Ссылка на файл: >>>>>> http://file-portal.ru/Проект задачи с параметрами/
Учебный проект по теме: «Линейные уравнения и неравенства с параметрами»
Творческий проект " Задачи с параметрами".
Исследовательский проект "Задачи с параметрами"
Автоматическая выдача свидетельства о публикации в официальном СМИ сразу после добавления материала на сайт - Бесплатно. Элективные курсы в системе предпрофильного обучения математике 7. Методологические положения о задачах с параметрами ………….. Типы и методы решения задач с параметрами в девятилетней школе…. Проект элективного курса ………………………………………… Приложение к урокам ……………………………………………………… Задачи с параметрами представляют существенную и важную часть содержания современного школьного математического образования. Они играют большую роль в формировании логического мышления и математической культуры учащихся. Задачи с параметром требуют логической культуры — того, чего не хватает большинству учащихся. Чтобы решить такую задачу, необходимо в каждый момент представлять себе, что уже сделано, что еще надо сделать, что означают уже полученные результаты. При решении задач с параметрами ученик должен продемонстрировать глубокое понимание изучаемого материала, определенную логическую культуру и высокую технику. Недостаточно механического применения формул, необходимо понимание закономерностей, наличие навыка анализа конкретного случая на основе общих свойств объекта, системность и последовательность в решении, умение объединить рассматриваемые случаи в единый результат. В школьных учебниках практически отсутствуют задачи с параметрами. В программе по математике про задачи с параметрами ничего не сказано, а для школ классов с углубленным изучением математики есть требование: Материалы единого государственного экзамена, конкурсные задания в вузы часто содержат уравнения и неравенства, содержащие параметры, методы решения которых не рассматриваются в основном курсе обучения математике. Типов задач с параметрами огромное множество, и выпускник средней школы должен владеть методом решения хотя бы некоторых из них. Поскольку существующие учебные программы по математике и тематические планирования к ним в том числе и тематические планирования учебных программ обучения математике на профильном уровне явно не предусматривают обучение решению задач с параметрами. Ясно, что школьная базовая программа уделяет мало времени решению этих задач, предлагая рассматривать их факультативно. Итак, актуальность работы обусловлена следующим: Таким образом, получаем противоречие: Для достижения поставленной цели и проверки выдвинутой гипотезы необходимо было решить следующие задачи: На основе анализа документов об образовании, педагогической литературы выявить роль элективных курсов в школьном образовании. Разработать отдельные занятия элективного курса. Опробовать методические рекомендации в школьной практике. Методологической основой исследования послужили: И Рыбкиной о требованиях к разработке элективных курсов, а также учебные пособия А. Для решения поставленных задач были использованы следующие методы: Работа состоит из введения, двух глав, заключения, приложения, списка литературы. Во введении обосновывается актуальность данной проблемы, формулируются противоречие, проблема, объект, предмет, цель исследования, гипотеза, задачи исследования, методы, которыми решается поставленная проблема, а также описана структура работы. В первой главе обосновывается роль элективных курсов в системе предпрофильного обучения математике, излагаются методологические положения о задачах с параметрами, а также представлены типы и методы решения задач с параметрами. В приложении представлен список задач, которые прорешиваются на уроках элективного курса. В заключение отмечены основные выводы по проделанной работе. Список литературы состоит из методических и математических книг и статей, которые были использованы при написании работы. Основная идея обновления старшей ступени общего образования состоит в том, что образование должно стать индивидуализированным, функциональным и эффективным. Одним из основных школьных предметов является математика. Но на ее изучение с каждым годом уделяется все меньше часов. Одним из самых сложных для понимания и изучения разделов математики являются задачи с параметрами. Поэтому целесообразно изучать этот раздел на элективных курсах. Также необходимо рассмотреть математические понятия: Решение задач с параметрами