Всякое число, обращающее функцию f x в нуль, называется корнем уравнения 1. Уравнение 1 называется алгебраическим, если функция f x является алгебраической. Уравнение 1 называется трансцендентным, если функция f x не является алгебраической. Первые два этапа называют отделением корней. Отделение корней — процедура нахождения отрезков, на которых уравнение 1 имеет только один корень. В большинстве случаев отделение корней можно провести графически. Для этого достаточно построить график функции F x и определить отрезки, на которых функция F x имеет только одну точку пересечения с осью абсцисс интервалы изоляции. Метод дихотомии, или половинного деления, заключается в следующем. Определяем середину отрезка [а, b]: Далее делаем выбор, какую из двух частей отрезка взять для дальнейшего уточнения корня. Если левая часть уравнения f x есть непрерывная функция аргумента х , то корень будет находиться в той половине отрезка, на концах которой f x имеет разные знаки. Итерационный повторяющийся процесс будем продолжать до тех пор, пока интервал [а, b] не станет меньше заданной погрешности e:. Только сон приблежает студента к концу лекции. А чужой храп его отдаляет. Методы исследования в акушерстве. Организация системы акушерской и перинатальной помощи. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Постановка задачи Общий вид нелинейного уравнения: Решить уравнение 1 означает следующее: После определения интервалов изоляции прибегают к различным методам уточнения корней.. Метод дихотомии Метод дихотомии, или половинного деления, заключается в следующем. Итерационный повторяющийся процесс будем продолжать до тех пор, пока интервал [а, b] не станет меньше заданной погрешности e:
Существует довольно очевидная теорема: На базе этой теоремы построено численное нахождение приближенного значения корня функции. Обобщенно этот метод называется дихотомией , то есть делением отрезка на две части. Обобщенный алгоритм выглядит так:. Варианты метода дихотомии различаются выбором точки деления. Метод половинного деления известен также как метод бисекции. В данном методе интервал делится ровно пополам. Такой подход обеспечивает гарантированную сходимость метода независимо от сложности функции - и это весьма важное свойство. Недостатком метода является то же самое - метод никогда не сойдется быстрее, то есть сходимость метода всегда равна сходимости в наихудшем случае. Перед применением метода для поиска корней функции необходимо отделить корни одним из известных способов, например, графическим методом. Отделение корней необходимо в случае, если неизвестно на каком отрезке нужно искать корень. Будем считать, что корень функции отделён на отрезке. Задача заключается в том, чтобы найти и уточнить этот корень методом половинного деления. Другими словами, требуется найти приближённое значение корня с заданной точностью. Пусть функция непрерывна на отрезке ,. Мы не рассматриваем случай, когда корней на отрезке несколько, то есть более одного. В качестве можно взять и другое достаточно малое положительное число, например,. Получим точку и два отрезка. Решим уравнение методом половинного деления. Графическим методом находим отрезок , которому принадлежит искомый корень. Так как , то принимаем. Вычисления проводились с точностью. Однопараметрическая оптимизация поиск экстремумов функций одной переменной является самостоятельной и часто встречаемой задачей. Кроме того, к ней сводится гораздо более сложная задача - поиск экстремума функции многих переменных. Рассмотрим метод половинного деления как простейший однопараметрический метод безусловной оптимизации. Данный метод является методом прямого поиска. В нем при поиске экстремума целевой функции используются только вычисленные значения целевой функции. Необходимо найти , доставляющий минимум или максимум функции на интервале с заданной точностью , то есть найти. При выводе — координата точки, в которой функция имеет минимум или максимум , — значение функции в этой точке. Недостаток деления отрезка строго пополам проистекает от того, что он использует лишь знак функции, игноририруя отклонение абсолютную величину. Но очевидно, что чем меньше по абсолютной величине значение функции, тем ближе мы находимся к корню. Метод хорд предлагает делить отрезок в точке, отстоящей от краев отрезка пропорционально абсолютному значению функции на краях. Название "метод хорд" происходит от того, что точка деления является пересечением отрезка - хорды - с осью абцисс. Метод основан на замене функции на каждом шаге поиска хордой, пересечение которой с осью дает приближение корня. Процесс поиска продолжается до тех пор, пока не выполнится условие или. Метод хорд можно применить в качестве "последнего штриха" после того, как метод половинного деления гарантирует требуемую точность - это не улучшит существенно гарантируемой точности, но, скорее всего, на несколько порядков повысит точность решения. Если применять аналогичное уточнение к интервалу, полученному методом хорд, то эффект будет значительно слабее. Это ещё раз иллюстрирует тот факт, что метод хорд очень хорошо работает в условиях малого интервала близости обеих границ интервала к корню , но неспособен сам создать себе эти условия приблизить обе границы к корню. На вопрос о том, стоит ли использовать попеременное применение метода половинного деления и метода хорд, ответ отрицателен. После того, как метод хорд приближает одну из границ почти вплотную к корню, методу половинного деления придётся долго работать, чтобы гарантировать заданную точность, так как метод хорд ее гарантировать не может. Поэтому лучше использовать в качестве точки деления что-то среднее: Чему должен быть равен коэффициент? Его следует не задавать, а вычислять по ходу работы: Может показаться, что при большом доверии к методу хорд этот комбинированный метод работает так же, как метод хорд. На самом деле, это не так: Методы дихотомии Материал из MachineLearning. Перенаправлено с Метод дихотомии. Поиск экстремума функции методом половинного деления. Схема алгоритма метода половинного деления. Схема алгоритма уточнения корня методом хорд. Просмотры Статья Обсуждение Просмотр История. Личные инструменты Представиться системе. Навигация Заглавная страница Сообщество Новости Последние правки Случайная статья Справка Инструктаж Вопросы и ответы ToDo. Энциклопедия анализа данных Популярные и обзорные статьи Публикации Полезные ссылки. Инструменты Ссылки сюда Связанные правки Загрузить файл Спецстраницы Версия для печати Постоянная ссылка. Содержание 1 Введение 2 Метод половинного деления 2.
https://gist.github.com/ab4f2f96f05645e6815d9d953b1a6c95
https://gist.github.com/3756a4ddf695deb543f394507278b0e9
https://gist.github.com/22b5d747152db64f1afd24057a687519