Примеры. Пример 1. Найдем математическое ожидание случайной величины Х – числа стандартных деталей среди трех
Примеры решения задач
Решение задач
Вероятность всхожести семян пшеницы равна 0,9. Какова вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут не менее трех? Пусть событие А — из 4 семян взойдут не менее 3 семян; событие В — из 4 семян взойдут 3 семени; событие С — из 4 семян взойдут 4 семени. По теореме сложения вероятностей. Вероятности и определим по формуле Бернулли, применяемой в следующем случае. Пусть проводится серия п независимых испытаний, при каждом из которых вероятность наступления события постоянна и равна р , а вероятность ненаступления этого события равна. Тогда вероятность того, что событие А в п испытаниях появится ровно раз, вычисляется по формуле Бернулли. Найти вероятность того, что из посеянных семян взойдут семян. Вычислить искомую вероятность по формуле Бернулли затруднительно из-за громоздкости вычислений. Поэтому применим приближенную формулу, выражающую локальную теорему Лапласа:. Из таблицы 1 приложений находим. Какова вероятность того, что при случайном отборе семян будет обнаружено 6 семян сорняков? Применение локальной теоремы Лапласа из-за малой вероятности приводит к значительному отклонению вероятности от точного значения. Поэтому при малых значениях р для вычисления применяют асимптотическую формулу Пуассона. Эта формула используется при , причем чем меньше р и больше п , тем результат точнее. По условию задачи ;. Найти вероятность того, что из посеянных семян взойдут от до семян. Если вероятность наступления события А в каждом из п испытаний постоянна и равна р , то вероятность того, что событие А в таких испытаниях наступит не менее раз и не более раз определяется по интегральной теореме Лапласа следующей формулой:. Функция называется функцией Лапласа. При отрицательных значениях х в силу нечетности функции Лапласа. Используя функцию Лапласа, имеем:. По приведенным выше формулам находим и:. Задан закон распределения дискретной случайной величины Х:. Эта величина характеризует среднее ожидаемое значение квадрата отклонения Х от. Из последней формулы имеем. Дисперсию можно найти другим способом, исходя из следующего ее свойства: Для вычисления составим следующий закон распределения величины:. Из этой формулы имеем: Непрерывная случайная величина Х задана интегральной функцией распределения. Так как функция при и при равна нулю, то из последней формулы имеем. Длина детали представляет собой нормально распределенную случайную величину с математическим ожиданием 40 мм и средним квадратическим отклонением 3 мм. Если случайная величина Х задана дифференциальной функцией , то вероятность того, что Х примет значения, принадлежащие отрезку , определяется по формуле. Вероятность выполнения строгих неравенств определяется той же формулой. Если случайная величина Х распределена по нормальному закону, то. Подставив в 1 , имеем. FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Примеры решения задач Задача 1. Тогда вероятность того, что событие А в п испытаниях появится ровно раз, вычисляется по формуле Бернулли , где — число сочетаний из п элементов по. Поэтому применим приближенную формулу, выражающую локальную теорему Лапласа: Поэтому при малых значениях р для вычисления применяют асимптотическую формулу Пуассона , где. Если вероятность наступления события А в каждом из п испытаний постоянна и равна р , то вероятность того, что событие А в таких испытаниях наступит не менее раз и не более раз определяется по интегральной теореме Лапласа следующей формулой: Используя функцию Лапласа, имеем: По приведенным выше формулам находим и: Задан закон распределения дискретной случайной величины Х: Х 40 42 41 44 р 0,1 0,3 0,2 0,4 Найти: Из последней формулы имеем Дисперсию можно найти другим способом, исходя из следующего ее свойства: Для вычисления составим следующий закон распределения величины: Х 2 40 2 42 2 41 2 44 2 р 0,1 0,3 0,2 0,4 Тогда 3 Для характеристики рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения вводится среднее квадратическое отклонение случайной величины Х , равное квадратному корню из дисперсии , то есть. Непрерывная случайная величина Х задана интегральной функцией распределения Найти: Искомая дифференциальная функция имеет следующий вид: Если случайная величина Х распределена по нормальному закону, то , 1 где — функция Лапласа,. Тогда 2 По условию задачи , где. Подставив в 1 , имеем то есть.
