Created
February 20, 2022 11:12
-
-
Save vladimir-vg/853256b394f146a01a4dfa15077dbfe4 to your computer and use it in GitHub Desktop.
This file contains bidirectional Unicode text that may be interpreted or compiled differently than what appears below. To review, open the file in an editor that reveals hidden Unicode characters.
Learn more about bidirectional Unicode characters
| { | |
| "nbformat": 4, | |
| "nbformat_minor": 0, | |
| "metadata": { | |
| "colab": { | |
| "name": "M. Arting, Algebra, Chapter 2, 5.5", | |
| "provenance": [], | |
| "collapsed_sections": [] | |
| }, | |
| "kernelspec": { | |
| "name": "python3", | |
| "display_name": "Python 3" | |
| }, | |
| "language_info": { | |
| "name": "python" | |
| } | |
| }, | |
| "cells": [ | |
| { | |
| "cell_type": "markdown", | |
| "source": [ | |
| "Для телеграм блога: https://t.me/VladimirsLoveForMath\n" | |
| ], | |
| "metadata": { | |
| "id": "03dywbWaeFCi" | |
| } | |
| }, | |
| { | |
| "cell_type": "markdown", | |
| "source": [ | |
| "Задача звучит так:" | |
| ], | |
| "metadata": { | |
| "id": "SazNk-KXe4GD" | |
| } | |
| }, | |
| { | |
| "cell_type": "markdown", | |
| "source": [ | |
| "" | |
| ], | |
| "metadata": { | |
| "id": "LNsGC9_XeSsk" | |
| } | |
| }, | |
| { | |
| "cell_type": "markdown", | |
| "source": [ | |
| "По-русски: есть множество $H$ содержащее квадратные $n \\times n$ матрицы $M$ указанного вида. Известно что $A$ и $D$ являются элементами общих линейных групп $GL(\\mathbb{R})$ размерности $n$ и $n-r$ соответственно. Докажите что множество $H$ является подгруппой общей линейной группы размерности $n$. Докажите что отображение $M \\rightsquigarrow A$ является гомоморфизмом. Что будет являться ядром этого гомоморфизма?\n", | |
| "\n", | |
| "Матрица $M$ имеет следующую блоковую форму:\n", | |
| "\n", | |
| "$M = \\left[ \n", | |
| "\\begin{array}{c|c} \n", | |
| " A & B \\\\ \n", | |
| " \\hline \n", | |
| " 0 & D \n", | |
| "\\end{array} \n", | |
| "\\right]$\n", | |
| "\n", | |
| "$GL_n(\\mathbb{R})$, она же полная линейная группа это всего лишь множество обратимых матриц с операцией умножения. Обратимых, значит для каждой существует обратная. " | |
| ], | |
| "metadata": { | |
| "id": "ZxyWooXFe9H1" | |
| } | |
| }, | |
| { | |
| "cell_type": "markdown", | |
| "source": [ | |
| "# Ещё раз, что нужно сделать?\n", | |
| "\n", | |
| "Задача звучит громоздко, но если конкретизировать, то всё становится понятным.\n", | |
| "\n", | |
| "Ясно что $H$ является подмножеством $GL_n(\\mathbb{R})$, а значит что если $H$ будет группой, то автоматически будет подгруппой $GL_n(\\mathbb{R})$ если у них общая единица. Нужно доказать что $H$ образует группу. А именно:\n", | |
