 두 직선 사이의 각\\nⅰ) 를 두 직선 가 이루는 각 ([정리1]에 의하여 각을 정의할 수 있다.)\\nⅱ) 가 직각일 때, 두 직선 는 수직 , 기호 , 특히 두 직선 가 수직으로 만날 때, 두 직선 를 직교한다고 한다.\\n\\n\\n 정의\\n\\n 직선과 평면의 수직, 점과 평면 사이의 거리\\n직선 와 평면 가 한 점 에서 만나고(), 평면 위에 있는 점 를 지나는 모든 직선과 직선 가 수직일 때, 직선 는 평면 와 수직이라 하고, 기호 로 나타낸다. 이 때, 직선 를 점 에서 평면 에 내린 수선, 점 를 수선의 발이라 한다. 또, 위의 한 점 에 대하여 선분의 길이를 점 와 평면 사이의 거리라고 한다.\\n\\n\\n정리 2\\n평면 위의 두 직선 의 교점 를 지나고 와 각각 수직인 직선 은 평면 와 수직이다. 즉, \\n \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n【증명】 위에 가 아닌 점 를 잡자. 점 를 지나 평면 에 포함되는 임의의 직선 를 긋고 평면 위에 세 직선 와 만나는 직선을 긋고 그 교점을 라 하자. \\n 위에 되게 점 을 잡으면 은의 수직 이등분선이므로 이므로 이다. 따라서\\n이므로이다.\\n이므로\\n \\n\\n\\n예제 2\\n\\n직선 이 평면 와 수직이면 평면 위의 모든 직선이 과 수직임을 보여라. 즉, 다음을 증명하여라.\\n \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n정리 3\\n 평면 위에서 만나는 두 직선 와 각각 수직인 직선 은 평면 와 수직이다. 즉,\\n \\n\\n【증명】 라 하자. 점 를 지나 과 평행한 직선을 라 하자. \\n이므로 이다. 정리)\\n이므로 \\n점을 지나 에 평행한 를 만들면 \\n\\n\\n정리 4\\n 점 를 지나고 평면 에 수직인 직선(=수선)은 오직 하나 있다.\\n\\n【증명】\\n일 때, (유클리드 원론 11권 법칙11)\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n① 작도 및 존재성 : 점 를 포함하는 평면 β와 α가 만나는 교선을 라 하고, 에서 직선 에 내린 수선의 발을 라 하자. 에서 평면 α에 포함되고 에 수직인 직선 를 긋는다. 또 에서 직선 에 내린 수선의 발을 라 하자.\\n이제 직선 가 에 수직임을 보이자. \\n 이므로 \\n \\n 또, 이므로 \\n\\n\\n\\n\\n\\n (B=C인 경우는 이므로 )\\n② 유일성 :\\n 의 내각의 합은보다 크다. (모순 : 유클리드 원론 1권 법칙32 참조)\\n\\nⅱ)일 때 (유클리드 원론 11권 법칙12)\\n① 작도 및 존재성 : 에서 평면 와 의 교선 에 내린 수선의 발을 라 하자. 에서 를 지나고 에 수직인 직선 를 긋고, 와 로 이루어진 평면을 라 하자. 평면 에서 점 를 지나고 에 수직인 직선을 그어 와 만나는 점 를 잡는다. \\n이제 직선 가 에 수직임을 보이자. \\n \\n또, 이므로 \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n(다른 방법)\\n평면 밖의 한 점 B를 잡으면 ⅰ)에 의하여 의 수선 BO가 존재한다. \\nA를 지나면서 BO에 평행한 직선 AB'을 그으면 AB'⊥\\n\\n② 유일성 : (유클리드 원론 11권 법칙13)\\n 이라 하자. AC와 을 지나는 평면과 의 교선을 MN이라 하자. \\n 세 점 이 한 직선 위에 있지 않으면 평면에서 점 를 지나 에 수직인 직선이 두 개가 되어 모순이다. (MN이 를 넘어 모순)\\n\\n\\n예제 3\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n일 때, 점 에서 로의 수선으로 결정되는 평면 는 와 수직임을 보여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\nD\\nA\\nB\\nC\\nE\\nF\\nG\\nH\\n\\n문제 04\\n 정육면체 ABCD-EFGH에서 다음을 보여라.\\n (1) \\n (2) \\n\\n\\n\\n문제 05\\n 공간에서 서로 다른 직선 와 서로 다른 평면 에 대하여 다음 중 옳은 것을 모두 골라라.\\n① 이면 ② 이면 \\n③ 이면 ④ 이면 \\n⑤ 이면 ⑥ 이면 이다.\\n(3)삼수선의 정리\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n그림과 같이 점 A는 평면 위에 있지 않는 한 점, 직선 는 평면 위의 한 직선, 점 B는 직선 위의 한 점, 점 O는 평면 위에 있으나 직선 위에 없는 한 점이라 하면, 다음 성질이 성립한다. \\n1) \\n (방법1) 일반적인 방법\\n (방법2) 위에 한 점 잡고 피타고라스 정리를 이용하여 증명할 수도 있다.\\n (방법3) 위에 가 되도록 C, D를 잡으면 \\n 이므로 이다. \\n 따라서 가 되어 \\n \\n2) \\n3) \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 06\\n 평면 밖의 점에서 평면 에 내린 수선의 발을 라고 하면, 위의 임의의 점 에 대하여 임을 보여라.\\n\\n\\nI\\nA\\nB\\nC\\nD\\nF\\nG\\nH\\nE\\n\\n문제 07\\n 오른쪽 그림과 같은 직육면체에서 이라 하고, 점 D에서 선분 EG에 내린 수선의 발을 I라 할 때, 선분 DI의 길이를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n삼수선의 정리\\n\\n\\n\\n점 A는 평면 위에 있지 않는 한 점, 직선 는 평면 위의 한 직선, 점 B는 직선 위의 한 점, 점 O는 평면 위에 있으나 직선 위에 없는 한 점이라 할 때,\\n(1) \\n(2) \\n(3) \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n§3 정사영\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n(1)이면각\\n\\n 정의\\n\\n 오른쪽 그림과 같이 직선 을 공유하는 두 반평면 가 이루는 도형을 이면각이라고 한다. \\n(ⅰ) : 이면각의 변, : 이면각의 면\\n(ⅱ) , 이면 직선 위의 점의 위치에 관계없이 의 크기는 일정하다. 이 각의 크기를 이면각의 크기라 한다.\\n(ⅲ) 두 평면이 만나면 개의 이면각이 생긴다. 그 중 한 이면각의 크기를 두 평면이 이루는 각이라고 한다. \\n(ⅳ) 평면 가 이루는 각이 직각일 때, 이 두 평면은 수직이라 하고, 로 나타낸다.\\n\\n\\n질문\\nD\\n위 정의는 잘 정의되었는가? 즉, 이면각의 크기는 O의 위치에 관계없이 일정한가?\\n\\n\\n예제 1\\n\\n위 [정의1]에서 의 크기는 일정함을 증명하여라. \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n 정의\\n\\n 일 때, 직선 위의 임의의 점 에서 에 내린 수선의 발을 라 하자. 이 때, 를 직선 와 평면 가 이루는 각이라 한다. \\n\\n\\n\\n문제 01\\n 위 [정의 2]에서 A의 위치에 상관없이 각의 크기가 일정함을 보여라.\\n\\n\\n정리 1\\n 어떤 직선이 어떤 평면과 수직이면, 그 직선을 포함하는 모든 평면은 그 평면과 수직이다. 즉, (유클리드 원론. 11권. 법칙 18)\\n\\n【증명】 이라 하면 이므로 또, 평면 에서 점 를 지나고 에 수직인 직선을 ()라 하면 이므로 \\n\\n\\n\\n문제 02\\n 서로 수직인 두 평면 가 있다. 다음을 증명하여라.\\n(1) 와 의 교선이 존재하는 이유를 말하여라. \\n(2) 위의 한 점 A에서 와 의 교선 에 내린 수선은 평면 와 수직이다. \\n(3) 위의 한 점 A에서 에 내린 수선의 발은 의 교선 위에 있다.\\n(4) 교선 위의 한 점 B를 지나 에 수직인 직선 을 에 그으면 은 평면 에 수직이다.\\n(5) 교선 위의 한 점 B에서 에 수직인 직선 을 그으면 은 평면 에 있다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n예제 2\\n\\n두 평면이 어떤 평면과 수직이라고 하자. 그러면 두 평면의 교선도 그 평면과 수직임을 보여라. 즉, 다음을 증명하여라.\\n \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n정리 2\\n 두 평행선들이 있는데, 그들 중 하나가 어떤 평면과 수직이라고 하자. 그러면 나머지 한 직선도 그 평면과 수직이다. 즉, (유클리드 원론 11권. 법칙8)\\n\\n【증명】 라 하자. O를 지나는 위의 두 직선 을 그으면 이므로 이다. 한편 이므로 인 P가 존재한다. P를 지나며 과 평행인 직선을 각각 이라 하면 이므로 이고 따라서 이다. \\n\\n\\n\\n정리 3\\n 두 직선이 같은 평면에 대해 수직이면, 그 두 직선은 서로 평행하다. 즉, (유클리드 원론. 11권. 법칙6)\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n【증명 1】 \\n(정리1)\\n이므로 위의 점 를 지나고 에 수직인 직선은 위에 있다. (∵ 유일성)\\n따라서 는 평면 위에 있고 이므로 이다.\\n\\n【증명 2】 위의 한 점 (이어도 상관없음)을 잡고, 을 지나며 와 평행인 직선을 이라 하자. 정리2에 의하여 이다. 은 을 지나며 와 수직이므로 이고 따라서 이다.\\n\\n\\n 정의\\n\\n 평행한 두 평면 사이의 거리 : 두 평면 중 어느 한 평면에서 임의의 한 점을 잡고 그 점에서 다른 평면까지의 거리로 정의한다.\\n\\n\\n질문\\nD\\n위 [정의3]은 잘 정의되었는가? 이를 알아보기 위해서 무엇을 하여야 하는가?\\n\\n\\n\\n문제 03\\n 일 때, 평면 위의 임의의 두 점 에서 까지의 거리는 같음을 보여라.\\n\\n(2)정사영\\n\\n\\n\\n\\n 정의\\n\\n \\n(1) 점 에서 평면 에 그은 수선의 발 을 점 의 평면 위로의 정사영이라 한다.\\n(2) 도형 의 각 점에서 평면 에 내린 수선의 발로 이루어진 도형 을 도형 의 평면 위로의 정사영이라 한다.\\n\\n\\n\\n\\n정리 1\\n 평면 에 수직이 아닌 직선 의 위로의 정사영은 직선이다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n【증명】 위의 한 점 에서 위로의 정사영을 이라 하자. 로 결정되는 평면을 라 하고 이라 하면 이므로 이다.따라서 위의 임의의 한 점 에서 에 내린 수선의 발을 이라 하면 은 평면 위에 있다. (이므로 한 평면 위에 있고, 가 모두 평면 위에 있으므로 도 위에 있음)∴ 는 와 의 교선 위에 있다.\\n\\n\\n 역으로 직선 위의 한 점 에서 와 수직인 직선 를 위에 그으면 (이므로 ) 수선은 와 만난다. () 그 교점을 라 하면 은 에서 위로의 정사영이다. 따라서 직선 의 평면 위로의 정사영은 이다.\\n\\n\\n문제 04\\n 직선 와 평면 가 수직일 때, 직선 의 평면 위로의 정사영은 한 점 임을 보여라.\\n\\n\\n\\n정리 2\\n 직선 와 평면 가 이루는 각을 라 할 때, 직선 위의 선분의 위로의 정사영을 이라 하면, 이다.\\n\\n【증명】 점를 지나 와 평행선을 그어 와 교점을 라 하자.는 평행사변형∴ \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n정리 3\\n 두 평면 가 이루는 각을 라 하고, 위의 넓이가 인 도형의 위로의 정사영의 넓이를 이라고 하면, \\n\\t\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 05\\n 일 때, 가 최솟값을 갖는 점 의 위치를 찾아라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\nA\\nB\\nC\\nD\\nF\\nG\\nH\\nE\\n\\n문제 06\\n 한 변의 길이가 2인 정육면체가 오른쪽 그림과 같을 때, 사각형 ABCD를 평면 AFH 위로 정사영한 도형의 넓이를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n연습 문제 A\\n\\n\\nA\\nB\\nC\\nD\\n\\n\\n01\\n정사면체 ABCD에서 모서리 AB와 면 BCD가 이루는 각의 크기를 라 할 때, 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n02\\n밑면의 반지름이 인 직원기둥을 밑변과 의 각을 이루는 평면으로 자르니, 그 단면이 타원이 되었다. 그 타원의 넓이를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n03\\n지름 의 길이는 모선 의 길이는 인 직원뿔이 있다. 모선 위의 점을 에 대하여 일 때 원뿔의 옆면을 따라 A에서 C까지 가는 최단거리를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n04\\n밑면의 반지름이 높이 인 직원기둥이 평면 와 의 각을 이룰 때, 평면 위로의 정사영의 넓이를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\nA\\nB\\nC\\nD\\nF\\nG\\nH\\nE\\n\\n05\\n정육면체 에서 의 위로의 정사영의 넓이가 일 때, 정육면체의 모서리의 길이를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n06\\n정육면체 에서 \\n(1) ⊥를 증명하여라.\\n(2) 에서 평면 까지의 거리를 구하여라. (단, ) (문제5 그림 참조)\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n07\\n이고 교선 위의 한 점 에서 그림처럼 위로 각각 가 되는 두 직선을 그을 때, 의 크기를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n08\\n한 변의 길이가 인 정팔면체 에서 평면 가 평면 와 이루는 각의 크기를 라 할 때, 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n연습 문제 B\\n\\n\\n\\n01\\n오른쪽 그림과 같이 지면에 수직으로 서 있는 문에 반지름의 길이가 6cm인 원형의 창문이 있다. 햇빛이 지면에 60˚의 각을 이루고 문에 정면으로 비췄을 때, 지면에 생기는 문의 그림자에서 밝은 부분의 넓이를 구하여라. \\n\\n\\n\\nA\\nP\\nB\\nC\\nD\\nQ\\n\\n\\n02\\n한 변의 길이가 인 정사면체 의 부피와 변 위의 와 변 위의 점을 에 대하여 선분 의 최솟값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n03\\n서로 직교하는 세 선분 의 길이를 라 할 때\\n (1)의 넓이를 구하여라.\\n (2) 점와 평면 사이의 거리를 구하여라.\\n (3) 점에서 평면 에 내린 수선의 발은 의 수심임을 증명하여라.\\n\\n\\n\\n\\n04\\n평면 위에 세 선분 가 있고, 에 수직인 선분 가 있다. 는 의 중점이고 , , , 이다. \\n(1) 의 길이를 구하여라.\\n(2) 임을 증명하여라.\\n\\n\\n2\\n공간좌표\\n \\n\\n§1. 공간좌표 \\n(1) 좌표공간(coordinate space)\\n\\n\\n 공간에서 원점 를 지나고 서로 수직으로 만나는 세 수직선 를 각각 축, 축, 축이라 하고, 세 축을 직교좌표축 또는 간단히 좌표축(coordinate axis)이라 한다. 또 축과 축을 포함하는 평면을 평면, 축과 축을 포함하는 평면을 평면, 축과 축을 포함하는 평면을 평면이라 하고, 이들 세 평면을 좌표평면(coordinate plane)이라 한다.\\n 이와 같이 좌표축이 정해진 공간을 좌표공간이라 한다.\\n\\n\\n예제 1\\n\\n좌표공간에서 다음을 말하여라.\\n(1) 평면, 평면, 평면의 교점 \\t\\n(2) 축과 수직인 좌표평면 \\n(3) 평면과 평면의 교선 \\t\\t\\n(4) 평면에 수직인 좌표축 \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n몽주(Monge, 1746~1818)는 공간도형을 평면 상에 정확히 그리는 방법을 연구하는 학문인 화법 기하학을 창시한 프랑스의 수학자이다.\\n(2) 점의 좌표(coordinates of point)\\n 좌표공간의 한 점 에 대하여 점 를 지나고 축, 축, 축에 수직인 평면이 이들 축과 만나는 점을 차례로 , , 라고 하자. 이때, 세 점 , , 의 축, 축, 축 위에서의 좌표를 각각 , , 라고 하면 점 에 대응하는 세 실수의 순서쌍 가 정해진다.\\n 역으로, 세 실수의 순서쌍 가 주어지면 공간에 있는 한 점 를 대응시킬 수 있다.\\n따라서 공간의 점 와 세 실수의 순서쌍 는 일대일로 대응된다.\\n이때, 점 에 대응하는 세 실수의 순서쌍 를 점 의 공간좌표라 하고, , , 를 각각 좌표, 좌표, 좌표라고 한다. 점 의 좌표가 일 때, 이것을 기호로 \\n \\n와 같이 나타낸다.\\n\\n\\n예제 2\\n\\n오른쪽 그림에서 다음 물음에 답하여라.\\n(1) 의 좌표를 구하여라. \\n(2) 임을 설명하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 다음을 좌표로 갖는 점을 좌표공간에 나타내어라.\\n(1) (2) \\n(3) (4) \\n\\n\\n\\n\\n문제 02\\n 점 에 대하여 다음 점의 좌표를 구하여라.\\n(1) 평면에 대한 대칭점\\t\\t\\n(2) 평면에 대한 대칭점\\n(3) 평면에 대한 대칭점\\n\\n§2. 두 점 사이의 거리 \\n \\n 좌표공간에서의 두 점 사이의 거리를 구해 보자. \\n 직선 가 세 좌표평면에 평행하지 않은 경우, 선분 를 대각선으로 하는 직육면체에서\\n\\n \\n 직선 가 세 좌표평면 중 어느 한 평면에 평행한 경우에도 위의 식은 성립한다.\\n\\n이상을 정리하면 다음과 같다. \\n\\n\\n\\n\\n공간에서 두 점사이의 거리\\n\\n\\n\\n두 점 P(), Q() 사이의 거리는\\n \\t\\n특히, 원점 O와 점 P() 사이의 거리는\\n \\t\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n예제 1\\n\\n다음 두 점 사이의 거리를 구하여라.\\n (1) \\t\\n (2) \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 두 점 로부터 같은 거리에 있는 축 위의 점 의 좌표를 구하여라.\\n\\n\\n\\n예제 2\\n\\n세 점 를 꼭짓점으로 하는 삼각형의 꼴을 말하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n문제 02\\n 두 점 에 대하여 평면 위에 점 를 잡아 가 정삼각형이 되도록 점 의 좌표를 정하여라.\\n\\n\\n\\n\\n문제 03\\n 인 직사각형 모양의 종이 를 대각선 가 접는 금이 되게 접어서 의 평면과 의 평면이 수직이 되도록 할 때, 두 점 사이의 거리를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n§3. 선분의 내분점과 외분점 \\n \\n 좌표공간에서의 두 점 , 를 이은 선분 를 (, )으로 내분하는 점 의 좌표 를 구해 보자. \\n세 점 , , 의 평면 위로의 정사영을 각각 , , 이라고 하면 그 좌표는 각각\\n , , \\n이고,\\n \\n이다.\\n 따라서 선분 의 내분점의 좌표를 평면 위에서 생각하면\\n , \\n이다. \\n 마찬가지로 세 점 , , 의 평면(또는 평면) 위로의 정사영을 이용하여 점 의 좌표를 구하면 이므로 점 의 좌표는 다음과 같다.\\n \\n 특히, 두 점 , 를 이은 선분 의 중점 은 로 내분하는 점이므로 점 의 좌표는 다음과 같다.\\n \\n 같은 방법으로 두 점 , 를 이은 선분 를 외분하는 점의 좌표도 구할 수 있다. \\n\\n\\n\\n\\n\\n좌표공간 위의 선분의 내분점과 외분점 \\n\\n\\n\\n두 점 , 를 잇는 선분을\\n① (, )으로 내분하는 점 의 좌표는\\n \\n 특히, 중점의 좌표는 \\n② (, , )으로 외분하는 점 의 좌표는\\n \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n예제 1\\n\\n세 점 (), (), ()를 꼭짓점으로 하는 의 무게중심 의 좌표를 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 두 점 를 이은 선분 를 로 내분하는 점과 외분하는 점의 좌표를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n문제 02\\n 세 점 을 꼭짓점으로 하는 삼각형 의 무게중심과 원점 사이의 거리를 이라 할 때, 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n문제 03\\n 두 점 를 이은 선분 가 평면에 의하여 로 내분되고 축에 의하여 으로 외분된다고 할 때, 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n§4. 구의 방정식 \\n(1) 구의 방정식\\n 공간에서 한 정점으로부터 일정한 거리에 있는 점 전체의 집합을 구 또는 구면이라고 한다. 이때, 정점을 구의 중심, 구의 중심과 구 위의 한 점을 이은 선분을 구의 반지름이라고 한다.\\n 오른쪽 그림과 같이 중심이 , 반지름의 길이가 인 구 위의 임의의 점을 라고 하면\\n \\n이므로\\n ……㉠\\n가 성립한다.\\n식 ㉠의 양변을 제곱하면 구의 방정식\\n ……㉡\\n을 얻는다.\\n 역으로, 방정식 ㉡을 만족하는 임의의 점 에 대하여 이므로 점 는 중심이 이고, 반지름의 길이가 인 구 위의 점이다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n구의 방정식\\n\\n\\n\\n중심이 이고, 반지름의 길이가 인 구의 방정식은\\n\\t\\n특히, 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 구의 방정식은\\n \\t\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n(2) 구의 방정식의 일반형\\n 구의 방정식 을 전개하여 정리하면\\n \\n여기서, , , , 로 놓으면\\n ……㉢\\n의 꼴이 된다. \\n 역으로, , , 에 대한 이차방정식 ㉢을 완전제곱꼴로 변형하면\\n \\n이므로 이면 ㉢은\\n중심이 , 반지름의 길이가 인 구를 나타낸다.\\t\\n이때, ㉢을 구의 방정식의 일반형이라고 한다.(단, ) \\n(3) 구와 좌표평면이 만날 때 생기는 교선(원)의 방정식\\n 구 과 좌표평면이 두 점 이상에서 만나게 되면 구와 좌표평면의 교선은 그 좌표평면 위의 원으로 나타난다. \\n 평면과의 교선(원)의 방정식을 구해 보자. 교선 위의 점들은 모두 인 점들이므로 구의 방정식에 을 대입하면, 교선인 원의 방정식은\\n (단, )\\n이다. 평면 또는 평면과의 교선도 마찬가지로 구할 수 있다. \\n\\n예제 1\\n\\n다음 물음에 답하여라.\\n(1) 네 점 를 지나는 구의 방정식을 구하여라.\\n(2) 이 구와 평면과의 교선의 길이를 구하여라. \\n(3) 점 에서 이 구에 그은 접선의 길이를 구하여라.\\n(4) 점 에서 이 구에 그은 접선의 접점들이 그리는 자취의 길이를 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 좌표공간의 두 점 을 잇는 선분을 지름으로 하는 구를 라 할 때, 점 에서 까지의 최단 거리와 그 때의 위의 점의 좌표를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n문제 02\\n 다음 물음에 답하여라.\\n(1) 평면 위의 원 을 품고 반지름의 길이가 5인 구의 방정식을 구하여라.\\n(2) 점 과 구 위의 점 를 잇는 선분 의 중점의 자취의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n문제 03\\n 두 구 이 서로 내접할 때, 상수 의 값을 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n문제 04\\n 네 점 을 꼭짓점으로 하는 사면체 에 내접하는 구의 반지름의 길이를 구하여라. \\n\\n\\n연습 문제 A\\n\\n\\n\\n01\\n평행사변형 에서 이고 대각선 의 교점 의 좌표가 이다. 이때, 점 의 좌표를 구하여라.\\n\\n\\n\\n02\\n세 점 를 꼭짓점으로 하는 삼각형에 대하여 다음 물음에 답하여라.\\n(1) 의 꼴을 구하여라.\\n(2) 를 한 면으로 하는 정사면체의 나머지 한 꼭짓점의 좌표를 구하여라.\\n\\n\\n\\n03\\n공간에서 세 점 이 주어질 때, 다음 물음에 답하여라.\\n(1) 의 넓이를 구하여라. \\n(2) 의 평면에 내린 정사영의 넓이를 구하여라.\\n(3) 평면 가 평면과 이루는 각의 크기를 구하여라.\\n\\n\\n\\n04\\n공간에 있는 정점을 라 하고 좌표축 위의 점을 각각 라 할 때, 을 최소로 하는 점 의 좌표를 구하여라.\\n\\n\\n\\n05\\n세 점 을 꼭짓점으로 하는 의 무게중심과 원점 사이의 거리를 이라 할 때, 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n연습 문제 B\\n\\n\\n\\n01\\n좌표공간에서 두 정점 , 과 평면 위에 동점 가 있다. 이 때, 의 최솟값을 구하여라. \\n\\n\\n\\nP\\nQ\\n5m\\n8m\\n6m\\n태희\\n민규\\n\\n02\\n민규는 남쪽에서 북쪽으로 4m/초의 등속도로 인도 위를 뛰어가고 있다. 인도 위 5m의 높이에 동서로 놓인 육교 위를 태희가 서쪽에서 동쪽으로 2m/초의 등속도로 걸어가고 있다. 오른쪽 그림과 같이 지금 민규는 인도 위의 점 에서 남쪽 6m, 태희는 다리 위의 점 에서 서쪽 8m 지점에 각각 위치해 있다. 민규와 태희의 거리가 최소가 될 때의 거리를 구하여라. (단, 선분 는 민규와 태희가 가는 경로에 각각 수직이다.)\\n\\n\\n\\n03\\n좌표공간에서 세 점 을 포함하는 평면과 평면이 이루는 각의 크기가 일 때, 의 값을 구하여라. \\n\\n\\n\\n04\\n구 에 내접하는 직원뿔 중에서 평면에 밑면을 가지는 원뿔의 부피를 구하여라. \\n\\n\\n\\n05\\n좌표공간 위의 점 과 구 이 있다. 점 에서 구에 그은 접선들이 평면과 만나서 생기는 도형을 라 할 때, 도형 위의 두 점 사이의 거리의 최댓값을 구하여라. \\n\\n\\n대단원 마무리\\n\\n\\n\\n01\\n좌표공간에서 길이가 인 선분을 평면, 평면, 평면에 각각 정사영한 것의 길이를 라 할 때, 임을 보여라.\\n\\n\\nA\\nB\\nC\\nD\\nE\\nM\\nF\\n\\n\\n\\n\\n02\\n인 직사각형 모양의 종이 가 있다. 오른쪽 그림과 같이 대각선 의 중점 을 지나고 에 수직인 직선 를 접는 금으로 하여 평면 와 평면 가 수직이 되도록 접었다. 이 공간도형에서 의 크기를 라고 할 때, 다음 물음에 답하여라.\\n(1) 를 를 이용하여 나타내어라.\\n(2) 의 존재범위를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\nA\\nB\\nC\\n\\n03\\n두 직선 가 꼬인 위치에 있다. 직선 위에 길이가 일정한 선분 가 있고 직선 위에 점 가 있다. 이 때, 다음 물음에 답하라.\\n(1) 점 는 고정되고 가 움직일 때, 의 넓이는 변하는가?\\n(2) 는 고정되고 점 가 움직일 때, 의 넓이가 최소일 때의 점 의 위치를 말하여라.\\n\\n\\n\\n04\\n공간의 세 점 (), (), ()가 있다. 이 때, 한 점 를 잡아 사면체 가 정사면체가 되도록 하려고 한다. 점 의 좌표를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n태양광선\\n\\n05\\n오른쪽 그림과 같이 중심 사이의 거리가 이고 반지름의 길이가 인 두 원판과 평면 가 있다. 각 원판의 중심을 지나는 직선 은 두 원판의 면과 각각 수직이고, 평면 와 이루는 각의 크기가 이다. 태양광선이 그림과 같이 평면 에 수직인 방향으로 비출 때, 두 원판에 의해 평면 에 생기는 그림자의 넓이를 구하여라. (단, 원판의 두께는 무시한다.) [수능 기출]\\n\\n\\n\\n\\n06\\n좌표공간에서 평면 위의 점 P(0, 2, 1)로부터 평면 위의 직선 에 내린 수선의 발을 H라 할 때, 의 길이를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n07\\n두 개의 구 가 만나서 이루는 원의 반지름의 길이를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n08\\n같은 평면 위에 있지 않고 서로 평행한 세 직선 이 있다. 직선 위의 두 점 직선 위의 점 , 직선 위의 점 가 다음 조건을 만족시킨다.\\n (가) \\n (나) \\n (다) \\n 두 직선 을 포함하는 평면과 세 점 를 포함하는 평면이 이루는 각의 크기를 라 할 때, 의 값을 구하여라. \\n(단, ) [평가원 기출]\\n\\n\\n기하학의 역사\\n\\n\\n (1) 기하학의 역사와 발전 (고대 그리스에서 오늘날까지)\\n오늘날의 기하학은 공간에서 도형을 다루는 한 분야이지만 고대 그리스 시대에는 모든 수학은 기하학으로 간주되었다. 그래서 수학자라는 단어 ‘mathematician’의 동의어로 프랑스어로는 “geometre”, 또 독일어로는 ‘geometer’가 사용되기도 한다. 기하학이라는 단어 geometry는 그리스어의 geometrein(geo: 땅, metrein: 측정하다)으로부터 유래된 것이다. 고대 이집트인들이 나일강의 범람 후에 그들의 땅을 복원하기 위해 기하학을 사용했으며, 다른 고대 문명국가인 바빌로니아, 중국 등에서도 역시 기하학적 지식을 사용하였음은 기록에서 찾아볼 수 있다.\\n\\n실용적인 목적을 초월하여 도형에 관한 논증기하학을 도입한 시기는 고대 그리스 시대(기원전 6세기)로 올라간다. 기하학의 아버지로 불리는 탈레스는 삼각형과 원의 성질을 알고 간접적인 측량에서 이러한 성질을 이용하였으며, 피타고라스는 증명이라는 방법으로 이런 지식을 논리적으로 체계화하는 착상을 가졌으며, 기원전 3세기경 유클리드는 당시까지 알려진 수학에 관한 모든 것을 정리하고 확장해서 그의 저서 <원론>을 완성함으로써 정점을 이루었다.\\n\\n<원론>은 13권으로 이루어져 있으며 대부분 기하학에 중점을 두고 평면과 공간에서 도형을 다루고 있으며, 또한 수론(Number Theory)적인 면을 기하학적 용어로 나타내고 있다. <원론>을 통해 논리적으로 이루어진 그 당시 수학적 지식 전체를 찾아볼 수 있으며, <원론>은 성서(Bible) 다음으로 많이 읽힌 책이며, 영국의 초등학교에서는 아직도 이 책을 교과서로 사용하고 있으며, 우리나라 학교수학의 논증기하는 대부분 이 책으로부터 나온다.\\n\\n유클리드의 업적은 너무 훌륭하고 완벽하여 결점이 발견되기까지는 2천년이나 걸렸다. 즉, ‘유클리드 기하가 유일한 기하가 아니라면 기하란 도대체 무엇인가?’라고 19세기가 되어서야 수학자들은 기하를 보는 다른 관점이 있을지도 모른다는 의심을 하게 되었다. 이 질문은 ‘수학이란 무엇인가?’라고 묻는 것이나 마찬가지로 어렵고 근본적인 것이다.\\n\\n\\n\\n 기하학은 17세기와 18세기에 해석학의 발전과 더불어 대수학 및 해석학과 동등해졌다. 기하학적 도형은 해석기하학(analytic geometry)적 방법인 좌표를 이용해 대수학적 또는 해석학적으로 다룰 수 있으며, 역으로 대수학적 또는 해석학적인 면은 기하학적으로 표현될 수 있다.\\n\\n 17세기에 데카르트(Descartes)의 좌표 도입의 착상은 해석기하학의 기초가 되었다. 특히 18세기 들어서 오일러(Euler)가 2차 곡선에 대한 완전한 대수적 이론을 확립하여 해석기하학은 상당한 발전을 하게 되었는데, 그 전에 이 곡선은 기원전 225년 아폴로니우스(Apollonius)에 의해 원추곡선으로 연구되었다. 원추곡선은 두 원추가 평면과 만나 그려지는 곡선으로 원(circle), 타원(ellipse), 포물선(parabola), 쌍곡선(hyperbola)의 4가지가 있다. \\n\\n18세기 말경에 해석학은 기하학에 다시 응용되어 미분기하학(differentialgeometry)을 탄생시켰다. 예를 들면 몽주(Monge)의 공헌은 미분기하학의 선구자로 간주될 수 있다. 현재는 대학에서 배우는 대부분의 기하학은 미분기하학을 의미하며, 주로 곡선론, 곡면론, 다양체론을 포함한다. 그러나 해석학적 방법이 기하학적 문제를 다루는 데 항상 최선의 방법이라고 말할 수는 없다. 좌표를 사용하지 않고 직접 도형을 다루는 기하학을 종합기하학(synthetic geometry)이라고 부른다. 사영기하학(projective geometry)이라는 새로운 기하학이 17세기에 데자르그(Desarge)와 파스칼(Pascal)에 의해 창조되었는데 이것은 종합기하학의 대표적인 경우이다. 르네상스 시대 이전의 그림은 평면적이고 깊이가 표현되지 않은 것이었다. 르네상스 시대의 화가들은 눈에 보이는 사실 그대로를 종이에 표현하길 원했는데, 문제는 어떻게 하면 평면 위에 깊이를 표현할 수 있을까 하는 것이었다. 그들은 이 문제가 기하의 문제임을 인식하고 보이는 대로의 공간도형의 성질을 수학적으로 연구하기 시작했다. 원근법이라 불리는 그림기법에서 색, 명암, 움직임 등의 특수한 것들을 제외하고 추상화해서 만들어진 비교적 간단한 과정을 사영(projection)이라고 한다. 기차길이 그림으로 그려질 때는 두 레일은 종이 밖에서 만날 듯이 그려진다. 이러한 미술적인 문제를 해결하는 이상의 응용을 갖는 중요한 기하계가 만들어졌는데 이것이 사영기하학이다. 사영기하학은 19세기 들어서 퐁슬레와 카르노를 비롯한 많은 수학자들에 의해 더욱 더 발전되었다. \\n\\n1872년에 클라인(Klein)은 당시 새로운 학문으로 각광을 받고 있던 군(group)의 개념을 사용하여 기하학적 성질을 군론적 입장에서 밝히는데 성공했다. 그는 '기하학이란 주어진 변환군에 속하는 임의의 변환에 대하여 불변인 도형의 성질을 연구하는 학문이다'라고 정의했다. 이것을 클라인의 에를랑겐 목록(Erlangen program)이라고 부른다.\\n\\n\\n\\n 1854년에 리만(Riemann)은 괴팅겐 대학 취임 강연에서 <기하학의 기초를 이루는 가정에 대하여>라는 제목으로 기하학 연구에 획기적인 새로운 방향을 제시했다. 리만기하학의 어떤 부분은 클라인이 주장하는 기하학의 범주에 속하지 않으며, 특히 리만기하학인 미분가능다양체는 오늘날 수학의 많은 분야에서 폭넓게 연구되고 있다. \\n\\n1899년에 힐베르트(Hilbert)는, 유클리드 <원론>의 공리계를 재검토하여 <기하학의 기초>를 저술하였다. 이 책은 오늘날의 수학을 공리론적 경향으로 유도하는데 다른 어떤 책보다 훨씬 더 영향을 끼쳤다.\\n\\n프랙탈기하(fractal geometry)라고 불리는 현대 비유클리드 기하가 1961년 IBM 수학자 만델브로(Mandelbrot)에 의해 소개되었다. 선은 1차원이고 평면이나 구면, 쌍곡면은 2차원, 우리가 살고 있는 공간은 3차원이다. 그러나 프랙탈기하의 모델들의 차원은 정수가 아닌 분수(fraction)값을 갖는다. 프랙탈이란 한 모티프(motif)가 계속 작아지는 형태로 반복되는 그림을 말한다. 만델브로는 해안선, 눈의 결정, 구름, 나뭇잎, 고사리, 산맥 등의 일상적인 대상들이 프랙탈로 표현됨을 보였다. 우리가 잘 알고 있는 모델들로는 코흐(Koch)의 프랙탈(차원이 1.2619), 시어핀스키(Sierpinski)의 삼각형(차원이 1.585), 이진트리 프랙탈, Cantor 프랙탈 등이 있다.\\n오늘날의 기하학은 다른 수학의 모든 분야에 응용되어 가끔 기하학을 다른 수학과 구분하기 어렵다. 그러나 기하학의 특성인 직관적인 통찰력은 고대에서부터 지금까지 그 중요성이 조금도 감소하지 않았다\\n\\n(2) 유크리드(Euclid)의 원론(Elements)\\n책의 내용은 13권으로 465개의 정리로 구성되어 있으며 23개의 정의(뜻매김)과 5개의 공리, 5개의 상식으로 시작한다. 이를테면 제 1권은 정의 1 ｢점은 부분이 없는 것이다｣. 정의 2 ｢선은 나비가 없는 길이이다｣로 시작되며 정의 23의 평행선의 정의 ｢평행한 직선이란 동일 평면상에 있어서, 쌍방에 아무리 연장하여도 어느 방향에 있어서도 만나지 않는 두 직선을 말한다｣로 끝맺고 있다.\\n\\n\\n\\n\\n (1) 공리 (postulate) (오늘 날 공준의 개념으로 사용됨)\\n (공준 : 기하학의 성립을 위하여 필요한 약속이다.)\\n① 어느 점에서나 임의의 직선을 그을 수 있다.\\n② 유한의 길이의 직선을 계속 연장하여 그을 수 있다.\\n③ 임의의 점을 중심으로 유한한길이의 반지름을 가진 원을 그릴 수 있다.\\n④ 모든 직각은 서로 같다.\\n⑤ 한 직선이 두 직선과 교차할 때, 한 쪽 내각의 합이 2직각보다 작은 경우, 두 직선을 계속 연장하면 이들의 내각의 합이 2직각보다 작은 쪽에서 교차한다.→ 평행선 공준, 삼각형 공리(삼각형의 세 내각의 합이 180〫 )와 논리적으로 동치임\\n(2) 상식 (오늘날 공리의 개념)\\n(공리는 수학의 기초로서 누구라도 공통적으로 인정해야 할 원칙이다.)\\n① 같은 것에 같은 것들은 서로 같다. (A=B이고 C=B이면 A=C이다)\\n② 같은 것들에 같은 것을 더하면 합은 서로 같다.(A=B이면 A+C=B+C)\\n③ 같은 것들에서 같은 것을 빼면 차는 서로 같다. (A=B이면 A-C=B-C)\\n④ 겹치는 것들은 서로 같다. (합동인 것들은 서로 같다.)\\n⑤ 전체는 부분보다 크다.\\n(3) 원론의 구성과 내용\\n1권 : 직선, 각, 삼각형\\n2권 : 도형의 넓이(사각형, 기하학적 대수학)\\n3권 : 원\\n4권 : 정다각형의 원(다각형, 정다각형의 작도)\\n5-6권 : Eudoxus의 비례론과 응용\\n7-10권 : 수론, 특히 10권은 무리수와 실진법에 대하여 다루고 있다.\\n11권 : 입체기하, 공간에서의 직선과 평면, 평행육면체\\n12권 : 피라미드, 실진법의 응용\\n13권 : 플라톤 다면체\\n\\n\\n\\n 유클리드 <원론>에서 평행선 공준(한 직선 위에 있지 않은 한 점을 지나서 이 직선에 평행한 직선(즉 만나지 않는 직선)은 단 하나 있다.)은 고대 이후 계속 비평의 대상이 되어 왔다. 19세기에 유클리드기하학을 거부한 볼리아이(Bolyai)와 로바체프스키(Lobachevski)는 비유클리드기하학(non-Euclidean geometry)을 발표했으며, 클라인(Klein), 푸앵카레(Poincare), 벨트라미(Beltrami) 등은 이 기하학의 논리적 무모순성을 입증하였다. 유클리드기하는 건물, 공원, 거리, 가구나 옷감의 디자인 등에 매우 많이 응용이 된다. 그러나 주로 직선과 평면의 도형으로 이루어진 디자인이 아닌 경우는 유클리드기하만으로는 해결되지 않는다. 예를 들어, 우리는 지구상에 살고 있고 지구 위에서 어떤 측정을 하는데는 비유클리드기하가 도입되어야만 한다. 인공위성이나 미사일의 개발 등에도 비유클리드기하의 응용이 필수적이다. 평행공준의 두 가지 부정에 따라 다음과 같은 두 가지의 비유클리드기하가 결정된다.\\n\\n (1) 구면기하 : 한 점을 지나 주어진 직선과 평행한 직선이 존재하지 않는 기하\\n \\n (2) 쌍곡기하 : 한 점을 지나 주어진 직선과 평행한 직선이 두 개 이상 존재하는 기하\\n\\n여기에서 직선(측지선: geodesic)은 위의 임의의 두 점에 대하여 그 두 점을 잇는 모든 선들 중에서 두 점을 잇는 부분의 길이를 최소로 하는 선이 되는 선을 말한다. 유클리드기하에서는 삼각형의 내각의 합은 180°이지만 구면기하에서는 180°보다 크고, 쌍곡기하에서는 180°보다 작다.\\n\\n\\n유클리드 기하학 원본\\n유클리드는 원래 기하학자이므로 처음부터 끝까지 일관해서 기하학적이며, 산수상의 것까지도 기하학의 냄새를 풍기고 있다. 예를들어 제7권을 보면 거기에는 [그들 변이 비례할 때에는 평면수 및 입체수는 상사이다]라고 논하고 있다. 여기서 그는 수를 나타내는데 숫자를 쓰지 않고 현재 우리들이 사용하는 대수 기호와 유사한 것도 쓰지 않고, 오로지 선만을 사용하고 있다. 이와 같은 수의 표시 방법은 매우 비암시적인 것이었다. 오늘날 기호법으로서는 즉시 정체를 알 수 있을 것 같은 특수한 성질도 이 선의 표시방법으로서는 엄격한 추리작용에 의하지 않고서는 명료하게 할 수가 없는 것이다.\\n\\n\\n\\n (3) 위상수학 (Topology)\\n위상수학은 20세기 초에 포앙카레 등에 의해서 생겨난 수학의 한 분야이다. 위상수학이란 어떤 대상을 연속적으로 변형시킬 때 변하지 않는 성질을 공부하는 것이다. 즉, 얼마든지 줄어들거나 늘어날 수 있는 이상적인 고무의 성질을 연구하는 것이다. 흔히 위상수학자들은 커피잔과 도넛을 구분할 수 없다고 하는데, 이것은 커피잔이 만약 수학적인 고무로 만들어져 있다면 도넛모양으로 연속적으로 변형시킬 수 있기 때문이다. 한편, 공과 커피잔은 위상적으로도 다르다. 이와 같이 위상수학에서는 공간의 추상적 연결구조를 정의하고 계량화하며 성질을 연구한다.\\n\\n이 분야는 공간이란 개념을 수학적으로 정의함으로써 수학의 여러 분야에 기초적이고 또한 유용한 방법론을 제시하였다. 예를 들어, 대수학에는 리 군이라는 연속군의 개념, 해석학에는 바나흐 공간 등 여러 공간을 이해하는 방법, 미분기하학에는 다양체 등 기하학을 논할 수 있는 공간을 제시하였다. 즉 19세기에 리만이 제창한 애매 모호한 공간이란 개념이 확실해짐에 따라 다양한 분야의 수학이 더불어 발전할 수 있었다. 이 리만 공간은 이후 아인슈타인의 일반 상대성이론의 시작점이 되며, 현재 수학자 펜로즈와 천체 물리학자 호킹의 빅뱅이론은 결국 이러한 아인슈타인 공간의 수학적 연구에서 시작한다. \\n\\n위상수학 자체에서는 공간의 분류 등을 이해하기 위해서 대수위상과 호모토피 이론이 급속히 발달하였고, 가장 중요한 문제인 포아카레 가설에 대한 연구가 활발히 진행되고 있다. 부수적으로 양-밀즈 방정식, 쌍곡기하구조론, 복소다양체론, 매듭론 등과의 관계가 연구되고 있다. 주요 연구 분야는 다음과 같다.\\n(1) 점집합위상수학(Point-set Topology) \\n위상수학을 시작한 이론으로서 집합론을 사용하여 공간을 정의하고 연구한다. 그 방법은 열린 집합, 닫힌 집합이란 개념을 이용하는 것이고 결국 연속성이란 개념을 정의한다. 미적분학 시간에 배우는 ε- δ는 연속성 개념의 시작점이다. 이 분야는 해석학을 공부하 는데 기초적이기도 하다. 현재는 점이 없는 위상도 연구한다.\\n\\n(2) 대수적 위상수학(Algebraic Topology) \\n다양한 위상공간을 분류하기 위하여 호몰로지이론 및 호모토피이론이 도입된다. 즉, 연속적인 변형에도 불변하는 성질을 대수적으로 정의하고 계량한다. 예를 들면, 오일러 지표 를 이용하여 구와 평면이 위상적으로 다르다는 것을 보일 수 있다. \\n\\n\\n\\n (3) 미분위상수학(Differential Topology) \\n대수적 입장에서 본 여러 불변량을 미분다양체의 미분가능인 함수를 이용하여 다시 도출하면 훨씬 직관적인 이론을 전개할 수 있다. 예를 들면, 코호몰로지론을 미분형식으로 이해할 수 있고 위의 오일러 지표는 벡터장의 지표 계산으로 줄일 수 있다. 특히 모스이론 등이 여기에 해당하며 무한차원으로도 일반화되어 양-밀즈 이론에서 중요한 불변량을 주고 있다.\\n\\n(4) 기하학적 위상수학(Geometric Topology) \\n2, 3차원 다양체의 위상구조를 이해하는 데 있어서 기하학적 구조의 중요성은 잘 알려져 있다. 로바체프스키 기하학구조를 가지는 3차원 다양체의 성질을 연구하는 것은 포앙카 레 가설의 해결에 여러 가지 단서를 주고 있다. 이 연구는 음의 리만곡률을 가지는 다양 체의 연구로 일반화되는데, 대수학의 이산군의 연구에 중요한 영향을 미쳤다. 또한 전화 선의 배치, 알고리즘연구 등 응용수학에도 이 분야의 연구가 로바체프스키 기하학, 측도 론등 해석학을 사용하여 영향을 미치고 있다.\\n\\n(5) 저차원다양체론 및 매듭론(Low Dimensional Manifold Theory and Knot Theory) \\n여기서는 3, 4차원 다양체의 연구를 매듭이론 또는 조합론적인 방법으로 연구한다. 모든 3차원 다양체가 매듭에 수술을 하여 얻어진다. 특히 존스 다항식은 함수해석학으로 만든 매듭의 불변다항식인데 최근 이것이 물리학의 양자장과 깊은 관계가 있음이 알려졌고 또한 대수학의 양자군과의 관계가 밝혀졌다. 이 연구에는 조합론, 매듭이론, 대수학이 복합 적으로 쓰이고 있다. 또한 4차원 다양체 연구에는 호모토피이론, 게이지장이론이 쓰이고 있다. 최근에는 물리학에서 도입된 4차원 다양체상의 사이버그-위튼 방정식의 해의 수가 4차원 다양체의 분류에 커다란 영향을 미치고 있다.\\n\\n\\nⅣ.벡터\\n\\n요트나 유람선과 같이 물 위에서 움직이는 물체의 운동은 바람 또는 물의 방향과 속력을 동시에 생각해야 한다. 이와 같이 크기와 방향을 함께 가지는 양으로서 수학과 물리학에서는 벡터를 사용한다. 수학자들이 벡터의 개념을 사용하여 온 것은 16세기 이후인데 흔히 유향선분으로 벡터를 나타낸다. 벡터는 운동에서의 속도, 가속도, 힘 등을 나타내는 데 사용된다.\\n\\n1. 벡터와 그 연산 \\n2. 벡터의 성분과 내적 \\n3. 벡터방정식\\n4. 공간도형의 방정식 \\n\\n\\n1\\n벡터와 그 연산\\n\\n\\n§1. 벡터의 뜻과 상등 \\n(1) 벡터의 정의 \\n 우리가 사용하는 양 가운데에는 선분의 길이, 도형의 넓이, 입체의 부피, 물체의 질량 등과 같이 크기만을 가지는 양과 운동에서의 속도, 가속도, 힘 등과 같이 크기와 방향을 모두 가지는 양이 있다.\\n 일반적으로 크기만을 가지는 양을 스칼라라 하고, 크기와 방향을 모두 가지는 양을 벡터라고 한다.\\n\\n(시점)\\n\\n\\n\\n(종점)\\n 오른쪽 그림과 같이 방향이 주어진 선분을 유향선분이라고 한다. 이때, 점 에서 점 로 향하는 유향선분 를 벡터 라 하고, 기호로\\n \\n\\n크기가 인 벡터를 단위벡터라 한다.\\n와 같이 나타낸다. 이때, 점 를 벡터 의 시점, 점 를 벡터 의 종점이라고 한다.\\n 벡터 에서 유향선분의 길이를 벡터의 크기라 하고, 기호로 또는 로 나타낸다. \\n 이때, 평면에서의 벡터를 평면벡터라 하고, 공간에서의 벡터를 공간벡터라고 한다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n예제 1\\n\\n오른쪽 그림은 한 변의 길이가 인 \\n정육면체이다. 다음을 구하여라.\\n(1) (2) \\n(3) (4) \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n(2) 벡터의 상등\\n\\n벡터는 시점의 위치에 관계없이 크기와 방향만으로 정해지므로 한 벡터를 평행이동한 것은 모두 같은 벡터이다.\\n 크기와 방향이 같은 두 벡터 는 그 위치에 관계없이 같다고 하고, 로 나타낸다.\\n\\n예제 2\\n\\n두 벡터 와 가 같을 때, 사각형 는 평행사변형임을 보여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 오른쪽 직육면체에서 다음 벡터 \\n중 같은 것끼리 짝을 지어라.\\n \\n \\n\\n(3) 영벡터와 역벡터\\n1) 영벡터 \\n 와 같이 시점과 종점이 같은 벡터를 영벡터 로 나타낸다.\\n2) 역벡터 \\n 벡터 와 크기가 같고, 방향이 반대인 벡터는 의 역벡터라 하고, 로 나타낸다.\\n \\t\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 02\\n 오른쪽 그림의 직육면체에서 \\n라고 할 때, \\n다음을 로 나타내어라.\\n(1) \\t (2) \\t\\n(3) (4) \\t\\n(5) \\t (6) \\n\\n\\n\\n§2. 벡터의 덧셈과 뺄셈 \\n(1) 벡터의 합\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n1) 삼각형의 법칙\\n 오른쪽 그림과 같은 두 벡터 , 에 대하여 , 일 때, 벡터 로 나타나는 벡터 를 두 벡터 , 의 합이라 하고, 기호로\\n 또는 \\n와 같이 나타낸다. \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n2) 평행사변형의 법칙\\n 두 벡터 , 에 대하여 점 를 사각형 가 평행사변형이 되도록 잡으면 이므로\\n \\n이다. 즉, 두 벡터의 합 는 평행사변형의 대각선인 이다. \\n \\n예제 3\\n\\n두 벡터 가 다음과 같을 때, 를 나타내어라.\\n \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n벡터의 덧셈에 대한 성질은 다음과 같다.\\n \\n는 벡터의 덧셈에 대한 항등원이고, 는 의 덧셈에 대한 역원이다.\\n\\n\\n\\n\\n벡터의 연산법칙\\n\\n\\n\\n임의의 세 벡터 와 영벡터 에 대하여\\n[1] (교환법칙)\\n[2] (결합법칙)\\n[3] \\n[4] \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n❚보기❚\\n\\n임의의 네 점 , , , 에 대하여\\n (결합법칙)\\n \\t (교환법칙)\\n\\t \\n\\t (교환법칙)\\n\\t \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 오른쪽 그림의 직육면체에서 \\n라 할 때, 다음을 \\n로 나타내어라.\\n(1) (2) \\t (3) \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n(2) 벡터의 차\\n 두 벡터 에 대하여 를 만족하는 벡터 를 에서 를 뺀 차로 하고, 로 나타낸다. \\n 일 때,\\n이다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n 한편, 오른쪽 그림과 같이 사각형 가 평행사변형이 되도록 점 를 잡으면\\n \\n이다. 따라서 두 벡터 와 의 차는 와 의 역벡터 와의 합과 같음을 알 수 있다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 02\\n 정육각형 에서\\n라 할 때, 다음 벡터를 를 써서 나타내어라.\\n(1) (2) (3) \\n\\n§3. 벡터의 실수배\\n(1) 벡터 의 실수배의 정의\\n\\n 일 때,\\n는 와 방향이 같은 단위벡터이다.\\n 임의의 실수 에 대하여 를 벡터 의 실수배(스칼라 배)라 한다.\\n[1] 일 때, 는 와 방향이 같고, 크기는 이다.\\n[2] 일 때, 는 영벡터 이다. \\n[3] 일 때, 는 와 방향이 반대이고, 크기는 이다.