требует исследования, даже если это слово не упомянуто в формулировке задачи. Недостаточно механического применения формул, необходимо понимание закономерностей, навыки анализа конкретного случая на основе известных общих свойств объекта, системность и последовательность в решении, умение объединить рассматриваемые частные случаи в единый результат. Этим обусловлены трудности, возникающие у учащихся при решении таких задач. Учителю необходимо синтезировать типы задач с параметрами и методы их решения, чтобы облегчить учащимся процесс усвоения задач с параметрами. Ответы на все поставленные вопросы и рассматриваются в данной главе. Элективные курсы в системе предпрофильного обучения математике. Более подробно остановимся на предпрофильной подготовке учащихся, о которой говорится в книге Т. Организация предпрофильной подготовки является одним из важных элементов перехода на профильное образование. Она выполняет подготовительную функцию и является подсистемой профильного образования. Проблема выбора профиля является непростым испытанием как для учащихся, так и для их родителей. Многим впервые в жизни предстоит совершить столь серьезный шаг, от которого во многом будет зависеть дальнейшая судьба старшеклассников, в частности - мера их подготовленности к успешной сдаче единых государственных экзаменов и перспективы на продолжение образования после школы. Уже в девятом классе основной школы ученик должен будет получить информацию о возможных путях продолжения образования, причем совершенно конкретно, в отношении территориально доступных ему образовательных учреждений, оценить свои силы и принять ответственное решение. Поэтому основной задачей предпрофильной подготовки в девятом классе является комплексная работа с учащимися по обоснованному и жизненно важному выбору дальнейшего пути обучения. Именно поэтому предпрофильная подготовка является важным компонентом профильного образования. Исходя из Концепции профильного обучения, предпрофильная подготовка должна сформировать у школьников: Новикова отмечает следующие задачи предпрофильного обучения: Об истории возникновения профильного обучения в России пишет Ермаков Д. В России имеется опыт обучения, дифференцированного по предпрофессиональной подготовке. В соответствии с концепцией профильного обучения на старшей ступени общего образования переход на массовое профильное обучение в настоящее время обусловлен рядом причин: В связи с вышеизложенным Ермаковым Д. Авторы в статье [8] выделяют следующие особенности, которыми характеризуется система профильного обучения: Учебный план профильного обучения включает четыре предметных блока: Подробно разберем третий блок - элективные курсы, обязательные для изучения учебные предметы по выбору учащихся, которые реализуются за счет школьного компонента учебного плана. Каждый учащийся в течение двух лет обучения должен выбрать и изучить элективных курсов. В Концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования отмечается цель изучения элективных курсов: Элективные курсы незаменимы для достижения основных целей образования на старшей ступени школы [11]. Элективные курсы в статье [22] характеризуются как. Учащимся предлагается не менее трех курсов по выбору на одно учебное полугодие. Количество учебных часов, отводимых по учебному плану на каждый из этих курсов, колеблется от 15 — 16 до Курсы по выбору могут завершаться как экзаменационными испытаниями, так и защитой выполненного задания [4]. В Концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования отмечается, что тематика и содержание элективных курсов должны отвечать следующим требованиям: Ссылаясь на работу А. Каждая из указанных функций может быть ведущей, но в целом они должны выполняться комплексно, говорят авторы. Рыбкина считают, что методы и формы обучения должны определяться требованиями профилизации обучения, учета индивидуальных и возрастных особенностей учащихся, развития и саморазвития личности. В связи с этим основные приоритеты методики изучения элективных курсов: В этой же статье авторами отмечается, что при определении форм организации учебных занятий следует исходить прежде всего из специфических целей курса. Поскольку в принципе не исключается изучение элективного курса даже одним учащимся, необходимо предусмотреть варианты изучения как в коллективных, так и в индивидуально-групповых формах. В то же время, если содержание курса может быть освоено только в групповых или