Метод Гаусса. Примеры решения систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса.
Метод Гаусса
Метод Гаусса: описание алгоритма решения системы линейных уравнений, примеры, решения.
Назван в честь немецкого математика Карла Фридриха Гаусса. Это метод последовательного исключения переменных , когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе треугольного вида, из которой последовательно, начиная с последних по номеру , находятся все переменные системы [1]. Хотя в настоящее время данный метод повсеместно называется методом Гаусса, он был известен и до К. Её можно записать в матричном виде:. Тогда, согласно свойству элементарных преобразований над строками, основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов:. Все остальные называются свободными. Если свободным переменным системы 2 придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх то есть от нижнего уравнения к верхнему , то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой 1 , то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы 1 и 2 эквивалентны, то есть множества их решений совпадают. Если количество переменных в системе превосходит число уравнений, то такая система является либо неопределённой, либо несовместной. Напомним, что рангом совместной системы называется ранг её основной матрицы либо расширенной, так как они равны. Блок схема представлена на рисунке. Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса подразделяется на два этапа. В простейшем случае алгоритм выглядит так: В результате мы привели исходную систему к треугольному виду , тем самым закончим первый этап алгоритма. В случае, если число уравнений в совместной системе получилось меньше числа неизвестных, то тогда ответ будет записываться в виде фундаментальной системы решений. Помимо аналитического решения СЛАУ , метод Гаусса также применяется для:. Метод Гаусса для плохо обусловленных матриц коэффициентов является вычислительно неустойчивым. Например, для матриц Гильберта метод приводит к очень большим ошибкам даже при небольшой размерности этих матриц. Уменьшить вычислительную ошибку можно с помощью метода Гаусса с выделением главного элемента, который является условно устойчивым [5]. Широкое применение метода Гаусса связано с тем, что плохо обусловленные матрицы встречаются на практике относительно редко. Таким образом, для больших СЛАУ метод Гаусса не оптимален по скорости. Материал из Википедии — свободной энциклопедии. У этого термина существуют и другие значения, см. Методы решения СЛАУ Карл Фридрих Гаусс. Статьи с источниками из Викиданных Страницы, использующие волшебные ссылки ISBN. Навигация Персональные инструменты Вы не представились системе Обсуждение Вклад Создать учётную запись Войти. Пространства имён Статья Обсуждение. Просмотры Читать Править Править вики-текст История. Эта страница последний раз была отредактирована 16 мая в Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike ; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия. Свяжитесь с нами Политика конфиденциальности Описание Википедии Отказ от ответственности Разработчики Соглашение о cookie Мобильная версия. Если в совместной системе все переменные главные, то такая система является определённой. Теорема Кронекера — Капелли. Система совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. Количество главных переменных равно рангу системы и не зависит от её решения. Если ранг совместной системы равен числу переменных данной системы, то она определена. Теорема о приведении матриц к ступенчатому виду. Любую матрицу путём элементарных преобразований только над строками можно привести к ступенчатому виду.
Саблевидная лобковая кость что делать
Музей истории грузии
Сколько стоит хонда cr v
Краткая характеристика современных педагогических технологий
История рака кишечника
Soft feel перевод