Euler-Maclaurin 公式

EulerMaclaurin.ipynb

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 "cells": [
  {
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   "source": [
    "# Euler Maclaurin 公式\n",
    "このノートは、Dingle, Proc. Roy. Soc. A211, p.500 (1952)のAppendixの行間を埋めるノートである。"
   ]
  },
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   "source": [
    "## Diracの櫛関数\n",
    "Diracの櫛関数を\n",
    "$$\n",
    "  \\mathfrak{m}_T (x) =  \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty} \\delta(x-n T) \n",
    "$$\n",
    "と定義する。これは周期$T$の周期関数であり、$x$が$nT$と等しいところでデルタ関数ピークが立っている。\n",
    "周期関数であるからFourier級数をつかって\n",
    "$$\n",
    "\\mathfrak{m}_T (x) = \\sum_{\\ell=-\\infty}^\\infty e^{2\\pi i\\ell x / T}\n",
    "$$\n",
    "と展開することができ、周期$T=1$とすれば\n",
    "$$\n",
    " \\mathfrak{m}_1 (x) = \\mathfrak{m} (x)=\n",
    "  \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty} \\delta(x-n )  = \\sum_{\\ell=-\\infty}^\\infty e^{2\\pi i\\ell x }\n",
    "$$\n",
    "となる。\n"
   ]
  },
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   "source": [
    "## Poissonの和公式\n",
    "Diracの櫛関数を使うと、Poissonの和公式を得ることができる。\n",
    "$$\n",
    "\\sum_{n=-\\infty}^{\\infty} f(n) = \\int_{-\\infty}^{\\infty} {dx} f(x) \\mathfrak{m} (x) =  \\sum_{\\ell=-\\infty}^{\\infty} \\int_{-\\infty}^{\\infty} f(x) e^{2\\pi i \\ell x}dx\n",
    "$$"
   ]
  },
  {
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   "source": [
    "## Euler-Maclaurin公式\n",
    "Poissonの和公式より\n",
    "$$\n",
    "\\sum_{n=1}^{\\infty} f(n) + \\dfrac{1}{2} f(0) =  \\sum_{\\ell=-\\infty}^{\\infty} \\int_{0}^{\\infty} f(x) e^{2\\pi i \\ell x}dx\n",
    "$$\n",
    "が成立する。\n",
    "左辺の$f(0)$の項は、デルタ関数が積分の下限ちょうどでピークをもつことから$1/2$がついている。右辺で$ \\ell=0$の項を取り出すと、\n",
    "$$\n",
    "\\sum_{n=1}^{\\infty} f(n) + \\dfrac{1}{2} f(0) =  \\int_{0}^{\\infty} f(x)  dx+ \\sum_{\\ell=-\\infty}^{\\infty\\, \\prime} \\int_{0}^{\\infty} f(x) e^{2\\pi i \\ell x}dx\n",
    "$$\n",
    "となる。和のプライムは$\\ell=0$の項を取り除いていることを表している。\n"
   ]
  },
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   "source": [
    "$f(x)$が無限遠で十分にはやく$0$になることを仮定し、積分を逐次部分積分していくと、\n",
    "$$\n",
    "\\begin{align}\n",
    " \\int_{0}^{\\infty} f(x) e^{2\\pi i \\ell x}dx & = \\left.\\dfrac{1}{2\\pi i \\ell}e^{2\\pi i \\ell x} f(x)\\right\\rvert_{0}^{\\infty}  - \\int_{0}^{\\infty}\\dfrac{1}{2\\pi i \\ell}e^{2\\pi i \\ell x} f'(x) dx\\\\\n",
    " & = -\\dfrac{1}{2\\pi i \\ell} f(0) +\\dfrac{1}{(2\\pi i \\ell)^{2}}  f'(0) + \\int_{0}^{\\infty}\\dfrac{1}{(2\\pi i \\ell)^{2}}e^{2\\pi i \\ell x} f''(x) dx\\\\ & = \\sum_{r=1}^{\\infty} \\dfrac{(-1)^{r}}{(2\\pi i \\ell)^{r}} f^{(r-1)}(0)\n",