коллективных формах, то следует оговорить минимальную численность учебной группы. Важно предусмотреть использование таких методов и форм обучения, которые давали бы представление учащимся об условиях и процессах будущей профессиональной деятельности в соответствии с выбранным профилем обучения, то есть в какой-то степени моделировали бы их. Кроме определения с формами и методами должен быть разработан тематический план, исследована литература, определен результат изучения курса. Отдельно выделяются практические и лабораторные работы, экскурсии, учебные проекты. Элективные курсы курсы по выбору не являются для российской школы чем-то принципиально новым, тем не менее введение их в учебный план профильного обучения вызывает ряд вопросов научно-методического и организационного характера, которые требуют изучения и решения. Методологические положения о задачах с параметрами. Задачи с параметрами — одни из наиболее сложных задач школьного курса математики. В программе для общеобразовательных учреждений о задачах с параметрами ничего не сказано. А в школьных учебниках только даются задания с параметрами, как задачи повышенной трудности. У многих учащихся возникают трудности и проблемы при изучении и решении задач такого типа. Во — первых, многие из них не понимают само определения параметра, во — вторых, многие учащиеся с трудом понимают формулировку задания, и, в - третьих, учащиеся не умеют правильно мыслить и рассуждать. Во многих учебниках и учебных пособиях даны различные формулировки определениям параметра и задачи с параметрами. Параметр — величина, входящая в формулы и выражения, значение которой является постоянным в пределах рассматриваемой задачи, но которое в другой задаче меняет свои значения [26]. И договариваются параметры обозначать первыми буквами латинского алфавита: В учебнике Виленкина Н. Я определение параметра дается следующим образом: Иногда в уравнениях некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами. Такие буквы называются параметрами [1]. Приведем несколько примеров, раскрывающих суть данного определения. В данных примерах в качестве параметра выступает переменная. Итак, параметром будем называть коэффициенты, заданные в уравнении, не конкретными числовыми значениями, а обозначенные буквами. Предполагается, что эти параметры могут принимать любые числовые значения, то есть уравнение неравенство с параметрами задает множество уравнений неравенств для всевозможных значений параметров. Параметр обозначается любой буквой латинского алфавита: Формальное распределение переменных на неизвестные и параметры по признаку обозначения со временем перешло из пособий для поступающих в ВУЗы в школьные учебники. Подобный подход к введению понятия параметра на примерах вообще характерен для современных учебников. В пособии Мирошина В. Это определение дается следующим образом: Это определение можно переформулировать: Приведем несколько примеров, раскрывающих смысл этого определения. При этом будем считать, что переменные, входящие в соответствующее условие, принимают действительные значения, а в качестве искомой переменной выберем переменную. В уравнении , рассматриваемом относительно переменной , допустимым является любое действительное значение параметра. В уравнении допустимым является любое значение параметра , хотя для каждого из них существует единственное значение переменной, при котором данное уравнение имеет смысл. При решении уравнения допустимыми будут следующие значения: При решении неравенства допустимыми являются следующие значения: Уравнение неравенство , содержащее параметр, называется уравнением неравенством с параметром. Понятия решения задачи уравнений или неравенств с параметрами рассматриваются в различных учебно — методических комплексах по математике по — разному. В учебнике Никольского С. В приведенном определении ничего не сказано о допустимых значениях параметра [20]. В учебнике Макарычева Ю. Решить уравнение с параметром — значит установить соответствие, позволяющее для любого значения параметра найти соответствующее множество корней [13]. Если требуется решить уравнение, неравенство, их систему или совокупность, то это означает предъявить обоснованный ответ либо для любого значения параметра, либо для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному множеству. Если же требуется найти значение параметра, при которых множество решений уравнения, неравенства, их систем или совокупностей