| "\n", | |
| "1) Доказать что для любых $M_1, M_2 \\in H$ будет верно что произведения $M_1 M_2 \\in H$, $M_2 M_1 \\in H$.\n", | |
| "\n", | |
| "2) Доказать что для любого $M\\in H$ существует $M^{-1}\\in H$, такой что $M M^{-1} = M^{-1} M = I$.\n", | |
| "\n", | |
| "3) Доказать что существует $I\\in H$, такой что $MI = IM = M$. Ну это очевидно, достаточно подобрать $A = I$, $B = 0$, $D = I$. Доказали прямо на месте, можно опустить.\n", | |
| "\n", | |
| "Этих трёх пунктов достаточно чтобы $H$ образовала группу.\n", | |
| "\n", | |
| "Кроме того нам нужно доказать что отображение $\\varphi : H → GL_r(\\mathbb{R})$ является гомоморфизмом. А именно:\n", | |
| "\n", | |
| "$\\varphi \\left(\\left[ \n", | |
| "\\begin{array}{c|c} \n", | |
| " A & B \\\\ \n", | |
| " \\hline \n", | |
| " 0 & D \n", | |
| "\\end{array} \n", | |
| "\\right]\\right) = A$\n", | |
| "\n", | |
| "4) Доказать что для любых $M_1, M_2 \\in H$ будет верно $\\varphi(M_1 M_2) = \\varphi(M_1) \\varphi(M_2)$\n", | |
| "\n", | |
| "5) Доказать что $\\varphi(I) = I$. Доказывается тривиально, можно опустить.\n", | |
| "\n", | |
| "6) И последняя часть, нужно найти ядро $\\varphi$. Т.е. нужно найти подмножество $K \\subseteq H$, такое что для любого $M \\in K$ будет $\\varphi(M) = I$.\n", | |
| "\n" | |
| ], | |
| "metadata": { | |
| "id": "Zwm5sV3ih_If" | |
| } | |
| }, | |
| { | |
| "cell_type": "markdown", | |
| "source": [ | |
| "# Ещё раз, что нам известно?\n", | |
| "\n", | |
| "Нам известно, что матрицы $A \\in GL_r(\\mathbb{R})$ и $D \\in GL_{r-n}(\\mathbb{R})$. Это значит что существуют $A^{-1}$ и $D^{-1}$.\n", | |
| "\n", | |
| "Кроме того, нам известно что матрицы представленные в блоковой форме (как наша $M$) можно умножать таким образом:\n", | |
| "\n", | |
| "$\n", | |
| "\\left[ \n", | |
| "\\begin{array}{c|c} \n", | |
| " A_{11} & A_{12} \\\\ \n", | |
| " \\hline \n", | |
| " A_{21} & A_{22} \n", | |
| "\\end{array} \n", | |
| "\\right] \\left[ \n", | |
| "\\begin{array}{c|c} \n", | |
| " B_{11} & B_{12} \\\\ \n", | |
| " \\hline \n", | |
| " B_{21} & B_{22} \n", | |
| "\\end{array} \n", | |
| "\\right] = \\left[ \n", | |
| "\\begin{array}{c|c} \n", | |
| " A_{11}B_{11}+A_{12}B_{21} & A_{11}B_{12}+A_{12}B_{22} \\\\ \n", | |
| " \\hline \n", | |
| " A_{21}B_{11}+A_{22}B_{21} & A_{21}B_{12}+A_{22}B_{22} \n", | |
| "\\end{array} \n", | |
| "\\right]\n", | |
| "$\n", | |
| "\n", | |
| "Подробнее про умножение матрицы в блоковой форме можно узнать в первой главе книги." | |
| ], | |
| "metadata": { | |
| "id": "TG7So9W7oNQa" | |
| } | |
| }, | |
| { | |