\\n\\n\\n❚보기❚\\n\\n⑴ 와 방향이 같고, 크기가 의 배인 벡터는 이다.\\n⑵ 와 방향이 반대이고, 크기가 의 배인 벡터는 이다. \\n\\n 두 벡터 , 에 대하여 , , 는 다음 그림과 같이 각각 , , 와 같음을 알 수 있다.\\n \\n 일반적으로 벡터의 실수배에 대하여 다음 성질이 성립한다. \\n\\n\\n\\n\\n벡터의 실수배에 대한 연산법칙\\n\\n\\n\\n 이 실수일 때, \\n [1] (결합법칙)\\n [2] (분배법칙)\\n [3] \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 다음 등식을 만족하는 벡터 를 , 로 나타내어라.\\n⑴ \\t\\t\\t\\n⑵ \\n\\n(2) 벡터의 평행\\n 영벡터가 아닌 두 벡터 의 방향이 같거나 또는 반대일 때, 와 는 서로 평행하다고 하고, 로 나타낸다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n벡터의 실수배와 평행조건\\n\\n\\n\\n(1) 이고, 는 이 아닌 임의의 실수일 때, \\n\\t\\n(2) 가 서로 다른 점일 때, \\n 가 동일 직선에 존재 \\n 인 실수) \\n\\n\\n\\n \\n\\n\\n\\n❚참고❚\\n\\n가 서로 다른 점일 때, \\n가 동일 직선에 존재 \\n 인 실수) \\n \\n \\n\\n\\n예제 1\\n\\n이고, 일 때, 다음을 증명하여라.\\n(1) \\n(2) \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n문제 02\\n 일 때, 와 가 서로 평행이 되도록 상수 의 값을 정하여라. (단, ) \\n\\n\\n\\n문제 03\\n 일 때, 세 점 는 동일 직선 위에 있다고 한다. 이 때, 의 값을 구하여라. \\n(단, 와 는 평행하지 않고, 각각 영벡터가 아니다.)\\n§4. 위치벡터\\n 시점을 한 점 (보통 원점)로 고정시켰을 때의 벡터 를 점 에 대한 점 의 위치벡터라고 한다.\\n\\n예제 1\\n\\n선분 를 으로 내분하는 점을 라 하고, 세 점 의 위치벡터를 각각 라고 하면, 임을 보여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n수직선 위의 두 점 , 를 잇는 선분 를 으로 내분하는 점 의 좌표는\\n\\n\\n풀이\\n\\n이고, 와 \\n는 같은 방향이므로 \\n, \\n이므로\\n⇒\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 점 가 선분 를 으로 외분하고, 의 위치벡터를 각각 , , 라 할 때, 임을 보여라.\\n\\n\\n\\n문제 02\\n 의 꼭짓점 의 위치벡터를 각각 라고 하면, 무게중심 의 위치벡터 임을 보여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 03\\n 오른쪽 그림의 에서 로 표시할 때, 과 을 로 나타내어라.\\n\\n\\n연습 문제 A\\n\\n\\n\\n01\\n다음 식을 하나의 벡터로 나타내어라.\\n(1) \\t\\t\\n(2) \\n\\n\\n\\n02\\n임의의 네 점을 라 할 때, 임을 증명하여라.\\n\\n\\n\\n03\\n두 점 에 대하여 인 점 는 어떤 점인가?\\n\\n\\n\\n04\\n한 변의 길이가 1인 정사각형 에서 라 할 때, 다음 벡터를 평면 위에 나타내고, 그 크기를 구하여라.\\n(1) \\t (2) (3) \\n\\n\\n\\n05\\n평면에서 라 할 때, 사각형 가 평행사변형이 되기 위한 조건을 를 써서 나타내어라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n06\\n오른쪽 그림에서 점 는 각각 변 의 중점이다. 일 때, 다음을 를 써서 나타내어라.\\n (1) \\t(2) \\n (3) \\t(4) \\n\\n\\n07\\n의 외접원의 중심 에 대하여 점 가 를 만족할 때, 를 로 나타내어라.\\n\\n\\n\\n08\\n오각형 의 대각선 의 중점을 각각 라 한다. \\n\\t\\t\\n 라 할 때, 를 로 나타내어라.\\n\\n\\n\\n09\\n평면 위에 정오각형 가 있다. 이 오각형의 중심을 라 하고 이라 할 때, 다음을 구하여라.\\n(1) \\t\\n(2) \\n\\n\\n\\n10\\n사각형 의 변 의 중점을 각각 이라 할 때, 다음을 증명하여라.\\n\\t\\t\\n\\n\\n\\n11\\n에서 일 때, \\n(1) 점 의 위치를 작도하여라.\\n(2) 의 넓이의 비를 구하여라.\\n\\n\\n\\n12\\n선분 를 2 : 3으로 내분, 외분하는 점을 각각 라 하고, \\n\\t\\t\\n 일 때, 를 로 나타내어라.\\n\\n\\n연습 문제 B\\n\\n\\n\\n01\\n에서 위에 인 점 가 있다. 의 중점을 각각 , 의 중점을 이라 하고, 라 할 때, 다음 물음에 답하여라.\\n(1) 를 를 써서 나타내어라.\\n(2) 을 를 써서 나타내어라.\\n(3) 임을 보여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n02\\n는 인 실수이다. 의 변 위에 각각 점 를 가 되도록 잡는다. 직선 의 교점을 라 하고, 라 할 때, 다음 물음에 답하여라.\\n(1) 일 때, 를 를 써서 나타내어라.\\n(2) 를 를 써서 나타내어라.\\n(3) 를 를 써서 나타내어라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n03\\n사면체 에서 변 의 중점을 각각 이라 하고, 변 를 로 내분하는 점을 라 할 때, 다음 물음에 답하여라.\\n(1) 라 할 때, 을 를 사용하여 나타내어라.\\n(2) 변 를 로 내분하는 점을 라 할 때, 는 꼴로 표시됨을 보여라. (단, 는 실수이다.)\\n\\n\\n\\n2\\n벡터의 성분과 내적\\n\\n\\n\\n§1. 평면벡터의 성분표시\\n(1) 기본벡터\\n 좌표평면에서 축, 축의 양의 방향의 단위벡터를 평면의 기본벡터라 하고, 로 나타낸다. 즉, 두 점 , 을 종점으로 하는 두 단위벡터를 , 로 나타낸다.\\n\\n좌표평면에서 단위벡터 , 와 영벡터를 성분으로 나타내면\\n,, \\n(2) 평면벡터의 성분표시 \\n 임의의 벡터 에 대하여 가 되는 점 의 좌표가 일 때, (은 성분, 는 성분)로 나타내고 평면벡터 의 성분표시라고 한다. 즉, 벡터 를 성분을 이용하여 와 같이 나타낸다.\\n\\n∙\\n∙\\n\\n(3) 평면벡터의 성분과 크기\\n 임의의 점 에 대하여 라고 하면 벡터 의 크기는 선분 의 길이와 같으므로\\n \\n이다. 즉, 일 때, 이다.\\n(4) 평면벡터의 성분과 상등 \\n 두 벡터 에 대하여 다음이 성립한다. \\n \\n(5) 평면벡터의 성분과 연산 \\n 평면벡터를 성분으로 나타냈을 때의 벡터의 덧셈, 뺄셈, 실수배에 대하여 알아보자. \\n 두 벡터 , 에 대하여\\n , 이므로\\n \\n \\n \\n \\n이다. 또한, 가 실수일 때,\\n \\n \\n \\n이다.\\n이상을 정리하면 다음과 같다.\\n\\n\\n\\n\\n평면벡터의 성분과 연산\\n\\n\\n\\n 두 벡터 에 대하여\\n ⅰ) (복부호동순)\\n ⅱ) (단, 는 실수)\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n❚보기❚\\n \\n(1) 를 성분으로 나타내면 \\n(2) 일 때, \\n(3) , 일 때 \\n \\n\\n\\n문제 01\\n 일 때, 와 를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n문제 02\\n 원점 를 포함하지 않은 정사각형 가 있어 그 대각선의 교점을 이라 한다. 이라 할 때, 다음 벡터를 성분으로 나타내어라.\\n (1) (2) (3) (4) (5) \\n\\n\\n\\n예제 1\\n\\n 이고, 성분이 모두 이 아닐 때, 이면 임을 보여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n문제 03\\n 에 대하여 와 가 평행할 때, 실수 의 값을 구하여라. \\n\\n\\n(6) 방향코사인\\n 가 축, 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각각 라 할 때, 와 같은 방향의 단위벡터는 이다. 이 때, 를 의 방향코사인이라고 하고, 이 성립한다.\\n\\n\\n예제 2\\n\\n 와 같은 방향의 단위벡터를 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n문제 04\\n 벡터 의 방향코사인을 구하여라.\\n\\n\\n\\n문제 05\\n 이고 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 일 때, 를 성분으로 나타내어라.\\n\\n\\n§2. 공간벡터의 성분표시 \\n(1) 기본벡터\\n 좌표공간에서 축, 축, 축의 양의 방향과 같은 방향을 가지는 단위벡터를 공간의 기본벡터라고 하며, 각각 로 표시한다.\\n \\t\\n(2) 공간벡터의 성분표시 \\n 이고, 일 때, \\n \\n 이때, 세 실수 , , 을 벡터 의 성분이라 하고, 을 성분, 를 성분, 을 성분이라고 한다.\\n(3) 공간벡터의 크기\\n 좌표공간 위의 임의의 점 에 대하여 이라고 하면 벡터 의 크기는 선분 의 길이와 같으므로 \\n \\n이다. 즉, 일 때, 이다.\\n(4) 공간벡터의 상등 \\n 두 벡터 에 대하여 다음이 성립한다. \\n \\n(5) 공간벡터의 성분과 연산 \\n 에 대하여 \\n ⅰ) (복부호동순)\\n ⅱ) (단, 는 실수)\\n\\n 두 벡터 의 성분이 모두 이 아닐 때,\\n다음이 성립한다. \\n \\n\\n예제 1\\n\\n 네 벡터 에 대하여 \\n \\n 를 만족시키는 실수 을 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 공간의 네 점 , , , 에 대하여 일 때, 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n문제 02\\n 평행사변형 의 네 꼭짓점을 각각 \\n\\t\\n이라 하고, 변 의 중점을 각각 라 하고, 선분 와 의 교점을 라 할 때, 다음 물음에 답하여라.\\n(1) 를 로 나타내어라. \\n(2) 를 로 나타내어라.\\n(3) 점 의 좌표를 로 나타내어라.\\n\\n\\n 영벡터가 아닌 벡터 이 축, 축, 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기가 일 때, 와 같은 방향의 단위벡터는 이다.\\n\\n❚증명❚\\n \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n \\n 와 같은 방향의 단위벡터는 \\n\\t \\n\\t \\n\\n§3. 벡터의 내적\\n(1) 벡터의 내적 \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n 에 대하여 를 각각 점 를 시점으로 하는 벡터 로 나타낼 때, 를 두 벡터 가 이루는 각이라고 한다.\\n\\n\\n\\n\\n 이때, 를 두 벡터 와 의 내적이라 하고, 기호로\\n \\n와 같이 나타낸다. 즉,\\n \\n이다. 또, 또는 일 때에는 으로 정한다. \\n\\n\\n두 벡터 , 의 내적 는 벡터가 아닌 스칼라이다.\\n\\n\\n\\n\\n벡터의 내적의 정의\\n\\n\\n\\n두 벡터 가 이루는 각의 크기를 라고 하면, 의 내적 를 \\n \\n로 정의한다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n❚참고❚\\n\\n \\n\\n예제 1\\n\\n 한 변의 길이가 인 정삼각형 에 대하여 다음을 구하여라.\\n (1) \\t\\t (2) \\n\\n\\n 풀이\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 오른쪽 그림은 한 변의 길이가 인 정육면체이다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n다음 내적을 구하여라.\\n (1) \\n (2) \\n (3) \\n (4) \\n\\n\\n문제 02\\n 에서 라고 할 때, 의 넓이 를 내적을 써서 나타내어라.\\n\\n\\n\\n\\n문제 03\\n , 인 에서 이고, 의 크기가 일 때, 다음 물음에 답하여라.\\n(1) , 의 값을 각각 구하여라.\\n(2) 의 넓이를 구하여라.\\n\\n\\n(2) 벡터의 수직과 평행 조건\\n 두 벡터 가 이루는 각의 크기가 일 때 가 서로 수직이라 하고, 기호 로 나타낸다.\\n두 벡터의 수직 조건과 평행 조건을 알아보자.\\n영벡터가 아닌 두 벡터 , 가 이루는 각의 크기를 라고 할 때,\\n \\n에서 이면 이므로\\n\\n이면\\n이므로 \\n즉, \\n \\n또, 이면 또는 이므로\\n \\n이다. 한편 이들의 역도 성립한다.\\n\\n\\n\\n\\n벡터의 수직과 평행 조건\\n\\n\\n\\n일 때,\\n(1) 수직조건 : \\n(2) 평행조건 : \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n예제 2\\n\\n임을 증명하여라.\\n\\n\\n 풀이\\n\\n\\n\\n\\n문제 04\\n 정사면체 에서 꼬인 위치에 있는 두 모서리는 수직임을 벡터의 내적을 이용하여 증명하여라.\\n\\n\\n\\n§4. 벡터의 내적과 성분\\n(1) 벡터의 내적과 성분\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n 벡터의 내적을 성분으로 나타내어 보자.\\n오른쪽 그림과 같이 영벡터가 아닌 두 평면벡터\\n , \\n가 이루는 각의 크기를 라 하고, , 라고 하자.\\n삼각형 에서 제이코사인법칙에 의하여\\n \\n \\n ∴ \\n이때, , 이므로\\n \\n \\n ∴ \\n한편, 두 공간벡터 , 에 대해서도 평면벡터에서와 마찬가지 방법으로\\n \\n임을 확인할 수 있다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n벡터의 내적의 성분표시\\n\\n\\n\\n(1) 평면벡터의 내적\\n 일 때, \\n(2) 공간벡터의 내적\\n 일 때,\\n \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n❚보기❚\\n\\n, 일 때,\\n\\n\\n\\n예제 1\\n\\n 공간에서 두 벡터 에 대하여\\n 임을 보여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 좌표평면 위의 두 점 , 에 대하여 일 때, 점 가 그리는 도형이 무엇인지 설명하고, 그 도형의 둘레의 길이를 구하여라.\\n\\n\\n(2) 벡터의 수직과 성분\\n 두 벡터의 수직조건을 성분으로 나타내면 다음과 같다.\\n1) 일 때, \\n2) 일 때,\\n \\n\\n\\n문제 02\\n 이고, 일 때, 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n(3) 두 벡터가 이루는 각의 크기\\n 영벡터가 아닌 두 평면벡터 가 이루는 각의 크기가 일 때,\\n\\n두 벡터가 이루는 각의 크기는 내적으로부터 구한다.\\n ()\\n이므로\\n \\t\\n \\t \\n 마찬가지로 영벡터가 아닌 두 공간벡터 가 이루는 각의 크기가 일 때, \\n \\t \\n \\t \\n이다.\\n\\n\\n\\n예제 2\\n\\n 이 이루는 각의 크기를 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 03\\n 세 점 에 대하여 가 이루는 각의 크기를 구하여라.\\n\\n\\n\\n(4) 내적의 연산법칙\\n 내적의 정의에 의하여 다음 등식이 성립한다.\\n \\n또한, 세 평면벡터 , , 에 대하여\\n \\n \\n \\n또, 세 공간벡터 , , 에 대해서도 평면벡터와 마찬가지로 내적의 연산법칙이 성립한다.\\n일반적으로 벡터의 내적에 대하여 다음이 성립한다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n내적의 연산법칙\\n\\n\\n\\n세 벡터 , , 와 실수 에 대하여\\n(1) (교환법칙)\\n(2) \\n (단, 는 실수) (결합법칙) \\n(3) (분배법칙)\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n예제 3\\n\\n 일 때, 가 이루는 각의 크기가 일 때, \\n 의 크기를 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n문제 04\\n 이고, 가 이루는 각의 크기가 일 때, 다음을 구하여라.\\n (1) \\t\\t(2) \\n\\n\\n\\n문제 05\\n 이고, 일 때, 와 가 이루는 각의 크기를 구하여라.\\n\\n\\n\\n문제 06\\n 사면체 에서 이면 임을 보여라.\\n\\n\\n\\n문제 07\\n 가 다음을 만족할 때, 점 가 그리는 도형을 말하여라.\\n(1) \\n(2) \\n(3) \\n(4) \\n(5) \\n(6) \\n\\n연습 문제 A\\n\\n\\n\\n01\\n두 벡터 는 크기가 각각 2이고, 의 각을 이룬다. 일 때, 두 점 P, Q 사이의 거리를 구하여라.\\n\\n\\n\\n02\\n두 벡터 가 을 만족시킬 때, 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n03\\n가 정삼각형일 때, 의 성분을 이용하여 \\n\\t \\n임을 증명하여라.\\n\\n\\n\\n04\\n벡터의 내적을 이용하여 다음을 증명하여라.\\n(1) \\n(2) \\n\\n\\n\\n05\\n세 점 이 있다. 점 가 곡선 위를 움직일 때, 의 최솟값 및 그 때의 점 의 좌표를 구하여라.\\n\\n\\n\\n06\\n좌표평면 위에 세 점 A(2, 1), B(3, 4), C(1, 4)가 있다. 이 되는 점 P()의 자취의 방정식을 구하여라.\\n\\n07\\n원점 O를 시점으로 하는 벡터 에 대하여 축, 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 각각 라고 할 때, 다음 물음에 답하여라.\\n(1) 가 축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 구하여라. \\n(2) 라고 할 때, 의 성분을 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n08\\n세 변의 길이가 인 삼각형 에서 라 하고, 두 벡터 가 이루는 각의 크기를 라 할 때, 다음 물음에 답하여라.\\n(1) 의 값을 구하여라. \\n(2) 내적 를 구하여라.\\n(3) 의 값을 최소로 하는 실수 의 값 를 구하여라.\\n(4) 와 가 수직임을 보여라. \\n\\n\\n\\n\\n09\\n두 개의 벡터 와 에 대하여 와 는 서로 수직이고, 와 가 이루는 각의 크기를 라 할 때, \\n\\t\\n이고, 의 최댓값은 이다.\\n이 때, ( )안에 알맞은 것을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n10\\n평면 위의 서로 다른 두 점 에 대하여 를 지름으로 하는 원 위의 한 점을 라 하자. 평면 위에서\\n \\n을 만족하는 점 의 자취를 설명하여라.\\n\\n\\n연습 문제 B\\n\\n\\n\\n01\\n평면 위의 동점 가 을 만족할 때, 다음 점의 존재범위를 도시하여라.\\n \\t\\t\\n(단, 점 은 점 를 원점 를 중심으로 양의 방향으로 만큼 회전하여 얻은 점이다.)\\n\\n\\n\\n02\\n시침의 길이가 1, 분침의 길이가 2인 시계가 있다. 시침을 분침을 라 할 때, 점 가 움직이는 범위를 도시하여라.\\n\\n\\n\\n\\n03\\n한 변의 길이가 2인 정사면체 OABC에서 OA 위의 점 P를 , PB 위의 점 Q를 이 되도록 잡는다. 라 할 때, 다음 물음에 답하여라.\\n(1) 내적 를 구하여라.\\n(2) 를 로 나타내어라.\\n(3) 를 로 나타내어라.\\n\\n\\n\\n\\n04\\n평면 위에 세 점 가 있고, 이라 한다. 이고, 가 을 만족시키면서 변할 때, 다음 물음에 답하여라.\\n(1) 점 P는 어떤 도형을 그리는가?\\n(2) 의 최솟값과 그 때의 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n3\\n벡터 방정식\\n\\n\\n§1. 직선의 벡터방정식\\n 점 를 지나고 영벡터가 아닌 벡터 에 평행한 직선 의 방정식을 구해 보자. \\n 직선 위의 임의의 점을 라 하고, 두 점 , 의 위치벡터를 각각 , 라고 하면 이므로\\n \\n를 만족하는 실수 가 존재한다.\\n그런데 이므로\\n \\t ……㉠\\n이다.\\n 역으로, ㉠을 만족하는 벡터 를 위치벡터로 하는 점 는 실수 의 값이 변함에 따라 직선 을 그린다.\\n 이때, ㉠을 직선 의 벡터방정식이라 하고, 벡터 를 직선 의 방향벡터라고 한다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n직선의 벡터방정식\\n\\n\\n\\n두 점 의 위치벡터를 각각 라 할 때,\\n(1) 점 를 지나고 에 평행한 직선의 방정식 \\n : 실수)\\n(2) 두 점 를 지나는 직선의 벡터방정식 \\n : 또는 는 실수)\\n(3) 점 를 지나고 에 수직인 직선의 벡터방정식 \\n : \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n❚증명❚\\n \\n(2) 오른쪽 그림과 같이 는 동일 직선 위에 있으므로\\n 또는 \\n 또는 실수)\\n \\n 또는 \\n 또는 \\n\\n(3) \\n \\t \\n \\t\\n\\n\\n\\n\\n\\n❚참고❚\\n 에 대하여 \\n (1) 는 와 일치\\n (2) 는 와 일치\\n (3) 는 의 쪽의 \\n 연장선 위에 있다.\\n (4) 는 제외) 위에 있다.\\n (5) 는 의 쪽의 연장선 위에 있다.\\n\\n\\n예제 1\\n\\n점 을 지나고, 에 평행인 직선의 벡터방정식을 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 두 점 를 지나는 직선의 벡터방정식을 구하여라.\\n\\n\\n\\n문제 02\\n 에 수직이고, 점 를 지나는 직선의 벡터방정식을 구하여라.\\n\\n\\n\\n문제 03\\n 다음 물음에 답하여라.\\n(1) 점 과 을 지나는 직선의 벡터방정식을 구하여라.\\n(2) 이 직선이 평면과 만나는 점을 구하여라.\\n\\n\\n\\n예제 2\\n\\n에서 의 자취는 의 수직이등분선임을 증명하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n \\n\\n\\n문제 04\\n 에서 이다. 의 이등분선의 벡터방정식을 구하여라.\\n\\n\\n\\n문제 05\\n 에서 점 가 를 만족할 때, 다음 물음에 답하여라.\\n(1) 가 실수 전체일 때, 점 의 자취를 구하여라.\\n(2) 점 가 의 내부에 있을 의 값의 범위를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n문제 06\\n 사면체 에서 이고, 변 의 길이가 각각 이며 라 하자.\\n(1) 공간에서 로 표시되는 점 가 의 변 및 내부에 있을 실수 의 조건을 구하여라.\\n(2)점 에서 세 점 를 포함하는 평면에 그은 수선의 발을 라 할 때, 점 가 의 변 및 내부에 있을 및 의 조건을 구하여라.\\n\\n§2. 원의 벡터방정식\\n 점 를 중심으로 하고 반지름의 길이가 인 원의 방정식을 구해 보자.\\n원 위의 임의의 점을 라 하면 가 성립한다.\\n이때, 두 점 의 위치벡터를 각각 라 하면\\n \\n이므로 \\n위의 식의 양변을 제곱하면 \\n \\n\\n\\n\\n예제 1\\n\\n 두 점 를 지름의 양 끝으로 하는 원의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n \\n\\n\\n\\n임의의 두 점 A, B에 대하여\\n\\n을 만족하는 점 의 자취는 원이 되며. 이것을 아폴로니우스의 원이라 한다.\\n\\n\\n\\n\\n원의 벡터방정식\\n\\n\\n\\n1) 점 를 중심으로 하고, 반지름이 인 원의 벡터방정식은 \\n 또는 \\n 2) 두 점 를 지름의 양 끝으로 하는 원의 벡터방정식은 \\n \\n 3) 아폴로니우스의 원\\n \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 에 대하여 \\n \\t\\n를 만족하는 점 의 자취를 구하여라. \\n\\n\\n\\n4\\n공간도형의 방정식\\n\\n\\n§1. 직선의 방정식\\n(1) 점 를 지나고, 에 평행한 직선 \\n 오른쪽 그림과 같이 점 를 지나고, 벡터 에 평행한 직선을 라 하면,\\n\\t\\n의 위치벡터를 라 할 때, 직선 의 벡터 방정식은 \\n\\t\\n \\n① 두 벡터가 서로 같을 조건에 의하여\\n \\n이것을 직선 의 매개변수방정식이라 하고, 를 매개변수라고 한다.\\n② 매개변수 방정식에서 를 소거하면 \\n ㉠ 일 때, \\n ㉡ (가령, )일 때,\\n \\n ㉢ (가령, )일 때,\\n \\n ㉠, ㉡, ㉢에서 \\n (분모가 일 때, 분자는 이다.) \\n이때, 이 직선 의 방향벡터는 이다. 또한 을 의 방향수, 을 의 방향비라 한다.\\n\\n\\n\\n\\n점 를 지나고, 에 평행한 직선 \\n\\n\\n\\n점 를 지나고, 벡터 에 평행인 직선 \\n① 매개변수 방정식 \\n : (단, 는 실수)\\n② 좌표공간에서의 방정식\\n \\n (단, 분모가 이면, 분자도 이다.)\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n예제 1\\n\\n 점 을 지나고 방향벡터가 인 직선의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n(2) 좌표축에 평행한 직선의 방정식\\n (1)에서 (가령, )일 때,\\n \\n이고, 이는 점 을 지나고 축에 평행한 직선이다. 이때, 좌표는 임의의 실수가 된다. \\n이를 정리하면 다음과 같다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n좌표축에 평행한 직선의 방정식\\n\\n\\n\\n공간에서 점 를 지나고 \\n① 축에 평행한 직선의 방정식 ⇒ \\n② 축에 평행한 직선의 방정식 ⇒ \\n③ 축에 평행한 직선의 방정식 ⇒ \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n(3) 두 점을 지나는 직선의 방정식\\n 두 점 를 지나는 직선의 방정식은 \\n\\t \\n이다. (단, 분모가 이면, 그 분수의 분자도 이다.)\\n \\n【증명】 \\n두 점 를 지나는 직선은 점 를 지나고 방향벡터가\\n\\t\\n이므로 구하고자 하는 직선의 방정식은 \\n \\t\\n이다.\\n\\n\\n예제 2\\n\\n 두 점 , 를 지나는 직선의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n \\n\\n\\n문제 01\\n 다음 조건을 만족하는 직선의 방정식을 구하여라.\\n (1) 점 을 지나고, 에 평행한 직선\\n (2) 점 을 지나고 방향비가 인 직선\\n\\n\\n\\n문제 02\\n 직선 의 방향벡터와 방향코사인을 구하여라.\\n\\n(4) 두 직선의 평행, 수직 조건 \\n 서로 다른 두 직선 가 각각 다음으로 주어질 때, \\t\\n ① 평행조건 \\n ② 수직조건 \\n\\n【증명】\\n \\n방향벡터는 각각 이다.\\n ① \\n ② \\n\\n\\n예제 3\\n\\n점 를 지나고 직선 에 평행인 직선의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n \\n\\n\\n문제 03\\n 점 에서 직선 에 내린 수선의 발 의 좌표를 다음 순서로 구하여라.\\n(1) 의 좌표를 실수 를 사용하여 나타내어라.\\n(2) 직선 의 방향벡터 를 구하여라.\\n(3) 임을 이용하여 를 구하여라.\\n(4) (1)에서 의 값을 대입하여 의 좌표를 구하여라.\\n(5) 두 직선이 이루는 교각의 크기\\n 두 직선 가 이루는 각의 크기를 구해 보자.\\n두 직선 의 방향벡터를 각각 라 할 때, 두 직선 가 이루는 각의 크기 에 대하여 \\n \\n이다.\\n\\n\\n예제 4\\n\\n원점을 지나고 다음 두 직선에 모두 수직인 직선의 방정식을 구하여라. \\n , \\n\\n\\n풀이\\n\\n \\n\\n\\n문제 04\\n 직선 이 축, 축, 축과 이루는 각 를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n문제 05\\n 점 에서 직선 에 그은 수선의 발을 라 할 때, 의 길이를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n문제 06\\n 공간에서 두 직선 \\n, \\n의 교점 의 좌표를 구하여라.\\n\\n\\n예제 5\\n\\n두 직선\\n \\n이 직교할 때, 실수 의 값을 구하고, 그 때의 교점의 좌표를 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n문제 07\\n 다음 물음에 답하여라.\\n(1) 점 에서 직선 까지의 (최단)거리를 구하여라. \\n(2) 직선 과 점 가 주어졌다. 위의 두 점 를 잡아 가 정삼각형이 될 때, 의 넓이를 구하여라.\\n\\n\\n\\n문제 08\\n 공간의 세 점 에 대하여 다음 물음에 답하여라. \\n(1) 가 원점일 때, 가 이루는 각의 크기를 구하여라. \\n(2) 점 에서 직선 에 그은 수선의 길이가 일 때, 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n문제 09\\n 점 와 직선 상의 점 에 대하여 두 직선 와 가 수직일 때, 다음 물음에 답하여라.(단, 는 원점) \\n (1) 점 의 좌표와 의 값을 구하여라.\\n (2) 일 때, 의 값을 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n(6) 두 직선 사이의 거리\\n 같은 평면위에 있지 않은 두 직선 \\n , \\n \\n의 공통 수선 , 에 대하여 \\n두 직선 사이의 거리 는\\t\\n\\t\\n\\n【증명】\\n\\t 이므로\\n\\t∴ \\n\\n\\n예제 6\\n\\n 두 직선 \\n \\n 사이의 거리를 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 10\\n 두 직선 \\n\\n사이의 거리를 구하여라.\\n\\n\\n§2. 평면의 방정식\\n(1) 평면의 방정식\\n 좌표공간에서 주어진 점 를 지나고 영벡터가 아닌 벡터 에 수직인 평면 의 방정식을 구해 보자.\\n평면 위의 임의의 점을 라고 하면 이므로 이다.\\n여기서, , 라고 하면\\n \\t\\t……㉠\\n 역으로, ㉠을 만족하는 벡터 를 위치벡터로 하는 점 는 평면 위에 있다.\\n이때, ㉠을 점 를 지나고 벡터 에 수직인 평면 의 벡터방정식이라 하고, 벡터 을 평면 의 법선벡터라고 한다. \\n \\n 이제, 평면 의 벡터방정식 ㉠을 성분으로 나타내어 보자.\\n점 , 의 좌표를 각각 , 이라 하고. 법선벡터가 라 하면 \\n \\n이고, ㉠에서 평면 의 방정식은 \\t\\n \\n이다.\\n\\n\\n좌표평면에서 , 에 대한 일차방정식은 직선을 나타낸다.\\n\\n\\n\\n\\n평면의 방정식, 법선벡터, 방향비\\n\\n\\n\\n(1) 평면 에 수직인 벡터 를 평면 의 법선벡터 \\n 라고 한다.\\n(2) 한 점과 법선벡터가 주어진 평면의 방정식\\n 점 을 지나고, 벡터 에 수직인 평면의 방정식은\\n \\n(3) 의 성분의 비 를 평면 의 방향비라고 한다. \\n 특히, 가 단위벡터일 때, 를 평면 의 방향코사인이라 한다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n 공간좌표에서 평면의 방정식의 일반형은 이고, 이 방정식은 법선벡터가 인 평면을 나타낸다.\\n\\n【증명】 \\n점 를 지나고 법선벡터가 인 평면의 방정식은 \\n \\n이다.\\n \\t\\n여기서 이라 하면\\n \\t\\n이 식은 에 관한 일차방정식이다.\\n역으로 에 관한 일차방정식 \\n \\n에서 중 적어도 하나가 이 아니다. \\n예를 들어 일 때, \\n \\n이므로 점 을 지나고, 법선벡터가 인 평면을 나타낸다.\\n\\n\\n예제 1\\n\\n점 를 지나고 법선벡터가 인 평면의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 점 를 지나고 에 수직인 평면의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n(2) 세 점을 지나는 평면의 방정식\\n 한 직선 위에 있지 않은 세 점 를 지나는 평면 의 방정식은 아래와 같다.\\n\\n ① 이고, 매개변수 방정식은 \\n \\n ② \\n【증명】 \\n① 평면 위의 임의의 점을 라 하면 는 한 평면 위에 있고, 세 점 는 한 직선 위에 있지 않으므로 이다. \\n \\n \\n \\n② 세 점으로 결정되는 평면 위의 임의의 한 점을 라 하면\\n 에서\\n \\n\\n예제 2\\n\\n세 점 를 지나는 평면의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n(3) 평면의 방정식의 표준형 (의 표준형)\\n 원점에서의 거리가 법선벡터가 인 평면의 방정식의 표준형은\\n\\t\\n이다.\\n\\n【증명】 \\n원점 에서 평면 에 내린 수선의 발을 라고 하면 는 점 를 지나고 에 수직인 평면이다.\\n이 때, 와 같은 방향의 단위벡터가 이고, 또, 이므로 \\n의 좌표는 이다. \\n따라서 평면 는 에 수직이고, 점 를 지나므로 의 방정식은 \\n \\n \\n따라서 \\n\\n\\n❚참고❚\\n\\n1)평면 의 방정식이 이면 원점 에서 평면 까지의 거리는 이다. \\n (그 이유는?) \\n\\n2) 평면 의 법선벡터 의 방향코사인은\\n \\n 이므로 평면 의 방정식은\\n\\n(4) 좌표평면에 평행한 평면의 방정식\\n 한 점 를 지나고, \\n① 평면에 평행한 평면의 방정식 ⇒ \\n② 평면에 평행한 평면의 방정식 ⇒ \\n③ 평면에 평행한 평면의 방정식 ⇒ \\n\\n\\n❚참고1❚\\n\\n평면 ⇒ 축에 평행\\n평면 ⇒ 축에 평행 \\n평면 ⇒ 축에 평행\\n\\n\\n❚참고2❚ \\n 축, 축, 축의 절편이 각각 인 평면의 방정식 \\n \\n【증명】\\n에 를 대입하여 정리하면 \\n \\t\\n에서 \\n\\t∴\\n\\n예제 3\\n\\n점 을 지나고 직선\\n \\n에 수직인 평면의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n문제 02\\n 를 지나고, 선분 에 수직인 평면의 방정식을 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n문제 03\\n 평면 과 직선 의 교점의 좌표를 구하여라.\\n\\n\\n\\n(5) 두 평면의 위치관계\\n 두 평면 에 대하여\\n① 평행조건 \\n② 일치조건 \\n③ 수직조건 \\n\\n【증명】\\n두 평면 의 법선벡터를 각각 라 하면,\\n \\n 이므로\\n ① 평행조건은 \\n ② 일치조건은 \\n한편 두 평면이 수직하려면 두 평면의 법선벡터 \\n이 수직하여야 하므로\\n \\n \\n따라서 ③ 수직조건은 \\n\\n(6) 두 평면이 이루는 각\\n 평면은 법선벡터를 가지고 있으므로, 두 평면 가 이루는 각의 크기 는 두 평면 의 법선벡터 , 가 이루는 각의 크기 으로 바꾸어 생각할 수 있다. 즉,\\n ⅰ) 일 때는 으로 정하고\\n ⅱ) 일 때는 으로 정하면 된다.\\n이때, 이고, 이므로\\n ⅰ)의 경우 : \\n ⅱ)의 경우 : \\n \\n두 평면 이 이루는 각을 라 할 때, \\n\\t\\n\\n예제 4\\n\\n두 평면 , 이 이루는 각의 크기를 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n(7) 점과 평면 사이의 거리\\n 점 에서 평면 에 내린 수선의 발을 라 할 때, 점과 평면 사이의 거리 는 다음과 같다.\\n\\t\\n【증명】\\n오른쪽 그림과 같이 원점 에서 평면 에 그은 법선과 와의 교점을 라 하고, 점 에서 와 에 내린 수선의 발을 각각 이라 하자.\\n이면 의 방정식은 \\n \\n(단, 은 의 방향코사인)\\n\\n\\t\\n\\t이므로 \\n와 은 같은 평면을 나타내므로 \\n\\t\\n\\t \\n\\t \\n\\t \\n \\t\\n \\t\\n 를 에 대입하면 \\n \\n【다른 증명】\\n\\n\\n 를 라 하면 이므로 \\n \\n \\n한편, 는 평면 위의 점이므로 \\n \\n(8) 두 평면의 교선\\n① 평행하지 않는 두 평면 \\n \\n (단, )\\n 의 교선의 방정식은 한 문자를 상수로 생각하여 두 식을 연립으로 푼다.\\n\\n② 두 평면 \\n \\n 의 교선을 품는 임의의 평면의 방정식은 \\n \\n (단, 는 임의의 실수)\\n\\n\\n예제 5\\n\\n두 평면 의 교선의 방정식을 구하여라. \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n문제 04\\n 두 평면 의 교선을 포함하고, 점을 지나는 평면의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n(9) 직선과 평면이 이루는 각\\n 직선 와 평면 가 이루는 각을 라 하면 다음이 성립한다.\\n\\t\\n\\n(10) 직선과 평면의 위치관계\\n1) 일 때,\\n ① \\n ② \\n ③ \\n\\n2) 서로 다른 두 직선 가 같은 평면상에 있을 조건\\n \\n\\n3) 서로 다른 두 직선 가 한 점에서 만날 조건\\n 이고 \\n\\n벡터의 외적(outer product, 벡터적)\\n\\n\\nθ\\n\\n\\n\\n\\n\\n 1. 외적의 정의\\n 일 때, 와 의 외적 는 다음과 같이 정의한다.\\n\\t\\n 이것을 행렬식을 사용하여 나타내면\\n\\t\\n\\t \\n\\t(단, 는 기본벡터)\\n\\nθ\\n\\n\\n\\n\\n\\n 2. 외적의 기하학적 성질\\nθ\\n\\n\\n\\n\\n\\n(1) 크기는 를 이웃하는 두 변으로 하는 \\n 평행사변형의 넓이와 같다.\\n 즉, \\n(2) 방향은 를 이웃하는 두 변으로 하는 \\n 평행사변형의 면에 수직이고, 오른쪽 나사를 \\n 에서 쪽으로 돌릴 때, 나사가 나아간 방향이다.\\n(3) 따라서 나사가 나아간 방향의 단위벡터를 이라 하면,\\n \\n\\n 3. 점과 직선사이의 거리\\n 점 로부터 점 를 지나고 벡터 에 평행인 직선까지의 거리 는 다음과 같이 표현된다.\\n\\t\\n\\n\\n 4. 외적의 활용\\n 벡터의 외적은 전자기 공학, 수력학, 행성의 운동 등의 연구에서 힘의 효과를 기술하는 데 광범위하게 응용된다.\\n\\n\\n문제 01\\n 일 때, 와 를 구하여라.\\n\\n\\n\\n문제 02\\n 세 점 P(1, -1, 0),Q(2, 1, -1),R(-1, 1, 2)에 대하여 다음 물음에 답하여라.\\n(1) 평면 PQR에 수직인 벡터를 구하여라.\\n(2) △PQR의 넓이를 구하여라.\\n\\n\\n\\n문제 03\\n 점 A(1, 1, 5)에서 직선 에 이르는 거리를 구하여라.\\n\\n\\n\\n❚참고❚\\n\\n 두 직선 사이의 거리를 구할 때, 공통 수선 는 두 직선의 방향벡터의 외적을 이용하여 구할 수 있다. \\n 예) 두 직선 \\n \\n 의 공통 수선을 구해 보자.\\n 각각의 방향벡터를 라 하면,\\n \\n 는 의 공통 수선이다.\\n \\n\\n\\n삼각형의 내심의 위치벡터\\n\\n\\n 오른쪽 그림과 같이 에서 세 점 의 위치벡터를 각각 라 하고, 라 할 때, 내심 의 위치벡터를 구해보자.\\n에서 의 이등분선과 의 교점을 라 하면 각의 이등분선의 정리에 의하여\\n \\n이다. 즉, 점 는 를 로 내분하는 점이므로\\n \\n ……㉠ \\n한편, 에서 이고, \\n내심 는 의 이등분선과 의 교점이므로 마찬가지로\\n \\n이다. 즉, 점 는 를 로 내분하는 점이므로\\n ……㉡\\n㉠을 ㉡에 대입하면\\n \\n\\n\\n문제 01\\n 다음 그림과 같은 에서 점 의 위치벡터 를 세 점 의 위치벡터 로 나타내어라. \\n\\n\\n연습 문제 A\\n\\n\\n\\n01\\n점 A(-1, 2, 3)을 지나고, 축, 축의 양의 방향과 각각 의 각을 이루는 직선의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n\\n02\\n점 A(3, -1, 4)와 직선 에 대하여 다음 물음에 답하여라.\\n(1) 점 A에서 직선 까지의 거리를 구하여라. \\n(2) 점 A의 직선 에 대한 대칭점의 좌표를 구하여라. \\n\\n\\n\\n03\\n점 A(1, -1, 2)를 지나고 두 직선 \\n\\n과 만나는 직선을 이라 하자. 다음 물음에 답하여라.\\n(1) 직선 의 방정식을 구하여라. \\n(2) 직선 과 의 교점을 각각 P, Q라 할 때, 선분 PQ의 길이를 구하여라.\\n\\n\\n\\n04\\n세 점 A(1, -1, 1), B(1, 1, 1), C(0, 0, 1)이 있다. 직선 가 및 그 내부와 공유점을 갖기 위한 상수 의 조건을 구하고, 점 가 존재하는 영역을 좌표평면 위에 나타내어라. \\n\\n\\n\\n05\\n점 A(8, 6, 7), B(16, 14, 19)와 평면 이 있다. 가 최소가 되는 위의 점 의 좌표를 구하여라.\\n\\n\\n06\\n두 평면 의 교선을 이라 한다. 다음 물음에 답하여라.\\n(1) 의 방정식을 구하여라.\\n(2) 을 포함하고 점 (1, 1, 3)을 지나는 평면의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n\\n07\\n직선 과 평면 에 대하여 직선 의 평면 위로의 정사영의 방정식을 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n08\\n만나는 두 직선 로 결정되는 평면의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n09\\n원점을 지나 두 평면 에 모두 평행한 직선의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n10\\n직선 과 두 평면 \\n\\t \\n이 있다. 직선 은 평면 에 포함되고, 두 평면 가 이루는 각의 크기가 일 때 상수 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n11\\n좌표공간에서 평면 와 세 좌표평면으로 둘러싸인 사면체의 부피는 평면 에 의하여 이등분된다고 할 때, 상수 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n연습 문제 B\\n\\n\\n\\n01\\n평면 위에 점 M을 잡아 두 점 에서의 거리의 합 를 최소가 되도록 할 때, 점 M의 좌표를 구하여라.\\n\\n\\n\\n02\\n좌표공간에 평면 위의 점 과 직선 위의 점 가 있다. 선분 의 평면 위로의 정사영의 길이를 구하여라.\\n\\n\\n\\n03\\n구 위의 점 에서 이 구에 접하는 평면의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n04\\n두 평면 α, β의 교선의 방정식이 이고, 는 모두 구 에 접하고 있다.\\n(1) 두 평면 의 방정식을 각각 구하여라.\\n(2)두 평면 와 구 와의 접점을 각각 라 하고, 구 의 중심을 라 할 때, 의 넓이를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n05\\n두 평면 에 대하여 다음 물음에 답하여라.\\n(1) 평면 에 대해 원점 와 대칭인 점 의 좌표를 구하여라.\\n(2) 원점 에서 나와 평면 위의 점 에서 반사한 광선이 평면 에 수직으로 입사할 때, 점 의 좌표를 구하여라.\\n(3) 원점 에서 나와 평면 위의 점 에서 반사한 광선이 평면 에서 다시 반사하여 직접 원점 로 들어갈 때, 점 의 좌표를 구하여라.\\n\\n\\n06\\n구 과 평면 가 만나서 생기는 원 를 평면 위로 정사영하여 생긴 타원을 이라고 할 때, 다음 물음에 답하여라.\\n(1) 의 방정식을 구하여라.\\n(2) 원 에 내접하는 정삼각형 의 꼭짓점 의 좌표가 이라고 하자. 점 의 평면 위로의 정사영을 이라고 할 때, 의 좌표를 구하여라.\\n(3) 타원 에 내접하는 삼각형의 넓이의 최댓값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n07\\n좌표공간에서 점 를 지나는 평면 (단, 는 모두 양수) 위에 가 있다. 의 평면, 평면, 평면 위로의 정사영의 넓이가 각각 일 때, 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n08\\n점 을 지나고 구 과 접하는 직선 전체를 생각할 때, 다음 물음에 답하여라.\\n(1) 직선과 구의 접점 전체는 한 평면 위에 있다. 이 평면의 방정식을 구하여라.\\n(2) 이들 직선이 평면과 만나는 점 전체는 평면 위의 곡선이 된다. 이 곡선의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n\\n09\\n좌표공간에서 좌표는 이고, 적어도 한 실수 에 대하여 인 관계를 만족시키는 점 전체가 이루는 도형을 라 하자. 다음 물음에 답하여라.\\n(1) 평면이 와 만나는 점의 자취를 구하여라.\\n(2) 의 부피를 구하여라.\\n\\n\\n\\n10\\n공간에 세 점 이 있다. 점 가 둘레를 한 바퀴 돌 때, 가 중심이고 반지름의 길이가 인 구가 통과하는 점 전체가 그리는 도형을 라 하자. 를 평면 으로 자를 때, 단면의 넓이를 구하여라.\\n\\n대단원 문제\\n\\n\\n\\n01\\n에서 무게중심을 라 할 때, 임을 보여라.\\n\\n\\n\\n02\\n인 사다리꼴 에서 를 로 내분하는 점, 를 으로 내분하는 점을 각각 라 하자. 와 의 교점을 라 하고 를 각각 로 표시할 때, \\n(1) 를 로 나타내어라. \\n(2) 세 점 는 일직선 위에 있음을 보여라. \\n\\n\\n\\n\\n03\\n인 이등변 삼각형 에서 변 의 중점을 이라 할 때, 임을 벡터의 내적을 이용하여 보여라.\\n\\n\\n\\n\\n04\\n이고, 일 때, 가 이루는 각의 크기 를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n05\\n 의 꼭짓점 에서 변 에 내린 수선의 발을 이라 하고, 의 교점을 라 할 때, 임을 증명하여라. \\n\\n\\n\\n06\\n 좌표공간의 점 와 중심이 원점 인 구 위를 움직이는 점 에 대하여 의 최댓값은 이다. 의 값을 구하여라. (단, 는 유리수이다.) [수능 기출]\\n\\n\\n\\n07\\n원점 와 세 점 이 주어져 있고, 라 하자. 점 로부터 세 점 가 결정하는 평면에 내린 수선의 발을 라 하고, 라 할 때 다음 물음에 답하여라.\\n(1) 가 되는 실수 를 구하여라. \\n(2) 사면체 의 부피를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n08\\n 에 대하여 다음 조건을 만족하는 점 의 영역을 도시하여라.\\n(1) \\n(2) 라 할 때, \\n \\n\\n\\n\\n\\n09\\n구 와 평면 이 만나서 생기는 원의 중심의 좌표와 반지름의 길이를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n10\\n다음 그림과 같이 평면 위에 한 변의 길이가 인 정삼각형 가 있고, 반지름의 길이가 인 구 는 점 에서 평면 에 접한다. 구 위의 점 에 대하여 가 구 의 중심 를 지날 때, 의 값을 구하여라. [수능 기출]\\n\\nⅤ. 일차변환\\n\\n\\n 1. 일차변환\\t\\t2. 행렬식과 그 활용 3. 고윳값과 고유벡터\\n\\n좌표평면 위의 점을 좌표평면 위의 점으로 대응시키는 여러 가지 함수의 성질을 연구하는 데 기초가 되는 것이 일차변환이다. 일차변환은 도형을 늘이거나 줄이고 회전시켜 우리가 원하는 모양을 만들어 내는 데 활용된다. 일차변환이 행렬로 나타나고, 일차변환과 행렬은 일대일 대응 관계가 있음이 알려짐으로써 행렬은 그 유용성이 확인되었다. 일차변환과 행렬 이론은 현대 수학의 기초가 되는 내용으로 영화와 사진, 애니메이션 등 예술 분야, 특히 컴퓨터를 이용하는 분야와 물리학, 경제학 등 여러 분야에서 널리 이용되고 있다.\\n\\n[그림 출처] http://mathmajorsloth.tumblr.com/post/4317127828/what-is-an-eigenvector\\n\\n\\n1\\n일차변환\\n \\n\\n§1 일차변환의 뜻\\n(1) 변환\\n좌표평면 위의 점 의 축에 대하여 대칭이동 한 점을 라 하면\\n\\t\\n인 관계가 성립하고, 이것을 대응으로 나타내면 다음과 같다.\\n\\t\\n이와 같이, 좌표평면 위의 각 점을 그 평면 위의 점으로 대응시키는 함수를 변환이라고 한다. 좌표평면 위의 점 를 점 으로 옮기는 변환을 라고 할 때, 이것을 기호로\\n\\t\\n과 같이 나타낸다.\\n이 때, 점 를 변환 에 의한 점 의 상 또는 옮겨진 점이라고 한다. 이를테면 좌표평면 위에서 점 를 축 방향으로 만큼, 축 방향으로 만큼 평행이동 시킨 점을 이라고 하면, 이 평행이동 는\\n\\t에서 \\n인 변환이다.\\n(2) 일차변환의 뜻\\n좌표평면 위의 점 를 으로 옮기는 변환을 라고 할 때, 이를 기호로\\n\\t\\n\\n, 이 각각 상수항이 없는 , 에 대한 일차식으로 나타내어질 때, 일차변환이 된다.\\n과 같이 나타낸다.\\n일반적으로 좌표평면 위의 변환 이\\n\\t (단, , , , 는 상수)\\n의 꼴로 나타날 때, 이러한 변환 를 일차변환이라고 한다. \\n위의 일차변환을 행렬로 나타내면 다음과 같다.\\n\\t\\n\\n일차변환 를\\n\\n \\n또는 \\n \\n와 같이 나타내기도 \\n한다.\\n여기서, , , 라고 놓으면\\n\\t\\n이다.\\n이때, 를\\n\\t 또는 \\n와 같이 나타내고, 행렬 를 일차변환 를 나타내는 행렬 또는 일차변환 의 행렬이라고 한다.\\n\\n<참고> 일차변환의 다른 정의\\n함수 : 이 임의의 차원 벡터 와 스칼라 에 대하여 \\n\\t(1) \\n\\t(2) \\n을 만족할 때, 함수 를 일차변환이라고 한다. \\n즉, 일차변환에 의하여 두 벡터의 합의 함숫값은 각각 함숫값의 합과 같으며, 스칼라의 곱은 변하지 않는다. 이와 같이 일차변환은 덧셈과 스칼라 곱을 변하지 않게 하는 함수이다. 일차변환 에 의한 의 상을 라 하고 그림으로 나타내면 다음과 같다.