удовлетворяет объявленному условию, то очевидно решение задачи и состоит в поиске указанных значений параметра [4]. Итак, решить уравнение с параметром — значит найти все его корни при всех значениях параметра или установить, что их нет. Если , то есть , то нет действительных корней;. Если , то есть , то. Учитывая, что , получаем. Найти значения параметра , при которых корни уравнения заключены в интервале 1; 3. При имеем , так как , то удовлетворяет требованию задачи. Если , то левую часть уравнения поделим на и рассмотрим функцию. При исходное неравенство примет вид. Множество его решений — интервал. Оно содержит не все действительные числа, так что не отвечает условию задачи. Если , то коэффициент при в квадратном трехчлене в правой части исходного неравенства отрицателен. Поэтому трехчлен либо вообще не принимает положительных значений, либо его положительные значения являются значениями в точках интервала между его корнями. В любом случае найдется точка, в которой этот трехчлен принимает отрицательные значения. Следовательно, ни одно из значений , удовлетворяющих неравенству , не отвечает условию задачи. При исходное неравенство выполняется при всех действительных числах тогда, когда его дискриминант и. Решим это неравенство методом интервалов: Из этих чисел в области содержатся только. Это и есть искомые значения параметра. Типы и методы решения задач с параметрами в девятилетней школе. В учебном пособии Галицкого М. Все задания можно разбить по методам их решения. Уравнение 1 имеет корни: Таким образом, в этой теме рассматриваются следующие виды заданий: При каких значениях ровно один из корней уравнения равен нулю: Для того чтобы ровно один из корней уравнения был равен нулю надо свести его к неполному квадратному уравнению, то есть свободный член должен быть равен нулю: При уравнение примет вид: При каких значениях корни равны по модулю, но противоположны по знаку: Для того чтобы корни уравнения были равны по модулю, но противоположны по знаку нужно свести уравнение к равнению вида: При получаем неполное квадратное уравнение относительно: Это уравнение имеет два корня, которые равны по модулю, но противоположны по знаку. При каких значениях корни уравнения равны нулю: Для того чтобы корни уравнения были равны нулю нужно свести это уравнение к уравнению следующего вида: Общее решение двух уравнений будет. При корни уравнения равны нулю. Рассмотрим - квадратное уравнение относительно переменной. Решить квадратное уравнение с параметром: Находим дискриминант квадратного уравнения: Чтобы решить уравнение, в котором при старшим коэффициентом стоит параметр, то нужно рассмотреть два случая: Задачи, в которых нужно найти значения параметра, при которых квадратное уравнение имело различные корни, имело один корень, не имело действительных корней: При каких значениях параметра уравнение: Уравнения, решаемые на основание теоремы Виета и ей обратной: Все представленные ниже теоремы рассмотрены в соответствии с учебным пособием В. Рассмотрим квадратное уравнение, где. Пусть — корни квадратного уравнения. Тогда сумма корней квадратного уравнения равна , а произведение корней равно. С помощью этих соотношений можно исследовать знаки корней квадратного трехчлена. Чтобы корни квадратного уравнения были действительными и имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнение соотношений: При этом оба корня будут положительны, если выполняется условие: Чтобы корни квадратного уравнения были действительными и имели разные знаки, необходимо и достаточно выполнение соотношений: При этом отрицательный корень будет иметь меньшую абсолютную величину, если: Представим графически рис 3: Если же , то отрицательный корень будет иметь большую абсолютную величину, то есть. Задачи, в которых нужно найти значения параметра, при котором произведение корней квадратного уравнения рано нулю: При каких значениях произведение корней уравнения. Пусть — корни уравнения. Тогда, согласно теореме Виета, получаем. Задачи, в которых нужно найти значения параметра, при которых сумма квадратов разность квадратов корней равна некоторому числу: В уравнении сумма квадратов корней равна Пусть и — корни уравнения, тогда. Решая это уравнение, получаем, что. Задачи, в которых нужно найти значения параметра, при которых сумма квадратов корней уравнения наибольшая наименьшая: При каком значении параметра которых сумма квадратов корней уравнения наименьшая? Задачи, в которых