| "cell_type": "markdown", | |
| "source": [ | |
| "# 1) Для любых $M_1, M_2$: $M_1 M_2 \\in H$, $M_2 M_1 \\in H$.\n", | |
| "\n", | |
| "Давайте просто возьмём две матрицы $M_1$ и $M_2$, перемножим их, и посмотрим может ли результат быть в $H$.\n", | |
| "\n", | |
| "$\n", | |
| "M_1 = \\left[ \n", | |
| "\\begin{array}{c|c} \n", | |
| " A_1 & B_1 \\\\ \n", | |
| " \\hline \n", | |
| " 0 & D_1 \n", | |
| "\\end{array} \n", | |
| "\\right] \\qquad M_2 = \\left[ \n", | |
| "\\begin{array}{c|c} \n", | |
| " A_2 & B_2 \\\\ \n", | |
| " \\hline \n", | |
| " 0 & D_2\n", | |
| "\\end{array} \n", | |
| "\\right]\n", | |
| "$\n", | |
| "\n", | |
| "$M_1 M_2 = \\left[ \n", | |
| "\\begin{array}{c|c} \n", | |
| " A_1 A_2 + B_1 0 & A_1 B_2 + B_1 D_2 \\\\ \n", | |
| " \\hline \n", | |
| " 0 A_2 + D_1 0 & 0 B_2 + D_1 D_2 \n", | |
| "\\end{array} \n", | |
| "\\right] = \\left[ \n", | |
| "\\begin{array}{c|c} \n", | |
| " A_1 A_2 & A_1 B_2 + B_1 D_2 \\\\ \n", | |
| " \\hline \n", | |
| " 0 & D_1 D_2 \n", | |
| "\\end{array} \n", | |
| "\\right]$\n", | |
| "\n", | |
| "Осталось ответить на вопрос, соответствует ли результат той форме, в которой была представлена матрица $M$? Мы имеет ноль в нижней левой части блока. Ясно что $A_1 A_2 \\in GL_r(\\mathbb{R})$ и $D_1 D_2 \\in GL_{n-r}(\\mathbb{R})$. Ограничений на верхний правый блок не накладывалось.\n", | |
| "\n", | |
| "Получается что $M_1 M_2 \\in H$. Для $M_2 M_1$ доказывается точно так же." | |
| ], | |
| "metadata": { | |
| "id": "Xazwv6f4pOnl" | |
| } | |
| }, | |
| { | |
| "cell_type": "markdown", | |
| "source": [ | |
| "# 2) Доказать что существует $M^{-1}$\n", | |
| "\n", | |
| "Попробуем представить как мог бы выглядеть этот $M^{-1}$ элемент. Ясно что нам нужно взять $A^{-1}$ и $D^{-1}$ для главной диагонали. Пусть:\n", | |
| "\n", | |
| "$M^{-1} = \\left[ \n", | |
| "\\begin{array}{c|c} \n", | |
| " A^{-1} & B' \\\\ \n", | |
| " \\hline \n", | |
| " 0 & D^{-1} \n", | |
| "\\end{array} \n", | |
| "\\right]$\n", | |
| "\n", | |
| "Пока не совсем понятно что будет в правом верхнем блоке, поэтому пока обозначим эту матрицу за $B'$.\n", | |
| "\n", | |
| "Итак, необходимо чтобы выполнялось $M M^{-1} = I$:\n", | |
| "\n", | |
| "$\n", | |
| "M M^{-1} = \\left[ \n", | |
| "\\begin{array}{c|c} \n", | |
| " A & B \\\\ \n", | |
| " \\hline \n", | |
| " 0 & D \n", | |
| "\\end{array} \n", | |
| "\\right] \\left[ \n", | |
| "\\begin{array}{c|c} \n", | |
| " A^{-1} & B' \\\\ \n", | |
| " \\hline \n", | |
| " 0 & D^{-1} \n", | |
| "\\end{array} \n", | |
| "\\right] = \\left[ \n", | |
| "\\begin{array}{c|c} \n", | |
| " A A^{-1} + B 0 & A B' + B D^{-1} \\\\ \n", | |
