3. Миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителей с помощью формул разложения.
3) Миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителей с помощью
Свойства определителя матрицы
Минор и алгебраическое дополнение матрицы.
Миноры матрицы
Минор матрицы
Дополнительный минор элемента матрицы n-го порядка есть определитель порядка n-1 , соответствующий той матрице, которая получается из матрицы путем вычеркивания i-ой строки и j-го столбца. Базисным минором матрицы называется любой её ненулевой минор максимального порядка. Для того чтобы минор был базисным, необходимо и достаточно, чтобы все окаймляющие его миноры то есть содержащие его миноры на единицу большего порядка были равны нулю. Система строк столбцов матрицы, связанных с базисным минором, является максимальной линейно независимой подсистемой системы всех строк столбцов матрицы. Предположим, надо найти дополнительный минор. Алгебраическим дополнением элемента матрицы называется число. Введем определение определителя квадратной матрицы любого порядка. Это определение будет рекуррентным , то есть чтобы установить, что такое определитель матрицы порядка , нужно уже знать, что такое определитель матрицы порядка. Отметим также, что определитель существует только у квадратных матриц. Определитель квадратной матрицы будем обозначать или det. Определителем квадратной матрицы второго порядка называется число. Определителем квадратной матрицы порядка , , называется число. Для наглядности запишем, как можно вычислить определитель матрицы четвертого порядка: Реальное вычисление определителей для матриц выше третьего порядка на основе определения используется в исключительных случаях. Как правило, вычисление ведется по другим алгоритмам, которые будут рассмотрены позже и которые требуют меньше вычислительной работы. В определении 1 было бы точнее сказать, что определитель есть функция, определенная на множестве квадратных матриц порядка и принимающая значения в множестве чисел. В литературе вместо термина "определитель" используется также термин "детерминант", имеющий тот же самый смысл. От слова "детерминант" и появилось обозначение det. При транспонировании матрицы определитель не меняется, то есть. Определитель произведения квадратных матриц равен произведению определителей сомножителей, то есть. Если в матрице поменять местами две строки, то ее определитель сменит знак. Если матрица имеет две одинаковые строки, то ее определитель равен нулю. В дальнейшем нам потребуется складывать строки и умножать строку на число. Эти действия над строками столбцами мы будем выполнять так же, как действия над матрицами-строками матрицами-столбцами , то есть поэлементно. Результатом будет служить строка столбец , как правило, не совпадающая со строками исходной матрицы. При наличии операций сложения строк столбцов и умножения их на число мы можем говорить и о линейных комбинациях строк столбцов , то есть суммах с числовыми коэффициентами. Если строку матрицы умножить на число , то ее определитель умножится на это число. Если одна из строк матрицы равна другой, умноженной на число строки пропорциональны , то определитель матрицы равен нулю. Пусть в матрице i-ая строка имеет вид. Тогда , где матрица получается из матрицы заменой i-ой строки на строку , а матрица - заменой i-ой строки на строку. Если к одной из строк матрицы добавить другую, умноженную на число, то определитель матрицы не изменится. Если одна из строк матрицы является линейной комбинацией других ее строк, то определитель матрицы равен нулю. Алгебраическим дополнением к элементу матрицы называется число, равное , где - определитель матрицы, полученной из матрицы вычеркиванием i-ой строки и j-ого столбца. Алгебраическое дополнение к элементу матрицы обозначается. Используя алгебраические дополнения, определение 1 определителя можно записать так: Результатом работы программы будет обратная матрица. Исходную матрицу и вычисленную обратную матрицу можно копировать в буфер обмена для дальнейшего использования в других приложениях. FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Свойства операций над матрицами. Вращение плоскости вокруг прямой. Через каждую прямую в пространстве можно провести бесчисленное множество плоскостей. Угол между прямой и плоскостью. Вычисление определителей с помощью формул разложения. Лемма о фальшивом разложении определителя утверждает, что при и. Из этих утверждений следует алгоритм нахождения обратной матрицы: Определитель Введем определение определителя квадратной матрицы любого порядка. Определителем квадратной матрицы порядка , , называется число где - определитель матрицы порядка , полученной из матрицы вычеркиванием первой строки и столбца с номером. Рассмотрим некоторые свойства определителей, которые сформулируем в виде утверждений. Если матрица содержит нулевую строку, то ее определитель равен нулю.
Записать частное в виде степени
Приготовить лосятину с картошкой
Каталог наручных часов слава
Как правильно написать фразу
Ай петри крым как доехать на машине
Сонник фекалии кошачьи