Last active
December 17, 2021 14:48
-
-
Save vladimir-vg/e30435f45c5e2f268ec40d4eb5978eda to your computer and use it in GitHub Desktop.
This file contains bidirectional Unicode text that may be interpreted or compiled differently than what appears below. To review, open the file in an editor that reveals hidden Unicode characters.
Learn more about bidirectional Unicode characters
| { | |
| "nbformat": 4, | |
| "nbformat_minor": 0, | |
| "metadata": { | |
| "colab": { | |
| "name": "М. Артин, Алгебра, Глава1: 2.9 (a)", | |
| "provenance": [], | |
| "collapsed_sections": [] | |
| }, | |
| "kernelspec": { | |
| "name": "python3", | |
| "display_name": "Python 3" | |
| }, | |
| "language_info": { | |
| "name": "python" | |
| } | |
| }, | |
| "cells": [ | |
| { | |
| "cell_type": "markdown", | |
| "source": [ | |
| "Для телеграм блога: https://t.me/VladimirsLoveForMath\n", | |
| "\n", | |
| "Задача звучит так:\n", | |
| "\n", | |
| "" | |
| ], | |
| "metadata": { | |
| "id": "Xgrg9ThF8eq-" | |
| } | |
| }, | |
| { | |
| "cell_type": "markdown", | |
| "source": [ | |
| "Часть (b) лёгкая, а вот (a) интересная." | |
| ], | |
| "metadata": { | |
| "id": "WoIaonZX8v60" | |
| } | |
| }, | |
| { | |
| "cell_type": "markdown", | |
| "source": [ | |
| "По-русски: есть система линейных уравнений $AX=B$, где $A$ это матрица, а $X$ и $B$ -- столбцы. Все элементы в $A$ и $B$ -- действительные числа. Докажите что если система имеет больше чем одно решение, то она имеет бесконечное число решений.\n", | |
| "\n", | |
| "Чтобы доказать что решений бесконечно много мы можем построить какую-нибудь функцию $f(X_1, X_2, p)$ что будет возвращать новое решение для каждого $p\\in \\mathbb{R}$. Уравнение $A\\cdot f(X_1, X_2, p) = B$ должно выполняться." | |
| ], | |
| "metadata": { | |
| "id": "yff8bFcQ80EX" | |
| } | |
| }, | |
| { | |
| "cell_type": "markdown", | |
| "source": [ | |
| "# Решение\n", | |
| "\n", | |
| "Хорошо, значит существуют хотя бы два решения, $X_1$ и $X_2$:\n", | |
| "\n", | |
| "$\\left\\{\n", | |
| "\\begin{matrix}\n", | |
| "A X_1 = B \\\\\n", | |
| "A X_2 = B\n", | |
| "\\end{matrix}\n", | |
| "\\right.$\n", | |
| "\n", | |
| "Если сложить два уравнения можно получить новое решение:\n", | |
| "\n", | |
| "$A X_1 + AX_2 = 2B$\n", | |
| "\n", | |
| "$A\\left(\\frac{1}{2}X_1 + \\frac{1}{2}X_2\\right) = B$\n", | |
| "\n", | |
| "Мы нашли третье решение, скомбинировав два известных: $X_3 = \\frac{1}{2}X_1 + \\frac{1}{2}X_2$.\n", | |
| "\n", | |
| "Попробуем сложить уравнения дважды:\n", | |
| "\n", | |
| "$A X_1 + A X_1 + AX_2 + AX_2 = 4B$\n", | |
| "\n", | |
| "$A (2X_1 + 2X_2) = 4B$\n", | |
| "\n", | |
| "$A (\\frac{1}{2} X_1 + \\frac{1}{2} X_2) = B$\n", | |
| "\n", | |
| "Хм, мы выполнили другую операцию, но получили повторили ровно то же решение. Надо сформулировать $f$ таким образом, чтобы мы не повторяли одни и теже решения. Чтобы их точно было бесконечное количество.\n", | |