| " \\hline \n", | |
| " 0 A^{-1} + D 0 & 0 B' + D D^{-1} \n", | |
| "\\end{array} \n", | |
| "\\right] = \\left[ \n", | |
| "\\begin{array}{c|c} \n", | |
| " I & A B' + B D^{-1} \\\\ \n", | |
| " \\hline \n", | |
| " 0 & I \n", | |
| "\\end{array} \n", | |
| "\\right]\n", | |
| "$\n", | |
| "\n", | |
| "$\\left[ \n", | |
| "\\begin{array}{c|c} \n", | |
| " I & A B' + B D^{-1} \\\\ \n", | |
| " \\hline \n", | |
| " 0 & I \n", | |
| "\\end{array} \n", | |
| "\\right] = I = \\left[ \n", | |
| "\\begin{array}{c|c} \n", | |
| " I & 0 \\\\ \n", | |
| " \\hline \n", | |
| " 0 & I \n", | |
| "\\end{array} \n", | |
| "\\right]$\n", | |
| "\n", | |
| "Из этого уравнения мы можем выразить $B'$ такой чтобы $M^{-1}$ вёл себя как обратный элемент:\n", | |
| "\n", | |
| "$A B' + B D^{-1} = 0$\n", | |
| "\n", | |
| "$A B' = - B D^{-1}$\n", | |
| "\n", | |
| "$B' = - A^{-1} B D^{-1}$\n", | |
| "\n", | |
| "Итак:\n", | |
| "\n", | |
| "$M^{-1} = \\left[ \n", | |
| "\\begin{array}{c|c} \n", | |
| " A^{-1} & - A^{-1} B D^{-1} \\\\ \n", | |
| " \\hline \n", | |
| " 0 & D^{-1} \n", | |
| "\\end{array} \n", | |
| "\\right]$\n", | |
| "\n", | |
| "Полученный элемент будет принадлежать $H$, соответствует всем признакам.\n", | |
| "\n", | |
| "Осталось проверить что $M^{-1} M = I$:\n", | |
| "\n", | |
| "$M^{-1} M = \\left[ \n", | |
| "\\begin{array}{c|c} \n", | |
| " A^{-1} & - A^{-1} B D^{-1} \\\\ \n", | |
| " \\hline \n", | |
| " 0 & D^{-1} \n", | |
| "\\end{array} \n", | |
| "\\right] \\left[ \n", | |
| "\\begin{array}{c|c} \n", | |
| " A & B \\\\ \n", | |
| " \\hline \n", | |
| " 0 & D \n", | |
| "\\end{array} \n", | |
| "\\right] = \\left[ \n", | |
| "\\begin{array}{c|c} \n", | |
| " I & A^{-1} B - A^{-1} B D^{-1} D \\\\ \n", | |
| " \\hline \n", | |
| " 0 & I \n", | |
| "\\end{array} \n", | |
| "\\right]$\n", | |
| "\n", | |
| "$\\left[ \n", | |
| "\\begin{array}{c|c} \n", | |
| " I & A^{-1} B - A^{-1} B D^{-1} D \\\\ \n", | |
| " \\hline \n", | |
| " 0 & I \n", | |
| "\\end{array} \n", | |
| "\\right] = \\left[ \n", | |
| "\\begin{array}{c|c} \n", | |
| " I & 0 \\\\ \n", | |
| " \\hline \n", | |
| " 0 & I \n", | |
| "\\end{array} \n", | |
| "\\right]$\n", | |
| "\n", | |
| "$A^{-1} B - A^{-1} B D^{-1} D = 0$\n", | |
| "\n", | |
| "$A^{-1} B - A^{-1} B = 0$\n", | |
| "\n", | |
| "Верно. Итак, мы определили $M^{-1}$, доказали его существование." | |
| ], | |
| "metadata": { | |
| "id": "Ktd687Was0K6" | |
| } | |
| }, | |
| { | |
| "cell_type": "markdown", | |
| "source": [ | |
| "# 4) Доказать что $\\varphi(M_1 M_2) = \\varphi(M_1) \\varphi(M_2)$\n", | |
| "\n", | |
| "$\\varphi(M_1 M_2) = \\varphi(M_1) \\varphi(M_2)$\n", | |