нужно найти значения параметра, при которых один из корней квадратного уравнения в несколько раз больше другого: При каких значениях параметра один из корней квадратного уравнения в два раза больше другого? Пусть - уравнение первой прямой; - уравнение второй прямой. Эти прямые располагаются на плоскости по — разному: Рассмотрим систему двух линейных уравнений с параметрами: Выражая из каждого уравнения системы , получаем. Найти все значения параметра , при которых система имеет единственное решение. Чтобы система имела единственное решение необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее условие: При и равенство выполняется, следовательно равенство не выполняется при и. Задачи о расположении корней квадратного трехчлена: При решении этой группы задач требуется знание основных теорем и следствий из них о расположении корней квадратного трехчлена на координатной прямой. Рассмотрим эти теоремы в соответствии с пособием В. Пусть квадратный трехчлен имеет действительные корни где , а - какое — нибудь действительное число. Чтобы оба корня квадратного трехчлена были меньше, чем число то есть лежали на координатной прямой левее, чем точка , необходимо и достаточно выполнение условий рис. Чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число то есть лежали на координатной прямой правее, чем точка , необходимо и достаточно выполнение условий рис. Чтобы один из корней квадратного трехчлена был меньше, чем число , а другой больше, чем число то есть лежала бы между корнями , необходимо и достаточно выполнение условий рис. Чтобы оба корня квадратного трехчлена были больше, чем число , но меньше, чем число , то есть лежали в интервале , необходимо и достаточно выполнение условий рис. Чтобы только один корень квадратного трехчлена лежал в интервале необходимо и достаточно выполнение условий рис. Чтобы только наименьший корень квадратного трехчлена лежал в интервале , необходимо и достаточно выполнение условий рис. Чтобы один корень квадратного трехчлена был меньше, чем , а другой больше, чем , то есть отрезок целиком лежат внутри интервала между корнями, необходимо и достаточно выполнение условий рис. При каких значениях корни уравнения меньше, чем 3? Преобразуем уравнение к виду и рассмотрим график функции. Графиком функции будет являться парабола, ветви которой направлены вверх рис. Таким образом, получаем систему неравенств: Таким образом, получаем ;. Для каждого значения параметра решите неравенство. Приравнивая к нулю коэффициент при и дискриминант квадратного трехчлена , находим два значения параметра и если , то D ; если , то D. Решим данное неравенство для каждого из следующих четырех случаев: Если , то трехчлен имеет отрицательный дискриминант и положительный старший коэффициент. Значит, трехчлен положителен при любых , то есть решением исходного неравенства является множество всех действительных чисел. Значит решением исходного неравенства является следующая совокупность: Значит, в этом случае решением неравенства является следующая система: Задачи, в которых известна зависимость между двумя параметрами: Решите неравенство , если известно, что. При каком значении параметра неравенства равносильны: Задачи на нахождение значений параметра, при которых все решения одного неравенства являются решением другого: При каких значениях параметра любое решение неравенства. Задачи, в которых нужно найти значения параметра, при которых неравенство имеет различное число решений не имеет: При каких значениях параметра неравенство не имеет решений? Значит, данное неравенство не имеет решений в том и только в том случае, если эта парабола целиком расположена в верхней полуплоскости. Значит, дискриминант квадратного трехчлена должен быть отрицательным. Задачи на нахождение параметра по заданным условиям: Постройте график квадратного трехчлена , если известно, что прямая является его осью симметрии. Задачи на расположение вершины параболы: При каких значениях вершина параболы находится на расстоянии, равном 5, от начала координат? Кроме аналитического метода решения задач с параметрами существует еще и графический метод. Графический метод заключается в том, что строятся графики в различных координатных плоскостях. При решении задач с параметрами этим методом можно выделить два способа решения: На выпускных экзаменах в форме ГИА часто присутствуют такие задачи, которые необходимо решить с помощью графического метода: Определить количество