\\n\\nA\\n\\nO\\n\\n\\n\\n\\nO\\nA\\nB\\n\\n\\n\\n\\n예제 1\\n\\n 두 점 이 각각 로 옮겨지는 일차변환 에 의하여 점 가 옮겨지는 점의 좌표를 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n \\n\\n\\n\\n문제 01\\n 행렬 가 나타내는 일차변환에 의하여 점이 옮겨진 점의 좌표를 구하여라. \\n\\n문제 02\\n 두 점 에 각각 을 대응시키는 일차변환의 행렬을 구하여라. \\n\\n\\n\\n문제 03\\n 좌표평면에 세 점 가 있다. 일차변환 에 의하여 가 로, 가 로, 가 로 옮겨질 때, 의 값을 구하여라. \\n\\n\\n\\n문제 04\\n ()일 때, 함수 가 일차변환임을 보여라.\\n\\n\\n\\n도전문제1\\n 두 일차변환 : , : 에 대하여 : 를\\n\\t\\n 라 정의할 때, 가 일차변환임을 보여라.\\n\\n\\n\\n\\n도전문제2\\n 일 때, 행렬 가 나타내는 일차변환을 라 하자. 이 때, 를 만족하는 점 의 자취는 직선이 됨을 보여라.\\n\\n(3) 일차변환의 성질\\n일차변환 에 대하여 , 라고 하면 임의의 실수 에 대하여\\n\\t\\n\\t\\n이므로\\n\\t이다.\\n또, , 라고 하면 행렬의 연산에 대한 분배법칙에 의하여\\n\\t\\n\\t\\t\\n\\t\\t\\n\\t\\t\\n\\t\\t\\n이다.\\n따라서 일차변환에 대하여 다음의 성질이 성립한다.\\n\\n\\n\\n\\n일차변환의 성질\\n\\n\\n\\n일차변환 와 임의의 행렬 , 에 대하여\\n(1) (단, 는 실수)\\n(2) \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n예제 2\\n\\n 일차변환 : 와 행렬 에 대하여 다음 등식이 성립함을 보여라.\\n \\t (단, 은 실수) \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 05\\n 일차변환 는 원점을 원점으로 옮김을 보여라.\\n\\n\\n\\n문제 06\\n 일차변환 와 , , 에 대하여 일 때, 를 구하여라. \\n\\n\\n\\n§2 여러 가지 일차변환\\n(1) 대칭변환\\n좌표평면 위에서 한 점을 직선 또는 점에 대하여 대칭이동하는 변환을 대칭변환이라고 한다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n좌표평면 위의 점 를 축에 대하여\\n대칭이동 한 점을 이라고 하면\\n\\n이고, 이를 로 나타낼 수 있다. \\n따라서, 축에 대칭변환은 일차변환이다. \\n같은 방법으로 축, 원점, 직선 , 에 대한 대칭변환도 모두 일차변환이며 이 일차변환을 나타내는 행렬은 다음과 같다.\\n\\n(1) 축에 대한 대칭변환 \\n\\t, \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n 즉, \\n(2) 축에 대한 대칭변환 \\n\\t, \\n 즉, \\n(3) 원점에 대한 대칭변환\\n\\t, \\n 즉, \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n(4) 직선 에 대한 대칭변환\\n\\t, \\n 즉, \\n(5) 직선 에 대한 대칭변환\\n\\t, \\n 즉, \\n(2) 닮음변환\\n인 변환을 닮음변환이라 하고, 이것을 행렬로 나타내면 이다. \\n\\t \\n이 때, \\n이면 : 항등변환, \\n이면 : 축소, \\n이면 : 확대\\n항등변환 : , \\n\\t \\n\\t \\n\\n축 방향으로 배\\n축 방향으로 배 \\n축 방향으로 배\\n축 방향으로 배 \\n\\n\\n\\n,\\n,\\n,\\n\\n\\n\\n\\n\\n예제 1\\n\\n행렬가 나타내는 일차변환에 의한 점 , 의 상을 각각 라 할 때, 다음을 구하여라.\\n⑴ 의 좌표 \\t\\t⑵ \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 예제1에서 임을 보여라. (단, 는 좌표의 원점이다.)\\n\\n\\n\\n문제 02\\n 축, 직선 에 대한 대칭이동을 나타내는 행렬을 각각 라 할 때, 행렬 가 나타내는 일차변환에 의한 점 의 상을 구하여라.\\n\\n\\n(3) 회전변환\\n좌표평면 위의 점 를 원점을 중심으로 각의 크기 만큼 회전하여 으로 이동하는 것을 회전변환이라 한다.\\n\\n그림과 같이 직각삼각형 를 원점을 중심으로 각의 크기 만큼 회전한 것을 직각 삼각형 이라고 하자.\\n이 때, \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n \\n \\n \\n \\n \\n ∴ \\n\\n\\n\\n\\n회전변환의 행렬\\n\\n\\n\\n원점을 중심으로 각의 크기 만큼 회전이동하는 회전변환을 나타내는 행렬은\\n\\t\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n질문\\nD\\n위와 다른 방법으로 좌표평면에서 원점을 중심으로 각의 크기 \\n만큼 회전이동한 일차변환을 나타내는 행렬을 구하여 보자.\\n\\n\\n\\n예제 2\\n\\n세 점 를 이어 만든 삼각형 가 정삼각형일 때, 의 값을 구하여라.(단, 는 제1사분면 위의 점이다.)\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 03\\n 원점을 중심으로 하여 점 를 만큼 회전 이동한 점을 라 할 때, 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n문제 04\\n 점 을 원점을 중심으로 각의 크기가 만큼 회전이동한 점과 축에 대하여 대칭이동한 점이 일치할 때, 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 05\\n 그림과 같이인 직각삼각형\\n에서 , 이고, 행렬 가 나타내는 일차변환 에 의하여 가 로 옮겨질 때, 의 값을 구하여라. (단, 점 는 좌표축 위의 점이 아니다. )\\n\\n\\n\\n\\n문제 06\\n 행렬 로 나타내어지는 일차변환에 의한 점의 상을 라 한다. 가 의 범위에서 움직일 때, 점의 자취의 길이를 구하여라.\\n\\n\\n도전문제1\\n 직선 에 대한 대칭변환을 나타내는 일차변환의 행렬을 구하여라.\\n\\n\\n\\n도전문제2\\n 직선 에 대하여 점 를 대칭시킨 점을 라 할 때, 다음 물음에 답하여라.\\n(1) 의 좌표를 구하여라.\\n(2)선분과 직선 의 교점을 라고 하자. 의 범위에서 가 변할 때 점 가 그리는 자취로 둘러싸인 도형의 넓이를 , 점 가 그리는 자취로 둘러싸인 도형의 넓이를 이라 하자. 이 때, : 의 값을 구하여라.\\n(3) 에 대한 대칭이동은 일차변환인가? 그 이유는 무엇인가?\\n\\n\\n§3 합성변환과 역변환\\n(1) 합성변환 \\n두 일차변환 가 다음과 같을 때,\\n\\t, \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n변환 은 일차변환이 되며, 이를 \\n의 합성변환이라고 하며\\n\\t\\n으로 나타낸다. \\n\\n 두 일차변환 를 나타내는 행렬을\\n각각 라 하면 \\n\\t, \\n이므로 \\n\\t\\n이 때, 행렬는 이차정사각행렬이므로 합성변환는 일차변환이고, 그 행렬은 이다. \\n따라서, 다음을 알 수 있다.\\n\\n일차변환 를 나타내는 행렬이 각각 일 때\\n(1) 합성변환 의 행렬은 이고, 합성변환 를 나타내는 행렬은 이다.\\n(2) 행렬에서 이므로 이다.\\n(3) 를 나타내는 행렬은 이다.\\n(4) 이므로 이다. \\n\\n\\n예제 1\\n\\n일차변환 를 나타내는 행렬이 각각 ,일 때, 합성변환 에 의하여 점 이 옮겨지는 점의 좌표를 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 좌표평면에서 축에 대한 대칭이동을 , 원점을 중심으로 회전이동을 라고 한다. 이 때, 다음을 증명하여라.\\n(1) 합성변환 는 직선 에 대한 대칭이동과 같다.\\n(2) 합성변환 는 직선 에 대한 대칭이동과 같다.\\n(3) 합성변환 는 항등변환이다.\\n(4) 합성변환 는 원점에 대한 대칭이동과 같다.\\n\\n\\n문제 02\\n 좌표평면에서의 회전변환 와 대칭변환 를 나타내는 행렬이 각각 , 이다. 두 변환 와 를 유한 번 합성하여 얻을 수 있는 합성변환에 의하여 점 가 옮겨질 수 있는 점은 를 포함하여 모두 몇 개인지 구하여라.\\n\\n\\n\\n문제 03\\n 일차변환 를 나타내는 행렬 가 일 때, 합성변환 , 라 정의하자. 합성변환 에 의하여 점 가 옮겨진 점의 좌표를 라 할 때, 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n문제 04\\n 다음 등식이 성립함을 증명하여라.\\n\\t \\n\\n(2) 역변환\\n 일차변환 에 대하여 두 합성변환\\n 가 모두 항등변환이 되는 일차변환 \\n \\t\\n 가 존재할 때, 일차변환 를 의 역변환이라고 하고, \\n 기호로 로 나타낸다. \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n 일차변환 를 나타내는 행렬을 라 하면\\n \\t\\n 행렬 가 역행렬 를 가질 때, 양변에 를 곱하면 \\n \\t\\n \\t \\n이 식은 역변환 의 식으로 의 역변환 도 일차변환이고, 그 행렬은 임을 알 수 있다.\\n한편, 행렬 가 역행렬을 갖지 않으면 그 일차변환의 역변환은 존재하지 않는다.\\n\\n\\n\\n\\n일차변환의 역변환\\n\\n\\n\\n일차변환 를 나타내는 행렬이 일 때, 가 존재하면 \\n (1) 역변환 는 일차변환이고, \\n (2) 역변환 를 나타내는 행렬은 이다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n<참고> 일차변환 를 나타내는 행렬 의 역행렬 가 존재할 때,(1) (는 항등변환)(2) (3) \\n\\n\\n문제 05\\n 두 일차변환 , 에 대하여 일차변환 에 의한 의 상을 구하여라.\\n\\n\\n\\n문제 06\\n 임의의 점 를 로 옮기는 일차변환을 , 직선 에 대한 대칭이동을 라 할 때, 일차변환 를 나타내는 행렬을 구하여라.\\n\\n\\n\\n문제 07\\n 두 일차변환 , 일 때 를 만족하는 에 의하여 점 이 옮겨지는 점의 좌표를 구하여라.\\n\\n\\n도전문제1\\n 행렬 로 나타내어지는 일차변환을 라 하고, 와 또 다른 일차변환 와의 합성변환 가 의 역변환과 같다고 한다. 이 때, 일차변환 를 나타내는 행렬 를 구하여라.\\n\\n\\n\\n§4 일차변환과 도형\\n(1) 일차변환과 좌표평면\\n\\n질문\\nD\\n행렬 가 나타내는 일차변환 에 의하여 다음 각 경우에 좌표평면이 어떻게 변환되는지 알아보아라.\\n\\t (1) \\t(2) \\t(3) \\n\\n이제 행렬 가 나타내는 일차변환 에 의하여 좌표평면이 어떻게 변환되는지 알아보자.\\n좌표평면 위의 임의의 점 에 대하여\\n\\t\\n이므로 일 때, 좌표평면은 원점으로 옮겨진다.\\n\\n또, 인 경우\\n \\t\\n \\t, \\n \\t\\n따라서, 좌표평면은 원점을 지나는 직선으로 옮겨진다.\\n\\n한편, 인 경우 즉, 가 존재하는 경우\\n좌표평면 위의 임의의 점을 라 하자.\\n \\t\\n라 하면 이므로 좌표평면 위의 임의의 점 에 대하여, 일차변환 에 의하여 점 로 옮겨지는 점 가 존재한다. 즉, 좌표평면은 좌표평면으로 옮겨진다.\\n이를 정리하면 다음과 같다.\\n\\n\\n\\n\\n일차변환과 좌표평면\\n\\n\\n\\n일차변환 를 나타내는 행렬이 일 때, \\n (1) 일 때 : 원점으로 옮겨진다.\\n (2) , 존재하지 않을 때 : 원점을 지나는 직선으로 옮겨진다.\\n (3) 존재할 때 : 좌표평면으로 옮겨진다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 행렬 로 나타내어지는 일차변환 에 의하여 좌표평면 위의 모든 점이 원점을 지나는 한 직선으로 옮겨질 때, 의 값과 그 직선의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n\\n문제 02\\n 행렬 로 나타내어지는 일차변환 에 의하여 좌표평면 위의 모든 점이 직선 위로 옮겨질 때, 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n문제 03\\n 행렬 로 나타내어지는 일차변환에 의하여 원 이 옮겨지는 도형의 길이를 구하여라.\\n\\n\\n\\n도전문제1\\n 행렬 로 나타내어지는 일차변환 가 다음 세 조건을 만족할 때, 를 구하여라.\\n 모든 점의 좌표는 변하지 않는다.\\n 축에 평행한 선분의 길이는 변하지 않는다.\\n 직선 를 직선 로 옮긴다. \\n\\n(2) 일차변환과 직선\\n\\n질문\\nD\\n직선 는 다음 행렬이 나타내는 일차변환에 의해 각각 어떤 도형으로 옮겨지는 알아보자.\\n (1) (2) (3) (4) \\n \\n행렬 가 나타내는 일차변환 에 의하여 평면 위의 직선은 행렬에 따라 원점, 원점을 지나는 직선 또는 점, 직선으로 옮겨진다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n일차변환과 직선\\n\\n\\n\\n일차변환 를 나타내는 행렬이 일 때, \\n (1) 일 때 : 원점으로 옮겨진다.\\n (2) , 존재하지 않을 때 : 원점을 지나는 직선 또는 점으로 옮겨진다.\\n (3) 존재할 때 : 직선으로 옮겨진다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n<참고>\\n일차변환 를 나타내는 행렬 의 역행렬 가 존재할 때, 일반적으로 다음이 성립한다.\\n(1) 선분의 분점을 분점으로 옮기고, 그것의 나누는 비는 변하지 않는다.\\n(2) 평행한 직선은 평행한 직선으로 옮긴다. \\n(3) 교차하는 두 직선은 교차하는 두 직선으로 옮기고, 그 교점은 교점으로 옮긴다.\\n(4) 삼각형의 내부는 삼각형의 내부로 옮긴다.\\n \\n일차변환에 의한 좌표평면이나 직선의 상을 구할 수 있을 뿐만 아니라, 곡선의 상을 구할 수도 있다. \\n도형 의 상은 다음과 순서로 구할 수 있다.\\n① 에서 양변에 을 곱한다.\\n② 을 전개한다.\\n③ 의 값을 로 나타낸다.\\n④ ③식을 에 대입한다. \\n\\n예제 1\\n\\n다음 행렬로 주어지는 일차변환 에 의하여 직선 이 옮겨진 도형을 구하여라. \\n⑴ ⑵ ⑶ ⑷ \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 04\\n 행렬 로 나타내어지는 일차변환이 직선 를 한 점으로 옮기기 위한 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n문제 05\\n 행렬 로 나타내어지는 일차변환 에 의하여 직선 위의 모든 점이 점 로 옮겨질 때, 행렬 를 구하여라.\\n\\n\\n\\n문제 06\\n 직선 을 원점을 중심으로 만큼 회전이동하면 으로 옮겨진다고 한다. 이때 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n문제 07\\n 행렬 가 나타내는 일차변환 에 의하여 직선 이 직선 으로 옮겨질 때, 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n문제 08\\n 행렬 로 나타내어지는 일차변환 에 의하여 원 을 옮길 때, 다음을 구하여라.\\n(1) 옮긴 도형의 방정식 \\t\\t(2) 옮긴 도형의 넓이\\n\\n\\n\\n문제 09\\n 행렬 이 나타내는 일차변환에 의하여 원 이 옮겨진 도형의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n\\n문제 10\\n 도형 을 원점을 중심으로 회전 이동한 도형의 방정식을 구하여라. \\n\\n\\n\\n도전문제2\\n 행렬 로 나타내어지는 일차변환 에 대하여 다음을 증명하여라.()\\n(1) 두 점 가 각각 으로 옮겨질 때, 선분를 으로 내분하는 점은 선분를 으로 내분하는 점으로 옮겨짐을 증명하여라. \\n(2) 평행한 두 직선은 평행한 두 직선으로 옮겨짐을 증명하여라.\\n\\n연습 문제 A\\n\\n\\n\\n01\\n좌표평면 상에 세 점, , 가 있다. 일차변환 에 대하여, 일 때, 의 모든 성분의 합을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n02\\n\\t행렬 로 나타내어지는 일차변환 에 대하여, 어떤 점 가 에 의하여 다시 점로 옮겨질 때, 실수 의 값을 구하여라. (단, 점는 원점이 아니다.)\\n\\n\\n\\n\\n\\n03\\n\\t행렬 에 대하여 이 나타내는 일차변환 에 의하여 점 가 점 로 옮겨진다고 한다. 이 때, 이 나타내는 일차변환에 의하여 점 가 옮겨진 점의 좌표를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n04\\n\\t아래 그림과 같이 원 에 내접하는 삼각형 가 있다. 이고 점 의 좌표가 일 때, 점 의 좌표는이다. 이 때, 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\nO\\n\\n\\nC\\n\\n\\nA\\nB(2,1)\\n\\n \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n05\\n\\t일차변환 에 의하여 직선 : 이 직선 으로 옮겨질 때, 두 직선 , 의 교점을 이라 하자. 이 때, 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n06\\n\\t일차변환 에 의하여 직선 위의 임의의 점이 직선위의 점 으로 옮겨질 때, 실수 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n07\\n\\t행렬 가 나타내는 일차변환에 의하여 이 옮겨진 도형을 좌표평면 위에 나타내어라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n08\\n\\t일차변환 에 의하여 직선 가 직선 으로 옮겨질 때, 원점에서 두 직선 의 교점까지의 거리를 구하여라.\\n \\n\\n \\n\\n2\\n\\nO\\n\\n1\\n\\n\\n\\n09\\n\\t이차정사각행렬 로 나타내어지는 일차변환\\n에 의하여 오른쪽 그림과 같은 삼각형 를\\n옮겼을 때, 다음을 구하여라.\\n(1) 옮겨진 삼각형의 넓이\\n(2) 옮겨진 삼각형의 무게중심의 좌표\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n10\\n\\t일차변환 에 의하여 이 옮겨지는 도형의 넓이를 구하여라.\\n \\n\\n\\n\\n11\\n\\t행렬 가 나타내는 일차변환에 의하여 축 위에 중심을 갖는 원은 모두 어떤 정직선 위에 중심을 갖는 원으로 옮겨짐을 증명하여라.(단, )\\n\\n\\n\\n\\n\\n12\\n\\t좌표평면에서 영역 가 행렬 로 나타내어지는 일차 변환에 의하여 의 부분집합으로 옮겨지기 위한 필요충분조건을 구하여라.\\n \\n\\n\\n\\n\\n13\\n\\t일차변환 을 라 할 때, 두 부등식\\n\\t , \\n를 동시에 만족시키는 영역은 에 의하여 어떤 도형으로 옮겨지는지 좌표평면에 나타내어라.\\n\\n\\n\\n\\n14\\n\\t행렬로 나타나내어지는 일차변환에 의한 좌표평면 위의 영역 의 상을 이라고 할 때,\\t 이다. 영역 의 넓이를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n연습 문제 B\\n\\n\\n\\n01\\n행렬 로 나타내어지는 일차변환을 라 할 때, 평면 위의 원점 이외의 임의의 한 점을 , 이라 한다. 의 무게중심이 항상 원점일 때, 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n02\\n\\t행렬 로 나타내어지는 일차변환에 의하여 제 2사분면 위의 모든 점이 제 4사분면 위의 점으로 옮겨지기 위한 조건을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n03\\n\\t행렬 이 나타내는 일차변환에 의하여 원 위의 점 가 으로 옮겨지고, 이 로 옮겨진다고 한다. 이 때, 삼각형 의 넓이의 최댓값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n04\\n\\t행렬 로 나타내어지는 일차변환에 의하여 점 을 지나는 직선 이 같은 점 을 지나 에 직교하는 직선으로 옮겨진다고 한다. 이 때 의 값을 구하여라.\\n(단, 직선 의 기울기는 이 아니다.)\\n\\n\\n\\n\\n05\\n\\t행렬 를 로 나타낼 때, 다음 물음에 답하여라.\\n (1) 임을 보여라.\\n (2) 로 되는 최소의 자연수 을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n06\\n\\t행렬 로 나타내어지는 일차변환 는 다음 두 조건을 만족시킨다.\\n‧ 일차변환 에 의하여 직선 위의 각 점을 자기 자신으로 옮겨진다.\\n‧ 점은 점로 옮겨진다.\\n이 때, 일차변환 에 의하여 곡선 이 옮겨진 도형의 방정식을 구하여라.\\n\\n2\\n행렬식과 그 활용\\n\\n\\n§1. 이차정사각행렬의 행렬식\\n(1) 행렬식의 정의\\n이차정사각행렬 에 대하여 를 행렬 의 행렬식이라고 하고 이를 또는 로 나타낸다. 즉, 이다.\\n\\n(2) 행렬식의 성질\\n\\n예제 1\\n\\n 다음 행렬의 행렬식을 구하여라.\\n(1) (2) (3) \\n\\n\\n풀이\\n \\n\\n\\n\\n\\n\\n위의 예제로부터 다음과 같은 사실을 알 수 있다.\\n\\n\\n\\n\\n행렬식의 기본 성질\\n\\n\\n\\n이차정사각행렬 에 대하여\\n(1) 행렬 의 한 행이 모두 이면 이다. \\n(2) 행렬 의 한 행을 배하여 만든 행렬을 라 하면 이다.\\n(3) 행렬 의 두 행을 서로 교환하여 만든 행렬을 라 하면 이다.\\n(4) 한 행이 어떤 두 행의 합으로 된 경우는, 예를 들어,\\n\\n가 성립한다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n<참고> 위의 결과는 행을 열로 바꾸어도 모두 성립한다. \\n\\n문제 01\\n 행렬 와 행렬 의 행렬식을 구하고 그 두 값을 비교하여라.\\n\\n\\n문제 02\\n 이차정사각행렬 가 서로 비례하는 두 행을 가질 때, 임을 보여라.\\n\\n\\n문제 03\\n 임의의 이차정사각행렬 , 에 대하여, \\n\\n임을 보여라.\\n<참고> 차 정사각행렬에 대하여서도 이 성질은 성립한다. \\n\\n\\n문제 04\\n 이차정사각행렬 에 대하여 다음이 성립함을 보여라.\\n(1) \\n(2) 가 존재할 때, \\n\\n\\n문제 05\\n 행렬 에 대하여, 을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n문제 06\\n \\n이차정사각행렬 에 대하여 일 때, 다음의 값을 구하여라.\\n(1) (2) (3) (4) \\n\\n\\n\\n문제 07\\n 이차정사각행렬 , 에 대하여, 가 정칙행렬일 때, 다음을 증명하여라.\\n\\n\\n\\n문제 08\\n 두 이차정사각행렬 , 에 대하여 , 일 때, 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n문제 09\\n 두 행렬 , 가 모두 정칙행렬일 때, 의 값을 구하여라.\\n\\n§2 삼차정사각행렬의 행렬식\\n(1) 행렬식의 정의\\n삼차정사각행렬 에 대하여 행과 열을 제외하여 얻어지는 이차정사각행렬의 행렬식을 라고 나타내고, 를 행렬 의 성분 의 소행렬식이라고 한다. 삼차정사각행렬 의 소행렬식은 모두 개가 존재한다. 예를 들면\\n, , , \\n등이다. 삼차정사각행렬 의 행렬식은 소행렬식을 이용하여\\n\\n로 정의한다. \\n\\n\\n\\n\\n삼차정사각행렬의 행렬식\\n\\n\\n\\n행렬 에 대하여,\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 행렬 의 소행렬식 , , 를 각각 구하고, 이를 이용하여 를 구하여라.\\n\\n\\n문제 02\\n 삼차정사각행렬 와 실수 에 대하여, 임을 보여라.\\n(2) 행렬식의 성질\\n이차정사각행렬과 마찬가지로 삼차정사각행렬에 대해서도 다음의 결과가 성립한다. \\n\\n\\n\\n\\n행렬식의 기본 성질\\n\\n\\n\\n삼차정사각행렬 에 대하여\\n(1) 행렬 의 한 행이 모두 이면 이다. \\n(2) 행렬 의 한 행을 배하여 만든 행렬을 라 하면 이다.\\n(3) 행렬 의 두 행을 서로 교환하여 만든 행렬을 라 하면 이다.\\n(4) 한 행이 어떤 두 행의 합으로 된 경우는, 예를 들어,\\n\\n가 성립한다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n<참고> 위의 결과는 행을 열로 바꾸어도 모두 성립한다. 또한 차 정사각행렬에 대하여서도 위의 행렬식의 기본 성질은 모두 성립한다. \\n\\n\\n예제 1\\n\\n다음 행렬의 행렬식을 구하여라.\\n(1) (2) \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 03\\n 삼차정사각행렬 의 행의 배를 (단, )행에 더한 행렬을 라고 할 때, 임을 증명하시오.\\n\\n문제 04\\n 삼차정사각행렬 의 행렬식을 구하시오.\\n\\n\\n문제 05\\n 직접 계산하지 않고 다음의 등식이 성립함을 보이시오.\\n(1) \\n(2) \\n(3) \\n\\n\\n도전문제\\n 좌표평면에서 서로 다른 세 점 , , 가 한 직선위에 있을 필요충분조건은 임을 보이시오.\\n\\n(3) 삼차정사각행렬의 역행렬\\n삼차정사각행렬의 역행렬을 행렬식으로 표현하기 위해서는 행렬식을“행을 따라 전개”하는 방식에 대하여 생각해 보아야 한다.\\n\\n예제 2\\n\\n삼차정사각행렬 에 대하여 다음의 값을 구하시오.\\n(1) (2) \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n일반적으로 다음이 성립한다.\\n\\n\\n\\n\\n행을 따라 전개하기\\n\\n\\n\\n삼차정사각행렬 에 대하여\\n\\n가 성립한다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n일반적으로 삼차정사각행렬 에 대하여\\n \\n가 성립한다. 이를 이용하면 행렬 의 역행렬을 다음과 같이 구할 수 있다. \\n\\n이므로 이면 의 역행렬이 존재하고 \\n\\n가 된다. \\n\\n\\n\\n\\n\\n삼차정사각행렬의 역행렬\\n\\n\\n\\n삼차정사각행렬 는 이면 역행렬 을 가지고\\n\\n이다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n예제 3\\n\\n삼차정사각행렬 의 역행렬이 존재하는지 확인하고, 존재하면 역행렬을 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 06\\n 다음 행렬의 역행렬을 구하여라.\\n(1) (2) \\n\\n\\n\\n\\n도전문제\\n 다음의 각각에 대하여 삼차정사각행렬 의 역행렬 가 어떻게 변하는지 알아보아라.\\n(1) 두 행을 서로 바꾼다.\\n(2) 한 행에 상수 를 곱한다.\\n(3) 한 행에 상수 를 곱한 것을 다른 행에 더한다. \\n\\n(4) 크라머의 법칙\\n크라머의 법칙을 이해하기 위해서는 행렬식을 열을 따라서 전개하는 방식에 대하여 이해하여야 한다. \\n\\n예제 4\\n\\n삼차정사각행렬 에 대하여, 다음의 값을 구하여라.\\n(1) (2) \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n일반적으로 다음이 성립한다.\\n\\n\\n\\n\\n열을 따라 전개하기\\n\\n\\n\\n삼차정사각행렬 에 대하여\\n \\n가 성립한다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n위의 결과를 이용하면, 행렬식을 이용하여 연립일차방정식의 해를 표현할 수 있다. 예를 들어, 연립일차방정식 \\n\\n을 푸는 과정을 살펴보자. 이 연립일차방정식의 계수행렬을 , 우변을 라고 두면 이므로 역행렬이 존재하고\\n \\n이므로\\n\\n이다. 따라서,\\n,\\n,\\n\\n이다. 즉, 의 값은 계수행렬 의 열을 로 바꾸어 만든 행렬의 행렬식을 로 나눈 것이다. \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n크라머의 법칙\\n\\n\\n\\n연립일차방정식\\n\\n에 대하여 계수행렬을 , 라고 두자. 행렬 가 정칙행렬이면 연립일차방정식의 해가 유일하게 존재하고\\n\\n이다. 여기서, 는 행렬 의 열을 로 바꾸어 놓은 행렬이다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n<참고> 위의 결과는 미지수가 개인 연립일차방정식에서도 성립한다. \\n\\n\\n문제 07\\n 크라머의 법칙을 이용하여 다음 연립일차방정식의 근을 구하여라.\\n(1) (2) \\n\\n\\n문제 08\\n 삼각형 에서 , , 가 성립한다. 크라머 법칙을 이용하여 임을 보여라.\\n\\n연습 문제 A\\n\\n\\n\\n01\\n두 행렬 , 에 대하여 다음을 구하여라.\\n(1) (2) (3) (4) \\n\\n\\n02\\n일 때, 다음 행렬식을 구하여라.\\n(1) \\t(2) \\n(3) \\n\\n\\n03\\n행렬식 을 구하여라.\\n\\n\\n04\\n다음 행렬에 대하여 행렬식이 이 되는 값을 구하여라.\\n(1) (2) \\n\\n\\n05\\n다음 행렬의 행렬식을 구하여라.\\n(1) (2) (3) \\n\\n\\n06\\n크라머의 법칙을 이용하여 다음 연립일차방정식의 해를 구하여라.\\n(1) (2) \\n\\n연습 문제 B\\n\\n\\n\\n01\\n행렬 에 대하여, 다음을 구하여라.\\n(1) (2) (3) (4) \\n\\n\\n02\\n행렬식 을 구하여라.\\n\\n\\n03\\n임의의 값에 대하여 행렬식 \\n\\n이 일정함을 보여라.\\n\\n\\n04\\n임의의 , , 에 대하여 행렬식 \\n\\n임을 보여라.\\n\\n\\n05\\n좌표평면에서 서로 다른 두 점 , 을 지나는 직선의 방정식은 으로 나타낼 수 있음을 보여라.\\n\\n\\n06\\n사차정사각행렬의 행렬식의 값이 이 되지 않도록 각 성분을 정할 때, 인 성분은 최대 몇 개인지를 구하여라.\\n\\n\\n07\\n행렬 은 임의의 실수 에 대하여 정칙행렬임을 보이고, 역행렬 을 구하여라.\\n\\n3\\n고윳값과 고유벡터\\n\\n\\n§1. 고윳값과 고유벡터\\n여기서 다루는 고윳값과 고유벡터의 정의와 성질은 차 정사각행렬에 대해서도 똑같이 적용된다. 그러나 이 큰 수인 경우는 계산의 양이 많아 다루기가 까다로우므로 주로 이차정사각행렬 또는 삼차정사각행렬인 경우에 한정하여 논의를 할 것이다. \\n(1) 고윳값과 고유벡터의 정의\\n이차정사각행렬 와 어떤 벡터 에 대하여,\\n(i) \\n(ii) \\n인 실수 가 존재할 때, 를 행렬 의 고유벡터, 를 행렬 의 고윳값이라고 한다. 예를 들어, 이차 단위행렬 에 대하여, 임의의 벡터 는 를 만족한다. 따라서, 의 고윳값은 이고 영벡터가 아닌 모든 벡터는 고유벡터이다. \\n\\n\\n예제 1\\n\\n일 때, 와 의 고윳값을 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n위의 예제의 이 행렬 의 고유벡터이면 이 아닌 실수 에 대하여 도 고유벡터임을 확인할 수 있다. 이는 일반적이 성질로 행렬 의 고유벡터가 이면 영이 아닌 실수 에 대하여 도 고유벡터이다. 따라서 “서로 다른 고유벡터”혹은 “두 고유벡터”라고 하는 경우는 한 고유벡터가 다른 고유벡터의 상수배가 아닌 것을 의미한다.\\n\\n(2) 고윳값과 특성다항식\\n이제 고윳값과 고유벡터를 구하는 방법을 알아보자. 방정식 의 해와 의 해는 서로 같다. 이 때, 의 역행렬이 존재하면 \\n\\n이므로 이 된다. 따라서 의 역행렬이 존재하지 않을 때, 즉, 일 때, 방정식 는 영벡터가 아닌 해를 가진다. 따라서 고윳값은 인 실수 를 구하면 된다. 이 때, 은 에 대한 이차방정식이 되고, 이를 행렬 의 특성방정식이라 하고 를 특성다항식이라고 한다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n고윳값과 특성방정식\\n\\n\\n\\n차 정사각행렬 의 특성다항식은 인 차 다항식이고, 고윳값은 특성방정식 의 실근이다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n예제 2\\n\\n다음 행렬의 고윳값이 존재하는지를 확인하고 존재하면 그 고윳값에 대한 고유벡터를 구하여라.\\n(1) (2) (단, , )\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 다음 행렬의 고윳값과 고유벡터를 구하여라.\\n(1) (2) \\n\\n\\n문제 02\\n 네 정수 , , , 가 를 만족할 때, 행렬 는 고윳값 와 를 가짐을 보여라. \\n\\n\\n\\n(3) 고윳값과 고유벡터의 기하학적 성질\\n좌표평면에서의 일차변환 를 나타내는 행렬이 라고 하자. 행렬 가 고윳값 과 를 가지고 이 때 각각의 고유벡터는 , 이라고 하자. 즉, 이고 라고 하자. 그러면 원점을 제외한 \\xad축 위의 모든 점은 고윳값 의 고유벡터 에 대응된다. 따라서 일차변환 는 \\xad축 위의 모든 점은 그대로 고정시키게 되고, 같은 이유로 일차변환 에 의해 직선 위의 모든 점은 원점으로부터의 거리가 배가 되고 직선 위에서 반대에 위치한 점으로 이동하게 된다.\\n\\n\\n\\n\\n고윳값과 고유벡터의 기하학적 성질\\n\\n\\n\\n좌표평면에서의 일차변환 를 나타내는 행렬 가 고윳값 와 이에 대응하는 고유벡터 를 가진다고 하자. 이 때 직선 을 원점과 벡터 의 종점을 지나는 직선, 점 는 직선 위의 점이라고 하자. 그러면 는 \\n(i) \\n(ii) 이면 \\n(iii) 이면 \\n(iv) 이면 \\n가 성립한다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n예제 3\\n\\n회전변환을 나타내는 행렬 \\n (단, , )\\n이 실수인 고윳값을 가지지 않는 이유를 기하학적으로 설명하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n이제 일차변환 에 의해서 점 가 옮겨가는 점 에 대하여 생각해보자. 점 는 로 구할 수 있다. 그런데 , 즉 의 방향은 좌표는 이고, 의 방향의 좌표는 이다. 그리고 \\n\\n이므로 일차변환 에 의하여 점 의 방향으로의 성분은 그대로 유지가 되고 방향으로의 성분은 길이가 반으로 줄고 방향도 정반대를 향하게 된다. \\n\\n\\n예제 4\\n\\n좌표평면에서 일차변환 를 나타내는 행렬 가 고윳값 , 을 가지고 이 각각에 대하여 고유벡터 와 을 가진다. 이 때, 일차변환 에 의하여 점 이 옮겨가는 점을 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 03\\n 좌표평면에서 일차변환 를 나타내는 행렬 가 고윳값 , 을 가지고 이 각각에 대하여 고유벡터 와 을 가진다. 이 때, 일차변환 의하여 다음의 점이 옮겨가는 점을 구하여라.\\n(1) (2) \\n\\n\\n문제 04\\n 문제 03의 일차변환 에 대하여 다음의 점으로 옮겨지는 점을 구하여라.\\n(1) (2) \\n\\n\\n도전문제\\n 좌표평면에서 일차변환 를 나타내는 행렬 가 고윳값 , 을 가지고 이 각각에 대하여 고유벡터 와 을 가진다. 이 때, 직선 위에 있지 않은 임의의 점 에 대하여 가 어떤 직선에 가까워질 것인가를 설명해 보아라.\\n\\n§2. 고윳값과 대각행렬\\n(1) 행렬의 대각화\\n행렬 와 같이 대각선을 제외한 성분이 모두 인 행렬을 대각행렬이라고 하며 정칙인 행렬 가 존재하여 가 대각행렬이 될 때, 행렬 를 대각화가 가능하다고 한다. \\n이차정사각행렬의 경우 언제 대각화가 가능한지 알아보자. 이차정사각행렬 와 에 대하여, 행렬 가 정칙이고 어떤 실수 과 가 존재하여\\n\\n이라면\\n\\n가 되어 다음의 두 식을 얻게 된다.\\n, \\n행렬 가 정칙이라 가정했으므로 두 벡터 와 는 영벡터가 아니다. 따라서 과 는 행렬 의 고윳값이고 이 각각에 대하여 벡터 와 는 고유벡터가 된다. 역으로 행렬 가 과 를 고윳값, 이 각각에 대하여 벡터 와 는 고유벡터로 가진다고 하자. 만일 행렬 가 정칙이면 위의 식을 역으로 거슬러 올라가서\\n\\n를 얻을 수 있다. \\n따라서 다음의 결과를 얻을 수 있다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n대각화가능 필요충분조건\\n\\n\\n\\n이차정사각행렬 가 대각화가능할 필요충분조건은 정칙행렬 \\n가 존재하여 의 두 열이 모두 의 고유벡터인 것이다. 이 때,\\n, \\n라면 는 \\n\\n와 같이 대각화된다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n<참고> 행렬 가 정칙이어야 한다는 조건에서 의 두 열은 서로 같을 수 없지만 고윳값 과 는 서로 같아도 된다. 예를 들어 를 생각해보라. \\n\\n위의 결과는 대각화가능성의 필요충분조건도 알려주지만 어떻게 대각화할 것인가의 방법도 알려주고 있다. 단, 행렬 의 열(즉, 고유벡터)과 고윳값을 나열하는 순서에 유의해야 한다.\\n\\n\\n예제 5\\n\\n이차정사각행렬 에 대하여 \\n, \\n이고 , 일 때, 와 를 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n위의 예제에서 보듯이 대각화가능한 행렬을 대각화했을 때의 결과는 서로 다를 수 있다.\\n\\n\\n문제 05\\n 다음의 행렬을 대각화하여라.\\n(1) (2) (3) \\n\\n\\n예제 6\\n\\n이차정사각행렬 을 대각행렬로 만들고 을 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 06\\n 다음 행렬의 거듭제곱을 구하여라.\\n(1) (2) \\n\\n\\n(2) 케일리-해밀턴의 공식\\n이차정사각행렬의 케일리-해밀턴의 공식은 이미 알고 있다. 즉, 행렬 는 \\n\\n을 만족한다. 여기서 는 행렬 의 특성다항식 와 매우 유사한 형태임을 알 수 있다. 케일리-해밀턴의 공식은 보다 일반적으로 성립하며 다음과 같다. \\n\\n\\n\\n\\n\\n케일리-해밀턴의 공식\\n\\n\\n\\n차 정사각행렬 의 특성다항식\\n\\n에 대하여\\n\\n가 성립한다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n<주의> 행렬 의 특성다항식은 이다. 그런데, 케일리-해밀턴의 공식을 \\n\\n와 혼동하여서는 안 된다. 우변의 식이 실수 인지 영행렬 인지를 정확히 구분하여야 한다. 즉, 케일리-해밀턴의 공식은 다항식의 에 를 대입하고 상수항에서의 을 로 이해하여 얻어진 결과이다. \\n케일리-해밀턴의 공식을 대각화가능한 삼차정사각행렬의 경우에 대하여 증명해 보자. 삼차정사각행렬 에 대하여 정칙인 행렬 가 존재하여 \\n\\n이 된다고 가정하자. 그러면 이므로 \\n\\n이므로 \\n\\n가 얻어진다. 따라서 로부터\\n\\n이 얻어진다. \\n\\n케일리-해밀턴의 공식을 나머지정리와 결합하면 행렬의 거듭제곱에 관련된 계산을 수월하게 할 수 있다.\\n\\n\\n예제 7\\n\\n이차정사각행렬 에 대하여, 을 의 꼴로 나타내어라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 07\\n 행렬 일 때, 를 의 이차 이하의 식으로 표현하여라.\\n\\n\\n문제 08\\n 케일리-해밀턴의 공식을 이용하여, 행렬 에 대하여 을 구하여라.\\n\\n\\n문제 09\\n 사차정사각행렬 에 대하여, 로 표현이 가능함을 보여라.\\n\\n\\n문제 10\\n 삼차정사각행렬 은 대각화가능하지 않지만 케일리-해밀턴의 공식이 성립함을 보여라.\\n\\n연습 문제 A\\n\\n\\n\\n01\\n행렬 에 대하여 다음을 (존재한다면) 구하여라.\\n(1) 고윳값 (2) 고유벡터 (3) 대각행렬 (4) \\n\\n\\n02\\n행렬 에 대하여 (존재한다면) 다음을 구하여라.\\n(1) 고윳값 (2) 고유벡터 (3) 대각행렬 (4) \\n\\n\\n03\\n행렬 에 대하여, 를 구하여라.\\n\\n\\n04\\n삼차정사각행렬 는 를, 삼차정사각행렬 는 3을 고윳값으로 가질 때, 다음 질문에 답하여라\\n(1) 의 고윳값을 하나 구하여라.\\n(2) 의 고윳값을 하나 구하여라.\\n(3) 는 반드시 를 고윳값으로 가지는가?\\n\\n\\n05\\n이차정사각행렬 에 대하여, 벡터 가 의 고유벡터이면 는 의 고유벡터임을 증명하시오.\\n\\n\\n06\\n다음 점화식의 일반항을 구하여라.\\n\\n, ()\\n\\n\\n07\\n차 정사각행렬 가 이면 이거나 이면 이면 의 대각성분은 모두 고윳값임을 보여라.\\n\\n연습 문제 B\\n\\n\\n\\n01\\n다음 행렬의 특성다항식, 고윳값, 고유벡터를 모두 구하시오.\\n(1) (2) \\n\\n\\n02\\n이차정사각행렬의 대각화 필요충분조건을 참고하여 삼차정사각행렬 가 대각화 필요충분조건을 말하고, 증명하시오.\\n\\n\\n03\\n다음 행렬의 대각화가능성을 조사하여라.\\n(1) (2) \\n\\n\\n04\\n삼차정사각행렬 의 특성다항식을 라고 두자. 다음 물음에 답하시오.\\n(1) 행렬 가 정칙일 필요충분조건은 임을 보여라.\\n(2) 행렬 가 정칙이면,\\n\\n임을 보여라.\\n(3) (2)를 이용하여 행렬\\n\\n의 역행렬을 구하여라.\\n\\n\\n05\\n좌표평명에서의 일차변환 를 나타내는 행렬이 일 때, 다음 물음에 답하시오.\\n(1) 고윳값과 고유벡터를 모두 구하고, 두 고유벡터가 이루는 각을 구하시오.\\n(2) 임의의 벡터 를 의 두 고유벡터의 합으로 표현하여라.\\n(3) 일 때, 원점에서 점 의 거리의 최댓값과 최솟값을 구하여라.\\n(4) 단위원 이 일차변환 에 의하여 옮겨지는 도형을 그려라.\\n(5) 일차변환 을 \\n\\n ()\\n이라고 정의하고 일차변환 을\\n\\n이라고 정의했을 때, 을 구하여라.\\n\\n\\n06\\n삼차정사각행렬 가 고윳값 , , 을 가질 때, 다음을 구하여라.\\n(1) (2) \\n\\n대단원 종합 문제\\n\\n\\n01\\n행렬 로 나타내어지는 일차변환 는 다음 두 조건을 만족시킨다. \\n(가) 일차변환 에 의하여 직선 위의 각 점은 자기 자신으로 옮겨진다.\\n(나) 점 은 점 로 옮겨진다.\\n이때 일차변환 에 의하여 곡선 이 옮겨진 도형의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n02\\n축 방향으로 3배 확대하는 변환를 나타내는 행렬을, 원점을 중심으로 만큼 회전 이동한 후, 원점을 닮음의 중심으로 배 확대하는 변환를 나타내는 행렬을, 일차변환를 나타내는 행렬을라고 할 때, 다음 물음에 답하여라.\\n(1)일차변환를 나타내는 행렬를 구하여라.\\n(2)일차변환에 의하여 직선 이 자기 자신으로 옮겨진다. 직선 의 방정식을 모두 구하여라.\\n(3)일차변환에 의하여 곡선이 옮겨지는 도형의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n03\\n일차변환 를 나타내는 행렬이 각각 , 일 때, 합성변환 에 의하여 점 로 옮겨지는 점의 좌표를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n04\\n행렬 로 나타내어지는 일차변환에 의하여 좌표평면 위의 영역 D의 상을 D'이라고 할 때, 이다. 영역 D의 넓이를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n05\\n실수 에 대하여 다음의 물음에 답하시오. \\n(1) 행렬\\n\\n는 정칙행렬임을 보여라.\\n(2) 임의의 실수 , , , 에 대하여, ()를 만족하는 삼차함수가 존재함을 보여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n06\\n가우스 소거법과 행렬식의 기본 성질을 이용하여 다음 행렬의 행렬식을 구하시오.\\n(1) (2) \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n07\\n행렬 의 특성다항식을 구하고, 다음 조건을 만족하는 사차정사각행렬을 하나씩 예를 들어라.\\n(가) 고윳값이 없다 (나) 고윳값이 두 개이고 서로 다르다 \\n(다) 고윳값이 두 개이고 중복되어 있다\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n08\\n좌표평면에서의 일차변환 를 나타내는 행렬이 일 때, 인 벡터 에 대하여, 의 최댓값과 최솟값을 구하고, 그 때의 단위벡터를 각각 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n09\\n다음의 식으로 주어진 수열의 일반항 , , 을 각각 구하여라.\\n, (단, )\\n\\n정답 및 해설\\n\\n\\nⅠ. 이차곡선\\n\\n\\n1. 포물선\\n§1. 포물선\\n[예제1] (1) , \\n (2) , \\n[문제1]\\n (1) ,\\n \\n (2) \\n (3) 또는 \\n[문제2] \\n[문제3]\\n\\n[문제4] \\n\\n§2. 포물선과 직선\\n[예제1] 생략\\n[문제1] (1) (2) \\n\\t(3) \\n[문제2] \\n[문제3] (1) (2)\\n[문제4] (1) (2)\\n[문제5] \\n[문제6] \\n[예제2] \\n[문제7] \\n[문제8] \\n[문제9] 단 \\n\\n연습 문제 A\\n1. \\n2. \\n3. \\n4. \\n5. \\n6. 개\\n7. , \\n8. (단, )\\n9. \\n\\n연습 문제 B\\n1. 생략\\n2. \\n3. (1) \\t(2) \\n4. 생략\\n\\n2. 타원\\n§1. 타원\\n[문제1] \\n[문제2] \\n[예제1] 생략\\n[문제3] \\n[문제4] \\n[문제5] (1) \\n(2) , \\n(3) (4) \\n\\n§2. 타원과 직선\\n[예제1] 생략\\n[문제1] (1) \\n (2) \\n (3) 또는 \\n[문제2] 13개\\n[문제3] \\n[문제4] \\n[예제2] \\n[문제5] , \\n[문제6] 생략\\n[문제7] \\n[문제8] 3\\n[도전] \\n\\n연습 문제 A\\n1. \\n2. \\n3. 점 를 선분 를 으로 내분한 점이라 하고 선분 의 길이를 이라 하면\\n \\n (단, )\\n4. \\n5. \\n6. \\n7. \\n8. \\n9. \\n\\n연습 문제 B\\n1. \\n2. \\n3. 생략\\n4. 일 때 \\n\\n3. 쌍곡선\\n§1. 쌍곡선\\n[문제1] 초점 꼭짓점 , \\n 주축의 길이 4\\n[문제2] \\n[문제3] 초점 , \\n\\t꼭짓점 , \\n\\t점근선 \\n[문제4] \\n[예제1] (1) \\t(2) \\n (3) \\t(4) \\n (5) \\n[문제5] \\n[문제6] \\n[문제7] (1) \\n (2) \\n (3) \\n[문제8] \\n\\n§2. 쌍곡선과 직선\\n[예제1] 생략\\n[문제1] (1) 또는 \\n (2) \\n (3) \\n[문제2] \\n[문제3] \\n[예제2] 또는 \\n[문제4] , \\n[문제5] \\n[문제6] \\n[문제7] (1) \\n (2) (단, )\\n\\n\\n연습 문제 A\\n1. (1) (2) \\n (3) \\n (4) \\n \\n2. \\n3. \\n4. \\n5. (제외)\\n6. (단, )\\n7. \\n8. \\n9. \\n10. \\n\\n연습 문제 B\\n1. (1) 라 두고 교점을 구하면 \\n \\n \\n \\n \\n 가 됨을 이용하여 증명\\n (2) 으로 일정\\n2. \\n 를 이용한다.\\n3. (1) \\n \\n (2) 생략\\n4. 일 때, \\n 일 때, \\n 일 때, \\n5. 점 에서 평행선 \\n \\n 와 의 교점 \\n \\n 을 이용하여 넓이를 구하면 \\n\\n대단원 종합 문제\\n\\n1. (단, )\\n2. \\n3. \\n4. 또는 \\n (단, )\\n5. (1) \\n (2) 생략\\n6. \\n7. , \\n8. 로 일정\\n9. \\n\\n\\n\\nⅡ. 행 렬\\n\\n\\n1. 행렬과 그 연산 \\n§1. 행렬의 뜻\\n[예제1] \\n[문제1] \\n[문제2] \\n[도전문제1] 개\\n§2. 행렬의 덧셈과 뺄셈, 실수배\\n[문제1] \\n[문제2] \\n§3. 행렬의 곱셈\\n[문제1] (1) \\t(2) \\n (3) \\t(4), (5) \\n[문제2] \\n[문제3] \\n[예제1] , \\n[문제4] \\n[문제5] \\n[문제6] \\n[문제7] \\n[문제8] (1) (2) \\n (3) \\n (4) (이 짝수일 때) \\n (이 홀수일 때)\\n[문제9] \\n[문제10] , \\n[문제11] \\n[도전문제2] (1) (2) \\n§4. 케일리-해밀턴 정리 \\n[문제1] (1) , (2) \\n[문제2] (1) \\n (2) \\n[문제3] , \\n\\n연습문제(A)\\n1. \\n2. (1) \\t(2) \\n (3) \\n3.,,, \\n4. , \\n5. \\n6. 생략 \\n7. (1) 생략 (2) 생략 \\n (3) ()\\n연습문제(B)\\n1. \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n2. \\n\\n\\n\\n\\n\\n3. , , , \\n4. \\n5. (1) \\n (2) \\n6. (1) , \\n , \\n (2) , \\n (3) \\n7. (1) (2) \\n (3) \\n\\n2. 역행렬과 연립일차방정식\\n§1. 역행렬\\n[예제1] \\n[문제1] \\n[문제2] \\n[문제3] , ,\\n[예제2] \\n[문제4] \\n[문제5] \\n[문제6] \\n[문제7] 개\\n[도전문제1] (1) \\n (2) \\n[문제8] 생략\\n[문제9] \\n[문제10] \\n[문제11] 생략\\n§2. 연립일차방정식과 행렬\\n[예제1] \\n[문제1] \\n[문제2] \\n[문제3] \\n[문제4] \\n[문제5] (1) (2) \\n[문제6] \\n연습문제(A)\\n1. \\t\\t\\n2. \\n3. \\t\\t\\t\\n4. (단, 은 자연수)\\n5. \\t\\n6. \\n7. \\n8. (1) 해가 없다. (2) 해가 무수히 많다.\\n연습문제(B)\\n1. \\n2. \\n3. \\t\\t4. \\n5. \\n6. (1) \\n (2) 또는 \\n\\n대단원 종합 문제\\n\\n1. \\n2. \\n3. 개\\n4.(1) 또는 \\n (단, 는 임의의 실수) \\n(2) \\n(3) 생략\\n5. \\n6. \\n7. \\n8. (1) (복부호 동순)\\n (2) 또는 (복부호 동순)\\n\\n\\n\\nⅢ. 공간도형과 공간좌표\\n\\n\\n1. 공간도형\\n§1. 