| "\n", | |
| "Можно ли как-то обобщить то что мы только что сделали, чтобы построить $f$ и с её помощью генерировать бесконечное количество решений?\n", | |
| "\n", | |
| "То что мы только что сделали напоминает операции над строками в матрице. Мы можем выразить эту операцию получения $X_3$ через умножение матрицы. Матрица матриц? Почему бы и нет.\n", | |
| "\n", | |
| "$\\begin{bmatrix}\n", | |
| "A & 0 \\\\\n", | |
| "0 & A\n", | |
| "\\end{bmatrix} \\begin{bmatrix}\n", | |
| "X_1 \\\\\n", | |
| "X_2\n", | |
| "\\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix}\n", | |
| "B \\\\\n", | |
| "B\n", | |
| "\\end{bmatrix}$\n", | |
| "\n", | |
| "Мы можем добавить третью строку, где будем хранить новое решение:\n", | |
| "\n", | |
| "$\\begin{bmatrix}\n", | |
| "A & 0 & 0 \\\\\n", | |
| "0 & A & 0 \\\\\n", | |
| "0 & 0 & 0\n", | |
| "\\end{bmatrix} \\begin{bmatrix}\n", | |
| "X_1 \\\\\n", | |
| "X_2 \\\\\n", | |
| "0\n", | |
| "\\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix}\n", | |
| "B \\\\\n", | |
| "B \\\\\n", | |
| "0\n", | |
| "\\end{bmatrix}$\n", | |
| "\n", | |
| "Выражаем, сложение уравнений в общем виде. Когда мы складывали два уравнения, у нас было $n_1 = 1$, $n_2 = 1$:\n", | |
| "\n", | |
| "$\\begin{bmatrix}\n", | |
| "1 & 0 & 0 \\\\\n", | |
| "0 & 1 & 0 \\\\\n", | |
| "n_1 & n_2 & 0\n", | |
| "\\end{bmatrix} \\begin{bmatrix}\n", | |
| "A & 0 & 0 \\\\\n", | |
| "0 & A & 0 \\\\\n", | |
| "0 & 0 & 0\n", | |
| "\\end{bmatrix} \\begin{bmatrix}\n", | |
| "X_1 \\\\\n", | |
| "X_2 \\\\\n", | |
| "0\n", | |
| "\\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix}\n", | |
| "1 & 0 & 0 \\\\\n", | |
| "0 & 1 & 0 \\\\\n", | |
| "n_1 & n_2 & 0\n", | |
| "\\end{bmatrix} \\begin{bmatrix}\n", | |
| "B \\\\\n", | |
| "B \\\\\n", | |
| "0\n", | |
| "\\end{bmatrix}$\n", | |
| "\n", | |
| "$\\begin{bmatrix}\n", | |
| "A & 0 & 0 \\\\\n", | |
| "0 & A & 0 \\\\\n", | |
| "n_1 A & n_2 A & 0\n", | |
| "\\end{bmatrix} \\begin{bmatrix}\n", | |
| "X_1 \\\\\n", | |
| "X_2 \\\\\n", | |
| "0\n", | |
| "\\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix}\n", | |
| "B \\\\\n", | |
| "B \\\\\n", | |
| "(n_1 + n_2) B\n", | |
| "\\end{bmatrix}$\n", | |
| "\n", | |
| "Третья строка выглядит почти правильно. Нам нужно чтобы чтобы справа было $B$, тогда третья строка примет вид $A X_i = B$. Надо поделить на $(n_1 + n_2)$, полагая что $n_1 \\neq -n_2$:\n", | |
| "\n", | |
| "$\\begin{bmatrix}\n", | |
| "1 & 0 & 0 \\\\\n", | |
| "0 & 1 & 0 \\\\\n", | |
| "0 & 0 & \\frac{1}{n_1 + n_2}\n", | |
| "\\end{bmatrix} \\begin{bmatrix}\n", | |
| "A & 0 & 0 \\\\\n", | |
| "0 & A & 0 \\\\\n", | |
| "n_1 A & n_2 A & 0\n", | |
| "\\end{bmatrix} \\begin{bmatrix}\n", | |
| "X_1 \\\\\n", | |
| "X_2 \\\\\n", | |
| "0\n", | |