корней уравнения. Построим в одной системе координат графики функций и рис. По графику видно, что если , то решений нет; если , то существует два решения: При каких значениях параметра уравнение имеет три решения? Строим в одной системе координат графики двух функций: План построения графика функции: По графику смотрим, когда прямая пересекает график в трех точках. Это будет выполняться, когда. То есть при уравнение имеет три решения. Рассуждая аналогично, можно решить следующее задание: В зависимости от параметра указать, сколько решений имеет данная система. Подставим значение переменной в первое уравнение системы, получим следующее уравнение: Решим это уравнение графическим методом, для этого в одной системе координат построим графики двух функций: В зависимости от расположения прямой относительно графика функции получаем следующие результаты: В основу изучения задач с параметрами положена работа с ключевой задачей. Технология работы с ключевой задачей рассмотрела Л. Кузнецова в учебном пособии [10]. Ключевая задача — это задача, которая наиболее ярко иллюстрирует новую тему, новый метод, прием решения, или содержит новый факт, или и то, и другое вместе. Если в процессе решения задачи обнаруживается какой — либо новый для учащихся метод, способ, прием рассуждений, решения или составления задачи, то имеем задачу — метод. На одной задаче можно иллюстрировать не один прием или метод. Для разных приемов могут быть использованы разные задачи. Так что число и содержание ключевых задач в теме определяется неоднозначно. Много здесь зависит от темы, от мастерства учителя, от целей, которые он ставит, и от особенностей класса. Если при решении задачи применялся какой — то новый прием поиска решения или составления задачи, то этот прием также выделяется и выясняются возможности его применения, ситуации, в которых можно пытаться его применить. Например, это схемы поиска решения методом синтеза, анализа восходящего и нисходящего , варианты переформулирования задачи, специфические приемы, вытекающие из конкретных тем. Если рассмотреть различные способы решения одной задачи, то выясняется, откуда появились эти различные способы, что наводит на мысль о возможности других способов решения. Если на основе одной задачм составляются новые задачи, цепочки взаимосвязанных задач, то опять — таки нужно сделать выводы о том, как, на каком основании, из каких соображений возникла мысль о получении новых задач и как новые задачи появились процесс их составления. Если ключевая задача — задача алгоритмического типа, то работа над ней аналогична технологии работы с учебным алгоритмом. По окончании ее решения необходимо проанализировать основную идею решения, сделать выводы, раскрывающие ориентировочную основу действий или суть нового приема, зафиксировать их каким — либо из возможных способов. Поиск решения либо показывает сам учитель, либо он осуществляется в диалоге учитель — ученик, либо в условиях фронтальной работы под руководством учителя, либо в процессе работы в группах, парах, индивидуально. Предметом усвоения здесь является не сама задача, а общий метод рассуждений, способ решения, либо отдельный прием, использованный в решении. После завершения этапа решения, то есть рефлексивно — оценочной части, в порядке осознания ценностей полученных результатов делаются выводы по задаче. Требования к программе элективного курса изложены в концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования [11]. Согласно этим требованиям проект элективного курса должен содержать: Выводы по главе I. Элективные курсы — обязательные для посещения курсы, которые учащиеся выбирают сами из имеющихся в учебном заведении комплекта и входящие в состав профиля на старшей ступени школы. Эти курсы в профильном обучении направлены как на внутрипрофильную дифференциацию, так и на компенсацию профильной однонаправленности. Они способствуют углублению индивидуализации профильного обучения, расширяют мировоззренческие представления учащихся [11]. Элективные курсы реализуются за счет школьного компонента образования и выполняют следующие функции: В соответствии с требованиями к программе элективного курса, которые изложены в концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования, начнем составлять проект с пояснительной записки. Задачи с параметрами — это один из самых трудных разделов школьной математики. Учащимся при изучении этого курса предстоит систематизировать все