Find all non-isomorphic groups with 3 elements

isomorphic_groups_order_3.ipynb

{
  "nbformat": 4,
  "nbformat_minor": 0,
  "metadata": {
    "colab": {
      "name": "Find all non-isomorphic groups with 3 elements",
      "provenance": [],
      "collapsed_sections": []
    },
    "kernelspec": {
      "name": "python3",
      "display_name": "Python 3"
    },
    "language_info": {
      "name": "python"
    }
  },
  "cells": [
    {
      "cell_type": "markdown",
      "source": [
        "\n",
        "Для телеграм блога: https://t.me/VladimirsLoveForMath"
      ],
      "metadata": {
        "id": "yYIaBWySZ2c8"
      }
    },
    {
      "cell_type": "markdown",
      "source": [
        "# Find all non-isomorphic groups with 3 elements\n",
        "\n",
        "Дмитрий Бебчук провёл занятие по теории групп в университете Иннополис, 3-го февраля 2022. Это 28-ое задание с занятия.\n",
        "\n",
        "Найдите все группы из трёх элементов не изоморфные друг другу.\n"
      ],
      "metadata": {
        "id": "TuUMs4qpk72J"
      }
    },
    {
      "cell_type": "markdown",
      "source": [
        "# Решение\n",
        "\n",
        "В общем виде группа из трёх элементов выглядит так: $G = \\{1, x, y\\}$. Каждая группа обязана иметь нейтральный элемент (единицу), поэтому один из элементов сразу обозначаем как $1$. Группа содержит именно три различных элемента, поэтому $x \\neq y$, $x \\neq 1$, $y \\neq 1$.\n",
        "\n",
        "Также известно что каждый элемент в группе должен иметь обратный элемент. Также известно что результат произведения элементов также должно являться элементом.\n",
        "\n",
        "Получается что $x^{-1}$, $y^{-1}$, $xx$, $yy$, $xy$, $yx$ все должны находиться внутри $G$, принимать значения из $\\{1, x, y\\}$.\n",
        "\n",
        "Можно перебрать разные варианты руками."
      ],
      "metadata": {
        "id": "6bUMTOMAllvK"
      }
    },
    {
      "cell_type": "markdown",
      "source": [
        "# Обратные элементы\n",
        "\n",
        "Давайте просто попробуем определить $x^{-1}$ и посмотреть что из этого возможно, а что нет.\n",
        "\n",
        "Пусть $x^{-1} = 1$. Тогда $xx^{-1} = x$, хотя по определению обратного элемента $xx^{-1} = 1$. Поэтому $x^{-1} \\neq 1$, $y^{-1} \\neq 1$.\n",
        "\n",
        "1) Пусть $x^{-1} = y$. Тогда $xy = 1$, $yx = 1$. Из этого следует что $y^{-1} = x$. Пока неясно чему будут равны $xx$ и $yy$.\n",
        "\n",
        "2) Пусть $x^{-1} = x$. Тогда $xx = 1$. Чему может быть равно $y^{-1}$? Предположим что $y^{-1} = x$. Тогда $yy^{-1} = yx = 1$, из чего следует что $x^{-1} = y$, противоречие. Тогда единственное подходящее значение: $y^{-1} = y$. Значит $xx = 1$, $yy = 1$. Пока неясно чему равны $xy$ и $yx$."
      ],
      "metadata": {
        "id": "gqtxEDb-nfn0"
      }
    },
    {
      "cell_type": "markdown",
      "source": [
        "# Два варианта\n",
        "\n",
        "Итак, мы получили две разных системы уравнений, описывающие две разных группы:\n",
        "\n",
        "$\\left\\{\n",
        "\\begin{matrix}\n",
        "x^{-1} = y \\\\\n",
        "y^{-1} = x \\\\\n",
        "xy = 1 \\\\\n",
        "yx = 1 \\\\\n",
        "xx = z_1 \\\\\n",
        "yy = z_2\n",
        "\\end{matrix}\n",
        "\\right. \\qquad \\left\\{\n",
        "\\begin{matrix}\n",
        "x^{-1} = x \\\\\n",
        "y^{-1} = y \\\\\n",
        "xx = 1 \\\\\n",
        "yy = 1 \\\\\n",
        "xy = z_3 \\\\\n",
        "yx = z_4\n",
        "\\end{matrix}\n",
        "\\right.$\n",
        "\n",
        "Где $z_i$ это какие-то элементы из $G$, пока не известно какие именно.\n",
        "\n",
        "Пусть $xx = z_1 = 1$. Из этого следует что $x^{-1} = x$, противоречие.\n",
        "\n",
        "Пусть $xx = z_1 = x$. Из этого следует что $xxy = xy$, $x = 1$, противоречие.\n",
        "\n",
        "Единственный оставшийся вариант: $xx = y$. Из этого следует что $xxy = yy$, $x = yy$.\n",
        "\n",
        "Итак, мы знаем что $z_1 = y$, $z_2 = x$. Осталось рассмотреть возможные значения для $z_3$ и $z_4$.\n",
        "\n",
        "Пусть $xy = z_3 = 1$. Тогда $xy = xx$, $x^{-1}xy = x^{x-1}xx$, $x=y$, противоречие.\n",
        "\n",
        "Пусть $xy = z_3 = x$. Тогда $xxy = xx$, $y = xx$, противоречие.\n",
        "\n",
        "Единственный оставшийся вариант: $xy = z_3 = y$. Тогда $xyy = yy$, $x = yy$, противоречие.\n",
        "\n",
        "Какие бы возможные $z_3$ мы ни брали, вторая система уравнений будет противоречивой. Значит она не описывает группу. Получается есть лишь только одно семейство групп, описанное первой системой. Даже проверять изоморфность разных семейств не пришлось.\n",
        "\n",
        "# Ответ\n",
        "\n",
        "Итак, есть лишь единственная группа из трёх элементов, которой изоморфны все остальные группы из трёх элементов:\n",
        "\n",
        "$G = \\{1, x, y\\}$, где:\n",
        "\n",
        "$\\left\\{\n",
        "\\begin{matrix}\n",
        "x^{-1} = y \\\\\n",
        "y^{-1} = x \\\\\n",
        "xy = 1 \\\\\n",
        "yx = 1 \\\\\n",
        "xx = y \\\\\n",
        "yy = x\n",
        "\\end{matrix}\n",
        "\\right.$\n",
        "\n",
        "Если присмотреться, можно заметить что это цикличная группа $C_3$. Она же, но с заменой $y=x^2$:\n",
        "\n",
        "$G = \\{1, x, x^2\\}$,\n",
        "\n",
        "$\\left\\{\n",
        "\\begin{matrix}\n",
        "x^{-1} = x^2 \\\\\n",
        "(x^2)^{-1} = x \\\\\n",
        "xx^2 = 1 \\\\\n",
        "x^2x = 1 \\\\\n",
        "xx = x^2 \\\\\n",
        "x^2x^2 = x\n",
        "\\end{matrix}\n",
        "\\right.$\n",
        "\n",
        "При упрощении всё схлопывается в уравнение $x^3 = 1$.\n",
        "\n",
        "Красота."
      ],
      "metadata": {
        "id": "XOw2QS0mvGxG"
      }
    }
  ]
}