    "\\end{align}\n",
    "$$\n",
    "となる。\n"
   ]
  },
  {
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   "source": [
    "さらに$\\ell$に関する和の項はRiemannのゼータ関数 $\\zeta (r)$ をつかって\n",
    "$$\n",
    "\\begin{align}\n",
    "\\sum_{\\ell=-\\infty}^{\\infty\\, \\prime} \\int_{0}^{\\infty} f(x) e^{2\\pi i \\ell x}dx & = \n",
    "\\sum_{\\ell=-\\infty}^{\\infty\\, \\prime}\\sum_{r=1}^{\\infty} \\dfrac{(-1)^{r}}{(2\\pi i \\ell)^{r}} f^{(r-1)}(0)\\\\\n",
    "& = \n",
    "\\sum_{r=1}^{\\infty}f^{(r-1)}(0)   \\dfrac{(-1)^{r}}{(2\\pi i )^{r}} \\sum_{\\ell=-\\infty}^{\\infty\\, \\prime}  \\dfrac{1}{ \\ell^{r}} \\\\\n",
    "& = \\sum_{r=1}^{\\infty}f^{(r-1)}(0)   \\dfrac{(-1)^{r}}{(2\\pi i )^{r}} ( 1 + (-1)^{r} ) \\zeta(r)\n",
    "\\end{align}\n",
    "$$\n",
    "と表す事ができる。これをみると$r$が奇数の項は落ち、偶数の項だけ残ることがわかる。\n"
   ]
  },
  {
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   "metadata": {},
   "source": [
    "\n",
    "偶数引き数のRiemannゼータ関数はBernoulli数で表す事ができる。\n",
    "[参考 Wikipedia](https://en.wikipedia.org/wiki/Bernoulli_number)\n",
    "$$\n",
    "B_{2\\nu} = \\dfrac{(-1)^{\\nu+1} 2 (2\\nu)! }{(2\\pi)^{2\\nu}} \\zeta(2\\nu)\n",
    "$$\n",
    "よって\n",
    "$$\n",
    "\\sum_{\\ell=-\\infty}^{\\infty\\, \\prime} \\int_{0}^{\\infty} f(x) e^{2\\pi i \\ell x}dx  = - \\sum_{\\nu=1}^{\\infty}\n",
    "     \\dfrac{     B_{2\\nu}}{  (2\\nu)! }  f^{(2\\nu-1)}(0)\n",
    "$$\n",
    "となる。\n",
    "初めの数項を展開すると\n",
    "$$\n",
    "\\begin{align}\n",
    "\\sum_{\\ell=-\\infty}^{\\infty\\, \\prime} \\int_{0}^{\\infty} f(x) e^{2\\pi i \\ell x}dx  & = -    \\dfrac{     B_{2}}{  2! } f^{(1)}(0)   -     \\dfrac{     B_{4}}{  4! } f^{(3)}0)  -     \\dfrac{     B_{6}}{  6! } f^{(5)}(0)  -\\dots\\\\\n",
    "& = -     \\dfrac{     1}{6   } \\dfrac{     1}{  2! } f^{(1)}(0)  +     \\dfrac{     1}{ 30  } \\dfrac{     1}{  4! }  f^{(3)}(0) -    \\dfrac{     1}{42   }  \\dfrac{     1}{  6! }  f^{(5)}(0)  - \\dots\n",
    "\\end{align}\n",
    "$$\n",
    "となる。\n",
    "\n"
   ]
  },
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   "source": [
    "すべて合わせると\n",
    "$$\n",
    "\\begin{align}\n",
    "\\sum_{n=1}^{\\infty} f(n)  & =  \\int_{0}^{\\infty} f(x)  dx - \\dfrac{1}{2} f(0)- \\dfrac{     1}{6  }   \\dfrac{     1}{ 2! } f^{(1)}(0) +   \\dfrac{     1}{ 30  }     \\dfrac{     1}{ 4! } f^{(3)}(0) -    \\dfrac{     1}{42   }  \\dfrac{     1}{  6! }  f^{(5)}(0) - \\dots\n",
    "\\end{align}\n",
    "$$\n",
    "または\n",
    "$$\n",
    "\\begin{align}\n",
