01-numeros.ipynb

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      "Representa\u00e7\u00e3o dos n\u00fameros no computador\n",
      "=======\n",
      "Neste aula estudaremos como s\u00e3o representados os n\u00fameros no computador e como isso interfere em sua aritm\u00e9tica.\n",
      "\n",
      "Base\n",
      "----\n",
      "Se fixamos um n\u00famero natural $\\beta > 1$, que se chamar\u00e1 *base* do sistema, podemos representar todo n\u00famero inteiro $k$ como\n",
      ":$$ k = a_n\\beta^n+ a_{n-1}\\beta^{n-1}+\\cdots + a_0$$\n",
      "onde cada $a_i$ \u00e9 um n\u00famero entre $0$ e $\\beta -1$ e $a_n>0$.\n",
      "Dizemos que esta \u00e9 a representa\u00e7\u00e3o de $k$ na base $\\beta$ e denotamos $k=[a_n...a_0]_{\\beta}$. Podemos pensar no n\u00famero $\\beta$ como  o valor m\u00e1ximo de agrupamentos que conseguimos distinguir, e para contarmos, dividimos tudo em grupos de tamanho m\u00e1ximo $\\beta$."
     ]
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     "source": [
      "Representa\u00e7\u00e3o dos reais\n",
      "-----\n",
      "Se $x$ \u00e9 um n\u00famero real no intervalo $(0,1)$ podemos represent\u00e1-lo como\n",
      ":$$ x= \\sum_{k=1}^\\infty \\frac{b_k}{\\beta^k} $$\n",
      "A sequ\u00eancia de $b_k$ pode ser infinita e n\u00e3o \u00e9 \u00fanica, denotaremos o n\u00famero como $x=[0.b_1b_2\\dots]_{\\beta}$\n",
      "\n",
      "A fun\u00e7\u00e3o descrita abaixo d\u00e1 a representa\u00e7\u00e3o bin\u00e1ria de um n\u00famero na representa\u00e7\u00e3o decimal."
     ]
    },
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     "input": [
      "def binario(a):\n",
      "    # da a representacao binaria do numero a \n",
      "    ParteInteira = int(a)\n",
      "    ParteDecimal = a-int(a)\n",
      "    # representacao binaria da parte inteira\n",
      "    # a lista seguinte guarda os d\u00edgitos da parte inteira\n",
      "    ListaDigitos=[]\n",
      "    while (ParteInteira > 0):\n",
      "        ListaDigitos.append(ParteInteira%2)\n",
      "        ParteInteira=ParteInteira//2\n",
      "    # lista dos digitos depois da virgula\n",
      "    ListaResto=[]\n",
      "    k=1\n",
      "    while ((ParteDecimal!=0)&(k<50)):\n",
      "        ListaResto.append(int(2*ParteDecimal))\n",
      "        ParteDecimal=2*ParteDecimal - int(2*ParteDecimal)\n",
      "        k=k+1\n",
      "    # produz a string de representacao:\n",
      "        \n",
      "    i=len(ListaDigitos)-1\n",
      "    p1=\"\"\n",
      "    while (i>=0):\n",
      "        p1=p1+str(ListaDigitos[i])\n",
      "        i=i-1\n",
      "    # Depois disso p1 tem a parte inteira\n",
      "    l=0\n",
      "    p2=\"\"\n",
      "    while (l<len(ListaResto)):\n",
      "        p2=p2+str(ListaResto[l])\n",
      "        l=l+1\n",
      "    \n",
      "    return p1+\".\"+p2\n",
      "    \n",
      "\n",
      "print (binario(21.75))\n"
     ],
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      "binario(0.1)"
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        "'.0001100110011001100110011001100110011001100110011'"
       ]
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     ],
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    },
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     "source": [
      "Representa\u00e7\u00e3o em Ponto Flutuante\n",
      "----\n",
      "\n",
      "Consideramos uma base fixa $\\beta > 1$. Um n\u00famero real $\\alpha \\in \\mathbb{R}$ positivo pode ser escrito nesta base como:\n",
