19.5. Вычисление объемов тел
Вычисление объёмов
прикладная математика
При решении следующих задач будут использованы термины, которые мы сейчас введем. Такая область допускает удобную штриховку вертикальными отрезками: Аналогично введем понятие x - трапеции: Для x -трапеции удобна горизонтальная штриховка. Тело T в пространстве назовем z - брусом , если оно может быть задано следующим образом: Аналогично введем понятия y - бруса и x - бруса рис. В случае z -бруса. Восстановим область интегрирования по пределам повторных интегралов: Изобразим область интегрирования на чертеже. Найдем точки пересечения параболы и прямой: Вертикальной штриховкой покажем порядок интегрирования: Сменим штриховку на горизонтальную. Из рисунка видно, что данная область является -трапецией. Найти объем тела, ограниченного поверхностями. Изобразим на чертеже заданное тело рис. Очевидно, тело есть - цилиндрический брус. Область , являющуюся ортогональной проекцией тела на плоскость , изобразим на отдельном рисунке. Для этого найдем точки пересечения параболы с прямой. Объем цилиндрического бруса может быть найден с помощью двойного интеграла. Область , изображенная на рисунке, очевидно не является - трапецией, но является - трапецией:. Найти объем тела, ограниченного указанными поверхностями. Приведем решение двух задач на вычисление объемов тел, рассматривая тела с различной геометрией поверхности. Тело ограничено двумя поверхностями: Изобразим это тело на чертеже рис. Данное тело является -цилиндрическим брусом рис. Найдем область, в которую тело проектируется на плоскость , для чего из уравнений поверхностей, ограничивающих тело, следует исключить переменную то есть совершить ортогональное проектирование:. Объем тела может быть вычислен с помощью тройного интеграла по формуле. В декартовой системе координат тройной интеграл записывается через повторный следующим образом:. Запишем интеграл в цилиндрической системе координат , с которой декартова система связана формулами. Формула перехода в интеграле имеет вид. Для окружности имеем ; угол , очевидно, необходимо менять в пределах от 0 до. При построении следует преобразовать уравнение направляющей цилиндра , лежащей в плоскости к каноническому виду прибавляя и вычитая 2: Кроме того, при построении следует учесть, что поверхность параболоида пересекается с плоскостью по окружности. Тело является z-цилиндрическим брусом, проектирующимся на плоскость в область , являющуюся -трапецией. Нетрудно убедиться, что и здесь, как и в предыдущем случае, повторный интеграл, записанный в декартовой системе координат, при вычислении требует значительных усилий; поэтому и в этом случае перейдем к цилиндрической системе координат см. Найдем уравнения поверхностей, ограничивающих тело, в цилиндрической системе координат: Область , являющаяся проекцией тела на плоскость , ограничена окружностью и окружностью так как. Найдем значения параметра , соответствующие точкам пересечения этих окружностей: Учитывая симметрию тела относительно плоскости , объем запишем в виде следующего повторного интеграла:. Найти объем тела , ограниченного поверхностями. Объем тела может быть вычислен по формуле. Рассматривая тело в декартовой системе координат, видим, что оно не является ни -, ни -, ни -цилиндрическими брусами см. Чтобы тройной интеграл записать в виде повторного, перейдем в уравнениях ограничивающих тело поверхностей к сферическим координатам. Так как подынтегральная функция представляет собой произведение функций, каждая из которых зависит только от одной переменной, а пределы интегрирования постоянны, то повторный интеграл представляет собой просто произведение трех интегралов. Область — это часть эллиптического кольца на рис. Массу плоской области можно вычислить по формуле. Подставляя заданную плотность в двойной интеграл, для массы получим. Очевидно, что область не является ни -, ни - трапецией; при вычислении двойного интеграла в декартовой системе координат область пришлось бы разбить на три области. Выбор обусловлен соображениями удобства при вычислении интегралов. Положим для заданной области:. Якобиан преобразования вычисляется по формуле. Запишем двойной интеграл в обобщенной полярной системе координат:. В данном случае повторный интеграл есть произведение двух определенных интегралов, так как внутренний интеграл по есть скаляр. Найти массу тела , ограниченного поверхностями: Область ограничена с боков координатными плоскостями и цилиндрической поверхностью. Область является -цилиндрическим брусом. Масса тела может быть вычислена по формуле:. Цилиндрический брус проектируется на плоскость в криволинейную трапецию D: Преобразуем тройной интеграл в повторный и вычислим его:. FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Ulyra Опубликованный материал нарушает ваши авторские права?
Основной вопрос, который надо решить - на какую координатную плоскость проектировать тело, чтобы выкладки были наиболее простыми. Тело изображено на рисунке. Пробуем перейти к полярным координатам. Из рисунка видно, что основание R является квадратом. Вычислим полученные три интеграла отдельно. В силу симметрии, ограничимся нахождением объема верхнего полушара и затем результат умножим на 2. Сначала получим уравнение поверхности конуса. Теорема существования тройного интеграла. Если у Вас есть вопросы или комментарии, Вы можете оставить их ниже. При использовании материалов сайта ссылка на правообладателя и источник заимствования обязательна. При использовании ссылка на правообладателя и источник заимствования обязательна. Часть материалов на сайте получена свободным доступом из сети Интернет и других общедоступных источников. Любые опубликованные материалы и произведения, авторство которых ранее не было установлено, будут немедленно изъяты из свободного доступа по первому требованию законного правообладателя. Главная О компании Сервис Разработка раздела КМ Раздел КЖ. Расчет конструкций и чертежи КЖ Разработка КМД. Чертежи КМД Расчет конструкций Проектирование АО Проектирование фундаментов Портфолио Примеры проектов Эстакады под технологические трубопроводы. Быстровозводимые здания из металлоконструкций. Примеры проектов Проект сварных рамных конструкций переменного сечения. Проектирование цеха производства цемента. Примеры проектов Крыша дома. Примеры проектов Проект здания рыбозавода. Двойной интеграл Вычисление объёмов. Криволинейный интеграл первого рода Несобственные интегралы от неограниченной функции Определение тройного интеграла. Вычисление двойного интеграла Вычисление площадей плоских областей.
Размеры определяющие величины
Как оформить спальню
Главная новости спб
Где взять деньги под проценты
Из какого мяса делают шницель