Научимся использовать оба признака сразу и узнаем, когда это можно делать, а когда нельзя. То есть дым — это признак огня. На самом деле этот признак не всегда работает. Что-то может тлеть и дымить, а огня не будет. Это признак по последней цифре. Если последняя цифра делится на это число, то и все число тоже делится. Если сумма цифр числа делится на 9 или на 3, то и само число тоже делится на 3 или на 9. Разложение на 60 и 12 удобно, но не дает нам общего правила, алгоритма, как действовать с другими числами. Но это и есть сумма цифр. Если бы она не делилась, то и все число не делилось бы. Используем свойство делимости суммы: У нас в первых скобках каждое слагаемое делится на 3 и на 9, значит, и вся сумма делится на 3 и на 9. Таким образом, делимость всего нашего числа зависит теперь от последней суммы. Если она делится на 3 или 9, то и все число делится, если нет, то и все число нет. То есть число делится на 3 или на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3 или на 9. С помощью него объяснение признака делимости на 3 и на 9 очень короткое. О нем рассказывается в конце урока. Не обязательно складывать все цифры. Можно упростить себе задачу. Если какая-то часть в сумме уже делится, то ее можно откинуть и больше не учитывать. Посмотрим на применение сразу двух признаков: Число делится на 2, так как последняя цифра делится: Число делится на 3, так как сумма цифр делится на 3: Число делится на 5, последняя цифра делится на 5: Этот метод не получится применить, если мы проверяем делимость на число, где есть повторяющиеся множители. Нельзя применять признак делимости несколько раз, если делитель разложен на одинаковые множители. Наоборот, если мы знаем, что число делится или не делится на 3, что можно сказать про делимость на 9? То есть любое число и число, полученное как сумма его цифр, сравнимы по модулям 3 и 9. Значит, они делятся или не делятся на них одновременно. За страницами учебника математики. Задания по курсу математика класс. Пособие для учащихся 6-х классов заочной школы МИФИ. Учебник-собеседник для классов средней школы. Интернет-сайт "Математика онлайн" Источник. Интернет-сайт "Школьный помощник" Источник. Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам — сделайте свой вклад в развитие проекта. Математика, 6 Класcы 1 класс Математика Окружающий мир Русский язык Чтение 2 класс Математика Окружающий мир Русский язык Английский язык Чтение 3 класс Математика Окружающий мир Русский язык Английский язык Чтение 4 класс Математика Окружающий мир Русский язык Английский язык Чтение 5 класс Математика Информатика Природоведение Биология География Английский язык Всеобщая история Русский язык Литература Обществознание ОБЖ 6 класс Математика Информатика Биология География Английский язык Всеобщая история Русский язык История России Литература Обществознание ОБЖ 7 класс Алгебра Геометрия Физика Биология География Английский язык Всеобщая история Русский язык История России Литература Обществознание ОБЖ 8 класс Алгебра Геометрия Информатика География Химия Физика Биология Английский язык Всеобщая история Русский язык История России Литература Обществознание ОБЖ 9 класс Алгебра Геометрия Информатика География Химия Физика Биология Английский язык Всеобщая история Русский язык История России Литература Обществознание ОБЖ 10 класс Алгебра Геометрия География Химия Физика Биология Английский язык Всеобщая история Литература История России Обществознание ОБЖ 11 класс Алгебра Геометрия Биология Физика Химия Английский язык Всеобщая история Литература История России Обществознание ОБЖ ЕГЭ. Алгебра 7 класс 8 класс 9 класс 10 класс 11 класс ЕГЭ Геометрия 7 класс 8 класс 9 класс 10 класс 11 класс ЕГЭ Математика 1 класс 2 класс 3 класс 4 класс 5 класс 6 класс Информатика 5 класс 6 класс 8 класс 9 класс Обществознание 5 класс 6 класс 7 класс 8 класс 9 класс 10 класс 11 класс ОБЖ 5 класс 6 класс 7 класс 8 класс 9 класс 10 класс 11 класс Физика 7 класс 8 класс 9 класс 10 класс 11 класс ЕГЭ Химия 8 класс 9 класс 10 класс 11 класс Биология 5 класс 6 класс 7 класс 8 класс 9 класс 10 класс 11 класс Факультатив География 5 класс 6 класс 7 класс 8 класс 9 класс 10 класс Природоведение 5 класс Окружающий мир 1 класс 2 класс 3 класс 4 класс Русский язык 1 класс 2 класс 3 класс 4 класс 5 класс 6 класс 7 класс 8 класс 9 класс Факультатив ЕГЭ Литература 5 класс 6 класс 7 класс 8 класс 9 класс 10 класс 11 класс История России 6 класс 7 класс 8 класс 9 класс 10 класс 11 класс Видеословарь Всеобщая история 5 класс 6 класс 7 класс 8 класс 9 класс 10 класс 11 класс Спецкурс Английский язык 2 класс 3 класс 4 класс 5 - 6 классы 7 - 8 классы 9 класс 10 - 11 классы Чтение 1 класс 2 класс 3 класс 4 класс. Признаки делимости на 9 и на 3. Видеоурок Текстовый урок Тренажеры Тесты Вопросы к уроку. Этот видеоурок доступен по абонементу Подробнее об абонементе, платных и бесплатных уроках У вас уже есть