Ссылка на файл: >>>>>> http://file-portal.ru/Преобразование плоскости движение и его свойства/
Преобразование плоскости, движение, его свойства
Преобразования плоскости. Движение и его свойства.
Преобразования плоскости, движение
Отображением плоскости на себя называется такое преобразование, что каждой точке исходной плоскости сопоставляется какая-то точка этой же плоскости, причем любая точка плоскости оказывается сопоставленной другой точке. Неподвижной точкой отображения называется такая точка A которая этим отображением переводится сама в себя. Отображение, все точки которого неподвижные называется тождественным отображением. Если при данном отображении разным точкам фигуры соответствуют разные образы, то такое отображение называется взаимно однозначным. Существует множество видов отображения плоскости на себя, рассмотрим некоторые из них: Движение имеет ряд важных свойств: Три точки, лежащие на одной прямой, при движении переходят в три точки, лежащие на одной прямой, и три точки, не лежащие на одной прямой, переходят в три точки, не лежащие на одной прямой. Если точки A, B, C лежат на одной прямой, то одна из них, например точка B лежит между двумя другими. Второе утверждение докажем методом от противного: Тогда должны выполняться неравенства треугольника: При движении отрезок переводится в отрезок. При движении луч переходит в луч, прямая в прямую. Треугольник движением переводится в треугольник. Движение сохраняет величины углов. При движении сохраняются площади многоугольных фигур. Отображение, обратное движению является движением. Композиция двух движений также является движением. Движение переводит плоскость в плоскость. Отметим на ней любые три точки A, B, C, не лежащие на одной прямой. Каждая точка прямой a считается симметрична самой себе относительно прямой a. Симметрией плоскости относительно прямой a называется такое отображение, при котором каждой точке этой плоскости ставится в соответствие точка, симметричная ей относительно прямой a. Докажем, что осевая симметрия является движением,используя метод координат: Тогда при симметрии относительно нее точка, имеющая координаты x;y будет преобразована в точку с координатами x; -y. Таким образом осевая симметрия сохраняет расстояние, следовательно она является движением. Осевая симметрия является наложением. Осевая симметрия сохраняет величину угла, но меняет его ориентацию. Рассмотрим произвольную точку M x ; y. При симметрии относительно прямой l она перейдет в точку N x ;- y. Отображение плоскости на себя, при котором каждая точка M переходит в такую точку M 1 , что вектор MM 1 равен данному вектору а , называется параллельным переносом на вектор а. Итак, результатом последовательного выполнения двух осевых симметрий с параллельными осями является параллельный перенос на вектор, перпендикулярный к этим осям ,длина которого равна удвоенному расстоянию между осями. Очевидно, верно и обратное утверждение: Отсюда следует, что параллельный перенос является движением, сохраняющим не только величину угла, но и его ориентацию. Точка O называется центром поворота, а угол -углом поворота. Докажем, что поворот является движением: Рассмотрим общий случай, когда точки O, X, Y не лежат на одной прямой. Действительно, пусть угол XOY от OX к OY отсчитывается в направлении поворота. Если это не так, то рассматриваем угол YOX. Так как как углы поворота , следовательно. Поэтому - по двум сторонам и углу между ними. Итак, поворот является движением. Такое движение называется центральной симметрией. Однако можно заметить, что центральная симметрия является частным случаем поворота, а именно, поворота на градусов. Отсюда также следует, что центральная симметрия является движением. Центральная симметрия является движением, изменяющим направления на противоположные. Доказанное свойство является характерным свойством центральной симметрии, а именно, справедливо обратное утверждение, являющееся признаком центральной симметрии: Соответственные стороны этих треугольников пропорциональны, а соответственные углы равны. Простейшим, но важным примером подобия является гомотетия. При гомотетии с коэффициентом k каждый вектор умножается на k. Пусть точка O - центр гомотетии. Отметим, что любое подобие с коэффициентом k можно представить в виде композиции гомотетии с коэффициентом k и движения. Гомотетия отрезок переводит в отрезок. Гомотетия