Differentiation Formulas

DifferentiationFormulas.ipynb

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  {
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   "source": [
    "### Differentiation Formulas\n",
    "- [分数関数の微分](https://mathwords.net/bunsunobibun)\n",
    "- [合成関数の微分公式と例題７問](https://mathtrain.jp/composite)\n",
    "- [積の微分公式とその証明の味わい](https://mathtrain.jp/sekinobibun)\n",
    "- [ライプニッツの公式の証明と二項定理](https://mathtrain.jp/leibniz)"
   ]
  },
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   "cell_type": "markdown",
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    "#### 分数関数の微分公式"
   ]
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      "text/latex": [
       "次の分数関数を考える。\n",
       "<br><br>\n",
       "$$\\frac{f(x)}{g(x)}$$\n",
       "<br><br>\n",
       "この微分は以下である。\n",
       "<br><br>\n",
       "$$\\frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}$$"
      ],
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       "<IPython.core.display.Latex object>"
      ]
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    }
   ],
   "source": [
    "%%latex\n",
    "次の分数関数を考える。\n",
    "<br><br>\n",
    "$$\\frac{f(x)}{g(x)}$$\n",
    "<br><br>\n",
    "この微分は以下である。\n",
    "<br><br>\n",
    "$$\\frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}$$"
   ]
  },
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    "#### 合成関数の微分公式"
   ]
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      "text/latex": [
       "<b>考え方1</b>\n",
       "<br>\n",
       "$$y$$が$$u$$の関数で,$$u$$が$$x$$の関数であるとき,$$y$$を$$x$$で微分したものは以下のようになる。\n",
       "<br><br>\n",
       "$$\\frac{dy}{dx} = \\frac{dy}{du}\\frac{du}{dx}$$\n",
       "<br><br>\n",
       "<b>考え方2</b>\n",
       "<br>\n",
       "具体的に二つの関数を$$u=g(x), y=f(u)$$とおくと,以下のように書くこともできる。\n",
       "<br><br>\n",
       "$$f(g(x))'=f'(g(x))g'(x)$$"
      ],
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       "<IPython.core.display.Latex object>"
      ]
     },
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    }
   ],
   "source": [
    "%%latex\n",
    "<b>考え方1</b>\n",
    "<br>\n",
    "$$y$$が$$u$$の関数で,$$u$$が$$x$$の関数であるとき,$$y$$を$$x$$で微分したものは以下のようになる。\n",
    "<br><br>\n",
    "$$\\frac{dy}{dx} = \\frac{dy}{du}\\frac{du}{dx}$$\n",
    "<br><br>\n",
    "<b>考え方2</b>\n",
    "<br>\n",
    "具体的に二つの関数を$$u=g(x), y=f(u)$$とおくと,以下のように書くこともできる。\n",
    "<br><br>\n",
    "$$f(g(x))'=f'(g(x))g'(x)$$"
   ]
  },
  {
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    "#### 積の微分公式"
   ]
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    {
     "data": {
      "text/latex": [
       "$$f(x),g(x)$$が、考えている区間で微分可能な時、この積の微分は以下のようになる。\n",
       "<br><br>\n",
       "$$\\{f(x)g(x)\\}' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$"
      ],
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       "<IPython.core.display.Latex object>"
      ]
     },
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    }
   ],
   "source": [
    "%%latex\n",
    "$$f(x),g(x)$$が、考えている区間で微分可能な時、この積の微分は以下のようになる。\n",
    "<br><br>\n",
    "$$\\{f(x)g(x)\\}' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$"
   ]
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    "#### ライプニッツの公式\n",
    "上の積の微分公式の一般化。"
   ]
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   "execution_count": 37,
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   },
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    {
     "data": {
      "text/latex": [
       "$$f,g,h$$を$$x$$の関数とする。関数の積は以下のように微分できる。\n",
       "<br><br>\n",
       "$$(fg)' = f'g + fg'$$\n",
       "<br><br>\n",
       "$$(fg)'' = f''g + 2f'g' + fg''$$\n",
       "<br><br>\n",
       "$$(fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'$$\n",
       "<br><br>\n",
       "上の二番目の公式を一般化し、微分回数を任意の回数nとする。つまり$$fg$$のn回微分は以下のようになる。\n",
       "<br><br>\n",
       "$$(fg)^{(n)} = \\sum_{k=0}^n {}_n C_k f^{(k)} g^{(n-k)}$$\n",
       "<br><br>\n",
       "次に積を取る関数の数を m 個に増やし,$$f_1,f_2,...,f_m$$のn回微分を考えると以下のようになる。\n",
       "<br><br>\n",
       "$$(f_1f_2...f_m)^{(n)} = \n",
       "\\sum_{k_i\\ge 0,\\sum k_i=n} (\\frac{n!}{\\prod_{i=1}^m k_i!} \\prod_{i=1}^m f_i^{(k_i)})$$"
      ],
      "text/plain": [
       "<IPython.core.display.Latex object>"
      ]
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     "output_type": "display_data"
    }
   ],
   "source": [
    "%%latex\n",
    "$$f,g,h$$を$$x$$の関数とする。関数の積は以下のように微分できる。\n",
    "<br><br>\n",
    "$$(fg)' = f'g + fg'$$\n",
    "<br><br>\n",
    "$$(fg)'' = f''g + 2f'g' + fg''$$\n",
    "<br><br>\n",
    "$$(fgh)' = f'gh + fg'h + fgh'$$\n",
    "<br><br>\n",
    "上の二番目の公式を一般化し、微分回数を任意の回数nとする。つまり$$fg$$のn回微分は以下のようになる。\n",
    "<br><br>\n",
    "$$(fg)^{(n)} = \\sum_{k=0}^n {}_n C_k f^{(k)} g^{(n-k)}$$\n",
    "<br><br>\n",
    "次に積を取る関数の数を m 個に増やし,$$f_1,f_2,...,f_m$$のn回微分を考えると以下のようになる。\n",
    "<br><br>\n",
    "$$(f_1f_2...f_m)^{(n)} = \n",
    "\\sum_{k_i\\ge 0,\\sum k_i=n} (\\frac{n!}{\\prod_{i=1}^m k_i!} \\prod_{i=1}^m f_i^{(k_i)})$$"
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