абонемент? Введение Признак позволяет нам по первому взгляду понять что-то про объект. В математике признаки действуют всегда. К таким относятся признаки делимости. Мы уже знаем признак делимости на 2, 5 и На этом уроке мы рассмотрим делимость на 3 и на 9. Похоже, не важно в каком порядке идут цифры. Дело в том, что все зависит от суммы цифр, а не от порядка, в котором они идут. Признак делимости на 3 и на 9 звучит так: Понятно, что если переставить цифры местами, то сумма цифр не изменится. Выясним, как получается этот признак. Как увидеть, что число 72 делится на 3? Это правило очень полезное, и мы его часто используем. Если в сумме оба слагаемых делятся на некое число, то вся сумма делится на это число. Если одно делится, а другое нет, то и вся сумма не делится. Вернемся к числу Вспомним, что обозначает десятичная запись числа. Например, разделим число 73 на 3. И этот алгоритм можно применить к любому числу. Возьмем число побольше, , и попробуем понять, делится ли оно на 3 и на 9. Шаг первый Вспомним, что означает десятичная запись числа, и запишем число в эквивалентной форме: Распишем каждое разрядное число: Шаг второй Используем свойство делимости суммы: Но во вторых скобках и есть сумма цифр исходного числа. Проверим делимость в нашем случае: Есть удобный инструмент — теория сравнений. Самостоятельно определите, делится ли число на 3 и на 9. Число делится на 9 и на 3. Делится ли число 12 на 6? Чтобы делиться на 6, нужно делиться на 2 и на 3. Так как исходное число делится и на 2, и на 3, значит, оно делится и на 6. Делится ли число на 15? Число не делится на 3, значит, не делится и на Делится ли на 4? То есть если множители внутри числа не повторяются: Самостоятельно ответьте на следующие вопросы. Если мы знаем, делится или нет число на 9, нужно ли проверять, делится на 3 или нет? Теория сравнений и признак делимости на 3 и 9 Выбираем число, например 3. Будем называть его модулем. Два числа считаем одинаковыми, если они дают одинаковый остаток при делении на 3. Например, , Такие числа будем называть сравнимыми по модулю 3. Все разрядные числа можно заменить на единицы, если сравнивать по модулям 3 и 9. Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет 1. Интернет-сайт "Математика онлайн" Источник 2. Интернет-сайт "Школьный помощник" Источник 3. Информация об уроке Комментарии 12 Поделиться В избранное Нашли ошибку? Комментарии к уроку Показать еще комментарии Это вы. Код для вставки на сайт: Копируя приведенный ниже HTML-код, вы тем самым принимаете Условия использования. Центр образования Домашняя школа Репетитор ЕГЭ Univertv.
Если признак делимости позволяет выяснить не только делимость числа на заранее заданное, но и остаток от деления, то его называют признаком равноостаточности. Как правило, признаки делимости применяются при ручном счёте и для чисел, представленных в конкретной позиционной системе счисления обычно десятичной. Способ алгоритм построения такой последовательности и будет искомым признаком делимости на m. Примером такой функции, определяющей признак равноостаточности и, соответственно, признак делимости , может быть функция. По сути применение признака равноостаточности на базе этой функции эквивалентно делению при помощи вычитания. Математически этот признак равноостаточности может быть сформулирован следующим образом. Функция, описывающая это признак равноостаточности будет выглядеть как. Легко доказать, что эта функция удовлетворяет всем перечисленным выше требованиям. Причём последовательность, построенная с её помощью, будет содержать всего один или два члена. Для построения признаков равноостаточности и делимости чаще всего используется следующие теоремы:. Число делится на 2 тогда и только тогда , когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной. Соответствующая признаку функция см. Число делится на 3 , когда сумма его цифр делится на 3. Эта функция помимо признака делимости задаёт и признак равноостаточности. Число делится на 4 , когда две последние цифры нули или составляют число, делящееся на 4. Например, — последние цифры 76, и число 76 делится на 4: Двузначное число делится на 4 тогда и только тогда, когда удвоенная цифра в разряде десятков, сложенная с цифрой в разряде единиц, делится на 4. Число делится на 4, если в последнем разряде 0, 4, 8, а предпоследний разряд чётный; или если в последнем разряде 2, 6, а предпоследний разряд нечётный. Число делится на 5 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на 0 или на 5. Число делится на 6 тогда, когда оно делится и на 2, и на 3 то есть если оно четное и сумма его цифр делится на 3. Берётся первая слева цифра, умножается на 3, прибавляется следующая, и всё повторяется сначала: Также на каждом шаге можно брать остаток от деления на 7: В обоих случаях итоговое число равноостаточно при делении на 7 с исходным числом. Число делится на 8 , когда три последние цифры составляют