    "\\sum_{n=0}^{\\infty} f(n)  & =  \\int_{0}^{\\infty} f(x)  dx + \\dfrac{1}{2} f(0)- \\dfrac{     1}{6  }   \\dfrac{     1}{ 2! } f^{(1)}(0) +   \\dfrac{     1}{ 30  }     \\dfrac{     1}{ 4! } f^{(3)}(0) -    \\dfrac{     1}{42   }  \\dfrac{     1}{  6! }  f^{(5)}(0) - \\dots\n",
    "\\end{align}\n",
    "$$\n",
    "となりEuler-Maclaurin公式を得る。\n"
   ]
  },
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   "source": [
    "## 半整数公式\n",
    "統計力学への応用(Landau反磁性)では、半整数での和を積分で表さなければならない。"
   ]
  },
  {
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   "source": [
    "Euler-Maclaurin公式を示すときに出発点としたPoissonの和公式で$f(n)= g(n+1/2)$とすると\n",
    "$$\n",
    "\\sum_{n=1}^{\\infty} g(n+1/2) + \\dfrac{1}{2} g(1/2) =  \\sum_{\\ell=-\\infty}^{\\infty} \\int_{0}^{\\infty} g(x+1/2) e^{2\\pi i \\ell x}dx\n",
    "$$\n",
    "和を$0$からに取り直し、あらためて$g$を$f$と書くと、\n",
    "$$\n",
    "\\sum_{n=0}^{\\infty} f(n+1/2) - \\dfrac{1}{2} f(1/2) =  \\sum_{\\ell=-\\infty}^{\\infty} \\int_{0}^{\\infty} f(x+1/2) e^{2\\pi i \\ell x}dx\n",
    "$$\n",
    "この右辺の積分を\n",
    "$$\n",
    " \\sum_{\\ell=-\\infty}^{\\infty}\\int_{0}^{\\infty} f(x+1/2) e^{2\\pi i \\ell x}dx =- \\sum_{\\ell=-\\infty}^{\\infty}\\int_{-1/2}^{0} f(x+1/2) e^{2\\pi i \\ell x}dx + \\sum_{\\ell=-\\infty}^{\\infty}\\int_{-1/2}^{\\infty} f(x+1/2) e^{2\\pi i \\ell x}dx \n",
    "$$\n",
    "と分解する。\n"
   ]
  },
  {
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   "source": [
    "ここでDiracの櫛関数のFourier級数の表現を思い出して、この分解の第一項は、\n",
    "$$\n",
    " \\sum_{\\ell=-\\infty}^{\\infty}\\int_{-1/2}^{0} f(x+1/2) e^{2\\pi i \\ell x}dx  = \n",
    "\\int_{-1/2}^{0} f(x+1/2) \\sum_{n=-\\infty}^{\\infty} \\delta (x-n)  dx = \\dfrac{1}{2} f(\\frac{1}{2})\n",
    "$$\n",
    "となる。\n",
    "よって\n",
    "$$\n",
    "\\sum_{n=0}^{\\infty} f(n+1/2)  =  \\sum_{\\ell=-\\infty}^{\\infty} \\int_{-1/2}^{\\infty} f(x+1/2) e^{2\\pi i \\ell x}dx\n",
    "$$\n"
   ]
  },
  {
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   "source": [
    "積分で$x+1/2\\to x$と変数変換すると\n",
    "$$\n",
    "\\sum_{n=0}^{\\infty} f(n+1/2)  =  \\sum_{\\ell=-\\infty}^{\\infty} e^{-\\pi i \\ell } \\int_{0}^{\\infty} f(x) e^{2\\pi i \\ell x}dx\n",
    "= \\sum_{\\ell=-\\infty}^{\\infty} (-1)^{ \\ell } \\int_{0}^{\\infty} f(x) e^{2\\pi i \\ell x}dx\n",
    "$$\n",
    "となる。\n",
    "$\\ell=0$の項を取りだし、\n",
    "$$\n",
    "\\sum_{n=0}^{\\infty} f(n+1/2)  \n",
    "= \n",
    " \\int_{0}^{\\infty} f(x) dx\n",
    "+\\sum_{\\ell=-\\infty}^{\\infty\\prime} (-1)^{ \\ell } \\int_{0}^{\\infty} f(x) e^{2\\pi i \\ell x}dx\n",
    "$$\n",
    "最後の項で、Euler-Maclaurinの時と同様に積分を逐次部分積分すると、\n",
    "$$\n",
    "\\sum_{\\ell=-\\infty}^{\\infty\\prime} (-1)^{ \\ell } \\int_{0}^{\\infty} f(x) e^{2\\pi i \\ell x}dx \n",