свои умения и навыки, которые они получают, изучая математику. Решение задач с параметрами развивает мыслительную деятельность учащихся, формирует представления о буквенном выражении чисел и их свойствах, систематизирует и значительно расширяет знания учащихся, полученные в учебной деятельности при изучении свойств уравнений, функций, при выполнении алгебраических преобразований. Открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов, применяемых в исследованиях на любом математическом материале, повышает логическую культуру и технику исследований. Предлагаемый курс является развитием ранее приобретенных знаний. Он дополняет базовую программу, не разрушая ее целостности, расширяет и углубляет знания учащихся. Изучение этого курса ставит перед учениками новые проблемы, стимулирует развитие их математической культуры и навыков аналитического мышления, хорошей техники исследования. Данный курс ориентируется на класс, в котором тема частично изучалась, но разрозненно, поэтому необходима систематизация. Программа элективного курса разработана в соответствии с идеей реализации методов формирования у учащихся девятых классов умений и навыков решать базовые виды задач с параметрами, а также усвоение дополнительных сведений, идей и подходов в этой области. В последние годы задачи с параметрами прежде всего, уравнения и неравенства с одним параметром постоянно встречаются не только на ГИА и ЕГЭ, но и в контрольных работах в школе. Практика же выпускных экзаменов по математике в форме ГИА и ЕГЭ показывает, что задачи с параметрами представляют для учащихся наибольшую сложность как в логическом, так и в техническом плане и поэтому умение их решать во многом предопределяет успешную сдачу этих экзаменов. Школьная же программа не предусматривает выработки прочных навыков решения задач, содержащих параметры, и поэтому более глубокое изучение возможно только на внеклассных занятиях. В совместной деятельности с учащимися выявить методы решения задач с параметрами, формировать умения, направленные на реализацию этих методов и выработать навыки их решения. Развивать навыки анализа конкретного случая на основе известных общих свойств объекта. Формировать у учащихся представления о задачах с параметрами как задачах исследовательского характера. Подготовить учащихся к успешной сдаче ГИА по математике. В результате изучения курса ученик. Учащиеся, овладевшие тем объемом знаний, умений и навыков, который требуется при их математической подготовке, приобретут умения решать задачи с параметрами на том уровне, который требуется на выпускных экзаменах, что позволит учащимся более успешно сдать выпускные экзамены за курс девятилетней школы ГИА , точно и грамотно формулировать изученные теоретические положения и излагать собственные рассуждения при решении задач с параметрами, правильно пользоваться математической терминологией и символикой; применять рациональные приемы вычислений и тождественных преобразований. Все это позволит учащимся успешно продолжить свое образование по математике. Впервые познакомить учащихся с понятием параметра, рассмотреть простейшие уравнения с параметрами. Во время изучения темы ученика можно познакомить с основными типами задач с параметрами, некоторыми способами решения данных задач. Исходя из концепции профильного обучения на старшей ступени общего образования, преподавание данного курса рассчитано в 9 классе в течение всего учебного года 1 раз в неделю. Показателем эффективности обучения следует считать повышающийся интерес к математике, творческая активность и результативность учащихся. Учащиеся, в процессе решения задач с параметрами, начинают самостоятельно мыслить и рассуждать, развиваются их творческие способности. Список литературы для учащихся: Список литературы для учителя: Особенность этого курса состоит в том, что в процессе занятий учащиеся повторяют ранее изученное, повышают уровень логической подготовки, исследуют линейные и квадратные многочлены, а также усваивают дополнительные сведения о решении задач с параметрами. Весь элективный курс состоит из следующих тем: Линейные уравнения и неравенства с параметром. На эту тему отводится три урока. Требования к знаниям и умениям учащихся: В результате изучения темы учащиеся: Решение линейных уравнений с заданными условиями. Квадратные уравнения с параметром. На изучение этой темы отводится пять уроков. Решение квадратных уравнений с параметром. Виета и ей обратной при