6.2.1. Метод деления отрезка пополам. Метод половинного деления. Метод дихотомии. Метод бисекции.
Решение нелинейных уравнений методом деления отрезка пополам
Метод бисекции
Один из простейших методов нахождения корней нелинейных уравнений состоит в следующем. В качестве начального приближения корня с 0 принимаем середину этого отрезка: Далее исследуем значения функции F x на концах отрезков [ а , с 0] и [ с 0, b ] , то есть в точках а, с 0, b. Тот из отрезков, на концах которого F x принимает значения разных знаков, содержит искомый корень; поэтому его принимаем в качестве нового отрезка [ a 1 , b 1 ]. Вторую половину отрезка [ а , b ] , на которой знак F x не меняется, отбрасываем. Таким образом, k -е приближение вычисляем как. После каждой итерации отрезок, на котором расположен корень, уменьшается вдвое, а после k итераций он сокращается в 2 k раз:. Взяв в качестве приближенного решения k -еприближение корня: Таким образом, итерационный процесс нужно продолжать до тех пор, пока не будет выполнено условие 1. Метод деления отрезка пополам проиллюстрирован на рис. Аналогично находим другие приближения: В отличие от большинства других итерационных методов метод деления отрезка пополам всегда сходится, причем можно гарантировать, что полученное решение будет иметь любую наперед заданную точность разумеется, в рамках разрядности компьютера. При применении этого метода нет необходимости приближенно определять момент достижения требуемой точности, пользуясь, например, условиями близости двух последовательных приближений 2. Вместо них применяется соотношение 1. Однако метод деления отрезка пополам довольно медленный. Для этого выясним, пользуясь 1. Обычно для метода деления отрезка пополам N больше, чем для некоторых других методов, что не является препятствием к применению этого метода, если каждое вычисление значения функции F x несложно. Такое условие окончания итераций аналогично условию 2. Действительно, для уравнения 1. Здесь сужение отрезка осуществляется заменой границ а или b на текущее значение корня с. При этом значение F a вычисляют лишь один раз, поскольку нам нужен только знак функции F x на левой границе, а он в процессе итераций не меняется. Таким образом, k -е приближение вычисляем как 1. Метод деления отрезка пополам В отличие от большинства других итерационных методов метод деления отрезка пополам всегда сходится, причем можно гарантировать, что полученное решение будет иметь любую наперед заданную точность разумеется, в рамках разрядности компьютера. Алгоритм метода деления отрезка пополам.
Предполагается только непрерывность функции f x. Поиск основывается на теореме о промежуточных значениях. Таким образом, если мы ищем ноль, то на концах отрезка функция должна быть противоположных знаков. Разделим отрезок пополам и возьмём ту из половинок, на концах которой функция по-прежнему принимает значения противоположных знаков. Если значение функции в серединной точке оказалось искомым нулём, то процесс завершается. Для поиска произвольного значения достаточно вычесть из значения функции искомое значение и искать ноль получившейся функции. Задача заключается в нахождении корней нелинейного уравнения. Противоположность знаков значений функции на концах отрезка можно определить множеством способов. Для устранения переполнения и уменьшения затрат времени, то есть для увеличения быстродействия, на некоторых программно-компьютерных комплексах противоположность знаков значений функции на концах отрезка нужно определять по формуле:. Тогда алгоритм метода бисекции можно записать в псевдокоде следующим образом:. Поиск наиболее приближённого к корню значения в монотонной дискретной функции, заданной таблично и записанной в массиве, заключается в разбиении массива пополам на две части , выборе из двух новых частей той части, в которой значения элементов массива меняют знак путём сравнения знаков срединного элемента массива со знаком граничного значения и повторении алгоритма для половины в которой значения элементов массива меняют знак. Пусть переменные леваяГраница и праваяГраница содержат, соответственно, левую левГран и правую правГран границы массива, в которой находится приближение к корню. Исследование начинается с разбиения массива пополам на две части путём нахождения номера среднего элемента массива середина. Если знаки значений массива массив[леваяГраница] и массив[середина] противоположны, то приближение к корню ищут в левой половине массива, то есть значением праваяГраница становится середина и на следующей итерации исследуется только левая половина массива. Если знаки значений массив[леваяГраница] и массив[середина] одинаковы, то осуществляется переход к поиску приближения к корню в правой половине массива, то есть значением переменной леваяГраница становится середина и на следующей итерации исследуется только правая половина массива. Материал из Википедии — свободной энциклопедии. Пожалуйста, улучшите статью в соответствии с правилами написания статей. Не следует путать с Двоичный поиск. Не следует путать с Дихотомия. Губарь, Курс "Введение в математическое моделирование" Лекция 4: Численные методы решения нелинейных уравнений: Численные методы решения уравнений. Статьи к переработке Википедия: Нет источников с июня Википедия: Статьи без источников объекты менее указанного лимита: Статьи с утверждениями без источников более 14 дней Википедия: Ссылка на Викиучебник непосредственно в статье. Навигация Персональные инструменты Вы не представились системе Обсуждение Вклад Создать учётную запись Войти. Пространства имён Статья Обсуждение. Просмотры Читать Править Править вики-текст История. Эта страница последний раз была отредактирована 21 марта в Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike ; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия. Свяжитесь с нами Политика конфиденциальности Описание Википедии Отказ от ответственности Разработчики Соглашение о cookie Мобильная версия. Эта статья или раздел нуждается в переработке.
500 гр риса это сколько столовых ложек
Сигналы present perfect
Швейная машинка кехлер инструкция
Метод системного моделирования
Куртки казань каталог