    " =  \\sum_{r=1}^{\\infty}    f^{(r-1)}(0)   \\dfrac{(-1)^{r}}{(2\\pi i )^{r}}  \\left( -1 + (-1)^{r+1}\n",
    "\\right) \\eta(r)\n",
    "$$\n",
    "となる。ここで$\\eta(r)$はDirichletのエータ関数である。\n"
   ]
  },
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   "source": [
    "この場合も$r$の奇数べきはおちて\n",
    "$$\n",
    "\\sum_{\\ell=-\\infty}^{\\infty\\prime} (-1)^{ \\ell } \\int_{0}^{\\infty} f(x) e^{2\\pi i \\ell x}dx  \n",
    "= -  \\sum_{\\nu=1}^{\\infty}    f^{(2\\nu-1)}(0)   \\dfrac{2(-1)^{\\nu}}{(2\\pi  )^{2\\nu}}   \\eta(2\\nu)\n",
    "$$\n",
    "となる。\n",
    "\n",
    "Dirichletのエータ関数はRiemannのゼータ関数と\n",
    "$$\n",
    "\\begin{align}\n",
    "\\zeta(s) - \\eta(s) & = \\sum_{n=1}^{\\infty} \\dfrac{1}{n^{s}} - \\sum_{n=1}^{\\infty} \\dfrac{(-1)^{n+1}}{n^{s}} \n",
    "= \\sum_{n=1}^{\\infty} \\dfrac{1-(-1)^{n+1}}{n^{s}} \\\\\n",
    "& = \\sum_{n=1}^{\\infty} \\dfrac{2}{(2n)^{s}} = 2^{1-s} \\zeta (s)\n",
    "\\end{align}\n",
    "$$\n",
    "という関係があり、ゼータ関数で表すことができる。\n"
   ]
  },
  {
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   "source": [
    "よって\n",
    "$$\n",
    "\\sum_{\\ell=-\\infty}^{\\infty\\prime} (-1)^{ \\ell } \\int_{0}^{\\infty} f(x) e^{2\\pi i \\ell x}dx  \n",
    "=   \\sum_{\\nu=1}^{\\infty}    (1-2^{1-2\\nu})   \n",
    "\\dfrac{B_{2\\nu}} { (2\\nu)! } f^{(2\\nu-1)}(0)  \n",
    "$$\n",
    "を得る。\n",
    "最初の数項を書くと\n",
    "$$\n",
    "\\begin{align}\n",
    "\\sum_{\\ell=-\\infty}^{\\infty\\prime} (-1)^{ \\ell } \\int_{0}^{\\infty} f(x) e^{2\\pi i \\ell x}dx  \n",
    "&=          \\dfrac{1}{2}   \\dfrac{1}{6}   \\dfrac{1} { 2! } f^{(1)}(0)-         \\dfrac{7}{8}      \\dfrac{1}{30}  \\dfrac{1} { 4! }f^{(3)}(0)  +       \\dfrac{31}{32}  \\dfrac{1}{42}     \\dfrac{1} { 6! } f^{(5)}(0)   \n",
    "      + \\dots      \n",
    "\\end{align}\n",
    "$$\n",
    "よって\n",
    "$$\n",
    "\\sum_{n=0}^{\\infty} f(n+1/2)  \n",
    "=  \\int_{0}^{\\infty} f(x) dx+         \\dfrac{1}{2}   \\dfrac{1}{6}   \\dfrac{1} { 2! } f^{(1)}(0)-         \\dfrac{7}{8}      \\dfrac{1}{30}  \\dfrac{1} { 4! }f^{(3)}(0)  +       \\dfrac{31}{32}  \\dfrac{1}{42}     \\dfrac{1} { 6! } f^{(5)}(0)         + \\dots    \n",
    "$$\n",
    "となる。\n"
   ]
  },
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   "source": [
    "## 物理を学ぶ人向け問題"
   ]
  },
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   "source": [
    "半整数公式を量子力学にしたがう一次元の調和振動子の分配関数\n",
    "$$\n",
    "Z=\\sum_{n=0}^\\infty e^{\\beta \\hbar  \\omega(n+1/2) }\n",
    "$$\n",
    "に応用せよ。エネルギーの期待値を計算し厳密解と比較することで、この場合の展開の物理的意味を考察せよ。(結果をグラフにして比較すると分かり易い。)"
   ]
  }
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