Найдем математическое ожидание случайной величины Х — числа стандартных деталей среди трех, отобранных из партии в 10 деталей, среди которых 2 бракованных. Составим ряд распределения для Х. Из условия задачи следует, что Х может принимать значения 1, 2, 3. Определим математическое ожидание случайной величины Х — числа бросков монеты до первого появления герба. Эта величина может принимать бесконечное число значений множество возможных значений есть множество натуральных чисел. Ряд ее распределения имеет вид:. Для того, чтобы иметь представление о поведении случайной величины, недостаточно знать только ее математическое ожидание. Рассмотрим две случайные величины: Х и Y , заданные рядами распределения вида. Следовательно, наряду с математическим ожиданием желательно знать, на-сколько значения случайной величины отклоняются от него. Для характеристики этого показателя служит дисперсия. Наряду с числовыми характеристиками положения вводят и другие числовые характеристики. Например, для того чтобы оценить рассеяние случайных величин вокруг математического ожидания, пользуются числовой характеристикой, которую называют дисперсией. Дисперсией называется математическое ожидание квадрата. Дисперсией рассеянием случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от ее математического ожидания:. Найдем дисперсию случайной величины Х числа стандартных деталей среди отобранных в примере 1 данной лекции. Вычислим значения квадрата отклонения каждого возможно-го значения от математического ожидания:. В определении дисперсии оценивается не само отклонение от среднего, а его квадрат. Это сделано для того, чтобы отклонения разных знаков не компенсировали друг друга. Из определения дисперсии следует, что эта величина принимает только неотрицательные значения. Существует более удобная для расчетов формула для вычисления дисперсии, справедливость которой доказывается в следующей теореме:. Дисперсия дает среднее значение квадрата отклонения случайной величины от среднего; для оценки самого отклонения служит величина, называемая средним квадратическим отклонением. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величин равна сумме их дисперсий. Дисперсия суммы постоянной и случайной величин равна дисперсии случайной величины. В предыдущем примере средние квадратические отклонения Х и Y равны соответственно. Определение числовых характеристик наиболее употребительных распределений непрерывных случайных величин. Распространим определения числовых характеристик случайных величин на непре-рывные случайные величины, для которых плотность распределения служит в некото-ром роде аналогом понятия вероятности. Математическим ожиданием непрерывной случайной величины называется. Общее определение дисперсии сохраняется для непрерывной случайной величины таким же, как и для дискретной опр. Среднее квадратическое отклонение вычисляется по формуле. Если все возможные значения непрерывной случайной величины не выходят за пределы интервала [ a, b ], то интегралы в формулах 7. Да какие ж вы математики, если запаролиться нормально не можете??? Сущность и основные этапы формирования. Международное географическое разделение труда и его примеры. Закон сохранения момента импульса системы тел и его связь с изотропностью пространства. Закон сохранения импульса системы тел и его связь с однородностью пространства. Теорема о движении центра масс. Колебания системы с двумя степенями свободы. Теорема о пределе монотонной ограниченной последовательности. Непрерывные и дискретные случайные величины. Формулы для математического ожидания и дисперсии. Охарактеризуйте основные типы и группы профессий, приведите примеры. Приведите типологию видов экономического анализа. Охарактеризуйте виды экономического анализа по временному признаку. Охарактеризуйте виды экономического анализа по отраслевому и пространственным признакам. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Ряд ее распределения имеет вид: Дисперсией рассеянием случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от ее математического ожидания: Вычислим значения квадрата отклонения каждого возможно-го значения от математического ожидания:
Адидас дисконт спб академическая каталог
Меры административного принуждения статьи
Приемная коммиссия график работы в мгу пп
Перепрошить телефон андроид через компьютер fly
Способы совершения преступных посягательств