11.6. Общая схема исследования функций
Решение задач по ТОЭ, ОТЦ, Высшей математике, Физике, Программированию...
Схема исследования функций
Общее исследование функции и построение ее графика рекомендуется выполнять по следующей схеме: Найти область определения функции. Проверить, не является ли функция четной или нечетной; проверить также, не является ли она периодической. Найти, если это возможно, точки пересечения графика функции с осями координат и промежутки знакопостоянства функции. Иногда для уточнения построения графика следует найти две-три дополнительные точки. Найти производную функции и ее критические точки. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции. Построить график функции, используя полученные результаты исследования. Исследовать функцию и построить ее график: Область определения — множество 2. Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической. Найдем точки пересечения графика с осью т. Возьмем также две дополнительные точки, например: Приравняв производную нулю, получим критические точки: Найденные критические точки разбивают числовую прямую на четыре промежутка: В первой строке таблицы в порядке возрастания расположены критические точки функции и ограниченные ими промежутки, во второй отмечены знаки производной в этих промежутках. В третьей строке записаны выводы об изменении функции, вычислены значения функции в точках экстремума и указано, какая из точек является точкой минимума, а какая — точкой максимума. Используя результаты исследования, строим график функции рис. Функция определена при всех значениях х, кроме Отметим, Рис. Функция является нечетной, так как Следовательно, ее график симметричен относительно начала координат и достаточно исследовать функцию лишь на промежутке 3. Очевидно, что при всех значениях Следовательно, функция убывает на промежутках Экстремумов функция не имеет. На основании полученных сведений строим график функции рис. Функция периодическая с основным периодом Поскольку период функции равен достаточно провести исследование только от до , построить график функции на отрезке и продолжить его, пользуясь периодичностью. Но так как функция является нечетной, то достаточно исследовать функцию и построить ее график на отрезке , затем, пользуясь симметрией относительно начала координат, отразить его на отрезок и далее уже воспользоваться периодичностью данной функции. Итак, дальнейшее исследование проведем для отрезка. Найдем точки пересечения графика с осью Для этого решим уравнение имеем На отрезке последнее уравнение имеет два корня: Следовательно, график функции не пересекает оси абсцисс ни в какой внутренней точке отрезка. В интервале функция принимает только положительные значения. Функция непрерывная и периодическая, следовательно, асимптот график функции не имеет. Найдем значения функции на концах отрезка , имеем Найдем точки экстремума. Так как то, приравняв производную нулю, получим Далее последнее уравнение преобразуем так: Из первого уравнения находим из второго напомним, что мы ограничиваемся пока отрезком Таким образом, внутри отрезка имеется только одна точка которую надо проверить. Ясно, что эта точка максимума, поскольку, как мы отметили уже, на концах отрезка функция обращается в нуль, а всюду внутри отрезка она положительна. Найдем значение функции в точке максимума: Можно составить таблицу значений функции для некоторых значений аргумента: Теперь, пользуясь полученными результатами, построим график функции сначала на отрезке а затем и на всей числовой прямой рис. РАЗВИТИЕ ПОНЯТИЯ О ЧИСЛЕ. ТАНГЕНС И КОТАНГЕНС ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА. Задачи на движение 2. Задачи на совместную работу 3. Задачи на планирование 4. Задачи на зависимость между компонентами арифметических действий 5. Задачи на проценты 6. Задачи на смеси сплавы 7. Но так как функция является нечетной, то достаточно исследовать функцию и построить ее график на отрезке , затем, пользуясь симметрией относительно начала координат, отразить его на.
Заметим, что перед построением графика полезно установить, не является ли данная функция четной или нечетной. Вспомним, что функция называется четной, если при изменении знака аргумента значение функции не меняется: В этом случае достаточно исследовать функцию и построить её график при положительных значениях аргумента, принадлежащих ОДЗ. При отрицательных значениях аргумента график достраивается на том основании, что для четной функции он симметричен относительно оси Oy , а для нечетной относительно начала координат. Во многих приложениях математического анализа встречаются комбинации показательных функций. Эти комбинации рассматриваются как новые функции и обозначаются:. Между гиперболическими функциями существуют следующие соотношения, аналогичные соответствующим соотношениям между тригонометрическими функциями. Решение задач по ТОЭ, ОТЦ, Высшей математике, Физике, Программированию Общая схема исследования функции и построения графиков. Найти ОДЗ и точки разрыва функции. Найти точки пересечения графика функции с осями координат. Провести исследование функции с помощью первой производной, то есть найти точки экстремума функции и интервалы возрастания и убывания. Исследовать функцию с помощью производной второго порядка, то есть найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Найти асимптоты графика функции: На основании проведенного исследования построить график функции. Исследовать функции и построить их графики. Пересечение с осью Ox: Функция непрерывна на области определения. Точек пересечения с осями координат нет. Поэтому функция возрастает на всей числовой прямой. Эти комбинации рассматриваются как новые функции и обозначаются: С помощью этих функций можно определить еще две функции. Найдем производные гиперболических функций. Точка пересечения с осями координат.
Тамада на юбилей
Создать мультик мультатор
Вязание спицами носки 2016 года с описанием
Ветер с моря дул татарская текст
Горчица салатная что приготовить