Метод Крамера.
Метод Крамера
§ 4. Метод обратной матрицы. Метод Крамера
Метод Крамера применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений СЛАУ , в которых число неизвестных переменных равно числу уравнений и определитель основной матрицы отличен от нуля. В этой статье мы разберем как по методу Крамера находятся неизвестные переменные и получим формулы. После этого перейдем к примерам и подробно опишем решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера. При изучении материала Вам может быть полезна статья вычисление определителя матрицы, свойства определителя. Решением СЛАУ называется такой набор значений x 1 , x 2 , …, x n при которых все уравнения системы обращаются в тождества. Будем считать, что матрица А — невырожденная, то есть, ее определитель отличен от нуля. В этом случае система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера. Методы решения систем при разобраны в разделе решение систем линейных алгебраических уравнений. Итак, приступим к нахождению неизвестной переменной x 1. Для этого умножим обе части первого уравнения системы на А 1 1 , обе части второго уравнения — на А 2 1 , и так далее, обе части n-ого уравнения — на А n 1 то есть, уравнения системы умножаем на соответствующие алгебраические дополнения первого столбца матрицы А: Сложим все левые части уравнения системы, сгруппировав слагаемые при неизвестных переменных x 1 , x 2 , …, x n , и приравняем эту сумму к сумме всех правых частей уравнений: Если обратиться к озвученным ранее свойствам определителя, то имеем и предыдущее равенство примет вид откуда. Аналогично находим x 2. Для этого умножаем обе части уравнений системы на алгебраические дополнения второго столбца матрицы А: Складываем все уравнения системы, группируем слагаемые при неизвестных переменных x 1 , x 2 , …, x n и применяем свойства определителя: Если обозначить то получаем формулы для нахождения неизвестных переменных по методу Крамера. Если система линейных алгебраических уравнений однородная, то есть , то она имеет лишь тривиальное решение при. Действительно, при нулевых свободных членах все определители будут равны нулю, так как будут содержать столбец нулевых элементов. Найдите решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений методом Крамера. Основная матрица системы имеет вид. Вычислим ее определитель по формуле: Так как определитель основной матрицы системы отличен от нуля, то СЛАУ имеет единственное решение, и оно может быть найдено методом Крамера. Заменяем первый столбец основной матрицы системы на столбец свободных членов, и получаем определитель. Аналогично заменяем второй столбец основной матрицы на столбец свободных членов, и получаем. Находим неизвестные переменные x 1 и x 2 по формулам: Подставим полученные значения x 1 и x 2 в исходную систему уравнений: Оба уравнения системы обращаются в тождества, следовательно, решение найдено верно. Некоторые элементы основной матрицы СЛАУ могут быть равны нулю. В этом случае в уравнениях системы будут отсутствовать соответствующие неизвестные переменные. Найдите решение системы линейных уравнений методом Крамера. Перепишем систему в виде , чтобы стало видно основную матрицу системы. Найдем ее определитель по формуле. Определитель основной матрицы отличен от нуля, следовательно, система линейных уравнений имеет единственное решение. Найдем его методом Крамера. Обозначения неизвестных переменных в уравнениях системы могут отличаться от x 1 , x 2 , …, x n. Это не влияет на процесс решения. А вот порядок следования неизвестных переменных в уравнениях системы очень важен при составлении основной матрицы и необходимых определителей метода Крамера. Поясним этот момент на примере. Используя метод Крамера, найдите решение системы трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными. В данном примере неизвестные переменные имеют другое обозначение x , y и z вместо x 1 , x 2 и x 3. Это не влияет на ход решения, но будьте внимательны с обозначениями переменных. В качестве основной матрицы системы НЕЛЬЗЯ брать. Необходимо сначала упорядочить неизвестные переменные во всех уравнениях системы. Для этого перепишем систему уравнений как. Теперь основную матрицу системы хорошо видно. Определитель основной матрицы отличен от нуля, следовательно, система уравнений имеет единственное решение. Запишем определители обратите внимание на обозначения и вычислим их: Осталось найти неизвестные переменные по формулам: Для этого умножим основную матрицу на полученное решение при необходимости смотрите раздел операции над матрицами: В результате получили столбец свободных членов исходной системы уравнений, поэтому решение найдено верно. Решите методом Крамера систему линейных уравнений , где a и b — некоторые действительные числа. Вычислим определитель основной матрицы системы: Определитель отличен от нуля, следовательно, можно применить метод Крамера. Рекомендуем проверить полученные результаты. Найдите решение системы уравнений методом Крамера, - некоторое действительное число. Область значений выражения есть интервал , поэтому при любых действительных значениях. Следовательно, система уравнений имеет единственное решение, которое может быть найдено методом Крамера. Уравнения системы обращаются в тождества, следовательно, решение найдено верно. Решите систему линейных алгебраических уравнений методом Крамера. Вычислим определитель основной матрицы системы уравнений: Определитель основной матрицы равен нулю, следовательно, метод Крамера не подходит для решения такой системы уравнений. Методом Крамера найдите решение СЛАУ. Эта система однородная, так как все свободные члены равны нулю. О таких СЛАУ мы уже упоминали выше в замечании. Найдите решение системы четырех линейных алгебраических уравнений содержащую четыре неизвестных переменных. Сразу скажем, что не будем подробно описывать вычисление определителей матриц, так как это выходит за рамки данной статьи. Вычислим определитель основной матрицы системы, разложив его по элементам второй строки: Определитель основной матрицы системы отличен от нуля, поэтому можно воспользоваться методом Крамера для решения системы. Метод Крамера позволяет находить решение систем линейных алгебраических уравнений, если определитель основной матрицы отличен от нуля. По сути метод сводится к вычислению определителей матриц порядка n на n и применению соответствующих формул для нахождения неизвестных переменных. Если число уравнений в системе велико больше трех , то целесообразно искать решение методом Гаусса. Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www. Системы, решение систем уравнений и неравенств Метод Крамера. Метод Крамера - вывод формул. Алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера. Найдем ее определитель по формуле Имеем Определитель основной матрицы отличен от нуля, следовательно, система линейных уравнений имеет единственное решение. Находим неизвестные переменные Рекомендуем проверить полученные результаты.
Как установить удаленный яндекс
Картина казаки пишут письмо турецкому
Сложная форма вины в уголовном праве
Схема шали крючком простая
Можно ли пить кофе с креатином
Где быстро сделать паспорт
Как банки узнают кредитную историю
Конструктивные элементы и виды полов
Где шьют одежду остин
Узбекистан административный кодекс
Магазин юный техник каталог товаров
Эпатаж салон красоты строгино
Расчет графика ппр электрооборудования
Через киви на карту сбербанка
Внешняя звуковая карта фото