| "\n", | |
| "$\\varphi\\left(\\left[ \n", | |
| "\\begin{array}{c|c} \n", | |
| " A_1 & B_1 \\\\ \n", | |
| " \\hline \n", | |
| " 0 & D_1 \n", | |
| "\\end{array} \n", | |
| "\\right] \\left[ \n", | |
| "\\begin{array}{c|c} \n", | |
| " A_2 & B_2 \\\\ \n", | |
| " \\hline \n", | |
| " 0 & D_2 \n", | |
| "\\end{array} \n", | |
| "\\right]\\right) = \\varphi\\left(\\left[ \n", | |
| "\\begin{array}{c|c} \n", | |
| " A_1 & B_1 \\\\ \n", | |
| " \\hline \n", | |
| " 0 & D_1 \n", | |
| "\\end{array} \n", | |
| "\\right]\\right) \\varphi\\left(\\left[ \n", | |
| "\\begin{array}{c|c} \n", | |
| " A_2 & B_2 \\\\ \n", | |
| " \\hline \n", | |
| " 0 & D_2 \n", | |
| "\\end{array} \n", | |
| "\\right]\\right)$\n", | |
| "\n", | |
| "$\\varphi\\left(\\left[ \n", | |
| "\\begin{array}{c|c} \n", | |
| " A_1 A_2 & A_1 B_2 + B_1 D_2 \\\\ \n", | |
| " \\hline \n", | |
| " 0 & D_1 D_2 \n", | |
| "\\end{array} \n", | |
| "\\right]\\right) = \\varphi\\left(\\left[ \n", | |
| "\\begin{array}{c|c} \n", | |
| " A_1 & B_1 \\\\ \n", | |
| " \\hline \n", | |
| " 0 & D_1 \n", | |
| "\\end{array} \n", | |
| "\\right]\\right) \\varphi\\left(\\left[ \n", | |
| "\\begin{array}{c|c} \n", | |
| " A_2 & B_2 \\\\ \n", | |
| " \\hline \n", | |
| " 0 & D_2 \n", | |
| "\\end{array} \n", | |
| "\\right]\\right)$\n", | |
| "\n", | |
| "Применим $\\varphi$ с обеих сторон:\n", | |
| "\n", | |
| "$A_1 A_2 = A_1 A_2$\n", | |
| "\n", | |
| "Итак, $\\varphi$ действительно является гомоморфизмом." | |
| ], | |
| "metadata": { | |
| "id": "bQQPDj8nyQ9u" | |
| } | |
| }, | |
| { | |
| "cell_type": "markdown", | |
| "source": [ | |
| "# 6) Найти ядро $\\varphi$\n", | |
| "\n", | |
| "Нужно найти подмножество $K \\subseteq H$, такое что для любого $M \\in K$ будет $\\varphi(M) = I$.\n", | |
| "\n", | |
| "Пусть $M \\in K$:\n", | |
| "\n", | |
| "$M = \\left[ \n", | |
| "\\begin{array}{c|c} \n", | |
| " A & B \\\\ \n", | |
| " \\hline \n", | |
| " 0 & D \n", | |
| "\\end{array} \n", | |
| "\\right]$\n", | |
| "\n", | |
| "Должно выполняться:\n", | |
| "\n", | |
| "$\\varphi(M) = I$\n", | |
| "\n", | |
| "$\\varphi\\left(\\left[ \n", | |
| "\\begin{array}{c|c} \n", | |
| " A & B \\\\ \n", | |
| " \\hline \n", | |
| " 0 & D \n", | |
| "\\end{array} \n", | |
| "\\right]\\right) = I$\n", | |
| "\n", | |
| "$A = I$\n", | |
| "\n", | |
| "Получается что $K$ это множество матриц, где блок $A = I$.\n", | |
| "\n", | |
| "Вот и всё." | |
| ], | |
| "metadata": { | |
| "id": "_GUy3U1Dzw2E" | |
| } | |
| } | |
| ] | |
| } |
Sign up for free
to join this conversation on GitHub.
Already have an account?
Sign in to comment