직선과 평면의 위치 관계\\n[문제1] 가 꼬인 위치에 있지 않다면 는 평면 를 결정한다. 따라서 는 에 포함되어 모순이다. 따라서 가 꼬인 위치에 있다.\\n[문제2] (1) 평면 ABC, 평면 ABD\\n (2) 평면 ACD, 평면 BCD\\n[예제1] 를 포함하는 평면은 세 점 를 포함하므로 오직 하나 그 평면을 라고 하자. \\n , , \\n 이므로 \\n , \\n 이므로 \\n , \\n 이므로 \\n ∴ 세 교점 은 직선 위에 있다.\\n[문제3] 라 하자.\\n 이다.\\n 이고, \\n 에서 이다. \\n ∴ ∴ \\n[문제4] , \\n\\n§2. 직선과 평면의 평행과 수직\\n[예제1] ⅰ) 가 동일 평면상에 있을 때 {}인 A가 존재한다면 \\n 이므로 평행선 공준에 모순.\\n ⅱ) 가 동일 평면상에 있지 않을 때,\\n\\n 이므로 는 평면 를 결정\\n , 점 와 는 평면 를 결정\\n 이므로 \\n 즉 이므로 \\n \\n 즉 이므로 평행선 공리 (공리③) 에 의하여 \\n[문제1] 생략\\n[문제2] 생략\\n[문제3] ⅰ) 직선 위의 점 를 지나는 위의 직선 을 그으면 \\n 이므로 보조정리에 의하여 \\n 이다.\\n ∴ \\n ⅱ) 이라 하자. 이고, \\n 이므로\\n ∴ \\n[예제2] 라 하면\\n \\n 인 이 존재한다. \\n ∴ \\n[예제3] , \\n \\n \\n[문제4] (1) 이므로\\n \\n \\n(2) (1)에서\\n \\n 따라서 \\n[문제5] ①, ②, ④\\n[문제6] \\n ∴ \\n[문제7] \\n\\n§3. 정사영\\n[예제1] 위의 다른 한 점 을 잡고 \\n ,\\n \\n 이 되도록 를 잡자. \\n 사각형 가 평행사변형이므로 \\n \\n 사각형 가 평행사변형이므로 \\n \\n \\n 가 되어 사각형 은 평행사변형이다.\\n \\n \\n[문제1] 생략\\n[문제2] 생략\\n[예제2] 직선 위의 한 점 에서 에 수선을 그으면 위에 있다.\\n (∵이라 할 때. A에서 에 내린 수선의 발을 O라 하고, O에서 에 수직인 직선 을 긋자.\\n 이므로 이고 따라서 이다. 그런데 A에서 에 내린 수선은 유일하므로 에서 에 수선을 그으면 위에 있다.\\n 마찬가지로 직선 위의 한 점 에서 에 수선을 그으면 그 수선은 위에 있다. (A에서 와 의 교선에 수선의 발을 내리면 와 수직이 되므로.)\\n\\n 따라서 이 수선은 와 일치한다. \\n[문제3] 생략\\n[문제4] 이므로 위의 모든 점에서 위로의 수선의 발은 와 의 교점 이다. 따라서 직선 의 평면 위로의 정사영은 한 점 이다.\\n[문제5] \\n 의 최솟값 : \\n[문제6] \\n\\n\\n연습 문제 A\\n1. \\n2. \\n3. \\n4. \\n5. \\n6. (1) 생략 \\t(2) \\n7. \\n8. \\n\\n연습 문제 B\\n1. \\n2. \\n3. (1) \\n (2) \\n (3) 생략\\n4. (1) \\t(2) 생략\\n\\n2. 공간좌표\\n§1. 공간좌표\\n[예제1] (1) 원점 (2) 평면 \\n (3) 축 (4) 축\\n[예제2] (1)\\n (2) 축과 평면이 서로 수직이므로\\n[문제1] 생략\\n[문제2] (1) (2) \\t (3) \\n\\n§2. 두 점 사이의 거리\\n[예제1] (1) \\t(2) 3\\n[문제1] (5, 0, 0)\\n[예제2] ∠A=∠R 인 직각삼각형\\n[문제2] (3, 1, 0) (0, 4, 0)\\n[문제3] \\n\\n§3. 선분의 내분점과 외분점\\n[예제1] \\n[문제1] \\n[문제2] \\n[문제3] \\n\\n§4. 구의 방정식\\n[예제1] (1) \\n (2) (3)4 (4)\\n[문제1] , \\n[문제2] (1) \\n (2)\\n[문제3] -24\\n[문제4] \\n연습 문제 A\\n1. C(-2, -7, 2), D(-1, -6, 11)\\n2. (1) 정삼각형 \\n (2) \\n (복부호동순)\\n3. (1) 8 (2) 4\\t (3) \\n4. \\n5. \\n\\n연습 문제 B\\n1. \\t\\t2. \\n3. \\t\\t4. \\n5. \\t \\n \\n대단원 종합 문제\\n\\n1. 생략\\n2. (1) (2) \\n3. (1) 변하지 않는다.\\n (2) 의 공통 수선과 의 교점\\n4. \\n5. \\n6. \\n7. \\n8. \\n\\n\\n\\nⅣ. 벡 터\\n\\n\\n1. 벡터와 그 연산\\n§1. 벡터의 뜻과 상등\\n[예제1] (1) 1 (2) 1 (3) (4) \\n[예제2] 이므로 두 벡터의 크기와 방향이 같다. \\n∴ \\n따라서, 사각형 는 평행사변형이다.\\n[문제1] 생략\\n[문제2] (1) (2) (3) \\n (4) (5) (6) \\n\\n§2. 벡터의 덧셈과 뺄셈\\n[예제1] 생략\\n[문제1] (1) (2) \\n (3) \\n[문제2] (1) (2) \\n (3) \\n\\n§3. 벡터의 실수배\\n[문제1] (1) \\n (2) \\n[예제1] 생략\\n[문제2] \\n[문제3] \\n\\n§4. 위치벡터\\n[문제1] 생략\\n[문제2] 생략\\n[문제3] , \\n\\n연습 문제 A\\n1. (1) \\t (2) \\n2. 생략\\n3. 선분 AB의 중점\\n4. (1) 0 (2) 2 (3) \\n5. \\n6. (1) \\t (2) \\n (3) (4) \\n7. \\n8. \\n9. (1) 0 \\t (2) 5\\n10. 생략\\n11. (1) \\n (2) \\n12. \\n\\n연습 문제 B\\n1. (1) \\n (2) \\n (3) \\n2. (1) \\n (2) \\n (3) \\n3. (1) \\n (2) \\n\\n2. 벡터의 성분과 내적\\n§1. 평면벡터의 성분표시\\n[문제1] \\n \\n[문제2] (1) (2) \\n (3) (4) \\n (5) \\n[예제1] 이면 이 아닌 어떤 실수 에 대하여 이 성립한다.\\n⇔ \\n \\t∴ \\n \\t∴ \\n[문제3] \\n[예제2] \\n이므로. 와 같은 방향의 단위벡터는 \\n\\n[문제4] \\n[문제5] \\n\\n§2. 공간벡터의 성분표시\\n[예제1] \\n[문제1] \\n[문제2] (1) \\n (2) \\n (3) \\n\\n§3. 벡터의 내적\\n[예제1] (1) 2 (2) -2\\n[문제1] (1) 4 (2) 4 (3) 4 (4) 0\\n[문제2] \\n[문제3] (1) , \\n (2) \\n[예제2] 생략\\n[문제4] 생략\\n\\n§4. 벡터의 내적과 성분\\n[예제1] 생략\\n[문제1] 중심이 이고 반지름이 인 원, \\n[문제2] 1 또는 -3\\n[예제2] \\n[문제3] \\n[예제3] \\n[문제4] (1) (2) \\n[문제5] \\n[문제6] 생략\\n[문제7] 생략\\n\\n연습 문제 A\\n1. \\t\\t 2. \\n3. 생략\\t\\t 4. 생략\\n5. \\n6. \\n7. (1) \\n (2) \\n8. (1) \\t (2) 2 \\n (3) \\t (4) 생략\\n9. \\n10. G를 중심으로 하고 점 B를 지나는 원\\n\\n연습 문제 B\\n1. \\n2. \\n3. (1) 2 (2) \\n (3) \\n4. (1) A와 OB의 중점을 이은 직선\\n (2) \\n\\n\\n3. 벡터방정식\\n§1. 직선의 벡터방정식\\n[예제1] (단,\\n[문제1] (단,\\n 또는 (단,\\n[문제2] \\n[문제3](1)\\n (2)\\n[예제2] 생략\\n[문제4] \\n\\n[문제5] (1) 생략 (2) \\n[문제6] (1) \\n (2) , \\n \\n\\n§2. 원의 벡터방정식\\n[예제1] \\n[문제1] , \\n\\n4. 공간도형의 방정식\\n§1. 직선의 방정식\\n[예제1] \\n[예제2] \\n[문제1] (1) \\n (2) \\n[문제2] 방향벡터 \\n 방향코사인 \\n[예제3] \\n[문제3] (1) \\n (2) (3) \\n (4) \\n[예제4] \\n[문제4] \\n[문제5] \\n[문제6] \\n[예제5] \\n \\n[문제7](1) 9 (2) \\n[문제8](1)\\n (2) \\n[문제9](1) ,\\n \\n (2) \\n[예제6] \\n[문제10] \\n\\n§2. 평면의 방정식\\n[예제1] \\n[문제1] \\n[예제2] \\n[예제3] \\n[문제2] \\n[문제3] \\n[예제4] \\n[예제5] \\n[문제4] \\n\\n심화자료 - 벡터의 외적\\n[문제1] \\n \\n[문제2] (1) \\n (2) \\n[문제3] \\n\\n심화자료 – 삼각형의 내심의 위치벡터\\n[문제1] \\n\\n연습 문제 A\\n1. \\n2. (1) \\t(2) \\n3. (1) \\n (2) \\n4. \\n5. \\n6. (1) \\n (2) \\n7. \\n8. \\n9. \\n10. \\n (복부호동순)\\n11. 2\\n\\n연습 문제 B\\n1. \\n2. \\n3. \\n4. (1) \\n (2) \\n5. (1) (2) \\n (3) \\n6. (1) \\n (2) \\n (3) \\n7. \\n8. (1) \\n (2) \\n9. (1) (2) \\n10. \\n\\n \\n대단원 종합 문제\\n\\n1. 생략\\n2. (1) \\n (2) \\n3. 생략\\n4. \\n5. 생략\\n6. \\n7. (1) (2) \\n8. 생략\\n9. 중심 반지름 \\n10. 43\\n\\n\\n\\n\\nⅤ. 일 차 변 환\\n\\n§1. 일차변환의 뜻\\n[예제1] \\n[문제1] \\n[문제2] \\n[문제3] \\n[문제4] 생략\\n[도전문제1] 생략 \\n[도전문제2] 생략\\n[예제2] 생략\\n[문제5] 생략\\n[문제6] \\n\\n §2. 여러 가지 일차변환\\n[예제1] (1) , \\n (2) \\n[문제1] 생략\\n[문제2] \\n[예제2] , \\n[문제3] \\n[문제4] \\n[문제5] \\n[문제6] \\n[도전문제1] \\n[도전문제2] \\n (1) \\n (2) (3) 일차변환이 아니다.\\n§3. 합성변환과 역변환\\n[예제1] \\n[문제1] 생략\\n[문제2] 개\\n[문제3] \\n[문제4] 생략 \\n[문제5] \\n[문제6] \\n[문제7] \\n[도전문제1] \\n§4. 일차변환과 도형\\n[문제1] \\n[문제2] \\n[문제3] \\n[도전문제1] \\n[예제1] (1) 원점 \\t(2) \\n (3) \\t(4) \\n[문제4] \\n[문제5] \\n[문제6] \\n[문제7] \\n[문제8] (1) (2) \\n[문제9] \\n[문제10] \\n[도전문제2] 생략\\n연습문제(A)\\n1. \\t\\t2. \\n3. \\t4. \\n5. \\t\\t6. \\n7. \\n8. \\n9. (1) \\t(2) \\n10. \\t\\t11. 생략 \\n12. \\n13. , \\n14. \\n연습문제(B)\\n1. \\n2. , \\n (단, 은 제외)\\n3. \\t\\t4. \\n5. \\t\\t6. \\n\\n2. 행렬식과 그 활용\\n§1. 이차정사각행렬의 행렬식\\n[예제1] (1) (2) \\n(3) \\n[문제1] 같음\\n[문제2] 생략\\n[문제3] 생략\\n[문제4] 생략\\n[문제5] \\n[문제6] (1) (2) (3) (4) \\n[문제7] 생략\\n[문제8] \\n[문제9] \\n\\n§2. 삼차정사각행렬의 행렬식\\n[문제1] , , ,\\n\\n[문제2] 생략\\n[예제1] (1) (2) \\n[문제3] 생략\\n[문제4] \\n[문제5] 생략\\n[도전문제] 생략\\n[예제2] (1) (2) \\n[예제3] \\n[문제6] (1) \\n(2) \\n[도전문제] 생략\\n[예제3] (1) (2) \\n[문제7] , , \\n(2) 무수히 많다\\n[문제8] 생략\\n\\n연습문제(A) \\n1. (1) (2) (3) (4) \\n2. (1) (2) (3) \\n3. \\n4. (1) , (2) , , \\n5. (1) (2) (3) \\n6. (1) , , \\n(2) , , , \\n\\n연습문제(B)\\n1. (1) (2) (3) (4) \\n2. \\n3. 생략\\n4. 생략\\n5. 생략\\n6. 개\\n7. \\n\\n3. 고윳값과 고유벡터\\n§1. 고윳값과 고유벡터\\n[예제1] , \\n[예제2] (1) 고윳값 : , , \\n고유벡터 : , \\n[문제1] (1) 고윳값:, , \\n고유벡터 , \\n(2) 고윳값: , , \\n고유벡터: , \\n[문제2] 생략\\n[예제3] 생략\\n[예제4] \\n[문제3] (1) (2) \\n[문제4] (1) (2) \\n[도전문제] 생략\\n\\n§2. 고윳값과 대각행렬\\n[예제5] , \\n[문제5] (1) 혹은 \\n(2) 혹은 \\n(3) 혹은 \\n[예제6] \\n[문제6] 생략\\n[예제7] \\n[문제7] \\n[문제8] \\n[문제9] 생략\\n[문제10] 생략\\n\\n\\n연습문제(A)\\n1. (1) , (2) , \\n(3) 혹은 \\n(4) 생략\\n2. (1) (2) (3) 대각화불가능 \\n(4) \\n3. \\n4. (1) (2) (3) 아니오.\\n5. 생략\\n6. 생략\\n7. 생략\\n\\n연습문제(B)\\n1. (1) 특성다항식 , \\n고윳값 (중근), \\n2. 생략\\n3. (1) 가능 (2) 불가능\\n4. (1) 생략 (2) 생략 \\n(3) \\n5. (1) 고윳값 : , , 고유벡터: , \\n고유벡터가 이루는 각: \\n(2) \\n(3) 최댓값 ,최솟값 (4) 생략 \\n(5) \\n6. (1) (2) \\n\\n대단원 종합 문제\\n1. \\n2.(1) \\n (2) (는 실수)\\n (3) \\n3. \\n4. \\n5. (1)\\n(2) 생략\\n6. (1) (2) \\n7. 특성다항식 : \\n(1) (2) (3) 위의 사차다항식의 계수를 조절하면 됨\\n8. 최댓값 : 2, 단위벡터 ,\\n최솟값: , 단위벡터 \\n9. 생략\"" | |
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의 증분, 값의 변화량 를 의 증분이라 하고, 이것을 기호로 각각 \\n , \\n와 같이 나타낸다. 즉,\\n \\n \\n이다.\\n\\n또, 의 증분 에 대한 의 증분 의 비의 값\\n \\n (단, )\\n를 의 값이 에서 까지 변할 때 함수 의 평균변화율이라고 한다.\\n이 때, 의 평균변화율은 두 점 , 를 지나는 직선의 기울기와 같음을 알 수 있다.\\n\\n\\n\\n\\n평균변화율과 그 기하학적 의미\\n\\n\\n\\n함수 에서 의 값이 에서 까지 변할 때의 평균변화율은\\n \\n (단, )\\n이며 이는 두 점 를 지나는 직선의 기울기이다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n❚참고❚\\n 증분(increment)을 나타낼 때 사용하는 기호 ‘’은 ‘델타(Delta)’라고 읽으며 차를 뜻하는 Difference의 첫 글자 D에 해당하는 그리스 문자이다. 미분의 변화율에서는 변화량을 나타낼 때 사용한다.\\n 는 와 의 곱을 의미하는 것이 아니라 ‘의 변화량’을 나타내는 기호로 사용한다.\\n\\n\\n\\n예제 1\\n\\n다음 함수에서 의 값이 에서 까지 변할 때의 평균변화율을 구하여라.\\n(1) (2) \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 함수 에서 의 값이 2에서 까지 변할 때의 평균변화율을 구하여라.\\n\\n\\n\\n문제 02\\n 함수 에서 의 값이 다음과 같이 변할 때의 평균변화율을 구하여라.\\n(1) 의 값이 -1에서 3까지 변할 때\\n(2) 의 값이 에서 까지 변할 때\\n(2) 미분계수\\n함수 에서 의 값이 에서 까지 변할 때, 평균변화율은\\n \\n이다. 여기에서 일 때의 극한값\\n \\n이 일정한 값 로 수렴하면 이 일정한 값 를 함수 의 에서의 순간변화율 또는 미분계수라 하고, 기호로 로 나타낸다. 즉,\\n \\n이다. 또, 미분계수 에서 로 놓으면 이고 이면 이므로\\n \\n가 된다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n미분계수의 정의\\n\\n\\n\\n함수 의 에서의 미분계수 는\\n \\n \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n❚참고❚\\n 에서 로 두어 로 나타내기도 한다.\\n\\n\\n예제 2\\n\\n함수 의 에서의 값의 미분계수를 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n문제 03\\n 의 에서의 미분계수를 구하여라.\\n\\n\\n문제 04\\n함수 가 에서 미분가능할 때, 다음 식을를 써서 나타내어라.\\n(1) (2) \\n(3) (4) \\n\\n\\n\\n문제 05\\n 모든 실수 , 에 대하여 함수 가 항상 를 만족할 때\\n(1) 을 구하여라.\\n(2) 일 때, 를 구하여라.\\n\\n함수 의 그래프에서 미분계수의 기하학적인 의미를 알아보자.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n●\\n●\\n●\\n●\\n●\\n●\\n오른쪽 그림과 같이 에서 의 값이 에서 까지 변할 때, 함수 의 평균변화율\\n \\n는 함수 의 그래프 위의 두 점\\n, \\n를 지나는 직선 의 기울기와 같음을 알고 있다.\\n이 때, 점 를 고정하고 이면 점 는 곡선을 따라 점 에 한없이 가까워진다.\\n역으로, 점 가 곡선을 따라 점 에 가까워지면 임을 알 수 있다.\\n그러므로 일 때 직선 는 점 를 지나는 일정한 직선 에 한없이 가까워진다.\\n이 직선 를 점 에서의 곡선 의 접선이라 하고, 점 를 접점이라고 한다.\\n이상에서 미분계수와 접선의 기울기 사이에는 매우 밀접한 관계가 성립함을 알 수 있다.\\n\\n\\n\\n\\n미분계수의 기하학적 의미\\n\\n\\n\\n함수 의 에서의 미분계수 는 함수 의 그래프 위의 점 에서의 접선의 기울기와 같다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 06\\n 곡선 위의 점 에서의 접선의 기울기를 구하여라.\\n\\n\\n(3)미분가능성과 연속성\\n이제 함수의 미분가능성과 연속성의 관계를 알아보자.\\n함수 가 에서 미분가능하면 미분계수\\n \\n가 존재한다. 이 때, 이므로\\n \\n \\n \\n \\n이다. 따라서 의 값이 존재하므로 의 값이 존재하고, 이다. \\n따라서, 함수 는 에서 연속이다.\\n이상에서 다음과 같은 사실을 알 수 있다.\\n\\n\\n\\n\\n미분가능성과 연속성\\n\\n\\n\\n함수 가 에서 미분가능하면 함수 는 에서 연속이다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n질문\\n��\\n 위 정리의 역이 성립하겠는가? \\n\\n예제 3\\n\\n함수 는 에서 연속이지만 미분가능하지 않음을 보여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 07\\n 함수 는 에서 연속이지만 미분가능하지 않음을 보여라.\\n\\n\\n\\n\\n문제 08\\n 다음 함수 는 에서 연속이지만 미분가능하지 않음을 보여라.\\n\\n\\n\\n함수 의 에서의 미분가능성은 다음과 같은 방법으로 조사할 수 있다.\\n\\n\\n\\n\\n의 에서의 미분가능성 조사 방법\\n\\n\\n\\n ① 에서 가 연속임을 밝힌다.\\n ② 에서 의 미분계수가 존재함을 밝힌다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 09\\n 함수 의 에서의 연속성과 미분가능성을 조사하여라.\\n\\n\\n\\n문제 10\\n 함수 가 에서 미분가능하도록 상수 의 값을 정하여라.\\n\\n\\n‘함수 가 에서 미분가능하면 함수 는 에서 연속이다.’라는 정리로 함수가 미분계수가 존재하지 않는 경우들을 생각해볼 수 있다.\\n첫째, 함수 가 에서 연속이 아니면 미분가능하지 않다. 즉, 불연속점에서는 미분가능하지 않다.\\n둘째, 함수 가 에서 연속이라도 미분계수가 존재하지 않으면 미분가능하지 않다. 즉, 함수 가 에서 갑자기 방향을 바꾸는 미분 불가능한 ‘꺽인 점’일 때이다. \\n셋째, 함수 가 에서 연속이지만 수직접선을 갖는 경우이다. 즉, 함수 가 에서 연속이고 인 경우인데 일 때 접선들이 점점 가파르게 되는 경우이다.\\n아래의 그림은 위에서 설명한 세 가지의 경우를 나타낸다.\\n\\n \\n\\n\\n\\n§2. 여러 가지 함수의 도함수\\n(1) 도함수\\n함수 가 미분가능한 점 에서의 미분계수 는 에 대응하는 실수이다. 따라서 에서 미분계수 를 대응시키면 새로운 함수\\n \\n를 얻는다. 이 함수 를 의 도함수라 하고, 기호로\\n , , , \\n와 같이 나타낸다.\\n일반적으로, 함수 의 도함수 를 다음과 같이 정의한다.\\n\\n\\n\\n\\n도함수의 정의\\n\\n\\n\\n함수 의 도함수 는\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n도함수의 정의에서 로 놓으면, 일 때 이므로, 를 다음과 같이 나타낼 수도 있다.\\n \\n\\n함수 의 도함수 를 구하는 것을 함수 를 미분한다고 하며, 그 계산법을 미분법이라고 한다.\\n\\n\\n예제 1\\n\\n함수 의 도함수를 도함수의 정의를 이용하여 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 도함수의 정의를 이용하여 다음 함수들의 도함수를 구하여라.\\n(1) (2) \\n(3) (4) \\n\\n(2) 상수함수와 의 도함수\\n이제, 함수 (단, 은 자연수)의 도함수를 구하여보자.\\n \\n \\n \\n \\n \\n \\n한편, 상수함수 (단, 는 상수)의 도함수는\\n \\n \\n \\n\\n이상을 정리하면 다음과 같다.\\n\\n\\n\\n\\n상수함수와 의 도함수\\n\\n\\n\\n(1) (는 상수) ⇒ \\n(2) (은 자연수) ⇒ \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n❚보기❚\\n 함수 , 일 때 의 도함수는 각각 , 이다. \\n\\n\\n문제 02\\n 다음 함수의 도함수를 구하여라.\\n(1) (2) \\n\\n(3) 미분법의 공식\\n함수의 도함수를 구할 때마다 정의에 의하여 구하는 것은 불편하다. 그러므로 다음과 같은 미분법의 성질을 알아두면 이 성질을 이용하여 도함수를 쉽게 구할 수 있다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n미분법의 성질\\n\\n\\n\\n두 함수 의 도함수 에 대하여\\n(1) .....실수배의 미분\\n(2) ....합의 미분\\n(3) ....차의 미분\\n(4) \\n ....곱의 미분\\n(5) ⇒ \\n ....몫의 미분\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n위의 성질 중 (1), (2), (4)를 증명하여 보자.\\n(1) \\n \\n \\n\\n(2)\\n\\n\\n\\n\\n(4)\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 03\\n 미분법의 성질 중 (3)차의 미분과 (5)몫의 미분을 증명하여라.\\n\\n\\n\\n\\n예제 2\\n\\n함수 를 미분하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 04\\n 다음 함수를 미분하여라.\\n(1) (2) \\n\\n\\n\\n예제 3\\n\\n다음 함수를 미분하여라.\\n(1) (2) \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 05\\n 다음 함수를 미분하여라.\\n(1) (2) \\n\\n\\n\\n문제 06\\n 몫의 미분법을 이용하여 의 도함수가 \\n 임을 보여라.\\n\\n\\n\\n\\n예제 4\\n\\n이 음의 정수일 때, 임을 보여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n❚보기❚\\n 을 미분할 때 몫의 미분을 이용하는 것보다 우변을 변형하면 이므로 \\n\\n\\n\\n문제 07\\n 다음 함수를 미분하여라.\\n(1) (2) \\n\\n지금까지 배운 미분법의 여러 가지 공식들을 정리하여 보자.\\n\\n\\n\\n\\n▣ 미분법의 여러 가지 공식\\n\\n\\n\\n (1) (는 상수) ⇒ \\n (2) \\n (3) \\n (4) \\n (5) \\n (6) ⇒ \\n ⇒ \\n (7) 이 정수일 때 ⇒ \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n(4) 여러 가지 함수의 미분법\\n1) 합성함수의 미분법\\n\\n두 함수 , 가 각각 미분가능할 때, 두 함수 , 의 합성함수 의 미분법에 대하여 알아보자.\\n합성함수 에서 의 증분 에 대한 의 증분을 라 하고, 에 대한 의 증분을 라고 하면\\n \\n여기서, 는 미분가능하므로 연속이다.\\n따라서 일 때 이 된다.\\n ∴ \\n \\n\\n이상에서 다음 공식이 성립한다.\\n\\n\\n\\n\\n합성함수의 미분법\\n\\n\\n\\n와 가 각각 미분가능한 함수이면, 합성함수 도 미분가능하며 또는\\n이 성립한다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n예제 5\\n\\n다음 함수를 미분하여라.\\n(1) (2) \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 08\\n 다음 함수를 미분하여라.\\n(1) (2) \\n(3) (4) \\n\\n\\n문제 09\\n 가 미분가능하고 가 상수일 때, 함수 에 대하여 임을 보여라.\\n\\n\\n\\n문제 10\\n 가 미분가능하고 이 정수일 때, 함수 에 대하여 임을 보여라.\\n\\n\\n2) 매개변수로 나타내어진 함수의 미분법\\n에 관한 함수 에 대하여 의 관계가\\n , \\n인 꼴로 주어질 때, 변수 를 의 매개변수라고 한다.\\n이 때, 함수 , 가 모두 미분가능하면, 를 다음과 값이 구할 수 있다.\\n \\n \\n \\n\\n이상을 정리하면 다음과 같다.\\n\\n\\n\\n\\n매개변수로 나타내어진 함수의 미분법\\n\\n\\n\\n와 가 각각 에 대하여 미분가능하면\\n (단, )\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n예제 6\\n\\n다음 식으로 주어진 함수에서 를 구하여라.\\n , \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 11\\n 사이에 (는 실수) 인 관계가 있을 때, 를 구하여라.\\n\\n\\n\\n3) 음함수의 미분법\\n방정식 을 에 대하여 풀면 다음과 같다. \\n ⇒ \\n여기서 과 같이\\n\\n의 모양으로 주어진 함수를 음함수라고 한다. 이것과 달리, 와 같이 의 모양으로 주어진 함수를 양함수라고 한다.\\n\\n음함수 을 양함수의 모양으로 고치지 않고 합성함수의 미분법을 이용하여 다음과 같이 을 직접 구할 수 있다.\\n\\n\\n\\n\\n음함수의 미분법\\n\\n\\n\\n합성함수의 미분법을 이용하여 음함수 의 각 항을 에 대하여 미분한 다음, 에 대하여 정리하여 도함수를 구한다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n❚참고❚\\n\\n* 음함수를 영어로 implicit function, 양함수를 explicit function이라고 한다.\\n* 아래 보기의 음함수 와 같이 음함수를 양함수의 꼴로 바꿀 수 없는 경우도 있다.\\n* 가 의 함수이고 미분가능할 때 을 미분하면 다음과 같다. \\n \\n\\n\\n❚보기❚\\n 음함수 의 양변을 에 대하여 미분하면\\n \\n 이것을 에 대하여 정리하면\\n \\n \\n \\n\\n\\n문제 12\\n 다음에서 를 구하여라.\\n(1) (2) \\n(3) (4) \\n\\n\\n\\n예제 7\\n\\n이 유리수일 때, 의 도함수가 임을 보여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n위의 예제 7에 의하여 다음과 같은 미분법의 공식을 얻을 수 있다.\\n\\n\\n\\n\\n의 도함수\\n\\n\\n\\n이 유리수일 때, 의 도함수는\\n \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 13\\n 다음 함수의 도함수를 구하여라.\\n(1) (2) \\n\\n4) 역함수의 미분법\\n\\n함수 가 미분가능하고 그 역함수 가 존재할 때, 의 도함수를 구하여보자.\\n\\n역함수 에서 의 양변을 에 대하여 미분하면\\n \\n \\n따라서 이면\\n \\n한편, 에서 이므로\\n \\n\\n이상을 정리하면 다음과 같다.\\n\\n\\n\\n\\n역함수의 미분법\\n\\n\\n\\n미분가능한 함수 의 역함수 , 즉 에 대하여 이면\\n \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n예제 8\\n\\n 역함수의 미분법을 이용하여 함수 의 도함수를 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 14\\n 역함수의 미분법을 이용하여 다음 함수의 도함수를 각각 구하여라.\\n(1) (2) \\n\\n\\n\\n\\n문제 15\\n 역함수의 미분법을 이용하여 자연수 에 대하여\\n 의 도함수가 (단, )\\n 임을 보여라.\\n\\n\\n\\n\\n예제 9\\n\\n함수 의 역함수를 라 할 때, 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 16\\n 함수 의 역함수를 라 할 때, 의 값을 구하여라. \\n\\n\\n\\n문제 17\\n 함수 의 역함수를 라 할 때, 의 값을 구하여라. \\n\\n\\n\\n연습 문제 A\\n\\n\\n\\n01\\n실수에서 정의된 함수 에 대하여 물음에 답하여라.\\n (1) 구간 에서의 평균변화율을 구하여라.\\n (2) 에서의 미분계수를 구하여라.\\n (3) (1)의 평균변화율과 (2)의 미분계수가 같을 때, 를 로 나타내어라.\\n\\n\\n\\n02\\n함수 의 에서의 연속성과 미분가능성을 조사하여라.\\n\\n\\n\\n03\\n다음 각 함수의 에서의 연속성과 미분가능성을 조사하여라.\\n (1) \\n (2) \\n\\n\\n\\n04\\n함수 에서 이 존재할 때, 다음을 을 써서 나타내어라.\\n (1) \\n (2) \\n (3) \\n\\n\\n05\\n다음 극한값을 구하여라.\\n (1) 일 때, \\n (2) \\n\\n\\n\\n\\n06\\n는 에 대한 이차함수이고 이다. 임의의 실수 에 대하여 등식 이 성립하도록 함수 를 정하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n07\\n함수 가 를 만족할 때, 실수 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n08\\n다음 물음에 답하여라.\\n (1) 다항함수 를 으로 나누었을 때의 나머지를 를 써서 나타내어라.\\n (2) 다항함수 가 으로 나누어 떨어지기 위한 조건을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n09\\n을 으로 나누었을 때의 나머지가 이 되도록 실수 의 값을 정하여라.\\n\\n\\n\\n\\n10\\n, 를 만족하는 다항함수 를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n11\\n일 때, 다음 각 식을 간단히 하여라.\\n (1) (2) \\n\\n\\n\\n\\n\\n12\\n을 포함하는 구간에서 미분가능한 함수 가 있다.\\n 일 때, 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n13\\n함수 일 때, 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n14\\n함수 가 에서 미분가능할 때, 의 값을 로 나타내어라. \\n\\n\\n연습 문제 B\\n\\n\\n01\\n다음 함수의 도함수를 구하여라.\\n (1) (2) \\n (3) (4) \\n\\n\\n\\n02\\n일 때, 임을 이용하여 다음 합을 구하여라.\\n \\n\\n\\n\\n03\\n다음 두 조건을 성립시키는 다항함수 에 대하여 의 값을 구하여라.\\n (ⅰ) (ⅱ) \\n\\n\\n\\n\\n04\\n모든 자연수 에 대하여 다음 등식이 성립함을 수학적 귀납법을 이용하여 증명하여라.\\n \\n\\n\\n\\n05\\n함수 가 우함수(기함수)이면 도함수 는 기함수(우함수)임을 증명하여라.\\n\\n\\n\\n\\n2\\n여러가지 함수의 미분법\\n \\n\\n§1. 삼각함수의 도함수\\n(1) 삼각함수 의 도함수\\n의 그래프가 주어져 있을 때 의 그래프를 그리려면 미분계수가 접선의 기울기를 나타내므로 그래프 위의 각 점에서 접선의 기울기를 알아야 한다. \\n곡선 위의 모든 점에서 접선의 기울기를 구해 그래프를 그려보면 그 그래프가 의 그래프와 같아짐을 알 수 있다. \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n \\n \\n이제 도함수의 정의를 이용하여 의 도함수가 가 됨을 직접 구하여 보자. \\n[방법1]\\n 먼저 도함수의 정의에 의하여 \\n\\t \\n이고 삼각함수의 차를 곱으로 고치는 공식에 의하여 \\n 이므로\\n \\n \\n이다. 또한,\\n 이고 이므로\\n\\t\\n \\n\\t \\n\\t \\n이다. 따라서 이다.\\n\\n삼각함수의 극한값\\n\\n \\n[방법2]\\n이번에는 도함수의 정의와 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 구해보자.\\n\\n \\n \\n \\n \\n \\n(2) 삼각함수 의 도함수\\n이제 의 도함수가 임을 이용하거나 도함수의 정의를 이용하여 의 도함수가 이 됨을 직접 구하여 보자.\\n[방법1]\\n이므로 합성함수의 미분법에 의하여\\n\\t\\n \\n이다. 따라서 이다.\\n\\n[방법2]\\n이므로\\n\\n \\n \\n \\n \\n \\n(3) 삼각함수 의 도함수\\n\\n몫의 미분법\\n\\n이므로 앞의 결과와 몫의 미분법을 이용하면 \\n\\t \\n \\n \\n\\t \\n이다. 따라서 이다. \\n\\n❚참고❚\\n\\n이므로 이고 이 성립한다. \\n실제로 의 그래프를 그려 각 점에서의 접선의 기울기를 살펴보면 항상 이상임을 알 수 있다. \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n이상을 정리하면 다음과 같다. \\n\\n\\n\\n\\n삼각함수의 도함수(1)\\n\\n\\n\\n(1) \\t⇒ \\t\\t\\t\\n(2) \\t⇒ \\t\\t\\t\\n(3) \\t⇒ \\t\\n\\n\\n\\n\\n\\n \\n\\n예제 1\\n\\n다음 함수의 도함수를 구하여라.\\n(1) (2) \\n(3) (4) \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 다음 함수의 도함수를 구하여라.\\n(1) (2) \\n(3) (4) \\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 02\\n 다음 함수의 도함수를 구하여라.\\n(1) (2) \\n\\n\\n\\n\\n(4) 삼각함수 의 도함수\\n삼각함수 이므로 그 그래프는 아래의 그림과 같다. \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n(은 정수)에서 함수가 정의되지 않으므로 그 점에서 불연속이고, 미분 가능하지 않다.\\n그러므로 의 도함수의 정의역은 이다. \\n도함수는 몫의 미분법에 의하여\\n\\t \\n \\n \\n이다. 따라서 이다. \\n\\n\\n예제 2\\n\\n 다음 함수의 도함수를 구하여라.\\n(1) \\t (2) \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n이상을 정리하면 다음과 같다. \\n\\n\\n\\n\\n삼각함수의 도함수(2)\\n\\n\\n\\n (1) \\t⇒ \\n (2) \\t⇒ \\n (3) \\t⇒ \\n\\n\\n\\n\\n\\n \\n\\n예제 3\\n\\n 다음 함수의 도함수를 구하여라.\\n(1) (2) \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 03\\n 다음 함수를 미분하여라.\\n(1) (2) \\n\\n\\n\\n\\n문제 04\\n 일 때, 를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n문제 05\\n 열린 구간 에서 정의된 함수 의 역함수를 라 할 때, 을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 06\\n 의 도함수 를 구하고, 가 수평접선을 갖는 점의 좌표를 구하여라.\\n\\n\\n\\n§2. 로그함수의 도함수\\n(1) 로그함수의 도함수\\n 1) 의 도함수 \\n도함수의 정의에 의하여 \\n\\t \\n이고 로그의 성질에 의하여 \\n\\t\\n이다. 여기서 로 놓으면\\n일 때 이므로 \\n\\n무리수 의 정의 \\n\\t\\n \\n\\t \\n \\n 이다. 따라서 이다. \\n\\n 2) 의 도함수\\n 밑의 변환공식에 의하여 \\t\\n\\t 이므로\\n \\n \\n \\n 이다. 따라서 이다.\\n\\n 이상을 정리하면 다음과 같다. \\n\\n\\n\\n\\n로그함수의 도함수(1)\\n\\n\\n\\n (1) ⇒ \\n (2) ⇒ \\n\\n\\n\\n\\n\\n \\n\\n\\n예제 1\\n\\n 다음 함수를 미분하여라.\\n(1) (2)\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 다음 함수를 미분하여라.\\n(1) (2) \\n(3) (4) \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n3) 로그함수 의 도함수\\nⅰ) 일 때, 이므로 \\n \\nⅱ) 일 때, 이므로 \\n\\t \\nⅰ), ⅱ)에 의하여 \\n\\t 이다.\\n\\n4) ()의 도함수\\n이므로\\n\\t\\n \\n 따라서 이다.\\n\\n이상을 정리하면 다음과 같다. \\n\\n\\n\\n\\n로그함수의 도함수(2)\\n\\n\\n\\n(1) ⇒ \\n(2) ⇒ \\n\\n\\n\\n\\n\\n \\n\\n5) ()의 도함수\\n함수 가 미분가능하고 일 때 로그함수의 도함수와 합성함수의 미분법을 이용하면 다음이 성립한다.\\n\\t \\t\\n \\n\\n\\n❚보기❚\\n\\n(1)을 미분하면 \\n(2)을 미분하면 \\n\\n예제 2\\n\\n다음 함수를 미분하여라.\\n(1) (2) \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 02\\n 다음 함수를 미분하여라.\\n(1) (2) \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n(2) 로그함수의 도함수의 활용\\n\\n복잡한 형태의 함수는 로그를 취하여 미분하면 편리하다.\\n함수 의 도함수를 몫의 미분법이 아닌 로그를 이용한 미분법으로 구하여 보자.\\n우선, 주어진 식의 양변의 절댓값에 자연로그를 취하면\\n\\t\\n \\n 양변을 에 대하여 미분하면\\n\\t\\n \\n\\n\\n예제 3\\n\\n로그함수의 미분법을 이용하여 다음 함수를 미분하여라. \\n(1) (2) \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 03\\n 다음 함수를 미분하여라.\\n(1) (2) \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 04\\n 함수 를 미분하여라. \\n\\n\\n\\n\\n(3) 함수 (는 실수)의 도함수\\n로그함수의 미분법을 이용하여 실수 에 대하여 의 도함수를 다음과 같이 구할 수 있다.\\n\\n함수 의 양변의 절댓값에 자연로그를 취하면\\n\\t \\n양변을 에 대하여 미분하면\\n\\t \\n \\n따라서 이다. \\n\\n이상을 정리하면 다음과 같다. \\n\\n\\n\\n\\n\\n함수 (는 실수)의 도함수\\n\\n\\n\\n ⇒ \\n\\n\\n\\n\\n\\n \\n\\n❚보기❚\\n\\n(1)을 미분하면 \\n(2)을 미분하면 \\n\\n\\n\\n문제 05\\n 다음 함수를 미분하여라.\\n(1) (2) \\n\\n\\n\\n\\n\\n❚함수 의 도함수\\n 실수에 대하여 함수 의 도함수를 구하는 방법에 대하여 알아보았다. 지수가 실수 범위로 확장되기 이전의 방법을 정리해 보자. \\n(1) 이 자연수일 때 \\n \\n \\n \\n \\n\\n(2) 이 정수일 때 \\nⅰ) 일 때 \\nⅱ) 일 때 이라 하면\\n \\n \\n \\n\\n(3) 이 유리수일 때\\n (이고 가 정수)라 하면\\n 에서 이다.\\n 양변을 에 대하여 미분하면 \\n \\n \\n \\n \\n\\n§3. 지수함수의 도함수\\n(1) 지수함수 ()의 도함수\\n지수함수 의 도함수를 다음과 같이 몇 가지 방법으로 구하여 보자.\\n[방법1]\\n도함수의 정의에 의하여 \\n\\t\\n\\n 지수함수의 극한\\n \\n \\n지수의 성질에 의하여 \\n\\t\\n \\n이므로 \\n\\t\\n \\n\\t \\n 따라서 이다.\\n 특히, 함수 의 도함수는 이므로\\n \\n\\n[방법2] \\n로그함수의 미분법에 의하여\\n의 양변에 자연로그를 취하면\\n\\t\\n \\n양변을 에 대하여 미분하면\\n\\t\\n \\n특히, 함수 의 도함수는 이므로\\n \\n[방법3]\\n 일 때 도함수의 정의에 의하여 \\n\\t\\n \\n \\n\\n\\n일 때, \\n\\n 일 때 \\n\\t, \\n이므로 합성함수의 미분법을 이용하면\\n\\t\\n \\n \\n따라서 가 성립한다.\\n\\n이상을 정리하면 다음과 같다. \\n\\n\\n\\n\\n\\n지수함수의 도함수\\n\\n\\n\\n (1) ⇒ \\n (2) ⇒ ()\\n\\n\\n\\n\\n\\n \\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 다음 함수의 도함수를 구하여라. \\n(1) (2) \\n\\n\\n\\n\\n\\n예제 1\\n\\n다음 함수의 도함수를 구하여라. \\n(1) (2) \\n(3) (4) \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 02\\n 다음 함수의 도함수를 구하여라. \\n(1) (2) \\n(3) (4) \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 03\\n 개체수가 인 어떤 박테리아를 배양하기 시작하여 시간이 지난 후의 박테리아의 개체 수 는 로 나타낼 수 있다고 한다. 이 때, 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n§4. 고계도함수\\n(1) 이계도함수\\n함수 의 도함수 가 미분가능할 때 의 도함수\\n\\n은 ‘ 더블 프라임’ 또는 ‘의 이계도함수’ 라고 읽는다. \\n\\t\\n를 의 이계도함수라고 하고 다음과 같이 기호로 나타낸다.\\n\\t, \\n \\n\\n(2) 계 도함수\\n함수 의 계 도함수는 를 번 미분함으로써 얻어지며 다음과 같이 기호로 나타낸다.\\n\\n의 계도함수가 규칙적으로 나타나는 함수가 있다.\\n\\t, \\n\\t\\n\\n\\n예제 1\\n\\n다음 함수의 이계도함수를 구하여라.\\n(1) (2) \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 함수 의 이계도함수를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 02\\n 에 대하여 을 만족하는 실수 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n예제 2\\n\\n음함수 미분법을 이용하여 에 대하여 을 구하여라. \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 03\\n 음함수 미분법을 이용하여 을 구하여라.\\n(1) (2) \\n\\n\\n\\n예제 3\\n\\n매개변수로 나타내어진 함수 에 대하여 와 를 각각 구하여라. (단, ) \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 04\\n매개변수로 나타내어진 함수 에 대하여 와 를 각각 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n예제 4\\n\\n함수 의 계도함수 을 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 05\\n 에 대하여 를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n예제 5\\n\\n함수 의 계도함수 을 구하여라\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 06\\n 함수 의 계도함수 를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 07\\n 다음 그래프는 함수 에 대하여 의 그래프를 나타낸 것이다. 중 어느 그래프가 에 해당하는지 구하고 그 이유를 설명하여라. \\n\\n \\n\\n \\n \\n \\n\\n\\n\\n\\n\\n도전문제1\\n 일 때 임을 보여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n도전문제2\\n 수학적 귀납법을 이용하여 다음을 증명하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n질문\\n��\\n의 단위가 분법인 경우, 임을 보이고 미적분학에서 삼각함수를 다룰 때 라디안 단위를 사용하는 이유를 생각해 보자.\\n\\n\\n\\n\\n❚삼각함수의 멱급수 표현 \\n 삼각함수 :를 각각 다음과 같이 정의할 수 있다.\\n\\n \\n\\n 위의 정의로부터 가 성립하고,\\n \\n \\n 이 성립한다. \\n\\n\\n연습 문제 A\\n\\n\\n\\n01\\n다음 함수의 도함수를 구하여라.\\n (1) \\t\\t(2) \\n\\n (3) \\t\\t(4) \\n\\n (5) \\t\\t(6) \\n\\n (7) \\t(8) \\n\\n (9) \\t\\t(10) \\n\\n\\n\\n02\\n다음 함수의 이계도함수를 구하여라.\\n (1) \\t(2) \\n\\n (3) \\t(4) \\n \\n\\n\\n03\\n이고 일 때 의 값을 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n04\\n의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n05\\n다항함수 를 으로 나눌 때, 나머지를 로 나타내어라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n06\\n다음 함수에 대하여 를 구하여라. \\n (1)\\t\\t (2) \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n07\\n다음을 구하여라.\\n (1) (2) \\n (3) (4) \\n \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n연습 문제 B\\n\\n\\n\\n01\\n다음 함수의 도함수를 구하여라.\\n (1) (2) \\n\\n\\n (3) (4) \\n\\n\\n (5) (6) \\n\\n\\n (7) (8) \\n\\n\\n (9) (10) \\n\\n\\n\\n\\n02\\n다음 함수에 대하여 를 구하여라. \\n (1) (2) \\n\\n\\n (3) (4) \\n\\n\\n\\n03\\n을 만족하는 함수를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n04\\n함수 에 대하여 의 값을 구하여라.\\n\\n \\n\\n\\n\\n\\n05\\n다음 그래프에서 이 그래프가 중 어떤 것인지 구하고 그 이유를 설명하여라.\\n (1) (2)\\n \\n\\n\\n\\n\\n06\\n일 때, 임을 증명하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n로지스틱 모델\\n\\n\\n영국의 경제학자 멜서스는 세계 인구의 성장 모델에 대한 논문에서 현재의 인구를 라고 할 때 시각 에서의 인구를 라 하면 는 에만 영향을 받아 다음과 같이 나타낼 수 있다고 주장하였다.\\n\\t (단, , 는 비례상수)\\n이러한 인구 모형을 맬서스의 인구 성장 모델 또는 지수 성장 모델이라 한다. 그러나 맬서스의 인구 성장 모델은 이상적인 상황에서는 적합하지만 일반적인 인구 모형으로는 적합하지 않다. 일반적인 인구모형에서는 인구가 적은 초기에는 지수적으로 성장하지만 점점 인구가 많아짐에 따라 제한된 식량, 공간, 자원 등의 영향을 받아 성장이 둔화된다.\\n\\n이러한 점을 고려하여 벨기에의 수학자인 베르휼스트(Verhulst 1804~1849)는 맬서스의 인구 성장 모델에 대한 수정 모델을 제시하였다. 이 모델은 두 가지 요인을 고려한다.\\n ·현재의 인구\\n ·활용할 수 있는 자원의 양\\n\\n그에 따르면 현재의 인구를 라 하면 시각 에서의 인구 는 다음과 같이 낱타낼 수 있다. (단, 은 상수)\\n\\n\\t\\n\\t\\n\\n이 때, 가 성립한다. 이러한 수정 모델을 로지스틱(logistic)모델이라 한다. \\n로지스틱 함수는 자형 곡선을 나타내는 대표적인 함수이다.\\n의 그래프를 살펴보면 오른쪽 그림과 같다. 초기에는 지수 함수적으로 증가하다가 포화상태가 시작되면 증가율이 작아지고, 이후 성숙단계에 들어서면 증가가 멈추는 모양을 띠고 있다.\\n\\n\\n역삼각함수의 미분법\\n\\n\\n1. 역삼각함수의 정의 \\n닫힌구간 에서 는 증가하므로 역함수를 가지게 되는데, 이 역함수를 또는 로 나타내고 역사인함수 또는 아크사인함수라고 한다.\\n ⇔ \\n ( 단,,)\\n \\n\\n\\n같은 방법으로 닫힌구간 에서 는 감소하므로 역함수를 가지게 되고, 열린구간 에서 는 증가하므로 역함수를 가진다. 그 역함수를 다음과 같이 정의한다. \\n\\n \\n\\n\\n\\n \\n\\n\\n\\n\\n\\n일반적으로 다음 공식이 성립한다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n역삼각함수\\n\\n\\n\\n(1) (단,)\\n (단,)\\n(2) (단, )\\n (단,)\\n(3) (단,)\\n (단,는 실수)\\n\\n\\n\\n\\n\\n \\n\\n2. 