| "\\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix}\n", | |
| "1 & 0 & 0 \\\\\n", | |
| "0 & 1 & 0 \\\\\n", | |
| "0 & 0 & \\frac{1}{n_1 + n_2}\n", | |
| "\\end{bmatrix} \\begin{bmatrix}\n", | |
| "B \\\\\n", | |
| "B \\\\\n", | |
| "(n_1 + n_2) B\n", | |
| "\\end{bmatrix}$\n", | |
| "\n", | |
| "$\\begin{bmatrix}\n", | |
| "A & 0 & 0 \\\\\n", | |
| "0 & A & 0 \\\\\n", | |
| "\\frac{n_1}{n_1 + n_2} A & \\frac{n_2}{n_1 + n_2} A & 0\n", | |
| "\\end{bmatrix} \\begin{bmatrix}\n", | |
| "X_1 \\\\\n", | |
| "X_2 \\\\\n", | |
| "0\n", | |
| "\\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix}\n", | |
| "B \\\\\n", | |
| "B \\\\\n", | |
| "B\n", | |
| "\\end{bmatrix}$\n", | |
| "\n", | |
| "Если мы возьмём только третью строку этой системы, она выглядит так:\n", | |
| "\n", | |
| "$\\frac{n_1}{n_1 + n_2} A X_1 + \\frac{n_2}{n_1 + n_2} A X_2 = B$\n", | |
| "\n", | |
| "$A \\left( \\frac{n_1}{n_1 + n_2} X_1 + \\frac{n_2}{n_1 + n_2} X_2\\right) = B$\n", | |
| "\n", | |
| "Мы получили общее правило для генерации решений:\n", | |
| "\n", | |
| "$f(X_1, X_2, n_1, n_2) = \\frac{n_1}{n_1 + n_2} X_1 + \\frac{n_2}{n_1 + n_2} X_2$\n" | |
| ], | |
| "metadata": { | |
| "id": "tUYmOQUo8-04" | |
| } | |
| }, | |
| { | |
| "cell_type": "markdown", | |
| "source": [ | |
| "Если оставить в таком виде, то у нас могут возникнуть повторения, например при $n_1=n_2$. Надо подобрать такую замену переменных, чтобы повторений не было.\n", | |
| "\n", | |
| "Возьмём $b = n_1 + n_2$, тогда $a = \\frac{n_1}{b}$ и $b-ab = n_2$. Тогда функция принимает вид:\n", | |
| "\n", | |
| "$f(X_1, X_2, a, b) = a X_1 + \\frac{b-ab}{b} X_2$.\n", | |
| "\n", | |
| "$f(X_1, X_2, a) = a X_1 + (1-a) X_2$.\n", | |
| "\n", | |
| "Класс, мы упростили функцию до одного параметра, который причём может принимать любые значения на $\\mathbb{R}$.\n", | |
| "\n", | |
| "Красиво." | |
| ], | |
| "metadata": { | |
| "id": "uX7FR_G2FXfV" | |
| } | |
| }, | |
| { | |
| "cell_type": "markdown", | |
| "source": [ | |
| "# Решение Захара Ягудина\n", | |
| "\n", | |
| "Я показал задачу своему другу Захару, он сразу предложил сделать рекуррентное выражение:\n", | |
| "\n", | |
| "$f(1) = X_1$\n", | |
| "\n", | |
| "$f(2) = X_2$\n", | |
| "\n", | |
| "$f(n) = \\frac{f(n-2) + f(n-1)}{2}$\n", | |
| "\n", | |
| "Так для каждого натурального $n$ мы получим новое решение на основе первых двух. Например:\n", | |
| "\n", | |
| "$f(3) = \\frac{f(1) + f(2)}{2} = \\frac{1}{2}\\left(X_1 + X_2\\right)$\n", | |
| "\n", | |
| "$f(4) = \\frac{f(2) + f(3)}{2} = \\frac{1}{2}\\left(X_2 + \\frac{1}{2}\\left(X_1 + X_2\\right)\\right) = \\frac{1}{4} X_1 + \\frac{3}{4} X_2$\n", | |
| "\n", | |
| "Выглядит весьма элегантно." | |
| ], | |
| "metadata": { | |
| "id": "Ec5jMHBo_ub_" | |
| } | |
| } | |
| ] | |
| } |
Sign up for free
to join this conversation on GitHub.
Already have an account?
Sign in to comment