число, делящееся на 8. Трёхзначное число делится на 8 тогда и только тогда, когда цифра в разряде единиц, сложенная с удвоенной цифрой в разряде десятков и учетверённой цифрой в разряде сотен, делится на 8. Число делится на 9 , когда сумма его цифр делится на 9. Например, сумма цифр числа делится на 9, следовательно и само число делится на 9. Число делится на 10 тогда и только тогда, когда оно оканчивается на ноль. Число делится на 13 , когда сумма числа десятков с учетверенной цифрой в разряде единиц делится на Число делится на 17 тогда: Число делится на 19 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с удвоенной цифрой в разряде единиц, делится на Число делится на 20 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя последними цифрами, делится на Число делится на 25 тогда и только тогда, когда две его последние цифры составляют число, которое делится на Другими словами, на 25 делятся числа, оканчивающиеся на 00, 25, 50 или Число делится на 27 тогда и только тогда, когда на 27 делится сумма чисел, образующих группы по три цифры начиная с единиц. Число делится на 29 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с утроенной цифрой в разряде единиц, делится на Число делится на 30 тогда и только тогда, когда оно заканчивается на 0 и сумма всех цифр делится на 3. Число делится на 31 тогда и только тогда, когда модуль разности числа десятков и утроенной цифры в разряде единиц делится на Затем в каждой грани первую справа цифру умножить на 1, вторую цифру умножить на 10, третью — на 18, четвёртую — на 16, пятую — на 37 и все полученные произведения сложить. Если результат будет делиться на 41, тогда и только тогда само число будет делиться на Есть и другие более удобные признаки делимости на 41, см. Число делится на 50 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя его младшими десятичными цифрами, делится на Число делится на 59 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с цифрой в разряде единиц, умноженной на 6, делится на Число делится на 79 тогда и только тогда, когда число десятков, сложенное с цифрой в разряде единиц, умноженной на 8, делится на Число делится на 99 тогда и только тогда, когда на 99 делится сумма чисел, образующих группы по две цифры начиная с единиц. Это свойство позволяет построить признак делимости и равноостаточности на делитель степени основания системы счисления. Например, в десятичной системе счисления это позволяет построить признаки делимости на 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50 и т. Это свойство позволяет построить признак делимости на m. Например, в десятичной системе счисления это позволяет построить признаки делимости на 3, 9, 11, 27, 33, 37, 99, , , , , , , , и т. Например, в десятичной системе счисления это позволяет построить признаки делимости на 7, 11, 13, 73, 77, 91, , , , , и т. Признаки делимости в других системах счисления аналогичны таковым в десятичной. В частности, в любой системе счисления числа записаны в той системе, в которой мы работаем в данный момент:. Если основание системы счисления равно 1 по модулю некоторого числа k то есть остаток от деления основания на k равен 1 , то любое число делится на k тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на k без остатка. Если основание системы счисления делится на некоторое число k , то любое число делится на k тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на k. Материал из Википедии — свободной энциклопедии. Эта статью следует сделать более понятной широкому кругу читателей. Пожалуйста, попытайтесь изложить эту статью так, чтобы она была понятна неспециалисту. Вам могут помочь советы в этом эссе. Нужно это раздел либо удалить, либо перенести ниже, либо перенести в статью Признак Паскаля. Соответсвенно изменить текст ниже. Пример построения признаков делимости и равноостаточности на 7. Причём эффективность этого алгоритма в немалой степени зависит от формы представления чисел и имеющихся в распоряжении вычислительных возможностей. Теоретико-числовые алгоритмы Устный счёт Делимость и остатки. Страницы, использующие волшебные ссылки ISBN Википедия: Слишком технические статьи Википедия: Статьи со ссылками на статьи об отдельных числах. Навигация Персональные инструменты Вы не представились системе Обсуждение Вклад Создать учётную запись Войти. Пространства имён Статья Обсуждение. Просмотры Читать Править Править вики-текст История. В других проектах Викисклад. Эта страница последний раз была отредактирована 9 июня в Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike ; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия. Свяжитесь с нами Политика конфиденциальности Описание Википедии Отказ от ответственности Разработчики Соглашение о cookie Мобильная версия.
Признаки делимости
Щука расписание сеансов
https://gist.github.com/e74779fdd19e2144645f1b47d0f7bd38
https://gist.github.com/5bdff177547511ccc0eaa45484feadb4