역삼각함수의 미분법\\n(1)의 도함수\\n함수 는 열린구간 에서 미분가능하므로 도 열린구간 에서 미분가능하다. 그래프에서 알 수 있는 것처럼 에서는 수직인 접선을 가지므로 이 두 점에서 미분가능하지 않다. \\n \\n역함수의 도함수를 이용하여 ()의 도함수를 구하여 보자.\\n 이면 이므로 이 식의 양변을 에 대하여 미분하면 \\n\\n그런데 에서는 이므로 \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n-\\n\\n\\n \\n \\n \\n \\n\\n\\n\\n예제 1\\n\\n\\n다음 함수의 도함수를 구하여라.\\n(1) \\t\\t\\t(2) \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n풀이\\n\\n(1)에서 이다. 양변을 에 대하여 미분하면 \\n \\n이 결과를 다시 에 대한 식으로 나타내면,\\n에서 \\n는 정의역이 , 치역이 이므로 \\n \\n\\n\\n\\n\\n\\n(2) 에서 이다. 양변을 에 대하여 미분하면 \\n \\n\\n이 결과를 다시 에 대한 식으로 나타내면, \\n 이므로 \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n이상을 정리하면 다음과 같다. \\n\\n\\n\\n\\n\\n역삼각함수의 도함수1\\n\\n\\n\\n(1) \\n(2) \\n(3) \\n\\n\\n\\n\\n\\n \\n\\n문제 01\\n 함수에 대하여 다음을 구하여라.\\n(1) 의 정의역 \\n(2) \\n(3) 의 정의역 \\n \\n\\n문제 02\\n 함수 의 도함수를 구하여라. \\n\\n\\n\\n(2)\\u3000의 도함수\\n와 에서 의 도함수는 양수이므로 는 미분가능하다. 음함수의 미분법을 이용하면 에서 이므로\\n양변을 에 대하여 미분하면\\n\\t \\n\\t\\n이 결과를 에 대한 식으로 표현해 보면\\n\\t\\n\\t\\n \\n\\t\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\t\\n\\t\\n \\n\\t\\n\\n의 접선의 기울기는 항상 양수이므로\\n \\n\\n일반적으로 다음 공식이 성립한다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n역삼각함수의 도함수2\\n\\n\\n\\n(1) ()\\n(2) ()\\n(3) \\n\\n\\n\\n\\n\\n \\n\\n문제 03\\n 함수 의 도함수를 구하여라. \\n\\n\\n문제 04\\n 함수 에 대하여 의 값을 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n쌍곡선함수의 미분법 \\n\\n\\n1. 쌍곡선함수의 정의 \\n지수함수를 이용하여 정의한 쌍곡선 함수(hyperbolic function)는 삼각함수와 유사한 성질을 갖고 있으며 그 정의는 다음과 같다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n쌍곡선 함수의 정의\\n\\n\\n\\n(1) \\n(2) \\n(3) \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n2. 쌍곡선함수의 도함수\\n\\n쌍곡선 함수의 도함수는 지수함수의 미분법을 이용하여 쉽게 구할 수 있는데 삼각함수의 미분법과 유사한 점과 차이점을 분명히 알아두도록 하자.\\n예를 들면 가 성립하지만 이다. \\n\\n\\n\\n\\n일반적으로 다음 공식이 성립한다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n쌍곡선함수의 도함수\\n\\n\\n\\n(1) \\n(2) \\n(3) \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n3. 역쌍곡선함수의 정의 \\n함수는 일대일 함수이므로 역함수를 갖는다. 또한 도 정의역을 로 제한하면 일대일 함수가 되어 역함수를 다음과 같이 정의할 수 있다.\\n \\n\\n\\n\\n\\n역쌍곡선함수의 정의\\n\\n\\n\\n 에 대하여,\\n(1) \\n(2) , \\n \\n(3) \\n\\n\\n\\n\\n\\n \\n\\n 의 도함수를 구해보자.\\n[방법1] 에서 이므로 음함수의 미분법에 의하여 에 관하여 미분하면 \\n이고 이므로 \\n\\n[방법2] 에서\\n \\n\\n\\n\\n\\n\\n역쌍곡선함수의 도함수\\n\\n\\n\\n(1) \\n(2) \\n(3) \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n※와 의 도함수는 같으나 정의역이 다르다.\\n 는 위에서, 는 위에서 정의된다. \\n\\n3\\n도함수의 활용\\n\\n\\n§1. 접선의 방정식과 평균값의 정리\\n(1) 접선의 방정식\\n곡선 위의 점 에서의 접선의 기울기는 에서의 미분계수와 같다.\\n따라서 곡선 위의 한 점 에서의 접선은 점 를 지나고 기울기가 인 직선이므로 접선의 방정식은 다음과 같다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n접선의 방정식\\n\\n\\n\\n곡선 위의 점 에서의 접선의 방정식은\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n또, 점 에서의 법선의 방정식은 \\n (단, )\\n ※ 공통접선 \\n 두 곡선 가 점 에서 접하면\\n (i) (ii) \\n 를 만족한다. 이 때, 점 에서의 접선을 공통접선이라고 한다.\\n\\n\\n예제 1\\n\\n곡선 위의 점 에서의 접선의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 다음 곡선 위의 주어진 점에서의 접선의 방정식을 구하여라.\\n(1) \\t\\t\\t(2) \\n(3) \\t\\t\\t(4) \\n\\n\\n\\n\\n예제 2\\n\\n점 에서 곡선 에 그은 접선의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 02\\n 원점에서 곡선 에 그은 접선의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n\\n문제 03\\n 점 에서 곡선 에 그은 두 접선의 접점을 각각 , 라고 할 때, 직선 의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n문제 04\\n 두 곡선 와 이 접할 때의 상수 의 값을 구하고, 그 때의 공통접선의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n\\n문제 05\\n 곡선 (는 매개변수) 위의 에 대응하는 점에서의 접선의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n(2) 롤(Rolle)의 정리\\n함수 가 닫힌 구간 에서 연속이면 는 그 구간에서 최댓값과 최솟값을 갖는다. 이 성질로부터 다음과 같은 롤의 정리가 성립한다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n롤의 정리\\n\\n\\n\\n함수 가 닫힌 구간 에서 연속이고, 열린 구간 에서 미분가능할 때, 이면 인 가 와 사이에 적어도 하나 존재한다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n【증명】 \\n[1] 가 에서 최댓값 또는 최솟값을 가지는 경우:\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n(i) 에서 최댓값 를 가질 때\\n 이므로\\n \\n이 성립한다.\\n한편, 함수 는 에서 미분가능하므로 좌극한과 우극한이 같아야 한다.\\n \\n따라서 다음이 성립한다.\\n \\n(ii) 에서 최솟값 를 가질 때 (i)과 같은 방법으로 임을 보일 수 있다.\\n\\n[2]가 에서 최댓값, 최솟값을 가지지 않는 경우, 즉, (또는 에서 최댓값과 최솟값을 각각 가지는 경우:\\n이므로 최댓값과 최솟값이 같아져서 는 상수함수이므로 이다.\\n\\n\\n질문\\n��\\n 최댓값과 최솟값이 같으면 상수함수임을 증명할 수 있는가?\\n\\n\\n❚보기❚\\n 함수 는 닫힌 구간 에서 연속이고, 열린 구간 에서 미분가능하다. 또, 이므로 롤의 정리에 의하여 인 가 열린 구간 에 존재한다. 실제로 의 값을 구해 보면 이므로 이다.\\n\\n\\n문제 06\\n 다음 함수에 대하여 주어진 구간에서 롤의 정리를 만족하는 상수 의 값을 구하여라.\\n(1) (2) \\n\\n\\n\\n문제 07\\n 구간 에서 정의된 함수 에 대하여 이 되는 가 존재함을 롤의 정리로 설명하고, 그 때의 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n(3) 평균값의 정리\\n롤의 정리를 일반화하면 다음의 정리가 성립하는데 이것을 평균값의 정리라고 한다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n평균값의 정리\\n\\n\\n\\n함수 가 닫힌 구간 에서 연속이고, 열린 구간 에서 미분가능할 때\\n \\n가 되는 가 와 사이에 적어도 하나 존재한다. \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n【증명】 \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n두 점 , 를 지나는 직선의 방정식을 라고 하면\\n \\n이때, 함수 라고 하면 는 열린 구간 에서 미분가능하며\\n \\t\\n이다. 따라서 롤의 정리에 의하여\\n\\t\\n\\t \\n인 가 와 사이에 적어도 하나 존재한다. 즉,\\n\\t\\n인 가 열린 구간 안에 적어도 하나 존재한다.\\n\\n\\n❚참고❚\\n\\n평균값의 정리의 뜻을 함수의 그래프를 통하여 알아보자.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\nA\\nB\\n평균값의 정리에서 는 곡선 위의 두 점 , 를 지나는 직선의 기울기를 나타낸다. 따라서 평균값의 정리는 열린 구간 에서 직선 와 평행한 곡선 의 접선이 적어도 하나 존재함을 의미한다.\\n\\n※ 평균값의 정리의 여러 가지 표현\\n함수 가 폐구간 에서 연속이고, 개구간 에서 미분가능할 때 를 \\n ① \\t()\\n ② \\t()\\n로 나타낼 수 있다.\\n\\n\\n예제 3\\n\\n함수 에 대하여 닫힌 구간 에서 평균값의 정리를 만족하는 실수 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 08\\n 다음 각 함수에 대하여 주어진 구간에서 평균값의 정리를 만족시키는 의 값을 구하여라.\\n(1) (2) (3) \\n\\n\\n\\n\\n문제 09\\n 일 때, ()을 만족하는 의 이차방정식을 만들고, 를 구하여라. ()\\n\\n\\n\\n\\n(4) 평균값의 정리의 활용\\n다음에서 주어진 예제들을 통하여 평균값의 정리를 활용한 여러 가지 성질들을 살펴보자.\\n\\n예제 4\\n\\n함수 가 에서 연속이고 에서 미분가능하며, 구간 에 속하는 모든 에 대하여 이면 는 에서 상수함수이다.\\n\\n\\n증명\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n질문\\n��\\n함수 이라 하자. \\n 의 정의역은 이고 모든 에 대하여 이다. 그러나, 는 분명히 상수함수가 아니다. 이를 설명하여라.\\n\\n\\n예제 5\\n\\n두 함수 , 가 에서 연속이고 에서 미분가능하며, 에 속하는 모든 에 대하여 이면 (는 상수)이다.\\n\\n\\n증명\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 10\\n 이고 라고 할 때 정의역의 모든 에 대하여 임을 보여라. 이것으로부터 가 상수함수라고 할 수 있는가?\\n\\n\\n\\n문제 11\\n 평균값의 정리를 이용하여 극한값 을 구하여라.\\n\\n\\n\\n문제 12\\n 실수 이 다음 식을 만족한다.\\n\\n 이 때, 방정식 은 과 사이에서 실근을 가짐을 증명하여라.\\n\\n\\n\\n도전문제\\n 일 때, 부등식 이 성립함을 증명하여라.\\n\\n\\n§2. 함수의 증가와 감소, 최대와 최소\\n(1) 함수의 증가와 감소\\n 1) 함수의 증가․감소\\n ① 증가 : 함수 가 어떤 구간의 임의의 두 수 에 대하여\\n 이면 일 때, 함수 는 그 구간에서 증가한다고 한다.\\n ② 감소 : 함수 가 어떤 구간의 임의의 두 수 에 대하여\\n\\t 이면 일 때, 함수 는 그 구간에서 감소한다고 한다.\\n\\n\\n 2) 함수의 증가․감소 판정\\n\\n\\n\\n\\n\\n함수의 증가와 감소\\n\\n\\n\\n함수 가 어떤 구간에서 미분가능하고, 그 구간에서 \\n ① 항상 이면 는 그 구간에서 증가한다.\\n ② 항상 이면 는 그 구간에서 감소한다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n【증명】 \\n함수 가 어떤 구간에서 미분가능할 때, 그 구간의 임의의 두 점 에 대하여 이면 평균값의 정리에 의하여 인 가 적어도 하나 존재한다. \\n이 식은 으로 쓸 수 있고, 이므로 다음을 알 수 있다.\\n(ⅰ) 항상 이면 이므로 \\n 따라서 는 이 구간에서 증가한다.\\n(ⅱ) 항상 이면 이므로 \\n 따라서 는 이 구간에서 감소한다.\\n\\n\\n❚참고❚\\n 역은 성립하지 않는다. (반례 : )\\n\\n\\n\\n\\n\\n증가, 감소와 도함수\\n\\n\\n\\n함수 가 어떤 구간에서 미분가능하고, 그 구간에서 \\n① 가 증가하면 그 구간에서 이다. \\n② 가 감소하면 그 구간에서 이다. \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 다음 함수의 증가, 감소를 판별하여라.\\n(1) (2) \\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 02\\n 함수 이 구간 에서 감소하기 위한 의 값의 범위를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n문제 03\\n 함수 이 실수 전체에서 증가하게 되는 실수 의 값의 범위를 구하여라.\\n\\n\\n(2) 함수의 극대와 극소\\n 1) 함수의 극대와 극소\\n\\n\\n\\n\\n\\n함수 에서 를 포함하는 어떤 열린구간에 속하는 모든 에 대하여 \\n\\n이면 함수 는 에서 극대라고 하고, 그때의 함숫값 를 극댓값이라고 한다.\\n\\n\\n또 함수 에서 를 포함하는 어떤 열린구간에 속하는 모든 에 대하여 \\n\\n이면 함수 는 에서 극소라고 하고, 그때의 함숫값 를 극솟값이라고 한다. 극댓값과 극솟값을 통틀어 극값이라고 한다.\\n\\n특히 함수 가 에서 연속일 때, 의 좌우에서 가 증가하다가 감소하면 는 에서 극댓값을, 감소하다가 증가하면 함수 는 에서 극솟값을 갖는다.\\n\\n함수 가 에서 미분가능하고, 가 극댓값이라고 하자.\\n그러면 충분히 작은 에 대하여 다음이 성립한다.\\n\\t이면 \\n\\t이면 \\n그런데 함수 는 에서 미분가능하므로\\n\\t\\n마찬가지 방법으로 함수 가 에서 극소인 경우에도 임을 보일 수 있다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n극값의 판정\\n\\n\\n\\n함수 가 에서 미분가능하고 에서 극값을 가지면\\n \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n❚참고❚\\n\\n① 미분가능한 함수 에 대하여 이라고 해서 가 에서 반드시 극값을 가지는 것은 아니다. (반례: )\\n② 함수 가 에서 극값을 가지더라도 이 성립하지 않을 수도 있다. (반례: )\\n\\n2) 함수의 극대․극소의 판정\\n미분가능한 함수의 극대와 극소는 다음과 같은 방법으로 판정할 수 있다.\\n\\n\\n\\n\\n극대와 극소의 판정\\n\\n\\n\\n미분가능한 함수 에서 일 때, 의 좌우에서 \\n ① 의 부호가 양(＋)에서 음(－)으로 바뀌면, \\n 는 에서 극대이고, 극댓값 를 가진다.\\n ② 의 부호가 음(－)에서 양(＋)으로 바뀌면, \\n 는 에서 극소이고, 극솟값 를 가진다.\\n ③ 의 부호가 변하지 않으면, 는 에서 극값을 가지지 않는다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n이계도함수를 이용한 극대와 극소의 판정\\n\\n\\n\\n함수 에서 이고, 연속인 이계도함수 를 가질 때\\n ① 이면 는 에서 극소이고, 극솟값 를 가진다.\\n ② 이면 는 에서 극대이고, 극댓값 를 가진다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n예제 1\\n\\n함수 의 극값을 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n문제 04\\n 다음 함수의 극값을 구하여라.\\n(1) \\t(2) (3) \\n\\n\\n\\n문제 05\\n 함수 가 에서 극댓값을 가지고, 에서 극솟값 을 가질 때, 상수 의 값과 이 함수의 극댓값을 구하여라.\\n\\n(3) 곡선의 오목, 볼록과 변곡점\\n 1) 곡선의 오목, 볼록의 정의\\n어떤 구간에서 곡선 위의 임의의 두 점 에 대하여\\n호 가 현 보다 아래쪽에 있으면 곡선 는 이 구간에서 아래로 볼록(위로 오목)하다고 한다.\\n호 가 현 보다 위쪽에 있으면 곡선 는 이 구간에서 위로 볼록(아래로 오목)하다고 한다.\\n곡선 위의 한 점의 앞뒤에서 곡선의 오목, 볼록 상태가 변하면, 점 를 곡선 의 변곡점이라고 한다.\\n\\n 2) 곡선의 오목, 볼록과 변곡점의 판정\\n곡선의 오목, 볼록과 변곡점은 다음과 같은 방법으로 판정한다.\\n\\n\\n\\n\\n오목, 볼록과 변곡점의 판정\\n\\n\\n\\n곡선 가 어떤 구간에서 항상\\n① 이면, 곡선 는 이 구간에서 아래로 볼록하다.\\n② 이면, 곡선 는 이 구간에서 위로 볼록하다.\\n③ 이고 의 좌우에서 의 부호가 변하면, 점 는 곡선 의 변곡점이다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n【증명】 \\n두 점 사이에 있는 곡선 위의 임의의 점을 라 하면 평균값의 정리에 의하여\\n, \\n\\n\\n\\nA\\nB\\n\\n\\nP\\n\\n\\n인 가 존재한다.\\n이 구간에서 항상 이므로 는 증가하고, 이므로 이다.\\n ∴ \\n \\n \\n ∴ \\n\\n이것은 곡선 위의 임의의 점 가 직선 보다 아래쪽에 있음을 뜻하므로 곡선은 아래로 볼록이다.\\n\\n일반적으로 아래로 볼록인 곡선에 대하여 다음과 같은 부등식이 성립한다.\\n\\n\\n\\n\\n젠센부등식\\n\\n\\n\\n가 구간 에서 아래로 볼록이면\\n인 임의의 에 대하여 \\n (∈)\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n※ 젠센부등식의 일반형은 위의 부등식에서 대신 의 꼴로 일반화한 형태이다.\\n\\n\\n\\n문제 06\\n 일 때, \\n \\n 임을 보여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 07\\n 임의의 실수 에 대하여 \\n \\n 임을 보여라.\\n\\n\\n\\n\\n❚참고❚\\n 아래로 볼록인 볼록함수의 성질\\n ① 폐구간에서 함수의 최댓값은 그 구간의 끝점에서 얻어진다.\\n ② 에 대하여 \\n ∴ ()\\n ③ 의 그래프는 항상 접선보다 위에 있다.\\n ④ 는 증가함수이다.\\n\\n\\n\\n문제 08\\n 다음 함수의 변곡점을 구하고, 그 점에서의 접선의 방정식을 구하여라.\\n(1) (2) \\n\\n\\n(4) 곡선의 그래프\\n함수 에 대하여 다음과 같은 사항을 조사한 다음 이를 종합하여 그래프의 개형을 그릴 수 있다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n함수의 그래프\\n\\n\\n\\n① 함수의 정의역과 치역을 구한다.\\n② 축, 축, 원점 등에 대한 대칭성, 주기 등을 조사한다.\\n③ 좌표축과의 교점을 구한다.\\n④ 의 부호에 의하여 함수의 증가, 감소 및 극대, 극소를 조사한다.\\n⑤ 의 부호에 의하여 곡선의 오목, 볼록과 변곡점 등을 조사한다.\\n⑥ , , 점근선 등을 조사한다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n❚참고❚\\n 점근선을 조사하는 방법\\n 의 점근선은 \\n ①, 이면 가 점근선이다. \\n ② , 이면 가 점근선이다.\\n ③ ,이면\\n 가 점근선이다.\\n\\n\\n\\n문제 09\\n 다음 함수의 그래프의 개형을 그려라. \\n(1) \\t(2) \\n\\n\\n\\n\\n문제 10\\n 다음 함수의 그래프의 개형을 그려라.\\n (1) \\t (2) \\n (3) \\t(4) \\n\\n\\n\\n(5) 함수의 최대와 최소\\n함수 가 구간 에서 연속이면 이 구간에서 는 반드시 최댓값과 최솟값을 갖는다.\\n구간 에서 함수 의 최댓값과 최솟값을 구할 때에는 이 구간에서 함수 의 극댓값과 극솟값 및 양 끝점의 함숫값 , 중에서 가장 큰 값과 가장 작은 값을 찾으면 된다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n함수의 최댓값과 최솟값\\n\\n\\n\\n함수 가 구간 에서 연속일 때\\n① 의 최댓값은 극댓값, , 중에서 가장 큰 값이다.\\n② 의 최솟값은 극솟값, , 중에서 가장 작은 값이다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n예제 2\\n\\n구간 에서 함수 의 최댓값과 최솟값을 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 11\\n 다음 함수의 주어진 구간에서의 최댓값과 최솟값을 구하여라.\\n(1) \\n(2) \\n\\n\\n\\nA\\nB\\nD\\nC\\n\\n\\n문제 12\\n 그림과 같이 가 직각인 에서 는 의 중점이고 , 라 할 때, 가 최대가 되게 하는 의 길이를 구하여라. \\n\\n\\n(6) 방정식, 부등식에의 응용\\n 1) 방정식의 실근과 함수의 그래프\\n ① 방정식 의 실근은 함수 의 그래프와 축과의 교점의 좌표이다.\\n ② 방정식 의 실근은 두 함수 ,의 그래프의 교점의 좌표이다.\\n\\n 2) 방정식 의 실근의 개수를 구하는 방법\\n ① 함수 의 그래프와 축과의 교점의 개수를 구한다.\\n ② 방정식 을 의 꼴로 변형하여 두 함수 ,의 그래프의 교점의 개수를 구한다\\n※ 삼차방정식의 실근의 개수\\n ① 서로 다른 세 실근 : \\n ② 서로 다른 두 실근 : \\n ③ 단 하나의 실근 : 이거나 극값이 없는 경우\\n\\n\\n예제 3\\n\\n방정식 이 서로 다른 세 실근을 가지기 위한 상수 의 값의 범위를 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 13\\n 다음 방정식의 실근의 개수를 조사하라.\\n(1) (2) \\n\\n\\n\\n\\n문제 14\\n 의 범위에서 방정식 가 오직 하나의 실근을 가짐을 보여라.\\n\\n\\n\\n 3) 부등식의 증명\\n ① 의 증명\\n (i) 에서 의 최솟값이 양인 것을 보이거나\\n (ii) 에서 가 증가함수()이고 임을 보인다.\\n ② 의 대소 비교\\n 로 놓고 의 양, 음을 조사한다.\\n\\n예제 4\\n\\n일 때, 가 성립함을 보여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 15\\n 라 한다. 에서 항상 이 되는 의 값의 범위를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 16\\n 두 함수 , (단,)이 있다. 일 때, 항상 가 성립하는 의 값의 범위를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 17\\n 다음 부등식을 증명하여라.\\n(1) (2) \\n\\n\\n\\n\\n§3. 속도와 가속도\\n(1) 수직선 위의 운동\\n점 가 수직선 위를 움직일 때, 시각 에서의 점 의 위치를 좌표 로 나타내면 는 에 대한 함수이므로 와 같이 나타낼 수 있다.\\n시각이 에서 까지 변할 때, 점 의 좌표는 에서 까지 변한다고 하자. 이때, 점 의 평균속도는 함수 의 평균변화율과 같고, 다음과 같이 나타낼 수 있다.\\n\\t\\n이때, 시각 에서의 함수 의 순간변화율을 시각 에서의 점 의 순간 속도 또는 속도라고 하며, 다음과 같이 나타낸다.\\n\\t\\n또한, 속도의 절댓값 를 시각 에서의 점 의 속력이라고 한다.\\n한편, 점 의 속도 도 시각 에 대한 함수이므로 이 함수의 순간변화율을 생각할 수 있다. 점 의 시각 에서의 속도의 순간변화율을 시각 에서의 점 의 가속도라고 하며 다음과 같이 나타낸다.\\n\\t\\n\\n\\n\\n\\n\\n속도와 가속도\\n\\n\\n\\n 수직선 위의 점 의 시각 에서의 좌표가 일 때,\\n ① 속도 : ② 가속도 : \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 축 위를 움직이는 점 의 시각 에서의 위치가 일 때, \\n(1) 일 때, 속도 및 가속도를 구하여라.\\n(2) 점 의 진행방향이 바뀌는 시각 를 구하여라.\\n(3) 에서 최대속력을 구하여라.\\n\\n\\n\\n문제 02\\n 수직선 위를 움직이는 동점 의 좌표가 일 때, 시각 에서 점 의 속도 와 가속도 를 구하여라.\\n\\n\\n(2) 넓이 ․ 부피의 변화율\\n1) 넓이의 변화율\\n시각 에서 넓이가 인 도형이 시간 경과된 후의 넓이가 만큼 변했다고 하면, 시각 에서의 넓이 의 변화율은\\n\\t\\t\\n이다.\\n\\n2) 부피의 변화율\\n시각 에서 부피가 인 도형이 시간 경과된 후의 부피가 만큼 변했다고 하면, 시각 에서의 부피 의 변화율은 \\n\\t\\t\\n이다.\\n\\n\\n예제 1\\n\\n반지름의 길이가 5cm인 공이 있다. 이 공의 반지름의 길이가 매초 2mm의 비율로 증가할 때, 반지름의 길이가 10cm일 때 공의 겉넓이와 부피의 변화율을 각각 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 03\\n 윗면의 반지름의 길이가 6cm, 깊이가 10cm인 직원뿔 모양의 그릇이 있다. 지금 물이 30㎤/sec의 속도로 흘러들어가고, 꼭짓점으로부터 10㎤/sec의 속도로 흘러나가고 있다. 물의 깊이가 5cm일 때, 다음 물음에 답하여라.\\n(1) 수면이 올라가는 속도를 구하여라.\\n(2) 수면의 반지름의 변화율을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n문제 04\\n 반지름의 길이가 매초 씩 증가하는 공이 있다. 처음 반지름의 길이가 인 이 공의 반지름의 길이가 가 되었을 때, 공의 겉넓이의 변화율을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n문제 05\\n 에서 , 를 만족하고, 라고 할 때, 가 매초 (rad)씩 증가한다.\\n 일 때, 의 넓이의 변화율을 구하여라.\\n\\n\\n(3) 평면 위의 운동\\n평면 위를 움직이는 점 의 좌표 가 를 매개변수로 하는 함수\\n\\t, \\n로 나타내어진다고 하자.\\n\\n여기서 점 에서 축에 내린 수선의 발을 점 라고 하면, 점 는 축 위에서 로 나타내어지는 직선 운동을 한다.\\n이때, 시각 에서의 점 의 속도를 라고 하면\\n\\t\\n이다.\\n\\n마찬가지로, 점 에서 축에 내린 수선의 발을 점 라고 하면, 점 는 축 위에서 로 나타내어지는 직선 운동을 한다. \\n이때, 시각 에서의 점 의 속도를 라고 하면\\n\\t\\n이다.\\n\\n이때 는 점 의 축 방향으로의 속도, 는 점 의 축 방향으로의 속도이므로 평면 위를 움직이는 점 의 시각 에서의 속도는 순서쌍 \\n\\t\\n로 나타낼 수 있으며 이때 속력은 \\n\\t\\n이다.\\n또, 시각 에서의 점 의 가속도를 라고 하면 \\n\\t\\n이고 마찬가지로 점 의 가속도를 라고 하면\\n\\t\\n이다. 이때 는 점 의 축 방향으로의 가속도, 는 점 의 축 방향으로의 가속도이므로 평면 위를 움직이는 점 의 시각 에서의 가속도는 순서쌍 \\n\\t\\n로 나타낼 수 있으며 이때 가속도의 크기는 \\n\\t\\n이다.\\n\\n이상을 정리하면 다음과 같다.\\n\\n\\n\\n\\n평면 위의 운동에서 속도와 가속도\\n\\n\\n\\n평면 위를 움직이는 점 의 위치가 , 로 나타내어질 때,\\n ① 속도 \\n ② 속력 \\n ③ 가속도 \\n ④ 가속도의 크기 \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n예제 2\\n\\n평면 위를 움직이는 점 의 시각 에서의 위치가 다음 식으로 나타내어질 때, 점 의 속도와 가속도를 구하여라. (단, )\\n , \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 06\\n 수평면과 의 각을 이루는 방향으로 의 처음 속도로 던진 공의 초 후의 위치를 라 할 때,\\n\\n\\n \\n 으로 나타난다고 한다. \\n 공이 최고 높이에 올랐을 때의 속도 와 가속도 를 구 하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 07\\n 수직선 위의 동점 P의 시각 에서의 좌표 가 \\n\\n 으로 나타내어진다. 이 때, 점 P의 속도가 증가하는 의 범위를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n코시의 평균값 정리\\n\\n\\n\\n\\n\\n코시(Cauchy)의 평균값 정리\\n\\n\\n\\n함수 , 가 닫힌 구간 에서 연속이고, 열린 구간 에서 미분가능하고 \\n 구간 내의 모든 점에서 이면\\n \\n 인 가 열린 구간 안에 적어도 하나 존재한다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n【증명】 \\n이면 평균값의 정리에 의하여 인 가 안에 존재한다. \\n이것은 에 모순이므로 이다.\\n새로운 함수 를 로 놓으면, 는 에서 연속이고 에서 미분가능하다. 또, 이므로 롤의 정리에 의하여 인 가 안에 존재한다.\\n\\t∴ \\n여기서 이므로 를 얻는다.\\n\\n예제 1\\n\\n함수 , 과 닫힌 구간 에 대하여 코시의 평균값의 정리를 만족하는 점 를 모두 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n \\n\\n\\n문제 01\\n 다음 함수와 주어진 구간에서 코시의 평균값의 정리를 만족하는 점 를 모두 구하여라.\\n(1) , \\n(2) , \\n\\n테일러(Taylor)의 정리\\n\\n함수 가 에서 미분가능하면, 곡선 위의 점 에서 곡선에 그은 접선을 나타내는 일차함수 는 함수 의 근사함수이다. 이 일차함수를 함수 의 에서의 일차근사식이라고 부른다.\\n일반적으로, 에서 정의된 함수 가 번 미분가능할 때, 다음과 같은 차 다항식\\n을 함수 의 에서의 차 테일러다항식 또는 차 근사다항식이라 한다.\\n\\n예제 2\\n\\n지수함수 의 에서의 차 테일러다항식을 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n문제 02\\n 다음 함수의 에서의 테일러다항식을 구하여라.\\n(1) 의 차 테일러다항식\\n(2) 의 차 테일러다항식\\n\\n\\n함수 를 다항식 로 근사시킬 때, 와 와의 차 를 에서의 의 나머지항이라고 하며, 이를 기호로 로 나타낸다. 다음 정리에서 나머지항 를 구하는 공식을 얻을 수 있다.\\n\\n\\n\\n\\n테일러의 정리\\n\\n\\n\\n함수 가 에서 연속이고, 에서 번 미분가능하다고 하자. 모든 에 대하여\\n\\n이고, 이때 나머지항 은\\n \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n【증명】 \\n임의의 점 를 고정하고, 함수 를\\t\\n으로 정의하고 함수 를 로 정의하면 두 함수 는 에서 연속이고 에서 미분가능하며 모든 에 대하여 이다. 따라서 코시의 평균값정리에 의하여 다음을 만족시키는 점 가 존재한다.\\n\\n\\t\\n그런데, 이고 , 이므로\\n\\t\\n\\n※ 평균값의 정리는 테일러의 정리에서 인 경우이다. 그래서 테일러정리를 확장된 평균값정리라고도 부른다.\\n\\n\\n\\n\\n테일러급수\\n\\n\\n\\n 에 대하여 이면 \\n\\t\\n 이 성립한다. 이를 에서의 의 테일러급수라고 하며, \\n특히 에서의 의 테일러급수\\n\\t\\n 을 의 Maclaurin급수라고 한다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 03\\n 다음 함수의 Maclaurin급수를 구하여라.\\n(1) (2) \\n\\n\\n\\n문제 04\\n 함수 의 에서의 테일러급수를 구하여라.\\n\\n로피탈(L\\'Hospital)의 정리\\n\\n구간 에서 정의된 두 함수 와 가 이고 구간의 모든 점 에 대하여 일 때, 함수 는 에서 인 부정형이 된다고 한다. 또, (또는 )이고, (또는 )일 때, 함수 는 에서 인 부정형이 된다고 한다.\\n\\n코시의 평균값의 정리를 이용하여 부정형의 극한값을 구하는 방법을 알아보자.\\n\\n\\n\\n\\n부정형 에 대한 로피탈의 정리\\n\\n\\n\\n함수 와 가 를 포함하는 구간에서 미분가능하고, 이며, 이고 극한값 가 존재하면 다음이 성립한다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n【증명】 와 매우 가까운 에 대하여 코시의 평균값의 정리를 적용하면, 와 사이에 어떤 가 있어서\\n\\t\\t\\n가 성립한다. 그런데 이고 이므로, 이다. 따라서,\\n\\t\\t\\n이다. 이때, 이면 이므로\\n\\t\\t\\n※ 로피탈의 정리는 꼴이나 인 경우에도 성립한다.\\n\\n문제 05\\n 다음 극한값을 구하여라.\\n(1) (2) \\n\\n연습 문제 A\\n\\n\\n\\n01\\n곡선 위의 서로 다른 두 점 에서 접하는 직선의 방정식을 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n02\\n두 개의 곡선 과 에 동시에 접하는 직선의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n03\\n곡선 의 제사분면 위의 한 점 에서의 접선이 축, 축 및 이 곡선과 만나는 점을 각각 라 할 때, 를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n04\\n곡선 는 의 값에 관계없이 일정한 점을 지나며 그 점에서 일정한 직선에 접한다. 그 직선의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n05\\n점 에서 곡선 에 그은 두 개의 접선이 직교할 때, 점 의 자취를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n06\\n두 곡선 의 교점에서 두 곡선에 그은 두 접선이 만나서 이루는 각의 크기를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n07\\n곡선 위의 점 (단, )에서의 접선이 축, 축과 만나는 점을 각각 라 하고 원점을 라 할 때, 의 값이 일정함을 증명하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n08\\n곡선 위의 점 에서의 법선이 축과 만나는 점의 좌표를 라 할 때, 의 값을 구하여라. \\n (단, )\\n\\n\\n\\n\\n09\\n매개변수 로 나타내어진 곡선 에 대하여 에 대응하는 점에서의 접선의 방정식을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n10\\n실수 계수의 4차방정식 에 대하여 다음을 증명하여라.\\n (1) 이 서로 다른 실근 를 가지면, 은 와 사이에 적어도 한 개의 실근을 갖는다.\\n (2) 이 서로 다른 네 개의 실근을 가지면 은 세 개의 실근을 갖는다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n11\\n일 때, 다음 부등식을 증명하여라.\\n \\n\\n\\n\\n\\n\\n12\\n다음 물음에 답하여라.\\n (1) 무한급수 이 수렴할 때, 실수 의 값의 범위를 구하여라.\\n (2) (1)에서 구한 의 범위에서 무한급수의 합을 라 할 때, 의 최댓값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n13\\n곡선 의 접선의 기울기의 최댓값과 그 때의 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n14\\n다음 물음에 답하여라.\\n (1) 의 에서의 최솟값을 구하여라.\\n (2) 일 때, 에서 의 최솟값 를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n15\\n곡선 위에 점 가 있고, 곡선 위에 점 가 있다. 두 점 가 직선 에 대하여 대칭일 때, 선분 의 길이의 최솟값과 그 때의 의 좌표를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n16\\n반지름의 길이가 인 구에 외접하는 직원뿔의 높이를 , 밑면인 원의 반지름의 길이를 라 할 때, 다음 물음에 답하여라.\\n (1) 을 에 관한 식으로 나타내어라.\\n (2) 직원뿔의 부피 의 최솟값과 그 때의 를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n17\\n부등식 \\n \\n 을 증명하여라.\\n\\n\\n\\n\\n18\\n다음 물음에 답하여라.\\n (1) 일 때, 부등식 을 증명하여라.\\n (2) 일 때, 을 증명하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n19\\n다음 물음에 답하여라.\\n (1) 일 때, 부등식 을 증명하여라.\\n (2)(1)의 결과를 사용하여 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n20\\n다음 물음에 답하여라.\\n (1) 일 때, 임을 증명하여라.\\n (2) 의 그래프를 그려라.\\n (3) 일 때, 방정식 을 만족하는 실근 의 개수를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n21\\n함수 의 그래프가 의 그래프와 원점에서 공통접선을 가지고 점 을 지난다. 에서 와 의 대소를 비교하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n연습 문제 B\\n\\n\\n\\n01\\n점 에서 곡선 에 그은 접선에 대하여 다음 물음에 답하여라.\\n (1) 접선이 오직 한 개 존재할 때, 의 값의 범위를 구하여라.\\n (2) 접선이 두 개 존재할 때, 의 값을 모두 구하여라.\\n \\n\\n\\n\\n02\\n곡선 위의 한 점 에서의 접선이 다시 이 곡선과 만나는 점을 이라 하고, 점 에서의 접선이 다시 이 곡선과 만나는 점을 라 한다. 이와 같이 점열 을 정할 때, 수열 은 발산함을 보여라. (단, )\\n\\n\\n\\n\\n\\n03\\n곡선 위의 점 에서의 접선을 이라 한다. 또 이 다시 이 곡선과 만나는 점을 라 하고, 에서의 이 곡선의 접선을 이라 한다. 두 직선 이 이루는 각 중 예각을 라 할 때, 다음 물음에 답하여라. (단, 이다.)\\n (1) 를 로 나타내어라.\\n (2) 가 최대가 될 때의 의 값과 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n04\\n곡선 에 원점에서 오직 하나의 접선을 그을 수 있을 때, 상수 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n05\\n(는 매개변수,)로 나타내어지는 곡선 위의 임의의 점에서의 접선이 축, 축에 의하여 잘려지는 부분의 길이는 항상 일정함을 증명하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n06\\n실수 전체의 집합에서 정의된 미분가능한 함수 가 인 모든 에 대하여 일 필요충분조건은 인 모든 에 대하여 임을 증명하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n07\\n인 이등변삼각형 의 내접원의 넓이의 최댓값과 그 때의 밑변 의 길이를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n08\\n행렬 와 원점 에 대하여\\n , , 인 세 점 가 있다.\\n (1) 의 넓이 를 로 나타내어라.\\n (2) 의 최댓값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n09\\n공간 위에 네 점 이 있다. 또, 평면, 평면 위에 중심이 이고, 반지름의 길이가 인 원이 있다. 호 위에 두 점 가 각각 에서 쪽으로, 에서 쪽으로 를 만족하며 움직일 때, 의 넓이의 최솟값과 그 때의 점 의 좌표를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n10\\n상수 가 을 만족할 때, 다음 물음에 답하여라.\\n (1) 에서 임을 증명하여라.\\n (2) 이 자연수일 때, 다음 부등식이 성립함을 수학적 귀납법을 이용하여 증명하라.\\n \\n \\n\\n\\n11\\n이고 이 자연수일 때, 다음 부등식이 성립함을 증명하라. \\n \\n\\n\\n\\n\\n12\\n다음 물음에 답하여라.\\n (1) 일 때, 가 성립함을 증명하여라.\\n (2) 상수 가 을 만족할 때, 방정식 은 과 사이에 단 하나의 실근을 가짐을 보여라.\\n (3)(2)의 실근을 라 하자. 으로 정의된 수열 에서\\n임을 증명하고, 임을 증명하여라.\\n\\n대단원 종합문제 \\n\\n\\n01\\n함수 가 를 만족할 때 다음이 성립함을 보여라.\\n (1)모든 에 대하여 가 성립한다.\\n (2)함수가 에서 연속이면 는 구간 에서 항상 연속이다.\\n (3)함수가 에서 미분가능하면 는 구간 에서 항상 미분가능하다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n02\\n미분가능한 함수 에 대해 , 이고 일 때 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n03\\n미분가능한 함수 의 역함수 가 를 만족할 때 의 값을 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n04\\n다음 물음에 답하여라. \\n (1) 의 역함수의 도함수를 구하여라. \\n (2) , ()일 때, 을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n05\\n실수 전체에서 미분가능한 두 함수 , 에 대하여 \\n\\t, \\n 이 성립할 때, 임을 보이시오.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n06\\n함수 에 대하여 을 만족하는 상수 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n07\\n곡선 위의 점 에서의 접선이 축과 만나는 점의 좌표를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n08\\n좌표평면 위의 점 에서 곡선 에 그은 두 접선이 직교할 때, 점 의 자취를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n09\\n곡선 의 모든 변곡점을 지나는 직선의 방정식을 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n10\\n함수 에 대하여 다음 물음에 답하여라.\\n (1)주어진 함수의 그래프의 극점과 변곡점의 좌표를 모두 구하여라.\\n (2)함수의 그래프를 좌표평면에 그려라. (단, (1)에서 구한 극점과 변곡점, 점근선 등을 표시하여 그래프의 증가·감소, 오목·볼록, 점근 상태 등을 정확히 파악할 수 있게 그려라.)\\n (3)방정식 의 해의 개수를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n11\\n실수 에 대하여 다음 물음에 답하여라.\\n (1)함수 의 그래프를 그려라. (단, 극값, 점근선, 축과의 교점을 표시하여라.)\\n (2)가 극값을 갖지 않을 조건을 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n12\\n 인 이등변삼각형 의 내접원의 넓이가 최대가 될 때, 변 의 길이를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n13\\n포물선 위의 점 중에서 점 까지 거리가 가장 가까운 점의 좌표를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n14\\n에서 , 이고 가 매초 (rad)씩 증가할 때, 다음 물음에 답하여라. \\n (1)의 넓이를 라 하고 의 크기를 라 할 때, 를 에 대한 식으로 나타내어라. \\n (2)가 될 때, 의 넓이의 변화율을 구하여라. \\n\\n\\n\\n \\n15\\n평면 위를 움직이는 점 의 시각 에서의 위치가 로 주어질 때 와 점 의 속도 벡터 가 이루는 각 에 대하여 의 값을 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n16\\n는 에서 감소함수임을 증명하고, 이를 이용하여 물음에 답하여라.\\n (1) 일 때, 임을 증명하여라.\\n (2) 에서 일 때, 임을 증명하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n부동점 정리\\n\\n\\n\\nBrouwer(1881~1966)\\n커피잔에 들어 있는 커피를 열심히 저은 다음에 가만히 두면 저어진 커피 중 어느 한 곳에 있는 커피는 반드시 처음과 같은 자리에 있게 된다면 과연 그 사실을 믿을 수 있겠는가? 또 두 장의 용지를 서로 겹쳐 놓았다가 위에 있는 종이를 아무렇게나 구겨서 밑의 종이 위에 두면 반드시 위의 구겨진 종이 위의 적어도 한 점은 처음에 두 종이가 대응하였던 바로 그 점 위에 위치한다. 브로우베르(Brouwer)는 이것이 사실임을 입증하는 매우 유용하고 놀라운 정리를 증명하였다. 부동점정리는 미분방정식이나 적분방정식에서 매우 중요하게 사용된다.\\n예를 들어 흔히 사용하는 A4 용지 2장을 나란히 포개 놓았다고 하자. 그러면 위 종이의 각 점들은 아래 종이의 마주하는 점들과 일대일대응을 이룬다. 그런 다음 “㉠아래 종이는 고정한 채 위의 종이만 중앙점을 중심으로 회전시킨다.” 그러면 두 종이에 있는 점들 중 본래의 대응관계를 그대로 유지하는 점은 중앙점 하나뿐이라는 사실은 누구나 쉽게 이해할 수 있다.\\n다음으로 “㉡아래 종이는 고정한 채 위의 종이를 꼬깃꼬깃 구겨서 올려놓는다.” 이때 부동점정리의 문제가 등장하는데, “과연 ㉡의 경우에도 ㉠에서처럼 본래의 대응관계를 유지하는 점이 하나라도 있을까?”라는 게 그것이다. ㉠에서 중앙점은 중이가 회전하는 동안 자전만 할 뿐 다른 이동은 없었으며 그 때문에 본래의 대응을 유지한다. 그러나 ㉡에서처럼 종리를 멋대로 구기면 모든 점들이 본래 위치를 벗어나는 것 같고 따라서 아래 종이와의 사이에 형성되었던 대응관계가 온통 흐트러질 것 같다. 하지만 부동점정리에 따르면 이때도 최소한 하나의 점은 본래의 대응관계를 유지하며, 이런 점을 가리켜 ‘부동점’이라고 부른다. 다만 이 경우에는 ㉠과 달리 구체적으로 어떤 점이 부동점인지 밝혀내기 어렵다. 이처럼 부동점이 존재한다는 사실은 보여주지만 어느 것이라고 꼬집어 주지는 않으므로 부동점정리도 존재정리의 일종이다. 이 문제는 상황을 1차원으로 해서 생각할 경우 ‘중간값 정리’를 이용해서 아주\\n\\n\\n간단히 증명할 수 있다. 이를 위해 첫째로 특기할 것은 “위의 종이를 회전하거나 구긴다”는 것은 위의 종이에 있는 점들의 위치를 변환시키는 것, 곧 ‘위치이동’이라는 함수로 생각할 수 있다는 사실인바, 이를 로 쓰자. 그런데 이렇게 변환된 종이를 다시 아래 종이의 위에 올려놓아야 한다. 만일 아래 종이의 범위를 벗어난 다른 엉뚱한 곳에 놓는다면 당연히 모든 점들의 대응관계가 소멸되고 문제로서의 의의 자체도 사라진다. 곧 “㉢위치를 이동하되 본래 범위 안에서 한다”는 사실이 중요하다. 둘째로 “㉣종이를 찢지 않기로 한다.” 예를 들어 종이를 반으로 찢어 위치를 맞바꾸어 버리면 부동점이 존재할 수 없다. 달리 말하면 이는 여기서의 ‘위치이동함수’가 연속함수란 뜻이다. 셋째로 “부동점이 존재한다”는 말을 식으로 쓰면 이다. 이런 이해를 토대로 1차원으로 고쳐서 보면 문제의 상황은 아래 그림과 같다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n부동점\\n본래 종이\\n구겨진 종이\\n\\n\\n이 그림은 부동점이 1개인 경우인데 종이를 구기는 정도에 따라 얼마든지 많은 부동점이 존재할 수 있음을 쉽게 이해할 수 있다. 다만 위에 쓴 ㉢, ㉣의 조건을 지키는 한 적어도 하나의 부동점은 반드시 존재한다. 이제 이 그림의 경우에 대해 부동점정리를 증명해보자.\\n[증명] 함수 는 에서 연속이고 이며 이다. 또는 이면 나 가 부동점이 된다. , 이면 이고 이 된다. 이때, 중간값 정리에 의해 이 되는 가 에 적어도 하나 존재한다. 즉 인 부동점이 에 적어도 하나 존재한다.\\n이처럼 부동점정리의 기본 아이디어는 아주 단순하며 증명도 쉽다. 그런데 좀더 복잡한 현상에서 구현될 때는 상식적 예상을 뛰어넘는 신기한 결과가 나타난다. 예를 들어 우리나라 지도를 책상 위에 펼치면 실제의 장소와 지도 상의 한 곳은 반드시 같은 위치에 놓인다. 또한 잔에 담긴 커피를 저은 다음 유동이 멈출 때까지 기다리면 적어도 한 곳은 젓기 전의 위치와 일치한다.\\n\\n\\nⅡ. 적분법\\n\\n\\n 1. 부정적분\\t\\t2. 정적분\\t 3. 정적분의 활용 \\n\\n 고대 이집트 지역에서는 나일 강의 범람으로 강 주변의 땅 모양이 수시로 바뀌어서 땅의 넓이를 정확히 측정하여 땅 주인에게 적절히 분배하는 일이 매우 중요하였다. 그런데 자연적으로 생겨난 땅은 대개 곡선으로 둘러싸여 있어 그 넓이를 구하기가 어렵기 때문에 근삿값으로 대신하게 되었다.\\n 17세기 뉴턴과 라이프니츠가 적분법을 발견함으로써 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 쉽게 구할 수 있게 되었고 나아가 변화량의 총합을 구하는 유용한 수단을 얻게 되었다. 이 때문에 적분법은 수학 이외의 여러 분야에서 미분법과 더불어 널리 사용되고 있다.