      ":$$\\alpha = [a_k\\cdots a_0.b_1b_2\\cdots]_{\\beta} $$\n",
      "Isto significa que:\n",
      ":$$\\alpha = a_k\\beta^k + \\cdots + a_0 + \\frac{b_1}{\\beta} +\\frac{b_2}{\\beta^2} + \\cdots $$\n",
      "Na equa\u00e7\u00e3o acima, colocando $\\beta^{k+1}$ em evid\u00eancia temos:\n",
      ":$$\\alpha = \\left( \\frac{a_k}{\\beta} + \\cdots + \\frac{a_0}{\\beta^{k+1}} + \\frac{b_1}{\\beta^{k+2}} +\\frac{b_2}{\\beta^{k+3}} + \\cdots\\right)\\times \\beta^{k+1} $$\n",
      "ou ainda, lembrando da nota\u00e7\u00e3o de um n\u00famero numa base dada:\n",
      ":$$\\alpha = [0.a_k \\cdots a_0 b_1 b_2\\cdots]_{\\beta} \\times  \\beta^{k+1} $$\n",
      "Esta \u00faltima f\u00f3rmula \u00e9 importante. O n\u00famero real $ \\alpha$ fica caracterizado por tr\u00eas dados:\n",
      "\n",
      "* O n\u00famero $ m = [0.a_k \\cdots a_0 b_1 b_2\\cdots]_{\\beta} \\in [0.1,1)$ chamado de **mantissa**.\n",
      "* O n\u00famero $e = k+1 $ chamado de **expoente**\n",
      "* O sinal do n\u00famero $\\sigma$\n",
      "\n",
      "Esta representa\u00e7\u00e3o do n\u00famero $\\alpha$ como $\\sigma m \\times \\beta^e$ chamaremos de **representa\u00e7\u00e3o normal em ponto flutuante** na base $\\beta$.\n",
      "Em geral a base fica clara pelo contexto!"
     ]
    },
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     "source": [
      "N\u00fameros de M\u00e1quina\n",
      "----\n",
      "Se fixamos uma base, $\\beta$, a quantidade de d\u00edgitos na mantissa, $\\mathbf{m}$ e limite para o expoente, $|e|\\leq M$, temos o subconjunto finito de $\\mathbb{R}$\n",
      "\n",
      "  $$ \\mathbb{M}= \\{ 0.d_1\\dots d_{\\mathbf{m}} \\times \\beta^{e} \\text{ com } |e|\\leq M\\}$$ \n",
      "\n",
      "que \u00e9 chamado de conjunto de n\u00fameros de m\u00e1quina."
     ]
    },
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     "source": [
      "Arredondamento\n",
      "----\n",
      "Uma fun\u00e7\u00e3o\n",
      "\n",
      "$$ A: \\mathbb{R} \\to \\mathbb{M} $$\n",
      "\n",
      "\u00e9 uma ma fun\u00e7\u00e3o de arredondamento se preserva a ordem e restrita ao conjunto $\\mathbb{M}$ \u00e9 a identidade.\n",
      "Dois s\u00e3o os arredondamentos mais t\u00edpicos. \n",
      "\n",
      "* $\\text{rd}(x)$ \u00e9 o n\u00famero de m\u00e1quina mais pr\u00f3ximo de $x$.\n",
      "* $\\text{tr}(x)$ \u00e9 o n\u00famero de m\u00e1quina obtido pelo truncamento dos d\u00edgitos de ordem $m+1$ em diante, na representa\u00e7\u00e3o normal do n\u00famero x.\n"
     ]
    },
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     "source": [
      "Erros absolutos e erros relativos\n",
      "----\n",
      "\n",
      "Se $x$ e $y$ s\u00e3o dois n\u00fameros consecutivos de $\\mathbb{M}$ ent\u00e3o temos\n",
      "\n",
      "$ x = 0.d_1\\dots d_m \\times \\beta^e$ e $y = (0.d_1\\dots d_m + \\beta^{-m})\\times \\beta^e$ e a diferen\u00e7a d\u00e1:\n",
      "\n",
      "$|x-y| = \\beta^{e-m}$\n",
      "\n",
      "Se x \u00e9 um n\u00famero real qualquer ent\u00e2o\n",
      "\n",
      "$|x-\\text{rd}(x)| \\leq \\frac{\\beta^{e-m}}{2}$\n",
      "\n",
      "e o erro relativo\n",
      "\n",
      "$$ \\frac{|x-\\text{rd}(x)|}{|x|} \\leq \\frac{\\beta^{e-m}}{2|x|}$$\n",
      "\n",
      "e como sabemos que $\\beta^{e-1} \\leq x \\leq \\beta^{e}$ concluimos que\n",
      "\n",
      "$$ \\frac{|x-\\text{rd}(x)|}{|x|} \\leq \\frac{\\beta^{e-m}}{2\\beta^{e-1}}= \\frac{\\beta^{m+1}}{2}$$"
     ]
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