сохраняет величину углов. Использование движений при решении задач. Решение многих задач значительно упрощаются , если использовать движения. Рассмотрим применение простейших движений плоскости, таких как параллельный перенос, симметрия и вращение поворот при решении задач элементарной геометрии на вычисление и доказательство. При решении задач используются основные свойства движения. Так, всякое движение переводит: В четырехугольнике ABCD рис. Найти углы ABC и BCD. Рассмотрим параллельный перенос на вектор. Пусть A1, B1, C1 — середины сторон треугольника ABC рис. Сначала по теореме косинусов найдем сторону BC треугольника ABC: Отсюда следует, что O1O3 AC. Аналогично рассмотрим параллельный перенос на вектор и параллельный перенос на вектор. Прямая , проходящая через середины сторон AB и CD четырехугольника ABCD, не являющего трапецией, образует со сторонами AD и CD равные углы. Пусть M и H — середины сторон AB и CD рис. Затем рассмотрим центральную симметрию относительно точки M. В треугольнике A1B1H медиана MH является биссектрисой. Следовательно, треугольник A1B1H равнобедренный, т. Доказать, что точки, симметричные ортоцентру треугольника ABC относительно прямых AB, AC, BC, принадлежат описанной около треугольника ABC окружности. Пусть окружность b O,r описана около треугольника ABC, а H — его ортоцентр, т. H — точка пересечения высот треугольника ABC рис. Рассмотрим осевую симметрию относительно прямой BC. Так как в четырехугольнике AC1HB1. Точки C1 и С2 являются образами вершины С треугольника ABC при симметрии относительно прямых. Содержащих биссектрисы углов BAC и ABC рис. Доказать, что середина отрезка C1C2 есть точка касания вписанной в треугольник окружности и сторон AB. Пусть i 1 и i 2 — прямые, содержащие биссектрисы углов BAC и ABC, а H, K, M — точки касания вписанной окружности b O,r со сторонами AB, BC, AC. Рассмотрим осевую симметрию относительно прямой i 1. Тогда S i 1: На стороне BC взята точка D так, что бы AC: Рассмотрим осевую симметрию относительно серединного перпендикуляра MH к стороне AB. Тогда в треугольнике AC2D2 имеем. Тогда BE1 CH DK. Тогда , так как. Дан равносторонний треугольник АВС и произвольная точка М рис. Доказать, что длина большего из трех отрезков МА, МВ, МС не больше суммы длин двух других. Пусть ВМ — наибольший из указанных отрезков. Следовательно, треугольник МВМ1 будет равносторонним. Но в треугольнике МСМ1: Равенство будет в том и только в том случае, когда точка М лежит на окружности, описанной около треугольника АВС. Sign in Recent Site Activity Report Abuse Print Page Powered By Google Sites. Геометрические преобразования Отображением плоскости на себя называется такое преобразование, что каждой точке исходной плоскости сопоставляется какая-то точка этой же плоскости, причем любая точка плоскости оказывается сопоставленной другой точке. Теория Гомотетия Поворот Параллельный перенос центральная симметрия Осевая симметрия Решение задач Методика Планы конспектов Презентации Тесты Литература Видео. Точка O называется центром поворота, а угол -углом поворота Докажем, что поворот является движением: Соответственные стороны этих треугольников пропорциональны, а соответственные углы равны 4 В результате подобия с коэффициентом k площади фигур умножаются на k 2. Основное свойство гомотетии При гомотетии с коэффициентом k каждый вектор умножается на k. Некоторые свойства гомотетии 1. Использование движений при решении задач Решение многих задач значительно упрощаются , если использовать движения.
Новая лада ларгус характеристики
Морские дьяволы смерч 6 сезон
Процесс полового созревания подростков
Конспект урока по математике по теме "Преобразование плоскости. Движение и его свойства. Осевая симметрия. Центральная симметрия"
Проблемы двигателя 2 4
Boy next door перевод
Поиск телефона москва по адресу
Преобразование плоскости - презентация
Москва часовой пояс 2017
Форматирование жесткого диска victoria
Конспект урока по математике по теме "Преобразование плоскости. Движение и его свойства. Осевая симметрия. Центральная симметрия"
Как провести вечер встречи выпускников
Сайты принципиальных схем
Психосоматические взаимоотношения при основных психосоматозах таблица
Конспект урока по математике по теме "Преобразование плоскости. Движение и его свойства. Осевая симметрия. Центральная симметрия"
Топиарий из чего можно сделать ствол