\\n\\n\\n1\\n부정적분\\n \\n\\n§1 부정적분\\n(1)부정적분의 정의\\n\\n함수 가 주어져 있고 에 대한 함수 의 도함수가 , 즉\\n\\n일 때, 를 의 부정적분 또는 원시함수라 하고, 기호로\\n\\n와 같이 나타낸다. \\n이 때 를 적분변수, 함수 를 피적분함수라고 한다. \\n함수 의 부정적분을 구하는 것을 를 적분한다고 하며, 그 계산방법을 적분법이라 한다. \\n\\n예를 들어 함수 를 미분하면 모두 이므로 함수 는 모두 의 부정적분이다. \\n\\n그러나 의 부정적분은 하나만 있는 것이 아니라 와 같이 여러 개 존재한다. 따라서, 상수를 사용하여 부정적분을 나타낸다.\\n\\n함수 의 부정적분의 하나를 라 할 때, 의 임의의 부정적분은 의 꼴로 나타내어지며, 를 적분상수라 한다. 이것을\\n (는 적분상수)\\n로 나타낸다.\\n\\n\\n\\n\\n부정적분의 정의\\n\\n\\n\\n일 때\\n (는 적분상수)\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n예제 1\\n\\n와 가 모두 의 부정적분일 때, 임을 증명하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 다음 부정적분을 구하여라.\\n(1) (2) \\n\\n\\n(2)부정적분과 도함수\\n\\n부정적분의 정의에 의하여 이므로 \\n\\t\\n가 성립한다. 따라서\\n\\n가 성립한다.\\n\\n그리고, 로 놓으면 \\n, \\n, 이고 \\n따라서 \\n\\n가 성립한다. \\n\\n이를 정리하면 다음과 같다.\\n\\n\\n\\n\\n부정적분과 미분\\n\\n\\n\\n① \\n② \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n예제 2\\n\\n다음 등식을 만족하는 다항함수 를 구하여라.\\n(1)\\n(2) \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 02\\n 다음 등식에서 다항함수 를 구하여라.\\n(1) \\n(2) , \\n\\n\\n\\n\\n§2 부정적분의 계산\\n(1)의 부정적분\\n\\n적분은 미분의 역의 연산이므로 미분법 공식으로부터 의 부정적분을 얻을 수 있다.\\n(은 실수)의 미분법에서 일 때 이므로\\n\\t (단, 는 적분상수)\\n\\n또한 로그함수의 미분법에서 이므로\\n\\t (단, 는 적분상수)\\n가 성립한다.\\n\\n이상을 정리하면 다음과 같다.\\n\\n\\n\\n\\n의 부정적분\\n\\n\\n\\n① \\n② \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n예제 1\\n\\n다음 부정적분을 구하여라.\\n(1) (2) \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 다음 부정적분을 구하여라.\\n (1) \\t (2) \\n\\n\\n\\n(2)부정적분의 성질\\n\\n이제 미분법을 역으로 생각하여 실수 배, 합, 차로 표현된 함수의 부정적분을 구해보자.\\n\\n함수 의 부정적분을 각각 라고 하면\\n\\n\\n이므로\\n (단, 는 상수)\\n\\n\\n이다. \\n\\n따라서 다음이 성립한다. \\n\\n\\n \\n \\n\\n이상을 정리하면 다음과 같다.\\n\\n\\n\\n\\n부정적분의 기본 성질\\n\\n\\n\\n ① (단, 는 실수)\\n ② \\n (복부호동순)\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n예제 2\\n\\n다음 부정적분을 구하여라.\\n(1) (2) \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 02\\n 다음 부정적분을 구하여라.\\n (1) (2) \\n (3) (4) \\n\\n\\n\\n§3 초월함수의 부정적분\\n(1)삼각함수의 부정적분\\n\\n삼각함수의 미분법에서\\n\\n \\n\\n\\n\\n\\n이다. \\n\\n따라서 일반적으로 다음이 성립한다.\\n\\n\\n\\n\\n삼각함수의 부정적분\\n\\n\\n\\n① \\n② \\n③ \\n④ \\n⑤ \\n⑥ \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n예제 1\\n\\n다음 부정적분을 구하여라. \\n (1) (2) \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 다음 부정적분을 구하여라.\\n(1) (2) \\n(3) (4) \\n\\n\\n\\n(2)지수함수의 부정적분\\n\\n지수함수의 미분법에서 \\n\\t\\n이 성립한다. \\n따라서 일반적으로 다음이 성립한다.\\n\\n\\n\\n\\n지수함수의 부정적분\\n\\n\\n\\n① \\n② (단, )\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n예제 2\\n\\n다음 부정적분을 구하여라. \\n(1) (2) \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 02\\n 다음 부정적분을 구하여라.\\n(1) (2) \\n\\n\\n\\n\\n예제 3\\n\\n다음 부정적분을 구하여라. \\n(1) (2) \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n문제 03\\n 다음 부정적분을 구하여라.\\n(1) (2) \\n(3) (4) \\n\\n\\n\\n§4 치환적분법과 부분적분법\\n(1)치환적분법\\n\\n부정적분 를 구하고자 할 때 인 함수를 쉽게 구할 수 없는 경우가 많다. 예를 들어\\n\\n를 계산한다고 하자. \\n위와 같은 식은 단순히 공식으로 해결할 수 없는 문제이다. 이와 같은 적분을 구할 때 변수 를 새로운 변수로 치환하여 해결할 수 있다. \\n\\n근호 속에 있는 식 라 하면 에서\\n\\n\\t \\n와 같이 적분할 수 있다. \\n\\n합성함수 미분법으로 위의 적분이 성립함을 확인할 수 있다.\\n\\n일반적으로 부정적분 에서 를 다른 변수 로 놓으면 가 된다. 를 에 대하여 미분하면 합성함수의 미분법에 의하여 \\n\\t\\n \\t \\n따라서 \\n\\t\\n\\t\\n\\n이와 같이 로 놓아 변수 를 의 함수로 치환하여 적분하는 방법을 치환적분법이라고 한다.\\n\\n이상을 정리하면 다음과 같다.\\n\\n\\n\\n\\n치환적분법1\\n\\n\\n\\n 일 때, \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n에서 로 치환하면 이므로 \\n\\t\\n \\n \\n가 성립한다. \\n\\n이를 이용하여 라 하면 이므로 \\n\\n가 성립한다.\\n\\n한편 에서 이 성립한다.\\n\\n이를 정리하면 다음과 같다.\\n\\n\\n\\n\\n치환적분법2\\n\\n\\n\\n① 일 때,\\n\\n② \\n③ \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n예제 1\\n\\n다음 부정적분을 구하여라. \\n (1) (2) \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 다음 부정적분을 구하여라.\\n (1) (2) \\n\\n\\n\\nHint : 분모와 분자에 를 곱해보시오. \\n\\n참고 : 로 변형하고 §5의 부분분수를 이용한 적분법을 사용하여 부정적분을 구할 수 있다.\\n\\n\\n예제 2\\n\\n다음 부정적분을 구하여라. \\n \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n문제 02\\n 다음 부정적분을 구하여라. \\n \\n\\n\\n\\n,,이 포함된 함수의 부정적분을 구할 때에는 다음과 같이 삼각함수를 사용하는 치환적분법을 이용하여 부정적분을 구할 수 있다. \\n\\n\\n\\n\\n치환적분법3\\n\\n\\n\\n① 이 포함된 함수 \\n ⇨ 또는 로 치환\\n② 이 포함된 함수 \\n ⇨ 또는 로 치환\\n③이 포함된 함수\\n ⇨ 로 치환\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n예제 3\\n\\n다음 부정적분을 구하여라. \\n (1) (2)\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n참고 : 의 역함수를 또는 로 정의한다. \\n(단, )\\n\\n문제 03\\n 다음 부정적분을 구하여라.\\n(1) \\t\\t(2)\\n\\n\\n\\n(2)부분적분법\\n\\n 이고 이므로\\n이다. 일반적으로 함수들의 곱의 적분은 각 함수들의 적분의 곱이 아니다. 즉\\n\\n\\t\\t\\n\\n부분적분은 형태의 적분을 간단히 구하기 위한 하나의 방법이다. 이것은 가 계속 적분가능하고, 가 계속 미분 가능할 때 유용하다. \\n\\n함수의 곱의 미분법을 이용하여 곱의 꼴로 표현된 함수의 부정적분을 구해보자.\\n\\n\\t\\n\\n이고 이 등식의 양변을 에 대하여 적분하면\\n\\n\\t\\n \\t\\n\\t\\n\\n위의 식을 이용한 곱의 적분법을 부분적분법이라고 한다.\\n\\n이상을 정리하면 다음과 같다.\\n\\n\\n\\n\\n부분적분법\\n\\n\\n\\n \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n이 공식은 미분의 형태로 나타내기도 한다. \\n라 하면 이므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.\\n\\n부분적분법을 이용하여 적분할 때 어떤 함수를 로 선택하느냐가 중요하다. 일반적으로 미분하면 간단한 꼴로 바뀌는 쪽을 로 선택하고, 적분하기 쉬운 쪽을 로 선택한다. \\n\\n이 때 다음의 순서로 선택하면 편리하다.\\n\\n\\t\\t지수함수-삼각함수-다항함수-로그함수\\n\\t\\t \\n\\n예를 들어, 를 구한다고 하자.\\n는 다항함수, 는 지수함수로, 다항함수 는 로 미분하면 간단해 지고 지수함수 는 로 간단히 적분할 수 있다. 그러므로 로 생각하여 적분하면 다음과 같다.\\n\\n \\t\\t\\n \\t\\t \\n\\n\\n예제 4\\n\\n다음 부정적분을 구하여라. \\n (1) (2) \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 04\\n 다음 부정적분을 구하여라.\\n(1) \\t (2) \\n(3) (4) \\n(5) (6) \\t\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 05\\n 다음 부정적분을 구하여라.\\n \\n\\n\\n\\n\\n부분적분법을 반복하여 사용해야 하는 경우, 표를 이용하여 적분하는 것도 하나의 방법이다. 예를 들어, 를 구해보자. \\n\\n으로 두고 표를 만들어 보자.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n와 그 적분들\\n와 그 도함수들\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n화살표로 연결된 함수들에 교대로 와 를 곱한 후 모두 더하면 다음과 같은 결과를 얻는다.\\n\\n\\n※ 다른 풀이\\n\\n \\n \\n \\n\\n\\n문제 06\\n 다음 부정적분을 구하여라.\\n \\n\\n\\n\\n문제 07\\n 다음 부정적분을 구하여라.\\n(1) \\t (2) \\n\\n\\n\\n\\n문제 08\\n 다음 부정적분을 구하여라.\\n(1) (2) \\n(3) (4) \\n\\n\\n자연수 에 대하여, 를 구하는 방법을 알아보자. \\n라 할 때, 임이 성립한다. 부분적분법을 이용하면\\n\\n\\t\\t \\n\\t\\t \\n\\n\\n\\n\\n\\n… \\n임을 알 수 있다\\n\\n\\n예제 5\\n\\n라 할 때, 임을 보여라. \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n문제 09\\n 다음 수열의 점화식을 구하여라.\\n(1) (단, 은 양의 정수) \\n(2) (단, 은 2이상의 정수)\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 10\\n 임을 증명하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n§5 부분분수를 이용한 적분법\\n\\n분수식에 대한 부정적분을 해결하는 방법에는 다음과 같은 것들이 있다.\\n\\n, \\n\\n\\n\\n처음 주어진 분수식이 위의 피적분함수와 같은 꼴이 아닐 때는 위의 식을 이용할 수 있도록 식을 변형한다. 다항식 에 대하여 의 차수가 의 차수보다 크거나 같을 때 다항식의 나눗셈에 의해 다항식 에 대하여 와 같은 꼴로 나타낼 수 있다.\\n\\n\\n이 때, 분모 가 실근, 중근, 허근 등을 갖는 경우에 따라 적분 방법이 달라진다. \\n\\n\\n예제 1\\n\\n다음 부정적분을 구하여라.\\n(1) (2) \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 다음 부정적분을 구하여라.\\n(1) (2) \\n\\n\\n\\n\\n예제 2\\n\\n다음 부정적분을 구하여라.\\n(1) (2)\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 02\\n 다음 부정적분을 구하여라. \\n (1) (2) \\n\\n\\n\\n도전문제\\n 다음 부정적분을 구하여라. \\n (1) (2) \\n\\n\\n\\n다항식 의 차수가 의 차수보다 작고 가 유리계수를 갖는 서로 다른 1차 인수들의 곱으로 나타낼 수 있을 때 를 부분분수로 전개하는 빠른 방법이 있다. 다음 방법은 헤비사이드의 은닉법이라고도 부른다. 의 최고차항의 계수를 1로 조정할 수 있으므로 의 최고차항의 계수를 1이라 가정할 수 있다. \\n\\n1. 분수식의 분모 를 유리계수를 갖는 서로 다른 1차 인수들의 곱으로 인수분해한다.\\n ……①\\n\\n2. 우리는 아래 식에서 의 값을 구해야 한다. \\n ……②\\n이 때, ①의 우변에 을 가린 식에 을 대입하면 이고 이는 ②의 의 값과 같다. \\n이를 계속하면\\n\\n\\n\\n\\n이다. \\n\\n3. 를 아래와 같이 부분분수로 전개할 수 있다. \\n\\n\\n\\n문제 03\\n 다음 부정적분을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n❚역함수의 적분\\n부분적분을 이용하면 역함수의 적분에 관한 규칙을 얻을 수 있다. 이 규칙은 역함수의 부정적분을 구하기 어렵고, 원래 함수의 부정적분을 구하기 쉬울 때 사용하면 유용하여 안내한다.\\n라 하면 이므로 \\n\\n \\n \\n\\n예를 들어, 의 적분에 적용하면\\n\\n \\n가 된다.\\n\\n\\n연습 문제 A\\n\\n\\n\\n01\\n함수 ()에 대하여 의 최댓값이 일 때, 상수 의 값을 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n02\\n임의의 양의 실수 에 대하여 미분 가능한 함수 가 를 만족시킨다. 일 때, 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n03\\n인 함수 의 그래프가 점 를 지날 때, \\n\\t를 만족하는 양수 의 값을 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n04\\n함수 에 대하여, 일 때, 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n05\\n에서 일 때, 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n06\\n미분 가능한 함수 에 대하여 , 를 만족할 때, 방정식 의 두 실근의 곱의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n07\\n미분 가능한 함수 에 대하여 을 만족시킬 때, 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n08\\n일 때, 의 값을 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n09\\n를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n10\\n, 을 만족시키는 함수 에 대하여 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n연습 문제 B\\n\\n\\n\\n01\\n에서 연속인 함수 가 과 \\n 를 만족할 때, 상수 의 값을 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n02\\n이고 일 때, 의 값을 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n03\\n미분 가능한 두 함수 에 대하여 이고, , 일 때, 를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n04\\n인 함수 의 역함수를 라 할 때, 이면 이고 이러한 성질을 만족하는 이라고 한다. ㉮, ㉯ 에 알맞은 수식을 차례로 써라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n05\\n곡선 위의 점 에서 그은 접선의 기울기가 이고, 이 곡선이 을 지난다고 한다. 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n06\\n에서 로 주어지는 함수 의 부정적분 중에서 점 (0, 1)을 지나는 함수를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n07\\n곡선 위의 점 에서의 접선의 기울기가 이라 한다. 이 곡선이 원점을 지날 때, 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n08\\n(단, )에 대하여\\n \\n 이라 하자. 이 때, 의 값을 소수 셋째 자리에서 반올림하여 소수로 나타내어라. (단, )\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n09\\n미분 가능한 함수 에 대하여 이고 극솟값이 이다. 극댓값을 , 라 할 때, 의 값을 구하여라. (단, )\\n\\n\\n\\n\\n\\n10\\n개구간 (0, 1)에서 정의된 함수 가 , 일 때, 방정식 의 실근을 큰 수부터 차례로 이라고 한다. 이 때, 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n11\\n다음 부정적분을 구하여라.\\n(1) \\n(2) \\n(3) \\n\\n\\n\\n\\n12\\n다음 부정적분을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n기본 적분 공식\\n\\n\\n\\n \\n\\n\\n\\n \\n\\n \\n\\n\\t\\t\\n\\n\\t\\n\\n\\n\\n\\t\\t \\n\\n\\t\\t\\n\\n\\t\\t\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n특수한 형태의 부정적분\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n특수형의 부정적분1\\n\\n\\n\\n분모에 가 포함된 함수의 부정적분은\\n⇨ 로 치환한다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n예제 1\\n\\n부정적분 를 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n 로 놓으면 \\n\\n\\n\\n\\n \\n※ 다른 풀이 \\n로 놓으면 \\n\\n \\n \\n \\n\\n \\n \\n \\n \\n\\n이상에서 알 수 있는 바와 같이 삼각치환보다 위의 방법이 간편하다.\\n\\n\\n문제 01\\n 다음 부정적분을 구하여라.\\n (1) (2) \\n(hint) (1) 로 치환 \\n (2) 로 치환\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n특수형의 부정적분2\\n\\n\\n\\n분모에 (은 2이상의 정수)가 포함된 함수의 부정적분은 \\n ⇨ 의 최소공배수가 일 때, 로 치환한다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n예제 2\\n\\n부정적분 를 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n로 놓으면 에서 \\n \\n \\n\\n \\n \\n \\n\\n\\n문제 02\\n 부정적분을 구하여라. \\n(hint) 로 치환\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n특수형의 부정적분3\\n\\n\\n\\n삼각함수의 부정적분은 ⇨ 치환적분법을 이용한다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n예제 3\\n\\n부정적분 를 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n※ 다른 풀이\\n이므로\\n \\n \\n \\n\\n\\n문제 03\\n 다음 부정적분을 구하여라.\\n(1) (2) \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n특수형의 부정적분4\\n\\n\\n\\n역삼각함수의 부정적분은 ⇨ 부분적분법을 이용한다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n예제 4\\n\\n부정적분 를 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n로 놓으면\\n이므로\\n \\n위의 부정적분에서 이라 하면 이므로\\n \\n∴ \\n\\n\\n문제 04\\n다음 부정적분을 구하여라.\\n(1) (2)\\n\\n\\n예제 5\\n\\n부정적분 를 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n 로 놓으면\\n 이므로\\n \\n \\n \\n위의 부정적분에서 로 놓으면\\n 이므로\\n \\n \\n마지막 부정적분에서 를 의 식으로 환원하고, 부호를 계산하면\\n ∴ \\n\\n❚삼각함수의 곱에 대한 적분\\n(1) \\n 중 홀수인 지수를 가진 함수를 남겨두고 을 이용하여 하나의 삼각함수에 대한 식으로 고친 다음 치환적분을 이용한다. 이 모두 짝수이면 반각공식 또는 배각공식을 이용한다. \\n\\n(2) , , \\n곱을 합 또는 차로 고치는 공식을 이용한다.\\n\\n\\n\\n적분의 역사\\n\\n\\n1. 적분의 의미\\n적분법은 한자로 쌓을 적(積)과 나눌 분(分), 방법 법(法)이므로 그 뜻은 잘게 나누어서 이를 쌓는 것이다. 이를테면 다항함수 과 축으로 둘러싸인 부분을 사각형 모양으로 잘게 나누면 나눌수록 그 사각형의 넓이를 합하면 원래의 넓이에 가깝게 될 것이다. 예를 들어 임의의 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하고자 할 때, 직접 구할 수 있는 방법은 없다. 그러나 그 내부를 사각형으로 분할하여 사각형의 넓이를 구하여 보면 작게 분할한 쪽이 크게 분할한 쪽보다 실제 넓이에 더 가까워진다. 따라서 무한히 작게 분할할 수 있다면, 그 분할한 사각형의 넓이의 합은 실제의 넓이와 거의 같아짐을 알 수 있다.\\n\\n\\n 아르키메데스(Archimedes,\\n 287?-212 B.C.)\\n일찍이 그리스의 아르키메데스(Archimedes, 287? - 212 B.C.)는 오른쪽 그림과 같이 포물선과 직선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 삼각형으로 거듭 접근시켜 그 넓이의 합의 극한값으로 구하였는데, 이것이 정적분의 기초가 되는 구분구적법의 시초이다. 이러한 구분구적법은 17세기에 뉴턴(Newton, I., 1642 - 1727)과 라이프니츠에 의해 정적분으로 발전하였다. 뉴턴은 역학의 문제를 해결하기 위하여, 라이프니츠는 도형의 문제를 해결하기 위하여 정적분을 생각해 내었는데, 이들은 서로 교류가 없는 상태에서 각각 독립적으로 그러한 착상을 하였다고 한다. \\n오늘날 사용하고 있는 미분과 적분의 여러 가지 공식은 라이프니츠의 연구에 힘입은 바가 크다. 그 후 적분의 이론을 함수의 일반적인 성질로 발전시킨 사람은 19세기 프랑스의 수학자 코시(Cauchy, A.L. 1789～1857)와 독일의 수학자 리만(Riemann, G.F.B, 1826～1866)이다. 그 결과 적분 이론은 수학은 물론 자연 과학이나 공학을 비롯한 각 분야의 연구에 없어서는 안 되는 중요한 도구가 되었다.\\n\\n\\n2. 아르키메데스와 적분\\n구의 부피를 구한 아르키메데스의 방법 속에 내포된 적분의 발상을 현대적인 기법으로 설명해 보기로 한다. \\n중심이 (, 0)이고, 반지름의 길이가 인 원 의 양변에 를 곱하면 …①\\n여기에서 은 각각 위의 원과 직선 를 축 둘레로 회전시켰을 때 생기는 구와 원뿔의 단면의 넓이이다.\\n①의 양변에 를 곱하면 …②\\n여기에서 은 밑면의 반지름의 길이가 높이가 인 원기둥의 단면의 넓이를 나타내고 있다. 원기둥은 그대로 두고 구와 원뿔을 원점에서 의 거리에 축에 수직으로 매어 단 것으로 생각하면, ②식은 원점에서 의 거리에 있는 구와 원뿔의 단면의 넓이와 원기둥의 단면의 넓이가 지레의 원리에 의하여 균형을 이루고 있는 것으로 해석할 수 있다.\\n\\n를 부터 까지 변화시키면, 이들 단면의 각각 구, 원뿔, 원기둥을 채우게 된다. 구의 부피를 라고 하면, 원뿔과 원기둥의 부피를 구하는 공식은 이미 알려져 있었으므로, 다음과 같은 식을 얻을 수 있다.\\n …③\\n이 식으로부터 구의 부피를 구하는 공식 이 나온다.\\n위의 ②식으로부터 ③식으로의 이행은 현대적인 표현을 빌리면, 무한소량으로부터 전체량, 곧 미분으로부터 적분으로의 이행이다.\\n\\n바빌로니아, 이집트, 중국 등의 옛 기록에 의하면, 4000년 전에도 넓이, 부피를 구하는 여러 가지 구적법이 있었다. 뉴턴(Newton ; 1642～1727)은 “운동하는 각 시점에서의 속도가 주어질 때, 정해진 시간 안에 그 점이 그리는 자취의 길이를 구한다.”라는 방법으로 적분법을 발견하였다. 라이프니츠(Leibniz ; 1646～1716)는 “곡선의 기울기가 주어질 때, 그 곡선을 구하여 구적 문제를 해결한다.”라는 방법으로 구적법을 발견하였다.\\n\\n\\n3. 리만적분의 이야기\\n\\n(1) 코시의 적분개념\\n뉴턴과 라이프니츠의 적분(정적분) 개념은 구분구적법인 개념 즉, 직관적인 개념이었다. 그러나 코시(Cauchy, A. L.; 1789～1857)는 수학적인 극한의 개념에 의하여 정적분을 정의함으로써 현재의 정적분의 개념에 가까이 다가섰다. 코시의 정적분은 다음과 같다.\\n\\n 코시(Cauchy, A. L. ;1789～1857)\\n함수 가 폐구간 에서 정의된 연속함수일 때, 구간 를 \\n에 의하여 개의 소구간으로 나누고, 각 소구간 에 속하는 임의의 한 점 를 택하여 \\n \\n를 생각한다. 그리고, 이들 모든 소구간의 길이가 0으로 수렴하도록 하면서 로 하였을 때 가 일정한 값을 가진다는 것을 불완전하게나마 증명하였다. 이 극한값을\\n\\t \\n로 나타내고, 구간에서의 의 정적분이라고 정의하였다. \\n고등학교에서는 사실상 연속함수의 적분만을 다루므로 코시의 적분의 정의에 따르고 있는 셈이다.\\n\\n\\n 리만(Riemann, G. F. B.;\\n 1826～1866)\\n(2) 리만의 적분 개념\\n코시의 적분 개념은 유한 개의 불연속 점을 가진 유계인 함수에는 적용할 수 있으나, 불연속점이 유한 개가 아닐 때에는 적용할 수 없다. \\n코시의 적분 개념을 확장하여 유계인 구간에서 유계인 함수(연속일 필요가 없다)에 대한 적분을 처음으로 정의한 것은 리만(Riemann, G. F. B.; 1826～1866)이다.\\n\\n\\n리만의 적분을 간단히 소개하자.\\n함수 가 폐구간 에서 정의되어 있고, \\n라고 하자. 여기서, 은 한 상수이다. 구간 를 분점 에 의하여 개의 소구간으로 나누어 이것을 분할이라고 하며 \\n으로 나타낸다. \\n함수 는 유계이므로, 각 소구간 에서의 의 최소상계와 최대하계가 다음과 같이 존재한다.\\nsup\\ninf\\n여기서, 이라 놓고, 각 분할 에 대하여 을 분할 의 노옴(norm)이라고 한다. \\n각 분할 에 대하여\\n\\n \\n를 각각 분할 에 대한 함수 의 하합(Lower sum), 상합(Upper sum)이라고 한다. 또, 구간의 두 개의 분할 \\n\\n\\n에 대하여 이면 즉, 는 에 분점을 추가한 것일 때, 를 의 세분(refinement)이라고 하고 다음 부등식이 성립한다.\\n\\n\\n즉, 분할을 세분할수록 상합은 감소하고, 하합은 증가한다. 그리고 임의의 두 분할 에 대하여 항상 임을 알 수 있다. 따라서, 임의의 분할에 대하여 상합은 아래로 유계이고, 하합은 위로 유계이다. 즉, 상합은 하한을 가지고, 하합은 상한을 가진다. 이 때, \\ninf\\nsup\\n와 같이 쓰고, 각각 상적분, 하적분이라고 한다.\\n\\n\\n함수 가 구간 에서 유계이고 상적분과 하적분이 같으면, 함수 는 구간 에서 리만 적분가능(Riemann integrable) 또는 간단히 적분 가능하다고 하고,\\n\\n를 함수 의 구간 에서의 리만적분 또는 정적분이라고 한다.\\n구간 에서 정의된 다음 함수를 생각하자.\\n\\n임의의 분할에 대하여, 각 소구간 에는 유리수와 무리수를 포함하므로 모든 에 대하여 , 이다. 따라서, \\n , \\n이것은 위의 함수가 적분(리만적분)가능하지 않음을 의미한다.(교과서의 적분의 정의로는 이 함수를 다룰 수 없다.)\\n\\n4. 원시함수와 부정적분\\n\\n(1) 교과서의 입장\\n교과서에서는 “미분하여 가 되는 함수를 의 부정적분이라고 한다.”와 같이 고등학교수학의 관례에 따랐다. 물론, 교과서에 따라서는 이러한 뜻의 부정적분을 “부정적분 또는 원시함수”라고 말하는 경우가 있다.\\n(참고) 교육과정에 “원시함수”라는 용어는 나와 있지 않고 “부정적분”만 나와 있다. 이것은 “원시함수”와 “부정적분”을 같은 뜻으로 쓰도록 한 것으로 볼 수 있다. 고등학교에서와 같이, 사실상 연속함수의 적분만 다룬다면 구별할 필요가 없다.\\n(2) 원래의 뜻\\n이들 개념은 실은, 같은 것이 아니다. 의 원시함수라는 것은 미분하여 가 되는 함수를 의미하는 것이다. 또, 어느 구간에서 가 적분 가능할 때, 정적분의 위끝을 변수 라 했을 때, \\n\\n를 의 부정적분이라고 한다. (여기서, 아랫끝는 피적분함수의 정의역의 한 점이다.) 특히, 가 연속이면 이므로 는 의 원시함수이다.(다음의 (1))\\n\\n\\n어느 구간에서 정의된 함수는 다음의 4 가지로 분류된다. 단, 적분은 리만적분을 생각한다.\\n(1) 부정적분과 원시함수가 모두 있는 경우\\n(2) 부정적분은 있지만 원시함수가 없는 경우\\n(3) 부정적분은 없지만 원시함수가 있는 경우\\n(4) 부정적분과 원시함수가 모두 없는 경우\\n\\n(1)의 보기로서 (임의의)연속함수가 있다. \\n\\n(2)의 보기로서 다음을 들 수 있다.\\n \\n이 함수의 부정적분 는\\n\\n\\n그러나, 함수의 치역은 구간이 아니므로 원시함수를 가지지 않는다.\\n\\n(3)의 보기로서 다음을 들 수 있다. 단, 정의역은 구간 로 본다.\\n\\n이 함수는 구간에서 유계가 아니므로 부정적분은 존재하지 않는다. 그러나 는 \\n\\n의 도함수이다.\\n\\n(4)의 보기로 다음 함수를 들 수 있다. 구간 에서\\n \\n이 함수의 치역은 구간이 아니므로 원시함수를 가질 수 없고, 앞의 항목에서 말한 바와 같이, 적분가능하지 않으므로 부정적분도 가지지 않는다.\\n\\n2\\n정적분\\n \\n\\n§1 구분구적법\\n(1)구분구적법\\n다각형의 넓이는 삼각형 또는 직사각형으로 분할하여 그 분할된 넓이의 합으로 구할 수 있다. 그러나 직선과 곡선, 곡선과 곡선으로 둘러싸인 도형은 삼각형이나 사각형으로 분할할 수 없다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n일반적으로 평면도형의 넓이나 입체의 부피를 구할 때, 주어진 도형을 몇 개의 작은 도형으로 나누어 근삿값을 구한 후, 그 근삿값의 극한으로 도형의 넓이나 부피를 구하는데 이러한 방법을 구분구적법이라고 한다.\\n\\n\\n\\n\\n구분구적법\\n\\n\\n\\n(1) 주어진 도형을 개의 기본도형으로 나눈다.\\n(2) 기본도형들의 합 (넓이) 또는 (부피)을 구한다.\\n(3)또는 을 구한다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n예를 들어, 포물선과 축 및 직선 로 둘러싸인 부분의 넓이를 구분구적법으로 구해 보자.\\n오른쪽 그림과 같이 구간 을 등분하면 양 끝점을 포함한 각 분점의 좌표는 각각\\n , , , … , , \\n이고, 각 소구간의 길이는 이므로 오른쪽 그림에서 직사각형의 넓이의 합을 이라 하면 \\n \\n한편, 아래 그림과 같은 직사각형의 넓이의 합을 이라 하면\\n \\n \\n이다. 이제 구하는 도형의 넓이를 라 하면 이므로\\n\\n직사각형의 높이를 은 소구간의 왼쪽 끝점의 함숫값으로, 은 소구간의 오른쪽 끝점의 함숫값으로 하여 계산하였다.\\n \\n그런데 이므로 \\n ∴ \\n\\n※ 함수 과 같이 연속함수인 경우에는 과 중에서 어느 한쪽의 극한이 존재하면 나머지 한쪽의 극한이 반드시 존재하고 그 값이 같으므로 과 중에서 하나만 구하면 된다.\\n\\n예제 1\\n\\n밑면의 반지름의 길이가 , 높이가 인 원뿔의 부피를 구분구적법으로 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 곡선 과 축 및 직선 로 둘러싸인 도형의 넓이를 구분구적법으로 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 02\\n 반지름의 길이가 인 원의 넓이를 구분구적법으로 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 03\\n 반지름의 길이가 인 구의 부피를 구분구적법으로 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 04\\n 타원 을 축의 둘레로 회전하여 생기는 도형의 부피를 구분구적법으로 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n§2 정적분\\n(1)정적분의 정의\\n함수 가 구간 에서 연속일 때, 곡선 와 축 및 두 직선 , 로 둘러싸인 도형의 넓이 를 구분구적법으로 구해 보자.\\n\\n구간 를 등분하여 양 끝점과 각 분점의 좌표를 차례로\\n\\t, , , … , , \\n이라 하고, 각 소구간의 길이를 라고 하면 다음과 같다.\\n\\t\\n\\n각 소구간의 오른쪽 끝점의 함숫값을 높이로 하는 직사각형의 넓이의 합을 이라고 하면\\n\\n각 소구간의 왼쪽 끝점의 함숫값을 기준으로 한도 같은 결과를 얻을 수 있다.\\n\\t\\n\\t \\n이다. 여기서, 이면 은 구하는 도형의 넓이 에 한없이 가까워진다.\\n ∴ \\n일반적으로 함수 가 구간 에서 연속이면\\n\\t\\n가 항상 존재한다. \\n이 때, 이 극한값을 함수 의 에서 까지의 정적분이라고 하고, 기호로 다음과 같이 나타낸다.\\n\\t\\t\\t\\n그리고 의 값을 구하는 것을 함수 를 에서 까지 적분한다고 하고, 를 이 정적분의 아랫끝, 를 윗끝이라고 한다.\\n이상을 정리하면 다음과 같다.\\n\\n\\n구간에서 이면임에 유의하자. 즉, 정적분의 값은 양수 값인 넓이와는 다른 개념이다. \\n\\n\\n\\n\\n정적분의 정의\\n\\n\\n\\n 함수 가 구간 에서 연속일 때,\\n \\n (단, , )\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 정적분의 정의를 이용하여 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n(2) 정적분과 부정적분 사이의 관계\\n함수 가 구간 에서 연속이고 이라고 하자.\\n\\n는 정적분으로 정의된 연속함수이다.\\n오른쪽 그림과 같이 구간 에 속하는 임의의 에 대하여 에서 까지 곡선 와 축 사이의 넓이를 라고 하면 \\n \\n\\n최대최소의 정리\\n(1)연속함수\\n(2)닫힌구간\\n이다. 이 때, 의 증분 에 대한 의 증분을 라고 하면 \\n \\n이다. 한편 구간 에서 함수의 최댓값과 최솟값을 각각 이라고 하면,\\n \\t\\n ∴ \\n 그런데 함수 는 에서 연속이므로\\n 이면 \\n \\n \\n ∴ \\n \\n이상을 정리하면 다음과 같다.\\n\\n\\n\\n\\n정적분과 미분의 관계\\n\\n\\n\\n함수 가 구간 에서 연속이고 일 때, 이면\\n \\n\\n\\n\\n\\n\\n \\n\\n❚보기❚\\n\\n\\n\\n\\n \\n \\n\\n예제 1\\n\\n임의의 실수 에 대하여 를 만족하는 함수 와 상수 의 값을 각각 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 02\\n 미분가능한 함수 가 다음 등식을 만족시킬 때, 함수 와 상수 의 값을 각각 구하여라.\\n (1) \\n (2) \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n부정적분은 함수이고 정적분은 수이다.\\n\\n이제, 부정적분을 이용하여 정적분을 구하는 방법을 알아보자.\\n적분과 미분의 관계에서 이므로 는 의 부정적분이다. 여기서 의 또 다른 부정적분의 하나를 라고 하면 다음이 성립한다.\\n\\t (는 적분상수)\\t… ㉠\\n의 정의에 의하여 이면 이므로 ㉠에서\\n\\t\\t\\n ∴ \\n이다. 이것을 ㉠에 대입하면 \\n \\n\\n정적분의 기본 정리는 구분구적법에 의한 계산의 번거로움을 쉽게 해결해 준다.\\n이다. 이 식에 를 대입하고 적분변수 를 로 바꾸면\\n\\t\\t… ㉡\\n이다. 이것을 정적분의 기본 정리라고 한다.\\n이 때, ㉡의 우변 를 기호로 와 같이 나타낸다.\\n\\n※ 정적분을 계산할 때, 부정적분에서 사용한 적분 상수는 고려하지 않아도 된다. \\n 이상을 정리하면 다음과 같다.\\n\\n\\n\\n\\n정적분의 기본 정리\\n\\n\\n\\n구간 에서 연속인 함수 의 부정적분 중의 하나를 라고 하면\\n \\n\\n\\n\\n\\n \\n\\n\\n문제 03\\n 다음 정적분을 구하여라.\\n(1) (2) \\n(3) (4) \\n\\n\\n\\n\\n\\n§3. 정적분의 계산\\n(1) 정적분의 성질\\n지금까지는 인 경우에 대하여 정적분 를 정의하였다. 이를 이용하여 , 인 경우에 대하여 정적분을 다음과 같이 정의한다.\\n\\t\\n\\t\\n위의 정의에 의하여 이고 일 때\\n\\t\\n\\t\\t \\n이다. \\n즉, 정적분의 기본 정리는 윗끝, 아랫끝의 대소에 관계없이 성립한다.\\n\\n문제 01\\n 다음 정적분의 값을 구하여라.\\n(1) (2) \\n\\n\\n\\n두 함수 , 의 부정적분을 각각 , 라고 하면\\n\\t\\n\\t\\n\\t\\t\\t\\n이므로 정적분의 기본 정리에 의하여\\n\\t\\n \\n\\t\\n\\t\\t\\t \\n\\t\\t\\t \\n \\n \\n\\n이와 같이 부정적분과 마찬가지로 정적분에서도 함수의 실수배, 합, 차에 대하여 다음이 성립함을 알 수 있다.\\n\\n\\n\\n\\n정적분의 성질(1)\\n\\n\\n\\n 두 함수 , 가 구간 에서 연속일 때\\n ① (는 상수)\\n ② \\n\\n\\n\\n\\n\\n \\n\\n예제 1\\n\\n 다음 정적분의 값을 구하여라.\\n (1) \\n (2) \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 02\\n 다음 정적분의 값을 구하여라.\\n(1) (2) \\n(3) (4)\\n\\n\\n\\n\\n\\n예제 2\\n\\n 다음 등식이 성립함을 증명하여라. (단, )\\n \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 03\\n 이 자연수일 때, 정적분의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 04\\n 를 최소로 하는 실수 의 값과 의 최솟값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n임의의 실수 를 포함하는 구간에서 연속인 함수 에 대하여\\n라고 하면\\n\\t\\n\\t\\t\\t \\n\\t\\t\\t \\n\\t\\t\\t \\n\\n 이상을 정리하면 다음과 같다.\\n\\n\\n\\n\\n정적분의 성질(2)\\n\\n\\n\\n \\n\\n\\n\\n \\n\\n예제 3\\n\\n다음 정적분의 값을 구하여라.\\n(1) \\n(2) \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 05\\n 다음 정적분의 값을 구하여라.\\n(1) (2) \\n\\n(3) (4) \\n\\n(5) \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n(2) 우함수와 기함수의 정적분\\n우함수와 기함수의 경우, 그래프의 대칭적인 특징을 이용하면 정적분의 값을 다음과 같이 간단히 구할 수 있다.\\n\\n우함수: \\n기함수:\\n\\n\\n\\n\\n우함수와 기함수의 정적분\\n\\n\\n\\n① 가 우함수이면 \\n② 가 기함수이면 \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n❚보기❚\\n \\n \\n\\n예제 4\\n\\n 연속함수 에 대하여 다음이 성립함을 보여라.\\n 이면 \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 06\\n 다음 정적분을 구하여라.\\n(1) (2) \\n\\n\\n\\n문제 07\\n 정적분 를 구하여라. \\n\\n\\n❚적분의 평균값 정리\\n 함수 가 닫힌구간[]에서 연속이면 \\n \\n 인 가 안에 적어도 하나가 존재한다.\\n\\n【증명】\\n함수 을 라 하면, 는 닫힌구간 에서 연속이고 열린구간에서 미분가능하다. \\n 따라서 에 평균값 정리를 적용하면\\n\\t\\n 인 가 안에 적어도 하나가 존재한다. \\n 즉, 정적분의 기본 정리에 의하여 다음이 성립한다.\\n\\t \\n\\n❚적분의 Cauchy-Schwarz 부등식\\n 함수 가 구간 []에서 연속일 때 \\n \\n\\n【증명】 \\n 일 때, 임의의 실수 에 대하여 이므로\\n 이다. 즉,\\n 이므로 \\n \\n ∴ \\n\\n\\n심프슨 공식 (Simpson\\'s Rule) \\n\\n\\n피적분함수의 원시함수를 구하기 어렵거나 불가능한 경우 또는 함수가 기계적인 수치나 수집된 자료를 통한 과학적 실험으로부터 나온 경우 정확한 값 대신 정적분의 근삿값을 구할 필요가 있다. \\n \\n중점 근사\\n \\n사다리꼴 근사\\n\\n이러한 근삿값을 계산하는 방법으로 각 구간의 중점을 이용하여 직사각형의 넓이의 합을 계산하는 방법과 구간의 양 끝 값을 이용하여 사다리꼴을 만들어 넓이를 구하는 방법 등이 있다. 적분의 근사값 계산에서 곡선의 근사식으로 선분을 사용하는 대신 포물선을 사용하는 방법을 심프슨의 공식이라고 한다. 심프슨의 공식을 구하기 위해서 다음을 이용한다.\\n 일 때\\n \\n구간 를 개(은 짝수)의 구간으로 나누고 그림의 공식을 반복 적용하면 다음과 같은 심프슨 공식을 얻을 수 있다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n심프슨 공식\\n\\n\\n\\n구간 를 짝수개의 구간으로 나누었을 때, 의 근삿값은 다음과 같다.\\t\\n \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n§4. 여러 가지 정적분\\n(1) 정적분의 치환적분법\\n부정적분의 치환적분법에서 를 에 대한 미분가능한 함수 라 하면\\n\\t\\n이다. 여기서 라고 하면\\n\\t\\t… ㉠\\n이다. 또, 에서 , 라고 하면\\n\\n치환적분법은 새로운 변수에 대하여 고려한 적분구간으로 정적분을 계산한다.\\n\\t\\n\\t \\n\\t\\t … ㉡\\n이다. ㉠, ㉡에서 다음과 같은 정적분의 치환적분법을 얻을 수 있다.\\n\\n\\n는 주어진 구간에서 일대일대응이다. \\n\\n\\n\\n\\n정적분의 치환적분법\\n\\n\\n\\n구간에서 연속인 함수에 대하여 가 미분가능하며, 가 에서 연속이고, , 이면\\n \\n\\n\\n\\n\\n\\n \\n\\n\\n예제 1\\n\\n 정적분 를 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 다음 정적분을 구하여라.\\n(1) \\t\\t (2) \\n(3) \\t (4) \\n\\n\\n\\n\\n문제 02\\n 다음 정적분을 구하여라.\\n(1) \\t (2) \\n(3) (4) \\n\\n\\n\\n\\n식, 을 포함한 함수의 정적분은 를 와 같이 삼각함수로 치환하는 삼각치환법을 이용하여 구할 수 있다. 이 때, 에 대응하는 의 구간을 주의하여 정하면 계산의 복잡함을 피할 수 있다. \\n\\n예제 2\\n\\n 정적분 를 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n예제2의 정적분값은 반지름이 2인 사분원의 넓이와 같다.\\n\\n\\n\\n\\n문제 03\\n 다음 정적분을 구하여라.\\n(1) \\t (2) \\n(3) (4) \\n\\n\\n(2) 정적분의 부분적분법\\n미분가능한 두 함수의 곱의 미분법에서\\n\\t\\n이므로 는 의 한 부정적분이다. 따라서 미적분학의 기본정리에 의하여 다음과 같이 정적분을 구할 수 있다.\\n\\t \\n\\t\\t \\n\\n\\n\\n\\n\\n정적분의 부분적분법\\n\\n\\n\\n구간에서 두 함수 , 가 미분가능하고 \\n, 가 연속일 때,\\n \\n\\n\\n\\n\\n\\n \\n\\n예제 3\\n\\n 정적분 를 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 04\\n 다음 정적분의 값을 구하여라.\\n(1) (2) \\n(3) (4) \\n(5) (6) \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 05\\n 이 이상의 자연수일 때, 다음을 증명하여라.\\n \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 06\\n 이 자연수일 때, 에 대하여 다음 등식이 성립함을 증명하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n이상 적분\\n\\n\\n우리는 정적분를 정의할 때 유한한 구간인 []위에서 함수 를 다루었다. 또한, 가 무한 불연속점을 갖지 않는다고 가정했다. 그런데 물리학, 경제학, 확률론, 등과 같은 응용 분야에서는 또는 (혹은 양쪽 모두)가 무한이거나 함숫값이 무한인 경우가 대부분이다. \\n \\n ❚무한 구간\\n곡선 과 및 축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 생각하자. 무한급수에서 무한히 많은 수들의 합 를 부분합 의 극한으로 정의한 것처럼 그림에서 도형의 넓이를 다음과 같이 정의하자.\\n \\n이제 이 극한값을 구하면,\\n 이므로 \\n\\n이 극한값을 함수 의 구간 에서의 이상적분이라고 하고, 와 같이 나타낸다. \\n\\n\\n문제 01\\n 다음 이상적분의 수렴․발산을 판정하고 수렴하면 그 값을 구하여라.\\n (1) (2) \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n이상적분(1)\\n\\n\\n\\n(1)인 모든 실수 에 대하여 의 값이 존재할 때\\n \\n(2)인 모든 실수 에 대하여 의 값이 존재할 때\\n \\n위에서 극한값이 존재하면 이상적분 , 가 수렴한다고 하고, 존재하지 않으면 발산한다고 한다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n \\n ❚불연속함수의 적분\\n함수 과 , 축 및 축으로 둘러싸인 영역의 넓이를 생각하자. 이 경우, 구간은 유한한 구간이지만 함수은 에서 불연속이며 이다.\\n따라서 정적분를 정의할 수 없다.\\n그런데 함수 은 임의의 양수 에 대하여 구간 에서 연속이고 이 구간에서 정적분 이다. \\n또한,\\n\\t\\n이므로 이상 적분을 다음과 같이 정의하면 된다.\\n\\t\\n\\n\\n문제 02\\n 다음 이상적분의 수렴․발산을 판정하고 수렴하면 그 값을 구하여라.\\n (1) \\n (2) \\n (3) \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n이상적분(2)\\n\\n\\n\\n (1) 함수 가 구간 에서 연속이고 에서 불연속일 때\\n \\n\\n (2) 함수 가 구간 에서 연속이고 에서 불연속일 때\\n \\n\\n위에서 극한값이 존재하면 는 수렴한다고 하고, 존재하지 않으면 발산한다고 한다.\\n\\n (3) 일 때, 가 에서 불연속이고 와 가 수렴할 때\\n \\n\\n\\n\\n\\n\\n \\n\\n§5. 정적분과 미분, 극한, 무한급수\\n(1) 정적분으로 정의된 함수의 미분\\n정적분이 윗끝이나 아랫끝에 적분변수외의 변수를 포함하면 그 변수에 대한 함수가 되어 미분이 가능하다. 연속함수의 한 부정적분을 라 할 때, 미적분학의 기본정리에 의해 \\n\\n이므로 이를 변수에 대하여 미분하면 ①이 성립한다. 또한, 마찬가지 방식으로 ②, ③도 성립함을 알 수 있다.\\n① (는 상수)\\t\\n② (는 상수)\\n③ \\n\\n\\n❚보기❚\\n \\n(1) \\n(2) \\n\\n예제 1\\n\\n미분가능한 함수 가 다음 등식을 만족시킬 때, 상수 의 값 및 를 구하여라.\\n (1) \\n (2) \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 다음 함수를 에 대하여 미분하시오.\\n(1) (2) \\n \\n\\n\\n\\n\\n문제 02\\n , 는 모두 연속 함수이고 일 때, 의 값을 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n(2) 정적분과 극한값\\n미분가능한 함수가 연속함수의 한 부정적분일 때, 앞에서 배운 함수의 에서의 미분계수의 정의가 임을 이용하면 다음과 같은 표현이 가능하다.