/ Лекция8
Метод Рунге — Кутты
Метод Рунге — Кутты
Метод Рунге — Кутты
/ Лекция8
Метод Рунге — Кутты
Производится в зависимости от особенностей той информации, которая используется при вычислении приближенного значения y x в узловой точке. В первом приближении правило, по которому происходят вычисления символически можно представить в виде. Далее, основное внимание уделим одношаговым методам. Соответствующее вычислительное правило имеет вид. Методы, основанные на разложении в ряд Тейлора. Предположим, что узлы интегрирования являются равноотстоящими, то есть и рассмотрим участок. Предполагая функцию дифференцируемую достаточное число раз, имеем. Его погрешность на отрезке составляет. На основании этого данный метод называется методом первого порядка точности. Он имеет наглядную геометрическую интерпретацию Рисунок 1 и называется также методом ломаных. На каждом участке длиной h участок интегральной кривой заменяется отрезком прямой. Сложим 7 , 9 и разделим на два, в результате чего получим новое правило. Также как и 9 оно является неявным. Если из разложения 6 почленно вычесть разложение 8 , получим локальную погрешность формулы трапеций. Тогда погрешность, накапливаемая на отрезке будет равна. Таким образом, метод трапеций имеет второй порядок точности. Рассмотренные выше погрешности приближенных методов описывают те ошибки, которые возникают вследствие замены дифференциального уравнения конечной вычислительной схемой и называется погрешностью аппроксимации. Помимо этого в общем балансе играют роль погрешности, возникающие на каждом шаге интегрирования в результате использования приближенного значения вместо точного Их обычно относят к погрешностям обусловленным неточностями в задании исходных данных и рассматривают отдельно. Интегрируя его на промежутке получим. Тогда после замены , где , для приращения на n-ом шаге получим выражение. Таким образом, задача вычисления значения функции в точке сводится к вычислению интеграла в соотношении Однако использование традиционных квадратурных формул для этих целей проблематично, так как значения неизвестны. В методах Рунге — Кутта квадратурные схемы строятся следующим образом. Вводятся три группы параметров , где. Первая группа параметров определяет набор узловых значений по первой переменной подинтегральной функции. Вторая группа параметров определяет набор узловых значений по ее второй переменной. Причем производится это косвенным образом через приращения функции в предыдущих узловых точках, где. Наконец, третья группа параметров используется для формирования квадратурной формулы. Обозначим погрешность соотношения 11 через , то есть Если потребовать теперь, чтобы получим погрешность соотношения 11 равную и, следовательно, погрешность метода равную. К числу наиболее употребительных относятся методы 4-го порядка точности. Один из вариантов соответствующего набора параметров следующий. Тогда выражения имеют вид. На Рисунке 2 в полосе указаны используемые в этом методе узловые точки. Для оценки погрешности численных результатов интегрирования при использовании одношаговых методов на практике обычно применяют правило Рунге , которое заключается в следующем. Теоретически показано, что главный член погрешности аппроксимации имеет вид , где k — порядок метода, - некоторая функция, определяемая особенностями правой части дифференциального уравнения. Тогда, проводя расчеты с шагом и , получаем. Разрешая, далее, приближенную систему этих соотношений относительно , имеем. Соотношение 12 и представляет правило Рунге. Естественно, оно дает достоверные результаты лишь в том случае, когда доминирующей в общей погрешности результата является погрешность метода. Обычно правило 12 используют при ,. Студент - человек, постоянно откладывающий неизбежность Методы симптоматической психотерапии II. Таможенно- тарифные методы государственного регулирования ВЭД II. Не тарифные методы государственного регулирования внешнеэкономической деятельности. Биогенетические методы, способствующие увеличению продолжительности жизни IV. Определение перемещений с помощью интегралов Мора. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? В первом приближении правило, по которому происходят вычисления символически можно представить в виде 5 где - приближенные значения решения задачи 1 , 2 в точках h — шаг интегрирования. Если 1 , а , то правило 5 называется одношаговым , в противном случае,- многошаговым ; 2 , вычислительное правило называется явным , при неявным , при , - с забеганием вперед. Соответствующее вычислительное правило имеет вид где. Предполагая функцию дифференцируемую достаточное число раз, имеем 6 Ограничиваясь малыми первого порядка относительно h , получим правило 7 которое называется явным методом Эйлера. Его погрешность на отрезке составляет , где , а на конечном отрезке [ a , b ] учитывая , равна , где. Если воспользоваться разложением 8 и также ограничиться малыми первого порядка, получим правило 9 которое называется неявной схемой Эйлера. Погрешность формулы 9 равна , погрешность метода на конечном промежутке. Сложим 7 , 9 и разделим на два, в результате чего получим новое правило называемое методом трапеций. Тогда погрешность, накапливаемая на отрезке будет равна , где.
Хундай санта fe 2015 технические характеристики
Аквамарис спрей инструкция
Елки палки магнитогорск официальный сайт каталог
Лучший способ восстановить волосы
Основные понятия и определения технологических процессов
Подробная карта полтавской области