\\n① \\n② \\n③ \\n\\n\\n❚보기❚\\n\\n(1), 라 하면\\n \\n(2)일 때, (단, 는 상수)\\n\\n예제 2\\n\\n 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 03\\n 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 04\\n 다음 극한값을 구하여라.\\n (1) (2) \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 05\\n 가 연속함수이고 , 일 때, 를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n(3) 정적분과 무한급수\\n 정적분의 정의에 의해 무한급수를 다음과 같이 구간에서 연속인 함수의 정적분으로 바꾸어 계산할 수 있다.\\n① \\n ⇦ (정적분의 정의)\\n② \\n ⇦ (①의 식에 를 대입한 것으로 축 방향으로의 평행이동)\\n③ \\n\\n식에서 대신 인 경우도 마찬가지로 생각할 수 있다.\\n \\n ⇦ (①의 식에 로 놓고 치환적분)\\n\\n※ ③에서 공식처럼 를 로, 를 로, 을 로 바꾼다고 생각할 수도 있다.\\n\\n\\n예제 3\\n\\n 정적분을 이용하여 다음 무한급수의 합을 구하여라.\\n (1) \\n (2) \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 06\\n 정적분을 이용하여 다음 무한급수의 합을 구하여라.\\n(1) \\n(2) \\n(3) \\n\\n\\n\\n\\n문제 07\\n 의 값에 가장 가까운 정수를 구하여라.\\n (단, )\\n\\n\\n\\n\\n문제 08\\n 을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n§6. 정적분과 부등식\\n(1) 정적분과 부등식에 대한 성질\\n구간에서 연속인 두 함수 와 임의의 에 대하여 다음 부등식이 성립한다. (단, 은 상수)\\n\\n이러한 성질은 부등식의 각변에를 취해도 부등식이 성립함을 의미한다.\\n① 이면 \\n② 이면 \\n③ 이면 \\n\\n예제 1\\n\\n 자연수에 대하여 다음 물음에 답하여라.\\n (1) 부등식 을 증명하여라. \\n (2) (1)을 이용하여 이 발산함을 설명하여라. \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 자연수에 대하여 다음 물음에 답하여라.\\n(1) 부등식 을 증명하여라. \\n(2) (1)을 이용하여 이 수렴함을 설명하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 02\\n 정적분을 이용하여 무한급수이 수렴함을 설명하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n연습 문제 A\\n\\n\\n\\n01\\n극한값 을 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n02\\n의 값을 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n03\\n다음 중 극한값 을 정적분으로 옳게 나타낸 것은? \\n ① \\t ② \\t ③ \\t\\n ④ \\t ⑤\\n\\n\\n\\n04\\n로 정의된 함수 가 있다. 이 때, 곡선 위의 점에서의 접선의 방정식의 절편을 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n05\\n다항함수 에 대하여 가 모든 실수 에 대하여 성립할 때 의 값을 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n06\\n다음은 의 값을 구하는 과정이다. (가)~(라)에 알맞은 것을 써라. \\n\\n \\n \\n \\n (가)\\n\\n ∴ \\n \\n (나) \\n \\n \\n (다)\\n \\n (라)\\n \\n\\n\\n\\n\\n07\\n의 최댓값을 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n08\\n 가 성립할 때 의 최댓값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n09\\n다음 극한값을 구하여라.\\n (1) \\n (2) \\t \\n\\n\\n\\n10\\n이 모든 에 대하여 를 만족시킬 때 상수 의 값을 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n11\\n연속함수 의 그래프가 오른쪽 그림과 같을 때, 곡선 와 직선 및 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 라 하자. 이 때, 의 값을 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n12\\n함수 는 에서 미분가능하고, 와 는 에서 연속이다. \\n 이고 의 에서의 최솟값이 , 최댓값이 일 때, 정적분 의 범위를 구하여라. \\n\\n연습 문제 B\\n\\n\\n\\n01\\n다음 극한값을 구하여라.\\n (1) \\n (2) \\n\\n\\n\\n\\n02\\n연속함수 가 임의의 실수 에 대하여 을 만족시킬 때, 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n03\\n다항함수 가 임의의 실수 에 대하여 등식을 만족할 때, 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n04\\n 인 범위에서 함수 의 극값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n05\\n 의 극값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n06\\n함수 는 일 때 극댓값 를 갖는다. 일 때 상수 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n07\\n의 최솟값을 라 할 때, 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n08\\n다음 부등식을 증명하여라.\\n (1) ()\\n (2) ()\\n (3) ()\\n\\n09\\n다음 등식을 만족시키는 함수 를 구하여라.\\n (1) \\n (2) \\n\\n\\n\\n\\n10\\n다음 극한값을 구하여라.\\n (1) \\n (2) \\n\\n\\n\\n\\n11\\n다음 극한값을 구하여라.\\n (1) \\n (2) \\n\\n\\n\\n\\n\\n12\\n에 관한 다음 방정식의 해를 구하여라.\\n (1) \\n (2) \\n\\n\\n\\n\\n3\\n정적분의 활용\\n \\n\\n§1 넓이\\n(1)좌표축과 곡선 사이의 넓이\\n\\n1) 축과 곡선 사이의 넓이\\n\\n함수 에 대하여 곡선 와 축 및 직선 로 둘러싸인 부분의 넓이 는 \\n\\t\\t\\n\\n2) 축과 곡선 사이의 넓이\\n\\n함수 에 대하여 곡선 와 축 및 직선 로 둘러싸인 부분의 넓이 는 \\n\\t\\t\\n\\n예를 들어, 곡선 와 직선 으로 둘러싸인 도형의 넓이 는\\n\\t\\t\\n\\n\\n예제 1\\n\\n(1) 포물선 와 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라. \\n(2) 다음 곡선과 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라. \\n, , 축\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 곡선 ()와 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라. \\n\\n\\n\\n문제 02\\n 다음 곡선과 직선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라. \\n, 축\\n\\n\\n\\n\\n문제 03\\n 일 때, 의 값을 구하여라. \\n\\n\\n(2)두 곡선 사이의 넓이\\n\\n구간 에서 일 때, 두 곡선 와 직선 ,로 둘러싸인 도형의 넓이 는 \\n\\t\\t\\n\\n일반적으로 두 곡선 , 와 직선 로 둘러싸인 도형의 넓이 는 \\n\\t\\t\\n\\n예를 들어, 곡선 과 직선 로 둘러싸인 도형의 넓이 는 직선과 곡선의 교점의 좌표가 이고 에서 이므로 \\n\\n\\n\\n\\n예제 2\\n\\n다음 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하여라.\\n(1) , \\n(2) , \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 04\\n 다음 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하여라.\\n(1) , , \\n(2) \\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 05\\n 과 축으로 둘러싸인 두 부분의 넓이가 같을 때, 의 값을 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 06\\n 과 축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 의 그래프가 이등분할 때, 의 값을 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 07\\n 이차방정식 의 서로 다른 두 실근을 라 하면\\n\\n임을 증명하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 08\\n 수열 의 첫째항부터 제 항까지의 합 이 곡선 과 직선 ()로 둘러싸인 도형의 넓이와 같을 때, 의 값을 구하여라. \\n\\n\\n\\n(3) 매개변수로 표현된 도형의 넓이\\n\\n곡선 와 축 및 직선 로 \\n둘러싸인 도형의 넓이 는 \\n\\n\\n\\n예제 3\\n\\n, 과 축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하여라. \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 09\\n , 로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하여라. (단, )\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 10\\n 와 축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하여라. (단, ) \\n\\n\\n\\n\\n\\n§2 부피\\n(1)점 에서의 단면적이 인 입체의 부피\\n\\n구간 를 등분하여 의 분점을 라고 하고, 각 소구간의 길이를 라 하자.\\n점 에서의 단면의 넓이를 라 하면, 개의 입체의 부피의 합 은 \\n\\n\\n\\n이다. 따라서 구하는 입체의 부피 는\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n예제 1\\n\\n밑넓이가 , 높이가 인 각뿔의 부피를 구하여라. \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 반지름의 길이가 인 직원기둥에서 지름을 지나 밑면의 한 지름과 를 이루는 평면으로 잘라낸 부분의 부피를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 02\\n 좌표공간에서 가 일 때, 두 점 , 을 연결하는 직선이 움직여 생기는 곡면을 라 한다. 이때, 와 세 좌표평면으로 둘러싸인 입체의 부피를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 03\\n 입체도형 의 밑면은 반지름이 1인 원이다. 이 입체를 밑면의 한 고정된 지름에 수직인 임의의 평면으로 자른 단면이 정삼각형이라고 한다. 입체도형 의 부피를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n(2)좌표축을 축으로 회전한 회전체의 부피 1 (method of slicing)\\n\\n곡선 를 축 둘레로 회전시킨 입체를 축에 수직인 평면으로 자른 단면은 반지름의 길이가 인 원이다. \\n따라서, 단면적은 이고, 입체도형의 부피를 로 구할 수 있다. 이 방법을 method of slicing이라 하고, 를 축 둘레로 회전시킨 입체의 부피 는\\n\\t\\t\\n\\n예를 들어, 반지름이 인 구는 원점을 중심으로 하고 반지름이 인 원 을 축 둘레로 회전시킨 입체이므로 구의 부피는\\n\\n\\n\\n곡선 를 축 둘레로 회전시킨 입체를 축에 수직인 평면으로 자른 단면은 반지름의 길이가 인 원이다. \\n따라서, 단면적은 이고, 축 둘레로 회전시킨 회전체의 부피 는 \\n\\t\\t \\n\\n예를 들어, 반지름이 이고 높이가 인 원뿔은 점, , 을 꼭짓점으로 하는 삼각형을 축 둘레로 회전시킨 입체이므로, 원뿔의 부피는 직선 을 축 둘레로 회전시킨 입체의 부피와 같다.\\n\\n이를 정리하면 다음과 같다.\\n\\n\\n\\n\\n회전체의 부피 1\\n\\n\\n\\n 를 축 둘레로 회전시킨 회전체의 부피 는\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n예제 2\\n\\n다음 곡선을 축 둘레로 회전시킨 입체의 부피를 구하여라.\\n(1) \\n(2) \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 04\\n 다음 곡선을 축 둘레로 회전시킨 입체의 부피를 구하여라.\\n(1) \\n(2) \\n\\n\\n\\n\\n문제 05\\n 다음 곡선을 축 둘레로 회전시킨 입체의 부피를 구하여라.\\n(1) () \\n(2) \\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 06\\n 다음 곡선을 축 둘레로 회전시킨 입체의 부피를 구하여라.\\n(1) () \\n(2) () \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 07\\n 곡선 과 축으로 둘러싸인 부분을 축 및 축으로 회전시킨 부피가 서로 같을 때, 의 값을 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 08\\n 곡선 고 직선 및 축으로 둘러싸인 부분을 축 둘레로 회전시킨 입체의 부피를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 09\\n 곡선 () 및 직선 및 축으로 둘러싸인 부분을 축 둘레로 회전시킨 입체의 부피를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n(3)좌표축을 축으로 회전한 회전체의 부피 2 (method of cylindrical shell)\\n\\n구간 위에서 음이 아닌 연속함수 의 그래프와 축으로 둘러싸인 영역이 의 오른쪽에 놓여있다고 가정하자. 즉, 이다. 이 영역을 을 둘레로 회전시키면 회전체가 생성된다. \\n\\ncylindrical shell을 번역하면 원주각이라 부른다.\\n\\n\\n\\n구간 를 등분하여 그 좌표를 각각 라 하고 번째 부분구간 의 중점을 라 하자. \\n그림과 같이 부분의 영역을 직사각형으로 근사시키면 직사각형의 높이는 이고 폭은 이다. \\n이 직사각형을 의 둘레로 회전시키면 그림과 같은 cylindrical shell이 만들어진다. 이 cylindrical shell의 부피 를 계산하면 다음과 같다. \\n\\n\\n\\n개의 직사각형을 모두 회전시켜 만들어진 cylindrical shell의 부피의 합으로 회전체의 부피를 근사시키면\\n\\n\\n\\n가 되고, 이를 정적분으로 나타내면\\n\\n\\n\\n가 된다.\\n\\n을 축으로 하여 위의 내용을 정리하면 다음과 같다.\\n\\n\\n\\n\\n회전체의 부피 2\\n\\n\\n\\n이고 구간 일 때, 연속인 함수 에서 영역 를 축 둘레로 회전시켜 얻는 입체의 부피 는 \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n(2)의 method of slicing 방법을 이용하여 다음과 같이 위의 식이 유도됨을 보일 수 있다.\\n(ⅰ) 함수 가 상수함수인 경우\\n 라 하면, 이므로 성립\\n\\n(ⅱ) 함수 가 증가함수인 경우\\n\\n \\n \\n\\n여기서 로 치환하면\\n \\n \\n이므로 구하는 부피는 \\n\\n\\n(ⅲ) 함수 가 감소함수인 경우\\n\\n \\n \\n\\n여기서 로 치환하면\\n \\n \\n이므로 구하는 부피는 \\n\\n\\n\\n예제 3\\n\\n제1사분면에서 두 좌표축과 곡선 로 둘러싸인 영역을 축 둘레로 회전시킨 입체의 부피를 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 10\\n 제1사분면에서 다음 곡선과 직선으로 둘러싸인 영역을 축의 둘레로 회전시킨 입체의 부피를 구하여라.\\n(1) , , 축 \\n(2) , 축, 축 \\n\\n\\n\\n문제 11\\n 곡선 과 축으로 둘러싸인 영역을 축의 둘레로 회전시킨 입체의 부피를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n(4)두 그래프로 둘러싸인 부분을 회전시킨 입체의 부피\\n\\n\\n두 그래프로 둘러싸인 부분을 회전시킨 입체의 부피를 구하는 방법을 와셔(washer) 방법이라고도 부른다.\\n두 곡선 로 둘러싸인 도형을 축 둘레로 회전시킨 회전체의 부피는\\n\\n\\n\\n\\n\\n두 곡선 로 둘러싸인 도형을 축 둘레로 회전시킨 회전체의 부피는\\n\\n\\n예제 4\\n\\n두 곡선 과 로 둘러싸인 도형을 축, 축 둘레로 회전시킨 입체의 부피를 구하여라.\\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n문제 12\\n 곡선 와 원점에서 이 곡선에 그은 접선 및 축으로 둘러싸인 도형을 라 하자. 를 축 둘레로 회전시킨 입체의 부피와 축 둘레로 회전시킨 입체의 부피 를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n문제 13\\n 다음 곡선으로 둘러싸인 도형을 축 둘레로 회전시킨 입체의 부피를 구하여라.\\n(1) 축 \\n(2) \\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 14\\n 다음 곡선을 축 둘레로 회전시킨 입체의 부피를 구하여라.\\n(1), 축 \\n(2) , 축\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 15\\n 직선 과 곡선 로 둘러싸인 부분을 축 둘레로 회전시킨 입체의 부피를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 16\\n 두 곡선 , 과 직선 으로 둘러싸인 부분을 축 둘레로 회전시킨 입체의 부피를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 17\\n 곡선 과 직선 로 둘러싸인 부분을 축 둘레로 회전시킨 입체의 부피를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n(5) 매개변수로 표현된 도형을 회전시킨 입체의 부피\\n\\n예제 5\\n\\n()가 나타내는 곡선과 축으로 둘러싸인 부분을 축 둘레로 회전시킨 입체의 부피를 구하여라. (단, ) \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 18\\n , ()가 나타내는 곡선과 축으로 둘러싸인 부분을 축 둘레로 회전시킨 입체의 부피를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 19\\n , ()가 나타내는 곡선과 축으로 둘러싸인 부분을 축 둘레로 회전시킨 입체의 부피를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 20\\n , ()가 나타내는 곡선을 축 둘레로 회전시킨 입체의 부피를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 21\\n , 과 축으로 둘러싸인 도형을 축 둘레로 회전시킨 입체의 부피를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n§3 겉넓이\\n(1)의 그래프를 회전한 회전체의 겉넓이\\n\\n구간 []를 등분하여 \\n\\n이라 하고, 두 점 과 의 사이의 곡선을 회전시켜 얻는 회전체의 겉넓이를 라 하면, 의 근삿값으로 를 회전시켜 얻는 회전체의 겉넓이를 취할 수 있다.\\n\\n밑면의 반지름이 , 윗면의 반지름이 이고, 모선의 길이가 인 직원뿔대의 옆면의 넓이는 이므로 의 근삿값은\\n\\t\\n\\t \\n\\t \\n이다. \\n따라서 정적분의 정의에 의해\\n\\t\\n\\t \\n\\n이를 정리하면 다음과 같다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n회전체의 겉넓이\\n\\n\\n\\n구간 에서 연속이며, 음이 아니고 에서 연속인 도함수를 가지는 함수 의 그래프를 축의 둘레로 회전시켜 얻는 곡면의 넓이 는\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n예제 1\\n\\n반지름의 길이가 인 구면의 넓이를 구하여라. \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 곡선 을 축 둘레로 회전시킨 입체의 겉넓이를 구하여라. \\n\\n\\n\\n(2) 매개변수의 그래프를 회전한 회전체의 겉넓이\\n\\n구간 에서 연속이며 에서 연속인 도함수를 가지는 함수 로 정의된 곡선 를 축의 둘레로 회전시켜 얻는 회전체의 겉넓이 에 대해 알아보자. (단, )\\n, 라 할 때, \\nⅰ) 이면 \\n\\n \\n \\nⅱ) 이면 \\n\\n \\n \\n\\n예제 2\\n\\n곡선 을 축의 둘레로 회전시켜 얻는 회전체의 겉넓이를 구하여라. \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 02\\n 곡선 를 축의 둘레로 회전시켜 얻는 회전체의 겉넓이를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n§4 속도와 거리\\n(1)직선 위의 운동\\n\\n① 점 P의 시각 에서의 위치 가 함수 로 나타내어질 때, 속도 는\\n\\n\\n의 부정적분의 하나를 라고 하면 \\n (는 적분상수) … ㉠\\n\\n시각 에서의 점 P의 위치를 라 하면\\n \\n\\n즉, 이고, 이것을 ㉠에 대입하면 \\n\\n\\n그런데 이므로 \\n … ㉡\\n\\n② 시각 에서 까지의 점 P의 위치의 변화량은 이므로 ㉡에 의하여\\n\\n③ 에서 이면 는 증가하므로 이 구간에서 점 P의 경과 거리 는 \\n\\n또한 이면 는 감소하므로 이 구간에서 점 P의 경과 거리 는 \\n\\n따라서 \\n\\n이상을 정리하면 다음과 같다.\\n\\n\\n\\n\\n속도와 거리\\n\\n\\n\\n수직선 위를 움직이는 동점 P의 시각 에서의 속도를 , 시각 에서의 동점 P의 위치를 라 하면 \\n① 에서의 P의 위치는 \\n② 에서 까지의 위치의 변화는 \\n③ 에서 까지의 경과거리는 \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n예제 1\\n\\n물체를 지상 5m의 높이에서 처음 속도 98(m/sec)로 똑바로 던져 올렸을 때, 초 후의 물체의 속도는 (m/sec)이다. 이 물체의 10초 후의 지상으로부터의 높이를 구하여라. \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 01\\n 일 때, 원점을 출발하여 축을 움직이는 동점 P의 속도가 이다. 다음을 구하여라.\\n(1) 일 때 P의 위치 \\n(2) 에서 까지의 경과거리\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 02\\n 직선 운동을 하는 물체의 초 후의 속도가 으로 주어질 때, 다음 <보기> 중 옳은 것을 모두 찾아라. \\n \\nㄱ. 2초 후에 물체의 운동 방향이 바뀐다.\\nㄴ. 3초 후에 물체는 처음 위치로 되돌아온다.\\nㄷ. 처음 위치로 되돌아올 때까지 움직인 거리는 8이다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 03\\n 수직선 위를 움직이는 점 가 원점을 출발한 후 초 후의 속도가 이다. 일 때, 속도가 감소하는 구간에서 이 점이 움직인 거리를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 04\\n 갑과 을은 지점에서 지점으로 직선 경로로 이동하고 있다. 출발 후 시간 후의 갑의 속도는 이고, 을의 속도는 이다. 을이 갑보다 앞에서 출발한다면 출발 후 이들이 만난 횟수를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n(2) 평면 위의 운동\\n\\n시각 에서의 점 P의 위치가 로 주어질 때, 에서 까지의 경과거리(운동거리) 은 다음과 같다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\nP\\n\\n\\n\\nO\\n\\n\\n(3) 곡선의 호의 길이\\n\\n곡선 의 구간 인 부분의 호의 길이 을 구해보자. \\n\\n가 만큼 변하는 동안 점 P가 움직인 경과 거리 은 가 충분히 작을 때에는 과 거의 같다.\\n\\n\\n\\n따라서, 이고 호의 길이 은\\n \\n이다. \\n\\n또한, 곡선 의 구간 인 부분의 호의 길이 을 구해보자. \\n\\n곡선 위를 움직이는 점 P()의 위치는 로 나타낼 수 있다.\\n점 P가 움직인 경과 거리는 이 곡선의 길이와 같으므로\\n\\n\\n따라서, \\n\\n\\n\\n예제 2\\n\\n평면 위를 움직이는 점 P의 성분이 다음과 같을 때, 주어진 시각에 대한 P의 운동거리를 구하여라.\\n(1) \\n(2) \\n\\n\\n풀이\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 05\\n 평면 위를 움직이는 점 P의 성분이 일 때, 시각 에 대한 P의 운동 거리를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 06\\n 곡선 ()의 길이를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 07\\n 다음 곡선의 호의 길이를 구하여라.\\n(1) () \\n(2) \\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 08\\n 다음 곡선의 호의 길이를 구하여라.\\n(1) \\n(2) () \\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 09\\n 다음 곡선의 호의 길이를 구하여라.\\n(1) () \\n(2) , () \\n(3) , () \\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 10\\n 곡선 ()의 길이를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n문제 11\\n 곡선 의 길이를 구하여라. \\n\\n연습 문제 A - 넓이\\n\\n\\n\\n01\\n곡선 와 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 이라 할 때, 다음 물음에 답하여라.(단, 은 자연수)\\n(1)을 에 대한 식으로 나타내여라. \\n(2)의 값을 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n02\\n다음 곡선과 직선 또는 곡선과 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라.\\n(1) , , , 축 \\n(2) 축 \\n\\n\\n\\n\\n03\\n다음 곡선과 직선 또는 곡선과 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라.\\n(1) \\n(2) \\n\\n\\n\\n\\n\\n04\\n좌표평면 위에서 로 나타내어지는 도형의 넓이를 구하여라. (단, ) \\n\\n\\n\\n05\\n점 (0, 1)을 지나고 곡선 에 접하는 직선을 이라 할 때, 곡선 와 직선 및 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n06\\n두 식 …① …②로 나타내어지는 곡선에 대하여 다음을 구하여라.(단, 는 상수)\\n(1) ②가 ①의 역함수가 되도록 하는 의 값 \\n(2) ②가 ①의 역함수가 될 때, 곡선 ①, ②로 둘러싸인 부분의 넓이 \\n\\n\\n\\n\\n\\n07\\n곡선 와 축, 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 곡선 가 이등분할 때, 양수 의 값을 정하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n08\\n-평면에서 곡선 (는 양수, 는 실수) 으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n09\\n곡선 위의 점 (1, 1)에서 그은 접선과 이 곡선 및 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n10\\n곡선 을 축에 관하여 대칭이동한 후에 다시 축 방향으로 , 축 방향으로 5만큼 평행이동한 곡선을 라 할 때 두 곡선 과 로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n11\\n곡선 위의 점 (0, 4)에서 이 곡선에 접하는 직선을 그을 때 이 직선과 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n12\\n곡선 과 직선 로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n13\\n 와 가 접할 때, 두 그래프의 교점의 좌표를 라 하면 곡선과 직선이 이루는 도형의 넓이는 임을 증명하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n14\\n다음 부등식이 나타내는 영역의 넓이 를 구하여라. \\n \\n\\n\\n\\n\\n\\n15\\n다음 정적분을 구하여라.\\n(1) (2) \\n\\n\\n\\n\\n\\n16\\n일 때, 곡선 위를 움직이는 점 P가 있다. 점 P에서 축에 내린 수선의 발을 Q, △OPQ의 넓이를 라 할 때, 의 값을 구하여라. (단, 는 원점)\\n\\n\\n\\n\\n\\n17\\n에서 두 곡선 , 로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n18\\n다음 두 곡선이 점 에서 같은 직선에 접할 때, 상수 의 값을 구하고, 두 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하여라. \\n, \\n\\n\\n\\n\\n19\\n두 곡선 , ()가 점 에서 접하고, 이 두 곡선과 축으로 둘러싸인 인 부분의 넓이가 4이다. 상수 의 값을 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n20\\n함수 에 대하여 다음 물음에 답하여라.\\n(1) 함수 의 역함수가 존재함을 증명하여라.\\n(2) 두 곡선 , 와 직선 로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n21\\n원점을 지나는 직선이 곡선 와 좌표가 인 점에서 접하고 있다. 곡선과 접선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n22\\n 두 곡선 , 로 둘러싸인 도형의 넓이를 이라 할 때, 무한급수 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n23\\n 연속함수 의 그래프는 그림과 같다. 이 곡선과 축으로 둘러싸인 두 부분 ,의 넓이가 각각 , 일 때, 정적분의 값을 구하여라. (단, )\\n\\n\\n\\n\\n\\n연습 문제 B - 넓이\\n\\n\\n\\n01\\n포물선 위에서 두 점,가 조건 ‘선분와 포물선 으로 둘러싸인 도형의 넓이는 임’을 만족하면서 움직이고 있다. 의 값을 구하여라. \\n\\n\\n\\n02\\n자연수 에 대하여 구간 에서 곡선 와 축으로 둘러싸인 부분의 넓이를 이라 하자. 일 때, 의 값을 구하여라. \\n\\n\\n03\\n자연수 에 대하여 구간 에서 두 곡선 , 로 둘러싸인 부분의 넓이를 이라 할 때, 의 값을 구하여라. \\n\\n\\n04\\n정사각형 모양의 타일이 좌표평면에 그림과 같이 가로, 세로가 각각 축, 축과 일치되게 놓여 있다. 이 타일에 와 의 그래프를 경계로 하여 파랑색과 노랑색을 칠하려고 한다. 파랑색과 노랑색이 칠해지는 부분의 면적의 비가 일 때,의 값을 구하여라. \\n (단, 함수 는 함수 의 역함수이다)\\n\\n\\n\\n05\\n함수 의 역함수를 라 할 때, 두 곡선 , 로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n06\\n그림과 같이 곡선 의 접선과축 및 두 직선과로 둘러싸인 사다리꼴 넓이의 최솟값을 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n07\\n다음은 두 곡선 와 로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하는 과정이다. 물음에 답하여라. (단, )\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n(1) 에서 의 값을 구하여라. (단, 는 적분상수이다.) \\n(2) 에서 두 곡선으로 둘러싸인 부분의 넓이, 즉 를 이라 할 때, 을 구하여라. \\n(3) (은 자연수)의 일반항을 구하여라.\\n (힌트 : 로 치환하여 (2)의 결과를 이용하여라.) \\n(4) 두 곡선 와 로 둘러싸인 부분의 넓이를 구하여라. (단, ) \\n\\n\\n\\n연습 문제 A – 부피 및 겉넓이\\n\\n\\n01\\n일 때, 곡선 에서 의 부분과 직선 으로 둘러싸인 부분을 축 둘레로 회전시킨 입체의 부피를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n02\\n부등식 이 나타내는 영역을 축 둘레로 회전시킨 입체의 부피를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n03\\n다음 물음에 답하여라.\\n(1) 원 을 직선 을 회전축으로 하여 회전시킨 입체의 부피를 구하여라. \\n(2) 부등식 이 나타내는 영역을 직선 를 회전축으로 회전시킨 입체의 부피를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n04\\n에서 두 곡선 , 로 둘러싸인 부분을 축 둘레로 회전할 때, 다음 물음에 답하여라.\\n\\t(1) 1회전 시킨 입체의 부피를 구하여라. \\n\\t(2) 회전 시킨 입체의 부피를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n05\\n밑면의 반지름 , 높이가 인 직원기둥을 밑면의 한 지름을 회전축으로 회전시킨 입체의 부피를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n06\\n밑면의 반지름이 1, 높이가 2인 직원기둥이 있다. 밑면의 중심을 지나고, 밑면과 60°의 각을 이루는 평면으로 이 직원기둥을 자를 때 생기는 두 입체 중에서 작은 것의 부피를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n07\\n공간에서 두 점 (1, 0, 0), (0, 1, 1)을 끝점으로 하는 선분 를 축 둘레로 회전축으로 회전시킨 입체의 부피를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n08\\n어떤 용기에 깊이가 가 되도록 물을 넣으면 물의 부피가 가 된다고 한다. 물의 깊이가 2일 때, 수면의 넓이를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n09\\n반지름의 길이가 3인 반구형의 그릇에 물을 부어 높이가 1이 되었을 때의 물의 부피를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n10\\n곡선 과 직선 로 둘러싸인 부분을 축, 축 둘레로 회전시킨 회전체의 부피를 각각 라 할 때, 의 값을 최대가 되게 하는 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n11\\n반지름의 길이가 인 반구 모양의 그릇에 물이 가득 차 있었다. 그림과 같이 그릇을 만큼 기울였을 때 수면의 높이를 , 수면의 넓이를 , 물의 부피를 라 할 때, 를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n12\\n아래 그림은 타원의 회전체 모양인 삶은 계란을 단면의 넓이가 최대가 되도록 자른 모양이다. 이 단면을 측정하였더니 타원의 장축의 길이는 6 cm, 단축의 길이는 4 cm 이었고, 원의 반지름의 길이는 1 cm 이었다. 계란의 노른자 부위를 제외한 흰자 부위의 부피를 구하여라. (단, 계란의 노른자 부위의 모양은 구이고, 그림의 빗금 친 부분은 구의 중심을 지나게 자른 단면이다.) \\n\\n\\n\\n\\n\\n13\\n일 때 축에 수직인 평면으로 자른 단면이 한 변의 길이가 인 정사각형이 되는 입체의 부피를 구하여라. \\n\\n\\n14\\n를 축 둘레로 회전하여 얻어지는 곡면의 넓이를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n15\\n을 축 둘레로 회전하여 얻어지는 곡면의 넓이를 구하여라. \\n \\n\\n\\n\\n\\n\\n16\\n원 를 축 둘레로 회전하여 얻어지는 곡면의 넓이를 구하여라. \\n \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n17\\n곡선 를 축의 둘레로 회전시켜 얻는 입체의 겉넓이를 구하여라. \\n \\n\\n연습 문제 B – 부피 및 겉넓이\\n\\n\\n\\n01\\n어떤 용기에 깊이가 가 되도록 물을 넣으면 그 때의 물의 부피 는 로 나타내어진다.\\n(1) 물의 깊이가 일 때, 수면의 넓이를 구하여라.\\n(2) 수면의 넓이가 13일 때, 물의 깊이를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n02\\n곡선 , 축, 직선 로 둘러싸인 영역을 축의 둘레로 회전시킨 입체의 부피를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n03\\n부등식 , 이 나타내는 영역을 축의 둘레로 회전시킨 입체의 부피를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n04\\n곡선 와 직선 로 둘러싸인 부분을 축의 둘레로 회전시킨 입체의 부피를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n05\\n곡선 와 축, 축 및 직선 로 둘러싸인 부분을 축의 둘레로 회전하여 생기는 입체의 부피를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n06\\n두 곡선 , 과 두 직선 , 로 둘러싸인 부분을 축의 둘레로 회전시킨 입체의 부피를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n07\\n수중에서는 깊이 인 곳의 당 수압은 톤이다. 단면이 그림과 같이 반지름의 길이가 인 반원형 수로의 물을 철판으로 막을 때, 이 철판에 걸리는 전체 힘을 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n08\\n밑면의 원의 반지름의 길이는 , 높이는 인 원기둥이 있다. 이 원기둥의 윗면의 원의 지름을 지나는 평면으로 그림과 같이 잘라내고 남은 입체의 부피를 구하여라. \\n\\n\\n \\n\\n\\n09\\n곡선 , 축, 직선 로 둘러싸인 영역을 축의 둘레로 회전시킨 입체의 부피를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n10\\n아래 그림과 같이 반지름의 길이가 인 두 개의 직원기둥이 있어 축이 직교할 때, 공통 부분의 부피를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n11\\n모서리의 길이가 인 정육면체 가 있다. 삼각형 를 선분 의 둘레로 회전시킨 입체의 부피를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n12\\n두 곡선 , 와 직선 로 둘러싸인 도형을 축의 둘레로 회전시킨 입체의 부피를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n13\\n두 곡선 , 와 두 직선 , 로 둘러싸인 도형을 축의 둘레로 회전시킨 입체의 부피를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n14\\n 좌표공간 위의 두 점 의 시각 에서의 위치는 각각 , 이다. 일 때 선분 가 움직여서 생기는 곡면과 평면, 평면, 평면 으로 둘러싸인 도형을 축 둘레로 회전시킨 입체를 라 하자. 시각 에서 회전체 를 축에 수직인 평면으로 자른 단면을 라 할 때, 다음 물음에 답하여라.\\n (1) 일 때, 를 구하여라.\\n (2) 일 때, 를 구하여라. \\n (3) 회전체 의 부피를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n15\\n어떤 그릇에 깊이가 가 되도록 물을 넣을 때 수면은 반지름의 길이가 인 원이 된다. 이 그릇에 매초 의 비율로 물을 넣을 때, 수면의 높이가 인 순간의 수면이 상승하는 속도는 몇 인지 구하여라. (단, 그릇의 높이는 보다 크다.) \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n16\\n곡선 와 직선\\t 을 축의 둘레로 회전시켜 만든 입체에 매초 만큼의 물을 넣는다. 수면의 높이가 가 되는 순간, 수면의 넓이의 시간에 대한 변화율을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n17\\n곡선 을 축 둘레로 회전시킨 회전체와 곡선 을 축 둘레로 회전시킨 회전체가 있다. 처음에는 물이의 안쪽에만 차 있다가 원점부근의 작은 구멍을 통하여의 바깥쪽과의 안쪽으로 둘러싸인 부분으로 흘러 나가기 시작한다. 의 안쪽 수면의 높이를 , 의 바깥쪽 수면의 높이를 라 할 때, 가 의 이 되는 순간의 의 값을 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n18\\n을 정의역으로 하는 두 개의 곡선 와 가 있다. 의 범위에서 두 곡선은 단 하나의 교점 를 가진다. \\n\\n(1) 의 값의 범위를 구하여라. \\n(2) 세 점 이 있다. 점 를 잇는 한 직선과 두 곡선을 경계로 하는 영역 을 축 둘레로 회전하여 얻어지는 입체의 부피를 라 하자. 또한 점 를 잇는 두 곡선을 경계로 하는 영역 을 축 둘레로 회전하여 얻어지는 입체의 부피를 라 하자. 가 되는 의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n19\\n(Gabriel Horn) 영역 를 축 둘레로 회전시킨 입체의 부피와 겉넓이를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n20\\n그림에서와 같이 반원 을 축 둘레로 회전하여 생긴 구면이 있다고 하고 를 축 상의 길이가 인 구간의 위쪽에 놓여 있는 그 반원의 호라 놓자. 호 를 한 바퀴 회전하여 생기는 회전면의 넓이는 구간의 위치에 의해서 변하지 않고 구간의 길이에 의해서만 변함을 보여라. \\n\\n\\n연습 문제 A – 속도와 거리\\n\\n\\n\\n01\\n30ℓ들이 빈 물통이 있다. 이 물통에 물을 넣기 시작한 지 초 후 물의 유입속도가 ℓ/초 일 때, 이 물통에 물이 가득 차는 데 걸리는 시간을 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n02\\n원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 ()에서의 속도 가 오른쪽 그림과 같이 주어질 때, \\n(1) 물체의 운동 방향이 바뀌는 시각을 구하여라.\\n(2) 3초 후의 물체의 위치를 구하여라. \\n(3) 원점으로 다시 되돌아오는 시각을 구하여라. \\n(4) 점 P의 경과 거리를 구하여라. \\n\\nO\\nv(t)\\n1\\n2\\n3\\n1\\n-1\\nO\\nv(t)\\nt\\n1\\n2\\n3\\n1\\n-1\\n4\\n5\\n6\\n\\n\\n\\n\\n03\\n수직선 위를 움직이는 동점 P의 시각 에서의 속도가 라 할 때, 시각 에서 까지의 점 P의 경과거리를 구하여라. \\n\\n\\n\\n04\\n곡선 ()의 길이를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n05\\nA, B 두 역 사이는 직선 궤도로 거리는 2.4km이다. A역을 출발하여 초 후의 속도가 m/sec이고, 최대 속도 24m/sec가 되어서는 등속운동을 계속하고, B역에 도착하기 전 적당한 지점에서 제동기를 건다. 그 때부터 초 후의 속도는 m/sec로 하여 B역에 정차하였다. A역에서 B역까지 가는 데 소요된 시간을 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n06\\n그림과 같은 빈 용기에 물을 부을 때 물의 깊이가 이면 수면의 넓이는 이고, 물을 붓기 시작한 후 초 후의 수면의 상승 속도는 라 한다. 이 용기에 물의 양이 가장 많을 때, 물의 양을 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n07\\n곡선 과 축으로 둘러싸인 도형의 둘레의 길이를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n08\\n곡선 을 축 둘레로 회전하여 생기는 회전체 모양의 그릇에 시각 에서의 물의 유입속도는 이다. 처음 에서 이 그릇이 비어 있었다면 시각 에서의 수면의 높이를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n09\\n다음 호의 길이를 구하여라.\\n(1) \\n(2) \\n\\n\\n\\n\\n\\n10\\n평면 위를 움직이는 동점 P()의 시각 에서의 위치가 \\n\\t\\n\\t로 주어질 때, 부터 까지 점 P의 운동 거리를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n11\\n동점 P는 처음 속도 6로 점 A를 출발하여 가속도 2으로 동쪽으로 움직이고 있다. P가 출발한지 2초 후에 동점 Q가 A를 출발하여 동쪽으로 일정한 속도 로 P를 쫓아간다. Q가 P를 따라잡기 위한 의 최솟값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n12\\n길이가 인 선분 를 지름으로 하는 반원이 있다. 그림과 같이 두 점 가 점 에서 동시에 출발하여 다음 조건을 만족시키면서 반원 위를 움직인다.\\n(가) \\n(나) 선분 의 길이의 시간(초)에 대한 변화율은 이다.\\n 점 가 점 에서 출발하여 초가 되는 순간 선분 의 길이의 시간(초)에 대한 변화율은 이다. 의 값을 구하여라. (단, 이다.) \\n\\n\\n연습 문제 B – 속도와 거리\\n\\n\\n\\n01\\n곡선 , ()의 길이를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n02\\n곡선 의 부분 중에서 원 의 내부에 있는 부분의 길이를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n03\\n 에서 까지 곡선 의 길이를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n04\\n(Asteroid 곡선) 반지름이 인 원 이 반지름이 1인 원 의 안에서 에 접하고 있다. 다음 물음에 답하여라.\\n(1) 이 를 따라서 미끄러지지 않고 굴러서 다시 제자리로 돌아올 때까지 위의 한 점이 그리는 곡선의 개형을 그려라. \\n(2) 원 이 한 바퀴 돌았을 때 곡선의 길이를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n05\\n점 (0, 1)에서 출발하여 곡선 의 제1사분면에 있는 부분의 위를 매초 1의 속력으로 움직이는 점 P가 있다. 초 후 P의 좌표를 의 함수로 나타내어라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n06\\n에 대하여 , 로 주어진 점의 자취의 길이를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n07\\n곡선 ()의 길이를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n08\\n그림과 같이 좌표평면에서 원 위의 점가 점에서 출발하여 원점을 중심으로 매초 (라디안)의 일정한 속력으로 원 위를 시계 반대 방향으로 움직이고 있다. 점에서 축에 평행한 직선을 그을 때, 원과 직선으로 둘러싸인 어두운 부분의 넓이를 라 하자. 점가 점을 지나는 순간, 넓이의 시간(초)에 대한 변화율은 이다. 의 값을 구하여라. (단, 와 는 서로소인 자연수이다.) \\n\\n\\n\\n\\n\\n09\\n반지름의 길이가 인 원 위에 점 가 있다. 그림과 같이 양수 에 대하여 원 위의 두 점 , 를 이고 가 되도록 잡는다. 삼각형 의 내접원의 반지름의 길이를 라 할 때,이다. 의 값을 구하여라. \\n\\t(단, , 는 서로소인 자연수이다.) \\n\\n\\n\\n\\n10\\n좌표평면에서 축 위를 움직이는 점 의 시각 ()에서의 좌표는 이다. 점 를 지나고 축에 수직인 직선이 곡선 와 만나는 점을 라 할 때, 점 를 중심으로 하고 선분 를 반지름으로 하는 원의 넓이를 라 하자. 인 순간, 넓이 의 에 대한 변화율을 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n11\\n어떤 빈 용기에 물을 부을 때 물의 깊이가 이면 수면의 넓이는 이고, 물을 붓기 시작한 뒤 초 후의 수면의 상승속도는 라 한다. 이 용기에 물이 가득 찼을 때의 물의 부피를 구하여라. (단, ) \\n\\n대단원 종합문제\\n\\n\\n01\\n 다음 부정적분을 구하여라. \\n (1) \\n (2) \\n (3) \\n\\n\\n\\n02\\n다음 정적분을 구하여라.\\n (1) \\n (2)\\n (3) \\n (4) \\n (5) \\n (6) \\n\\n\\n03\\n 에 대하여 다음 물음에 답하여라. \\n (는 2이상의 자연수)\\n (1) 를 구하여라. \\n (2) 를 구하여라. \\n\\n\\n04\\n (은 자연수)에 대하여 다음 물음에 답하여라.\\n (1) , 을 구하여라. \\n (2) 을 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n05\\n자연수 에 대하여 정적분을 이용하여 다음 극한값을 구하여라.\\n (1)\\n (2) \\n (3) (단, 는 실수)\\n (4) \\n\\n\\n\\n\\n06\\n다음 물음에 답하여라.\\n (1) 평균값의 정리를 서술하여라. \\n (2) 함수 가 닫힌 구간 에서 연속이면, 인 가 열린 구간 안에 적어도 하나가 존재함을 보여라. 즉, 적분의 평균값 정리를 증명하여라.\\n (3) 함수 가 열린 구간 의 한 점에서 불연속이면 (2)의 정리가 성립하는가? 성립하면 증명하고, 성립하지 않으면 그에 해당하는 예를 들어 설명하여라. (한 점에서 연속이 아닌 함수의 정적분의 값은 불연속점을 무시하고 축과 사이의 넓이(부호 포함)를 직관적으로 구한 값과 같다.)\\n\\n\\n07\\n 함수 이라 할 때, 다음 물음에 답하여라. (, 은 자연수)\\n (1) 정적분의 값을 에 대한 식으로 나타내시오.\\n (2) 정적분의 값을 구하여라.\\n\\n\\n\\n08\\n 음이 아닌 정수 에 대하여, 라 할 때 다음 물음에 답하여라.\\n (1) 와 의 값을 각각 구하여라.\\n (2) 와 사이의 관계식을 구하여라.\\n (3) 와 의 값을 각각 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n09\\n 공간에 그림과 같은 입체 가 있다. 그림에서 빗금 친 부분은 평면과 평행한 부분이다. \\n (1)임을 이용하여 의 값을 구하여라.\\n\\n (2) 평면 상의 곡선 으로 둘러싸인 부분의 넓이 를 구하여라.\\n\\n (3) 입체 의 부피를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n10\\n 좌표평면에서 곡선 (, )과 축, 축으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n11\\n평면 위를 움직이는 점 의 위치가 시각 에서 일 때, 부터 까지 점 가 이동한 거리를 구하여라. \\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n12\\n 다음 물음에 답하여라.\\n (1) 매개변수 를 이용하여 좌표평면 상의 곡선 를 매개화 하여라. (단, )\\n \\n \\n (2) 좌표평면 상의 곡선 의 길이를 구하여라.\\n\\n\\n\\n\\n\\n13\\n곡선 의 길이를 구하여라. \\n\\n미적분학의 발명\\n\\n\\n미적분학은 세계를 보는 인간의 밑그림을 ‘스틸 사진’에서 ‘활동 사진’의 수준으로 끌어올렸다. 시간의 흐름에 따른 변화와 운동을 법칙적으로 설명할 수 있게 됐기에, 미적분학은 수학사에서 ‘발견’이 아닌 ‘발명’으로 대접받는다. 미적분의 발명 뒤 ‘시간이 지나면서 변하는 모든 것’에는 미적분이 적용됐고, 18세기 과학과 맞물려 순식간에 세상이 바뀌었다. 설명이 불가능했던 것들을 설명할 수 있게 된 것이다. 물리학의 속도·밀도·전류·온도변화율에서 사회학의 유언비어 확산율까지, 오늘날 미적분학의 손이 미치지 않는 곳은 거의 없다. \\n\\n\\n1. 뉴턴과 라이프니츠\\n\\n뉴턴의 유량(流量) ‧ 유율(流率) \\n\\n연속적으로 변하는 양, 즉 \\'유량\\'과 유량의 순간적인 증가 또는 감소를 나타내는 유율이란 말은 뉴턴이 쓴 \\'프린키피아\\', 즉 [자연철학의 수학적 원리, 1687]에 나와 있다. 뉴턴은 이 유율법의 형식을 갖춘 미분계산과 적분계산을 발견하였는데 유율법이란 여러 가지 형태의 연속적인 운동을 추상화한 \\'유량\\'을 그 연구대상으로 삼는 것이다. 유량이란 말은 흐름이라는 뜻을 가지고 있는데 흐르는 것 즉 변화하는 것은 어떤 독립변수에 따라서 변한다고 생각할 수 있다. 이때 주로 생각하는 독립변수는 시간인데 이 때문에 먼저 시간을 수학적으로 정확히 정의내린 다음 균등하게 흐르는 독립된 어떤 추상적인 양을 관찰한다. \\n 이 유량은 액체 뿐만 아니라 모든 변화하는 양을 포함하고 있다. 그리고 시간에 대한 유량의 비율 즉 유율을 생각하는데 유율은 그 자체로서도 변화하는 것이게 때문에 유율의 유율, 또 그 유율과 같이 차례차례 유율의 값을 얻을 수 있는데 뉴턴은 첫 번째, 두 번째, 의 유율을 기호로 , , 과 같이 나타내었다. \\n\\n\\n라이프니츠와 무한소 해석학 \\n\\n함수 를 생각할 때 의 증분 와 이에 대한 함숫값 의 증분 의 증분의 비를 택하면 함수 의 평균변화율을 얻는다. 이때 를 으로 보내면 가 되고 이것은 어떤 점에서의 순간변화율이 된다. 여기서 를 으로 보내면 따라서 도 이 되고 결과적으로 이 되므로 답을 얻기 힘들다고 버클리(G.Berkley)는 말했는데 라이프니츠는 는 절대적인 0이 아니라 상대적인 -유한량으로서의- 으로 생각함으로서 이 위기를 넘겼다고 한다. 만일 가 이 아니라 아주 작은 유한량은 남길 수 있다면 순간변화율은 불능(不能)이 아니라 유한한 값이 되어 계산할 수 있다고 했는데 이 생각은 이미 뉴턴의 스승인 배로(I.Barrow)도 알고 있었다고 한다. \\n 라이프니츠는 가 유한의 작은 양이어야 함은 물론이지만 동시에 단순한 유한량이어서도 안되고 무한의 개념을 포함하고 있어야 한다고 했다. 즉 유한이자 무한이어야 한다는 것이다. 이 두 개념을 결합시키기 위해서는 가 하나의 \\'근삿값\\'을 나타낸다고 생각할 수 있고 은 아니지만 으로 간주할 수 있는 \\'무한소\\'량이라고 생각할 수도 있다. 실제로 라이프니츠는 이것을 \\'무한소\\', \\'미분량\\'이라고 불렀다. 여기서 유한량은 무한소량으로 개념이 바뀌고 있다.\\n\\n2. 우선권 논쟁의 배경\\n\\n영국과 유럽 대륙이 자존심을 걸고 벌인 과학 역사상 가장 중요한 ‘지적 재산권’ 다툼이었다. 미적분학 발명의 우선권을 두고 아이작 뉴턴(Issac Newton)과 고트프리트 빌헬름 라이프니츠(Leibniz G.W.)가 벌인 세기의 논쟁이다. 알려진 대로, 라이프니츠는 1675년에 현재 우리가 미적분이라고 말하는 극소량계산법을 발명했고, 뉴턴은 그보다 9년 먼저 ‘유율법’을 발명했다. 원래 두 사람은 ‘누가 가장 먼저’라는 타이틀에 전혀 관심이 없었다. 하지만, 두 사람을 따르는 무리들에겐 전쟁이었다. \\n실제로 미적분학의 기본정리를 발견하고 이를 증명한 사람은 1667년 영국의 수학자 아이작 배로(Issac Barrow)였다. 배로는 미적분학의 기본정리를 발견하고 증명함으로써 적분법과 미분법 사이의 관련성을 확립하였을 뿐만 아니라, 미분법에 관한 많은 정리를 증명하였\\n\\n\\n다. 그러면 왜 배로에게 미적분법의 발명자라는 명예가 돌아가지 않고 뉴턴과 라이프니츠에게 돌아갔으며 그들 사이에 불행한 우선권 논쟁이 벌어지게 되었는가? 배로는 상당한 정도로 미적분법의 실질적인 발견자였으나, 그의 연구에는 결여된 것이 있었고, 그 상태에서 배로는 미적분학의 기본정리를 포함하여 그의 모든 연구 결과를 수록한 책의 서문에서 그의 제자인 뉴턴의 도움에 감사를 표하고 있는데, 책이 출판된 후 교수직을 젊은 뉴턴에게 물려주고 성직자 생활로 복귀하였으며 여가 시간에만 수학을 연구하였다. 뉴턴은 미적분법을 계속 연구하여 새로운 발견을 하고 그것을 만유인력의 법칙을 발견하는데 사용하였다. 그러나 그는 만유인력의 법칙을 발표할 때 미적분학에 관한 어떤 내용도 공표하지 않았다. 뉴턴은 미적분법을 다룬 원고를 친구인 콜린스에게 주었는데, 젊은 라이프니츠가 1672년과 1676년에 런던을 방문하였을 때 콜린스의 원고를 보고 그것을 적어 두었다고 한다. 라이프니츠 자신은 이미 파스칼의 연구에서 암시를 받아 미분법을 알고 있었으나, 미분에 관한 그의 생각은 거칠고 엄밀하지는 않았다. 그는 뉴턴과 마찬가지로 상당히 오랫동안 미적분법에 대해 아무것도 출판하지 않다가 1684년부터 연구 결과를 발표하기 시작하였다.\\n불행한 우선권 논쟁이 일어나 노년에 접어든 두 사람을 격분시킨 것은 그보다 훨씬 후인 1700년 이후의 일이며, 이는 두 사람의 제자들에 의해 정치적인 배경을 가진 국가적인 경쟁의식 속에서 매우 격렬하게 진행되었다. 미적분에 대한 기본적인 발견은 모두 1669년에 출판된 배로의 연구결과 가운데 들어있다. 그러나 수학계는 라이프니츠가 출판한 ‘형식’으로 미적분 계산법을 배웠으며, 이전에는 배우기 어려웠던 기술이 이제는 거의 누구나 배우기 쉬운 계산법(Calculus)가 되었다. 이러한 모든 것이 라이프니츠의 깃발 아래 순항하기 시작하였을 때, 영국 수학자들은 배로와 뉴턴이 이미 그것을 알고 있었음을 상기하게 되었고 여기서 논쟁이 시작되었다.\\n\\n뉴턴은 유율법(Method of Fluxions)을 먼저 발명하고도 발표하지 않았다. 뉴턴은 병적일 정도로 논쟁을 싫어했다. 1676년 지인에게 쓴 편지에는 이런 대목도 나온다. “나는 지금까지 철학의 노예로 살아왔다. … 앞으로는 스스로 만족하기 위해서가 아니라면, 학문과 영원히 작별인사를 하거나 아니면 그냥 내버려두고 싶다. \\n\\n\\n왜냐하면 새로운 이론을 발표하는 일을 계속한다면 그것을 방어하는 데 노예가 되어야 한다는 것을 알기 때문이다.” 천문학자인 에드먼드 핼리가 우연히 뉴턴의 무관심 속에 방치되고 있던 그의 발견들을 출판하라고 설득하지 않았다면, 오늘의 뉴턴을 있게 한 <자연 철학의 수학적 원리(프린키피아)>도 빛을 보지 못했을 정도다. 그러나, 라이프니츠는 뉴턴과는 정반대여서, 학문적 성취뿐 아니라 정치적 야망도 있었다. 또한 미적분의 진가를 알아보는 선구안도 지니고 있었다. 라이프니츠는 미적분이 미래를 선도할 새로운 도구의 발명이라고 생각했지만, 뉴턴은 완전히 새로운 이론을 만들었다기보다는 고대로부터 당대까지 발전해온 어떤 것을 단순히 찾아낸 데 불과하다고 믿었다. \\n논쟁의 진정한 근원은 수학의 발달, 특히 함수 개념의 발달에 있었다. 기하학적인 그리스 수학과는 무관하게 바빌로니아와 인도에서 계산 수학이 발달하였으며, 아라비아 사람들이 문화적 전통의 수호자가 되었던 중세에 두 종류의 수학이 융합되기 시작하였다. 1250년 경부터 시작하여 16세기에 수학 문화의 주도권이 서구로 넘어가게 되었는데 비에테에 의해서 대수학이 발달하고 데카르트에 의해서 해석기하학이 발달하면서 그리스 기하의 많은 부분이 계산화되었다. 그러나 데카르트는 그의 방법을 그리스 수학 전체로 확장하는 것을 자제하였으며 무한과정의 문제를 다루지 않음으로써 오늘날 해석학이라고 부르는 수학 분야의 창안은 이후로 미뤄졌다. 이때, 함수 개념이 발생하였는데, 함수 개념은 두 가지 서로 다른 형태, 곧 기하학적 함수개념과 계산적 함수개념으로 발달하였다. 갈릴레이, 카발리에리, 배로에게서는 기하학적 함수 개념, 즉, 한 구간에 속하는 실수하나에 한 실수는 할당하는 규칙으로서 인식된 함수 개념이었다면, 비에테, 데카르트의 해석기하학으로부터 발달한 함수 개념은 훨씬 좁은 함수 개념인 계산식으로서의 함수 개념이었다. 예를 들어, 다항식, 유리함수, 거듭제곱근, 수렴하는 무한급수 등은 계산적인 함수이다. 카발리에리의 불가분량은 일반적인 기하학적 함수 개념과 관련지어 사용될 때에는 분명히 그 타당성이 의심스러운 것이었으나, 협의의 계산적인 함수 개념을 사용하는 많은 수학자들의 정신 속에서는 ‘미분’으로서 생존 가능한 것이 되어 미적분법의 발전이 가능하게 되었다.\\n\\n뉴턴의 유율법과 라이프니츠의 극소량계산법은 기본 원리는 같았지만 접근법은 달랐다. 뉴턴은 기하학적으로 접근했고, 라이프니츠는 대수적으로 접근했다. ‘유율’은 상대적으로 개념이 모호한 용어였고, 문자 위에 점을 찍어 표시한 뉴턴의 기호는 거추장스럽고 번거로웠다. 라이프니츠의 기호는 분명하고 적절했다. 오늘날 우리는 미분·적분·좌표 그리고 함수와 같은 그의 용어와 기호를 사용하고 있다. 결국 라이프니츠의 기호를 택한 유럽 대륙의 수학자들은 미적분에서 큰 진보를 이뤘다. 뉴턴의 유율법을 고집하던 영국은 약 100년이 지난 뒤에야 라이프니츠 방법 도입했다. 영국의 수학은 대륙에 견줘 100년 가량 뒤처졌고, 이후 등장하는 저명한 수학자들은 유럽 대륙 출신이 대부분이다. \\n\\n\\n라이프니츠\\n\\n\\n고독했던 아이작 뉴턴이 케임브리지의 방에서 수학의 면모를 바꾸고 있었을 때 유럽 대륙도 자고 있지만은 않았다. 데카르트, 파스칼, 페르마의 영향하에 l7세기 후반에 대륙의 수학은 화려하게 발전되고 있었다. 이 때 크게 활약했던 사람은 라이프니츠(Gorrfried Wilhelm Leibniz, 1645-17l6)였다. 다양한 면모를 가진 독일 철학자, 객관적 관념론자이자 합리론자로서 전기 부르주아 사상을 대표하는 자로 알려진 그는 라이프치히(Leipzig)에서 대학교수인 아버지와 저명한 법률가의 딸인 어머니 사이에서 태어났다. 그때는 독일 내의 소 영주국들이 가톨릭계와 프로테스탄트계로 갈라져서 싸움을 계속한, ‘30년 전쟁’이 채 끝나지 않았던 때였다. 이 전쟁으로 독일의 도시나 마을은 거의 황폐하였고 중세에는 그토록 뛰어났던 문화도 엉망이 되었는데 어린 라이프니츠는 아버지의 서재에서 비교적 풍성한 책에 접근할 수가 있었다. 라틴어와 그리스어를 독학으로 익히고 l7세에는 라이프치히에 있는 대학에 들어갔다. 대학의 여러 가지 경험에 정열을 태우고 새로 옮긴 뉘른베르크의 알트도르프 대학에서는 겨우 20세에 법학박사 학위를 받았다. 학자로서 장래가 촉망되었음에도 불구하고 대학을 떠나 선거후(選擧侯), 마인츠(신성 로마제국에서 황제의 선거권을 가졌던 제후)를 보좌하는 궁정 생활로 사회 진출을 시작한 그의 주요 업무는 복잡한 법률적인 일, 법전을 편집하는 일, 로마제국의 개혁에 관한 일 등이었으나 틈틈이 많은 학문적인 연구에도 전념하였다. 이때 펴낸 역학에 관한 논문으로는 <구체적 운동론, Theoria motus concreti>과 <추상적 운동론, Theoria morus abstracti>이 있는데 이들 두 논문은 나중 에 <신 물리학의 가정, Hypothesis physica nova>이라는 이름으로 엮어져 l670년에 공표 되었다.\\n\\n l672년에 라이프니츠는 독일에서 파리로 외교관의 임무를 띠고 파견되었다. 거기서 젊은 천재는 프랑스 수도의 지적 생활에 취했으며 간간이 런던, 네덜란드 등을 여행하며 제 1급 학자 후크(Robrer Hooke, l635-1703), 보일(Roberr Boyle, 1627-1691), 레벤후크(Anton Van Leeuwen hoek, l632-I723), 철학자 스피노자 등을 만나게 되었다. 그는 자신이 학문, 문화의 중심지에 와 있는 것을 깨달으면서 그의 수학적 훈련은 고대의 걸작에 한정된 편협한 것임을 알게 되었다. 위대한 재능과 호기심에 차 있던 그는 당시 학문의 흐름과 수학의 방향에 따라 집중 훈련을 할 필요를 느꼈다. 그가 파리에서 특별히 영향을 받은 사람은 당시 태양왕, 루이 ⅪⅤ세 밑에서 연금을 받고 있던 네덜란드 과학자 호이겐스(Chrisrian Huygens, 1629-1695)였다. \\n\\n\\n호이겐스의 명성은 대단했다. 그는 수학적 곡선에 관심이 많았으며 특히 ‘사이클로이드’에 대해 철저한 연구를 하였다. 수학상의 업적으로는 극대, 극소점과 변곡점(變曲點)의 발견, 신개선(伸開線)과 축폐선(縮閉線)에 관한 정리(사이클로이드의 신개선은 본래의 사이클로이드와 같은 사이클로이드가 되고, 반대로 사이클로이드의 축폐선은 본래의 사이클로이드와 같은 사이클로이드가 된다.) 등이 있다. 또 이 사이클로이드의 발견은 그의 첫 번째 성공작인 ‘진자시계(振子時計, pendulum clock)’의 고안에도 중대한 역할을 하였는데 이 시계의 내부 작동은 사이클로이드 곡선과도 밀접한 관계가 있었기 때문이다. 이 발명이 암시하는 것처럼 호이겐스는 순수 수학보다는 다른 분야에 더 관심이 있었다. 사실 그의 불후의 명성은 원심력의 연구, ‘호이겐스의 원리’라고 알려진 파동설 등을 통해서이다. 그가 만든 대망원경에 비치는 토성 주변의 야릇한 모양이 실제로 토성환이라는 것도 호이겐스에 의해 밝혀진 사실이다. 파리에 도착해서 이런 배경을 가진 호이겐스에게 라이프니츠가 수학을 지도해 달라고 조언을 청한 것은 놀라운 일이 아니다. 호이겐스가 라이프니츠의 스승이었다고 말한다면 너무 과장된 말일지 모르나 아무튼 호이겐스는 젊은 외교관을 지도하고 현대 수학의 문제들을 연구케 하는 인도자가 되었다. 그가 분명 스승이었다면 이처럼 천재적인 제자를 가져본 사람도 별로 없을 것이다. \\n\\n 얼마 되지 않아 그는 천재적 재능을, 뉴턴이 l0여 년 전에 언급하던 접선과 곡선의 넓이에 대해 적용하기 시작했다. l676년 그가 파리를 떠날 즈음에 그는 독자적으로 미적분에 관한 근본 원리를 발견하고 있었다. 파리에 있었던 4년 동안에 그는 수학의 초심자에서 수학에 관한 거인이 된 것이다. 그러나 이 기간은 그에게 불후의 명성을 남겼을 뿐 아니라 또한 그에게 수학사상 초유의 논쟁의 소지를 마련한 때라고 할 수도 있었다. 앞에서도 말했거니와 뉴턴의 {유율법}은 몇몇 영국 수학자들에시만 알려져 있었다. 라이프니츠가 런던을 방문했을 때 (왕립협회도 포함되지만) 그는 뉴턴의 회람된 논문을 보고 크게 감명을 받았다. 후에 라이프니츠는 왕립협회의 사무관을 통해 뉴턴의 발견에 대한 더 상세한 내용을 알려줄 것을 요청하였다. 비록 모호하게 베일에 싸인 내용이었지만 위대한 영국 석학 뉴턴은 \\'l676년의 두 편지\\'(전서한(前書輪),후서한(後書輪))로 알려진 답서를 보냈다. 라이프니츠는 이를 주의 깊게 읽었다. \\n\\n\\n그 뒤 라이프니츠가 그의 놀라운 수학에 관한 새로운 방법에 관한 논문을 처음으로 발표했을 때, 이를 본 영국인들은 \\'비겁하다!\\'고 맞섰다. 라이프니츠가 처음으로 발표한 논문은 다음과 같이 긴 제목을 가지고 있는 것이었다.{분수량에도, 무리수량에도, 장애 없이 적용할 수 있는, 극대와 극소 또 접선에 대한 새로운 방법 그리고 그것을 위한 특이한 계산법)(Novo Methodus pro Maximis et Minimis, iremque tangentibus, qua nec fractas, nec irrationales quantitates moratur, et singulare calculi genus)학술지 {학술지 이 논문은 l684년에 나왔는데 이 논문이 실린 Acta Eruditorium}는 그가 편집자로 있는 잡지였다. 이 논문은 그의 무한소 해석에 관한 최초의 논문이었다. 또 이것은 겨우 열 쪽 미만의 짧은 논문이었으며 게다가 증명이 붙어 있지 않은 것이었다. 그러나 학술잡지에 처음으로 나타난 미분법에 관한 논문이었다는 사실만으로도 그 의의는 크다. 지금의 적분기호가 도입된것은 이보다 2년 .뒤 1686년 {학술기요} 5호에 발표된 라이프니츠의 논문 {깊이 고찰된 기하학과 불가분량(不可分量) 및 무한량(無限量)의 해석에 관하여}에서이다. 아무튼 세상은 라이프니츠를 통해 미적분학을 배웠으며 뉴턴을 통해 배운 것은 아니었다. 사실 미적분학은 그의 논문 제목 속의 계산법( Calculi) 이라는 용어에서 온 것이었다. 그러나 영국의 뉴턴파 학자들은 여러 가지 재치를 다 동원해서 라이프니츠가 뉴턴의 논문을 온통 표절했다고 주장했다.그가 영국을 방문한 것. 뉴턴의 논문이 당시 학계에 조용히 유통되고 있었던 일, 뉴턴과 교신한 편지 등을 들어 악당인 라이프니츠가 뉴턴의 영광을 가로챘다고 말했다. 이에 뒤따른 언쟁은 결코 수학사에 자랑할 만한 것이 못 된다. 처음에 이 두 사람은 그들의 제자들이 그들을 위해 싸우는 동안 초연하려 했다. 그러나 결국은 모두가 다 관여하게 되고 결과는 별로 향기롭지 못했다. 라이프니츠는 그가 뉴턴과 교신했고 그 편지를 통해 뉴턴의 아이디어를 얻었다는 것을 인정했다. 그러나 그것은 결과에 대한 힌트에 불과했지 라이프니츠 자신이 발견한 것 같은 분명한 방법이 아니었다고 말했다. 영국측 학자들은 더욱더 화를 냈다. 그러나 영국 측에 불리했던 것은 라이프니츠의 미적분학은 온 유럽을 휩쓸고 그의 제자들 간에 확산해 가는데 고립주의자인 뉴턴은 아직도 그에 관한 논문을 발표하는 것을 거절하고 있었다. 뉴턴은 l666년 l0월에, 라이프니츠의 논문이 발표되기 거의 20년 전에 {유율법}에 관한 것을 써 놓았으나 이에 대한 구체적인 내용을 {광학}의 부록에 발표한 것은 l704년에 이르러서였다. 광학보다 더 상세했던 {해석}으로 라이프니츠가 영국을 방문했을 때 유포되고 있던 논문은 l711년에야 발표되었던 것이다. 뉴턴의 아이디어가 완전히 개화한 내용을 조심스럽게 또 철저히 저자에 의하여 정리해 놓은 {사용자를 위한 상설(詳說)}은 뉴턴 경이 죽은 지 9년 뒤인 l786년에야 출판되었다. 뉴턴의 발표가 너무 늦었기 때문에 라이프니츠의 지지자들은 오히려 라이프니츠가 발표해 놓은 것을 표절한 사람은 뉴턴이며 그 역일 수는 없다고 주장하기에 이르렀다. 당시의 상황은 혼돈 바로 그것이었다. \\n\\n\\n루퍼트 홀의 {싸우는 철인(哲人)들, Philosophers of war}\"에 보면 도버해협을 건너 치고 받은 매혹적이고 자세한 언쟁의 내용이 나와 있다. 이제는 그 전운도 18세기가 지나 서서히 걷히고 두 사람 다 똑같이 같은 착상을 했고 그 생각을 독립적으로 개발했다고 모두들 인정하고 있다. 이렇듯 중요한 개념들이 과학계에서 독립적으로 발견되는 일이 흔히 있다. 미적분학에 대한 우선권 싸움에 말려들기 전에 라이프니츠는 그의 일생을 특색 지워주는 다방면의 연구에 종사했다. 그는 브른 스비크의 공작의 작위를 받았고 귀족들의 족보를 만들려고 웨르펜가사(家史) 편찬을 위해 각지를 여행하기도 했다. 그는 그의 마음에 늘 가까이 있는 철학을 멀리하지 않았다. 그의 철학적인 성과는 크게 보아 단자론(單子論}, 결정론사상, 그리고 인식론적 논리학적 이론들로서 이에 대한 많은 논문이 있다. 특히 그는 오늘날 우리가 부르는 \\'기호 논리학\\'의 기초를 만들었으며 논리적 명제를 나타내는 대수적 기호는 그리스의 논리학에서 취급한 3단논법을 훨씬 초월하는 것이었다. 라이프니츠는 l700년에 베를린 아카데미를 창설하는 주력부대의 한 사람이었다. 이 공동체의 학자와 작가와 음악가들은 유럽의 위대한 사상가들을 이 아카데미로 초청해서 베를린을 지성의중심지로 만들 생각이었다. 라이프니츠는 프러시아의 왕비 소피샤로테의 도움에 힘입어 이 아카데미를 세우는 데 크게 공헌하였고 따라서 초대 원장이 되어 평생을 이 직에 있었다. 아카데미의 일을 수행하는 가운데도 그는 논리학과 철학의 연구를 계속했다. 루터파와 칼빈파의 합작에 l0여 년이나 노력하고 실패했지만 계속 종교와 정치의 개혁이 인류의 평화와 조화에 이바지한다는 생각은 버리지 않았다. l714 년에 영국의 앤 여왕이 죽자 제임스 I세의 증손인 독일의 하노버가의 조지가 영국의 왕으로 가게 되었다. 하노버가는 라이프니츠를 돕고 있던 왕가이기 때문에 그는 조지왕을 따라 영국에 가서 궁전 사가{史家)로 일하고 싶어했다. 그러나 조지 왕은 이를 허락하지 않았다. 만일 그렇게 되었더라면 뉴턴과 라이프니츠는 함께 런던에 살면서 미적분학 우선권 다툼을 더욱 치열하게 하게 되었을지도 모른다. 그러나 그런 일은 결코 일어나지 않았다. l7l6 년 ll월 14일 라이프니츠는 하노버에서 실의와 고독 속에서 일생을 마쳤다. 그를 옹호하던 하노버가는 모두 영국으로 가서 없었고, 그의 지위는 지는 달처럼 되어 있어서 충성스런 가노(家奴)들만 장례식에 참석한 가운데 노이슈타트 교회에 안치되었다. 이것은 최고의 명성을 가지고 명예스러운 웨스트민스터 사원에 안치된 뉴턴과는 현격한 대조를 이루는 것이다. 뉴턴의 신격화가 그의 영광의 한 면이면 라이프니츠는 또 다른 면에서 영광을 얻었다고 봐야 한다. 미적분학을 발명한 위대한 두 학자를 비교해 보 면, 어떤 의미에서 뉴턴은 그의 \\'유율법\\'을 무덤으로 함께 가져가 버렸다고 볼 수 있다. 그가 운명하는 날, 이 고독하고 사람 기피증 이 있던 뉴턴 경 곁에는 그의 학문을 배우고, 갈고 닦으며 더욱 발전시키기를 열망하는 재능 있는 제자들이 운집해 있지 않았다. 그러나 라이프니츠에게는 뛰어난 후계자로서 야곱과 요한 베르누이 형제가 있었다. \\n\\n\\n이는 그에게 큰 축복이 아닐 수 없었다. 전 유럽에 미적분학을 퍼뜨리고 개발했던 주축이 된 수학자가 그들이었기 때문이다. 라이프니츠가 뿌린 씨는 어쩌면 그들의 노력으로 오늘날 미적분학이라는 훌륭한 수확을 거둔 것이라고 보아야 할 것이다.\\n\\n라이프니츠는 또한 Stepped Reckoner라고 알려진 곱셈과 나눗셈이 가능한 계산기를 처음으로 고안하였고, 디지털 컴퓨터에 사용되는 현대적인 형태의 이진수 체계를 개발하였다.\\n\\n\\n\\n\\n정 답 \\n및 \\n해 설\\n\\nⅠ. 미분법\\n\\n\\n1. 미분계수와 도함수\\n§1. 미분계수\\n[예제1] \\n(1) \\n \\n 이므로 \\n 평균변화율은 에 관계없이 항상 1이다.\\n(2)\\n \\n \\n \\n \\n 평균변화율은 이다.\\n[문제1] \\n[문제2] (1) 1 (2) \\n[예제2] \\n \\n \\n[문제3] 24\\n[문제4] 생략\\n[문제5] 생략\\n[문제6] 2\\n[예제3] 이고, \\n 이므로 함수 는 에서 연속\\n 임을 알 수 있다. 그런데\\n \\n 에서, , \\n 이므로 좌극한값과 우극한값이 다르다.\\n 따라서 가 존재하지 않는다.\\n 그러므로 함수 는 에서 연속\\n 이지만 미분가능하지 않다.\\n[문제7] 생략\\n[문제8] 생략\\n[문제9] 에서 연속이지만 미분가능하지 않다.\\n[문제10] , \\n§2. 여러 가지 함수의 도함수\\n[예제1]\\n \\n \\t\\n[문제1] (1) \\n (2) \\n[문제2] (1) \\n (2) \\n[문제3] 생략\\n[예제2] \\n[문제4] (1) \\n (2) \\n[예제3] (1) , 로 놓으 \\t면 , 이다. 따라서\\n \\n \\n (2) , 로 놓으면\\n , 이므로\\n \\t\\t\\t \\n[문제5] 생략\\n[문제6] 생략\\n[예제4] 으로 놓으면 은 양의 정수이므로 이다. 문제6의 결과를 이용하면\\n\\n 이 자연수뿐만 아니라 음의 정수일 때도 성립하므로(이 정수)\\n 이 성립함을 알 수 있다. 그래서 와 같은 함수의 도함수는 몫의 미분\\t 을 이용하 는 것보다 으로 변\\t 형하여 다음과 같이 구하는 것이 편리 하다. \\n[문제7] (1) \\n (2) \\n[예제5] (1) (2)\\n[문제8] 생략\\n[문제9] 생략\\n[문제10] 생략\\n[예제6] , 이므로\\n \\n[문제11] \\n[문제12] 생략\\n[예제7] (, 은 정수이고 )으로 놓으면 이므로 양변을 제곱하 면 이다. 음함수의 미분법으로 양변을 에 대하여 미분하면 \\n 따라서, \\n\\t\\n \\n \\n[문제13] (1) \\n (2) \\n[예제8] 에서 이므로\\n \\n[문제14] (1) \\n (2) \\n[문제15] 생략\\n[예제9] 라 하면\\n 만족하는 를 구하기 위하여 방정식을 풀면\\n \\n∴ \\n 이고 에서 , ∴ \\n[문제16] \\n[문제17] \\n \\n연습문제(A)\\n\\n1. (1) \\n (2) \\n (3) \\n2. 에서 연속이지만 미분불가능하다.\\n3. (1) 연속, 미분불가능\\n (2) 연속, 미분가능\\n4. (1) \\n (2) \\n (3) \\n5. (1) \\n (2) \\n6. \\n7. 일 때, \\n 일 때, \\n8. (1) \\n (2) \\n9. \\n10. \\n \\n11. (1) \\n (2) \\n12. \\n13. \\n14. \\n\\n연습문제(B)\\n\\n1. 생략\\n2. \\n3. \\n4. 생략\\n5. 생략\\n\\n\\n2. 여러 가지 함수의 미분법\\n§1. 삼각함수의 도함수\\n[예제1](1) \\n (2) \\n (3) \\n \\n (4) \\n \\n[문제1](1) \\n (2) \\n (3) \\n (4) \\n[문제2](1) \\n (2) \\n[예제2](1) \\n \\n (2) \\n \\n[예제3](1)\\n \\n(2)\\n \\n \\n[문제3](1) \\n (2) \\n[문제4] \\n[문제5] \\n[문제6] \\n \\n§2. 로그함수의 도함수\\n[예제1](1) \\n \\n (2) \\n \\n \\n[문제1](1) (2) \\n (3) \\n (4) \\n[예제2]\\n(1)\\n(2) \\n[문제2](1) \\n (2) \\n\\n[예제3](1) \\n \\n(2) 의 양변의 절대값에 자연로그를 취하면 \\n양변을 에 대하여 미분하면\\t \\t \\n[문제3]\\n(1) \\n(2) \\n[문제4] \\n[문제5](1) \\n (2) \\n\\n§2. 지수함수의 도함수\\n[문제1](1) (2) \\n[예제1](1) \\n (2) \\n (3) \\n \\n \\n (4) \\n \\n[문제2](1) \\n (2) \\n (3) \\n (4) \\n[문제3] \\n\\n\\n\\n§2. 고계도함수\\n[예제1](1)\\n \\n \\n(2)\\n \\n \\n \\n[문제1] \\n[문제2] \\n[예제2] 를 에 대하여 미분하면\\n이고 \\n\\n㉠을\\u3000㉡에 대입하면\\n\\n \\n이 때 이므로 \\n \\n[문제3](1) \\n (2) \\n\\n[예제3]\\n \\n \\n \\n \\n[문제4] , \\n[예제4], \\n , \\n , \\n 일 때, \\n[문제5] \\n[예제5],\\n , \\n \\n \\n\\n \\n[문제6] \\n[문제7] \\n[도전문제1] 생략\\n[도전문제2] 생략\\n\\n연습문제(A)\\n\\n1.(1) \\n (2) \\n (3) \\n (4) \\n (5) \\n (6) \\n (7) \\n (8) \\n (9) \\n (10) \\n2.(1) \\n (2) \\n (3) \\n (4)\\n3. \\n4. \\n5. \\n \\n6.(1) \\n (2) \\n7.(1) \\n (2) \\n (3) \\n (4) \\n \\n연습문제(B) \\n\\n1.(1) \\n (2) \\n (3) \\n (4) \\n (5) \\n (6) \\n (7) \\n (8) \\n (9) \\n (10) \\n2.(1) \\n (2) \\n (3) \\n (4) \\n3. \\n4. \\n5.(1) \\n (2) \\n6. 생략\\n[심화자료]\\n[문제1](1)\\n (2) \\n (3) \\n[문제2] \\n[문제3] \\n[문제4] \\n\\n\\n3. 도함수의 활용\\n§1. 접선의 방정식과 평균값의 정리\\n[예제1] \\n[문제1] (1) (2) \\n\\t(3) \\n\\t(4) \\n[예제2] 이라고 하면 \\n 접점의 좌표를 이라고 하면 접선의 기울기는 \\n 구하는 접선의 방정식은\\n \\n ∴ … ㉠\\n 이 접선이 를 지나므로\\n\\t\\n\\t∴ 또는 \\n 의 값을 ㉠에 대입하여 접선의 방정식을 구 하면 또는 \\n[문제2] \\n[문제3] \\n[문제4] , \\n[문제5] \\n[문제6] (1) (2) \\n[문제7] \\n[예제3] \\n[문제8] (1) (2) (3) \\n[문제9] , \\n[예제4] 에서 함수 에 평균값의 정리 를 적용하면 () ∴ \\n 따라서 는 상수함수이다.\\n[예제5] 로 놓으면 는 에서 연속이고 에서 미분가능하다. 또, 에 속하는 모든 에 대하여 이므로 는 상수함수이다. 따라서 (는 상수)로 놓으면 이다.\\n[문제10] 구간에서 이기 때문에 가 상수함수라고 할 수 없다.\\n[문제11] \\n[문제12] 생략\\n[도전문제] 생략\\n\\n§2. 함수의 증가와 감소, 최대와 최소\\n[문제1] (1) 증가, 감소\\n 증가\\n\\t(2) 증가, 감소\\n\\t 증가\\n[문제2] \\n[문제3] \\n[예제1] 에서 극대이고 극댓값은 3, \\n 에서 극소이고 극솟값은 -5이다.\\n[문제4] (1) 극솟값 \\n\\t(2) 극솟값 \\n\\t(3) 극솟값 \\n\\t 극댓값 \\n[문제5] , \\n[문제6] 생략\\n[문제7] 생략\\n[문제8] (1) , \\n\\t(2) , \\n[문제9] 생략\\n[문제10] 생략\\n[예제2] \\n ∴ 또는 \\n 의 증감표는 아래 표와 같다.\\n 따라서 함수 는 에서 최댓값 6,\\n 에서 최솟값 2를 갖는다.\\n\\n\\n0\\n…\\n1\\n…\\n2\\n\\n+\\n+\\n0\\n-\\n-\\n\\n2\\n↗\\n6\\n극대\\n↘\\n4\\n\\n[문제11] (1) 최댓값: , 최솟값: \\n\\t (2) 최댓값: , 최솟값: \\n[문제12] \\n[예제3] 주어진 방정식을 변형하면 \\n 라 하면 \\n ∴ 또는 \\n 의 그래프를 그리면 아래 그림과 같다.\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n 방정식의 실근의 개수는 곡선 와 직선 의 교점의 개수와 같으므로 서로 다른 세 실근을 가지기 위한 상수 의 값의 범위는 이다.\\n[문제13] (1) 또는 : 1개\\n\\t : 2개\\n\\t : 3개\\n\\t (2) : 2개\\n\\t : 1개\\n\\t : 0개\\n[문제14] 생략\\n[예제4]라고 하면\\n \\n ∴ 또는 \\n 일 때, 의 증감표를 만들고 그래 프를 그리면 아래 그림과 같다.\\n\\n\\n0\\n…\\n2\\n…\\n\\n0\\n-\\n0\\n+\\n\\n4\\n↘\\n0\\n↗\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n\\n 에서 함수 는 일 때 극소 이고 최소이다. 그런데 최솟값이 이므로 인 모든 에 대하여\\n ∴ \\n[문제15] \\n[문제16] \\n[문제17] 생략\\n\\n§3. 속도와 가속도\\n[문제1] (1) 속도: , 가속도: \\n\\t(2) \\t(3) \\n[문제2] , \\n[예제1] 초 후의 공의 반지름의 길이를 (cm)라 고 하면 이다. 겉넓이 과 부피 를 에 대하여 미분하면\\n\\t, \\t \\n 일 때 공의 겉넓이와 부피의 변화율 은 ,\\n \\n[문제3] (1) (2) \\n[문제4] \\n[문제5] \\n[예제2] , 이므로 시각 에서의 점 의 속도 는\\n\\t\\n 한편, , 이므로 점 의 가속도 는 \\n[문제6] , \\n[문제7] \\n \\n[심화자료]\\n[예제1] , 이므로\\n\\t\\n 를 만족하는 의 값을 구하면 된다.\\n\\t∴ \\n[문제1] (1) (2) \\n\\n[예제2] 은 모든 자연수 에 대하여 이다. 따라서 이므로 차 테일러다항식 는\\n \\n[문제2] \\n (1) \\n (2) \\n[문제3] \\n (1) \\n (2) \\n \\n[문제4] \\n \\n \\n \\n[문제5] (1) (2) \\n연습문제(A)\\n\\n1. \\t\\t\\n2. \\n3. \\t\\t\\n4. \\n5. \\t\\t\\n6. \\n7. 생략\\t\\t\\t\\n8. \\n9. \\n10. 생략\\t\\t11. 생략\\n12. (1) 또는 \\n (2) \\n13. 일 때 최댓값 \\n14. (1) 일 때, \\n 일 때, \\n 일 때, \\n (2) 일 때, \\n 일 때, \\n 일 때, \\n 일 때, \\n15. 최솟값: , \\n16. (1) \\n (2) 일 때, \\n18. 생략\\n19. 생략\\n19. (1) 생략 \\n (2) \\n20. (1) 생략 \\n (2) 생략\\n (3) 일 때, 1개\\n 일 때, 2개\\n 일 때, 1개\\n 일 때, 2개\\n21. \\n\\n \\n연습문제(B)\\n\\n1. (1) \\n (2) \\n2. 이므로 발산\\n3. (1) \\n (2) , \\n4. \\n5. 생략\\n6. 생략\\n7. 넓이의 최댓값: \\n \\n8. (1) \\n (2) \\n9. 최솟값: , \\n10. 생략\\n11. 생략\\n12. 생략\\n \\n대단원 종합문제\\n\\n1. (1) 에 을 대입하면\\n\\n\\n\\n\\n(2) \\n 에서 연속)\\n따라서 는 에서 연속이다.\\n(3) \\n\\n으로 임의의 에 대하여 미분계수가 존재하므로 는 에서 미분가능하다. \\n\\n2. 이라고 가정하자. \\n평균값 정리에 의해 인 가 존재한다. \\n그런데 이므로 이 되어 라는 사실에 모순이다. \\n따라서 …① \\n라고 하면 인 가 존재한다. \\n그런데 이므로 이 되어 라는 사실에 모순.\\n따라서 …②\\n①과 ②에서 \\n\\n3. \\n\\n4. (1)역함수의 미분법을 이용하면 \\n (2)매개변수로 나타난 함수의 미분법을 이용하면 이다.\\n\\n5. 라 하면 이다. \\n두 식의 양변을 에 대하여 미분하면\\n , \\n ∴ \\n \\n\\n6. \\n\\n7. 이므로 이므로 접선의 방정식은 이다. \\n 따라서 절편은 \\n\\n8. 점 에서 곡선 에 그은 접선의 접점을 라고 할 때,\\n 접선의 방정식은 이다. 즉, \\n 두 개의 접선이 생기므로 각 접점의 좌표를 라고 하면, \\n \\n 두 개의 접선이 직교하므로\\n \\n \\n \\n9. , \\n \\n 에서 , 이므로 변곡점의 좌표는\\n , , \\n 이다. 따라서 세 변곡점을 지나는 직선의 방정식은\\n \\n\\n10. (1) 이므로 가 극솟점\\n 이므로 이 변곡점\\n (2) \\n\\n(3) 의 양변에 자연로그를 취하면\\n 이므로 위의 함수를 이용하면 해는 2개이다.\\n\\n11. (1) 에서\\n \\n\\n\\n이므로 , 를 점근선으로 가진다.\\n\\n\\n\\n에서 에서 극댓값 \\n\\n(2)\\n\\n이라 하면\\n\\n이므로 \\n에서 \\n 또는 일 때 극값을 갖지 않는다.\\n답: 또는 \\n\\n12. 라 하면 내접원의 반지름은 이고 넓이는 이다. \\n 일 때 내접원의 넓이가 최대가 되므로 변 의 길이는 이다. \\n\\n13. 포물선 위의 점 에서 점 의 거리 에 대하여\\n\\t \\n 미분하면 , \\n 에서 이다. \\n 일 때 \\n 일 때 이므로\\n 는 일 때 극소이면서 최소가 된다.\\n 그러므로 구하는 점의 좌표는 이다.\\n\\n14. (1) 라 하면 제2코사인 법칙에 의해 \\n , \\n \\n \\n\\n (2) \\n 일 때, \\n 이므로 \\n 이다. \\n 따라서 \\n\\n15. \\n \\n \\n \\n \\n\\n \\n \\n \\n16. 생략\\n\\n\\nⅡ . 적분법\\n\\n1. 부정적분\\n§1. 부정적분\\n[예제1] \\n그런데 도함수가 0이 되는 함수는 상수함수 밖에 없으므로\\n\\n\\n[문제1](1) (2) \\n[예제2](1) \\n (2) \\n[문제2](1) \\n (2) \\n \\n§2. 부정적분의 계산\\n[예제1](1) (2) \\n[문제1](1) (2) \\n[예제2](1) \\n (2) \\n[문제2](1) \\n (2) \\n (3) \\n (4) \\n \\n§3. 초월함수의 부정적분\\n[예제1](1) \\n (2) \\n[문제1](1) \\n (2) \\n (3) \\n (4) \\n[예제2](1) \\n (2) \\n[문제2](1) \\n (2) \\n[예제3](1) \\n (2) \\n[문제3](1) \\n (2) \\n (3) \\n (4) \\n\\n§4. 치환적분법과 부분적분법\\n[예제1](1) \\n (2) \\n[문제1](1) \\n (2) \\n[예제2] \\n[문제2] \\n[예제3](1) \\n (2) \\n[문제3](1) \\n (2) \\n[예제4](1) \\n (2) \\n[문제4](1) \\n (2) \\n (3) \\n (4) \\n (5) \\n (6) \\n[문제5] \\n[문제6] \\n[문제7](1) \\n (2) \\n[문제8](1) \\n (2) \\n (3) \\n (4) \\n[예제5] \\n[문제9](1) \\n (2) \\n\\n[문제10] 이라 하면\\n\\n\\n\\n\\n\\n이를 정리하면\\n\\n\\n\\n§5. 부분분수를 이용한 적분법\\n[예제1](1) \\n (2) \\n[문제1](1) \\n (2) \\n[예제2](1) \\n (2) \\n[문제2](1) \\n (2) \\n[도전문제]\\n(1) \\n(2) \\n[문제3] \\n\\n연습문제(A)\\n1. 3\\t\\t\\n2. e\\n3. \\t\\t\\n4. 16\\n5. -1\\t\\t\\n6. \\n7. 1\\t\\t\\n8. \\n9. \\n10. \\n\\n연습문제(B)\\n1. \\t\\t\\n2. \\n3. \\n4. 가: , 나: \\t\\n5. \\n6. \\t\\t\\n7. \\n8. \\t\\t\\t\\n9. \\n10. \\n11. (1) \\n (2) \\n (3) \\n12. \\n\\n[심화자료] 특수한 형태의 부정적분\\n[문제1](1) \\n (2) \\n[문제2] \\n[문제3](1) \\n (2) \\n[문제4](1) \\n (2) \\n\\n\\n2. 정적분\\n§1. 구분구적법\\n[예제1]원뿔의 높이를 등분하여 각 분점을 지나고 밑면에 평행인 평면으로 원뿔을 자른 단면의 넓이를 위에서부터 차례로 , , … , 이라 하면\\n, , … , \\n각각의 단면을 밑면으로 하고, 를 높이로 하는 개의 원기둥의 부피의 합을 이라 하면\\n \\n \\n \\n \\n따라서 구하는 부피를 라 하면\\n \\n \\n[문제1] \\n[문제2] \\n[문제3] \\n[문제4] \\n\\n§2. 정적분\\n[문제1] \\n[예제1] , \\n[문제2](1), \\n (2), \\n[문제3](1) (2) \\n (3) (4) \\n\\n§3. 정적분의 계산\\n[문제1](1) 0 (2) \\n[예제1]\\n(1) \\n \\n(2) \\n \\n \\n[문제2](1) (2) \\n (3) (4) \\n[예제2] (좌)\\n \\n\\n[문제3] 일 때, \\n 일 때, \\n[문제4] , , 최솟값: \\n[예제3] \\n(1) (준식)=\\n(2) 에서\\n 일 때, \\n 일 때, \\n \\n\\t \\n \\n[문제5](1) (2) \\n (3) (4) (5)\\n\\n[예제4] 정적분의 성질에 의하여\\n \\n 에서 로 놓으면\\n 이므로\\n \\n\\n[문제6](1) (2) \\n[문제7] \\n\\n§4. 여러 가지 정적분\\n[예제1] 로 놓으면 \\n일 때 , 일 때 이므로\\n\\n\\t \\n[문제1](1) (2) \\n (3) (4) \\n[문제2](1) (2) \\n (3) (4) \\n[예제2] 로 놓으면\\n이고\\n \\n \\n일 때 , 일 때 이므로\\n\\n \\n \\n\\n[문제3](1) (2) \\n (3) (4) \\n\\n[예제3] , 로 놓으면 \\n , \\n \\n \\n\\n[문제4](1) (2) \\n (3) (4) \\n (5) (6) \\n[문제5]라 할 때, () 부분적분을 이용하면 이 성립함을 보일 수 있다. (직접 해 보자.) \\n이 점화식에 을 대입하면\\n, , , \\n …, \\n변변 곱하면, \\n ()\\n마찬가지방식으로 을 대입하여 변변 곱하면, \\n () 이다. \\n[문제6] \\n \\n \\n\\n[심화자료] 이상적분\\n[문제1](1) 발산 (2) 수렴, \\n[문제2](1) 수렴, \\n (2) 발산\\n (3) 수렴, \\n\\n§5. 정적분과 미분, 극한, 무한급수\\n[예제1](1) 양변에 을 대입하면 , \\n 양변을 로 미분하면 \\n ∴ , \\n(2) 양변에 를 대입하면 , \\n 양변을 로 미분하면 \\n ∴ , \\n[문제1](1) (2) \\n[문제2] \\n[예제2] 이라 하면 \\n \\n[문제3] \\n[문제4](1) (2) \\n[문제5] 27 \\n[예제3] (1) \\n \\n (2) \\n\\n[문제6](1) (2) (3) \\n[문제7] 2\\n[문제8] 주어진 식에 을 취하면\\n \\n \\n \\n \\n\\n§6. 정적분과 부등식\\n[예제1](1)가 자연수일 때, 구간에 속하는 임의의 에 대하여 이 성립하고 주어진 구간에서 연속이므로 정적분에서의 부등식의 성질을 적용하면 이다.\\n 이제 을 대입한 후 변변 더하면 \\n \\n 정적분을 계산하면 \\n \\n (2) (1)의 결과에 극한을 취하면 \\n 이고\\n 이므로 \\n 은 발산한다.\\n[문제1](1)가 자연수일 때, 구간에 속하는 임의의 에 대하여 이 성립하므로 정적분에서의 부등식의 성질을 에 적용하면 이다.\\n 이제 을 대입한 후 변변 더하고 정적분을 계산하면 \\n …①\\n 마찬가지 방식으로 에 적용하면 이다.\\n 을 대입한 후 변변 더하고 정적분을 계산하면 \\n …②\\n ①,②에 의해 \\n \\n (2) (1)의 결과에 극한을 취하면 이므로 수렴한다.\\n[문제2] 이 양수인 수열일 때, 인 상수 가 존재하면 은 수렴한다는 사실을 이용하자.\\n 일 때, 이다. 라 하면, 에서 이므로 감소함수이다. 따라서 일 때, \\n \\n \\n \\n 또한, 이므로,\\n \\n 따라서 은 수렴한다.\\n연습문제(A)\\n1. \\n2. \\n3. ④ \\n4. \\n5. \\n6. (가) \\n (나) \\n (다) \\n (라) \\n7. \\n8. \\n9. (1) (2) \\n10. , \\n11. 3\\n12. \\n\\n연습문제 (B)\\n1. (1) (2) \\n2. -7 \\n3. 5 \\n4. \\n5. \\n6. , \\n7. 14 \\n8. (1)(3)생략\\n (2)의 그래프에서 직사각형의 넓이와 정적분사이의 관계를 고려하자. 윗끝 직사각형개의 합 라 하면, \\n \\n \\n9. (1) \\n (2) \\n10. (1) 4 (2) 1\\n11. (1) (2) 2\\n12. (1) 2 (2) 2\\n\\n\\n3. 정적분의 활용\\n§1. 넓이\\n[예제1](1) (2) \\n[문제1] 4 \\n[문제2] 4 \\n[문제3] 6\\n[예제2](1) (2) \\n[문제4](1) (2) \\n[문제5] \\n[문제6] \\n[문제7] 생략\\n[문제8] \\n[예제3] 4 \\n[문제9] \\n[문제10] \\n\\n§2. 부피\\n[예제1] \\n[문제1] \\n[문제2] \\n[문제3] \\n[예제2](1) (2) \\n[문제4](1) (2) \\n[문제5](1) (2) \\n[문제6](1) (2) \\n[문제7] \\n[문제8] \\n[문제9] \\n[예제4] \\n[문제10](1) (2) \\n[문제11] \\n[예제4] , \\n[문제12],\\n[문제13](1) (2) \\n[문제14](1) \\n (2) \\n[문제15] \\n[문제16] \\n[문제17] \\n[예제5] \\n[문제18] \\n[문제19] \\n[문제20] \\n[문제21] \\n§3. 겉넓이\\n[예제1] \\n[문제1] \\n[예제2] \\n[문제2] \\n\\n§4. 속도와 거리\\n[예제1] 495 \\n[문제1](1) (2) \\n[문제2] ㄱ,ㄴ,ㄷ \\n[문제3] 12 \\n[문제4] 3회\\n[예제2](1) (2) \\n[문제5] \\n[문제6] \\n[문제7](1) (2) \\n[문제8](1) (2) \\n[문제9](1) (2) \\n (3) \\n[문제10] 12\\n[문제11] \\n\\n연습문제(A)-넓이\\n1. (1) (2) \\n2. (1) 8 (2) \\n3. (1) (2) \\n4. \\n5. \\n6. (1) (2) \\n7. \\n8. \\n9. \\n10. \\n11. \\n12. \\n13. 생략 \\n14. \\n15. (1) (2) \\n16. 17. \\n18. , \\n19. \\n20. (1) 생략 (2) 1 \\n21. \\n22. \\n23. \\n\\n연습문제(B)-넓이\\n1. 12\\n2. 100 \\n3. 2 \\n4. 45\\n5. \\n6. 16\\n7. (1) \\n (2) \\n (3) \\n (4) \\n\\n연습문제(A)-부피 및 겉넓이\\n1. \\n2. \\n3. (1) (2) \\n4. (1) (2) \\n5. \\n6. \\n7. \\n8. \\n9. \\n10. \\n11. , , \\n \\n12. \\n13. \\n14. \\n15. \\n16. \\n17. \\n\\n연습문제(B)-부피 및 겉넓이\\n1. (1) 49 (2) 3 \\n2. \\n3. \\n4. \\n5. \\n6. \\n7. \\n8. \\n9. \\n10. \\n11. \\n12. \\n13. \\n14. (1) \\n(2) \\n(3) \\n15. \\n16. \\n17. -1\\n18. (1) (2) \\n19. 부피 : \\n 겉넓이 :\\n \\n20. \\n\\n연습문제 (A)-속도와 거리\\n1. 20 \\n2. (1) 2,4 (2) \\n (3) 4 (4) 3\\n3. \\n4. \\n5. 120 \\n6. \\n7. \\n8. \\n9. (1) 13 (2) \\n10. 5 \\n11. 18 \\n12. 25\\n\\n연습문제(B)-속도와 거리\\n1. \\n2. \\n3. \\n4. \\n5. (1) \\n\\n\\n1\\n\\n\\n\\n (2) 6 \\n6. \\n7. \\n8. 83\\n9. 17\\n10. \\n11.\\n\\n대단원 종합문제\\n1.(1)\\n(2)\\n(3)\\n\\n2.(1)\\n \\n \\n (2) \\n (3) (준식) \\n \\n (4)\\n\\n (5)\\n (6)\\n3.(1)가 홀수일 때, \\n 가 짝수일 때, \\n (2) 이 홀수일 때, \\n 이 짝수일 때, \\n\\n4.(1) , \\n (2)\\n\\n5.(1)\\n (2)\\n (3)인 경우\\n* : 값이 없음\\n* 또는 : \\n인 경우 \\n* 또는 : 값이 없음\\n* 또는 이고 또는 인 경우 \\n :\\n (4)\\n \\n \\n \\n\\n6. (1) 함수 가 닫힌 구간 에서 연속이고 열린 구간 에서 미분가능할 때 가 되는 가 열린 구간 안에 적어도 하나 존재한다.\\n (2) 라 하면 이므로 평균값 정리의 가정을 모두 만족한다.\\n \\n 즉, 가 되는 가 안에 적어도 하나 존재한다.\\n(3) 성립하지 않는다. \\n 반례: \\n\\n7. (1) \\n (2) \\n\\n8. (1) , \\n (2) \\n (3) \\n\\n9. (1) (2) (3) \\n\\n10. \\n \\n \\n\\n11. \\n\\n12. (1) ① : , ② \\n (2) \\n\\n13. \\n \\n교과서에 사용한 그림 출처\\n\\n1. 적분과 통계, 미래엔컬쳐 \\n\\n2. 정적분 §1. 구분구적법 33p\\n2. 정적분 §1. 구분구적법 34p\\n2. 정적분 §1. 구분구적법 35p\\n2. 정적분 §1. 구분구적법 39p\\n\\n2. Thomas’ Calculus(미분적분학) The 11th edition, Weir Hass Giordano, 수학교육편찬위원회 옮김, Pearson(청문각).\\n\\n3. 정적분의 활용 §2. 부피\\n구의 부피 507p\\n좌표축을 축으로 회전한 회전체의 부피 2 520p\\n두 그래프로 둘러싸인 부분을 회전시킨 입체의 부피 510p\\n연습문제B – 부피와 겉넓이 561p\\n'" | |
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