решении квадратных уравнений с параметром. Виета и ей обратной при решении задач с параметрами, привить учащимся навыки в решении квадратных уравнений с параметром, а также, с помощью этих теорем, формировать навыки применения теорем в нестандартных ситуациях. Квадратные неравенства с параметром. На изучение этой темы отводится два урока. Расположение корней квадратного трехчлена. Решение задач на применение необходимых и достаточных условий. Решение уравнений с параметром и модулем аналитически и графически. На изучении данной темы отводится три урока. Решение уравнений с параметром и модулем графическим и аналитическим методом. Системы уравнений с параметром. Системы линейных уравнений, содержащие параметр. Системы квадратных уравнений, содержащие параметр. Учебно - тематическое планирование. Задачи, решаемые в классе. Уравнения и неравенства, приводимые к линейным. Решение неполных квадратных уравнений с параметром. Решение квадратных неравенств с параметром. Решение уравнений с параметром и модулем аналитически. Решение уравнений с параметром и модулем графически. Анализ контрольной работы и работа над ошибками. Методические рекомендации к обучению решения задач с параметрами. Линейные и квадратные неравенства с параметром решаются по аналогии с линейными и квадратными уравнениями с параметром. Поэтому целесообразно сначало показать учащимся схему решения таких уравнений, а затем по аналогии записать схему решения неравенств с параметром, уточнив при этом сходства и различия. Для мотивации учащимся необходимо приводить исторический материал например о Ф. Виете , а также привлекать их решать более сложные задачи как в классе, так и дома. После каждой изученной темы необходимо учащимся давать самостоятельные и контрольные работы для закрепления изученного материала и для проверки учителем степени освоенности нового материала. При построении уроков изучения нового необходимо использовать технологию работы с ключевой задачей. Проекты занятий по курсу не могут быть однозначными. Элективный курс определяется не только результатами анализа учебного материала, но и особенностями класса, учащихся и индивидуальностью учителя. Цели и содержание опытной проверки. Время проведения - февраль — март — учебного года. Данный класс является общеобразовательным классом, учитель математики Наталья Матвеевна Миркина. В данном классе обучаются 28 человек: У учащихся разная успеваемость: С этой целью была проведена беседа с учителем. Её цель — выяснить на каком уровне учащиеся имеют представление о задачах с параметрами и с чего необходимо начинать данный курс. В результате беседы было выяснено, что не все учащиеся владеют основными понятиями об уравнениях и неравенствах с параметром. Изучение было разрозненным, поэтому необходима систематизация знаний и формирование необходимых понятий. Опытная работа состояла из следующих этапов: Нами было проведено 8 первых занятий и контрольная работа. Приведем планы этих занятий. Выделить схему решения линейных уравнений, неравенств с параметром. Форма работы — фронтальная. Мотивационно — ориентировочный этап. На этом подэтапе с учениками повторяются понятия: Формулирование темы и цели занятия. На этом этапе вводится понятие уравнения и неравенства с параметром, а также, что значит решить уравнение неравенство с параметром. Решается уравнение и неравенство. Обобщение новых для учащихся знаний. Совместное выделение с учащимися схемы решения линейных уравнений и неравенств с параметром. Рефлексивно — оценочный этап. Рефлексия учениками своих действий и самооценка. Подведение итогов и постановка домашнего задания. Проверка домашнего задания Актуализация схемы решения линейных уравнений и неравенств. Постановка темы и цели занятия. Решение уравнений, которые содержат следующую формулировку: Найти значения параметра , при которых корень уравнения а равен б больше. Решение уравнения и неравенства. Подведение итогов урока и постановка домашнего задания. На этом этапе происходит повторение знаний о квадратном уравнении и неполном квадратном уравнении: Постановка темы и цели урока. Также рассматриваются различные уравнения с заданными условиями: Формулировка схемы решения задач с неполными квадратными уравнениями с некоторыми требованиями. На этапе актуализации повторяются следующие понятия: Линейным или квадратным является уравнение. При каких значениях параметра уравнение является: План решения задач данного типа: При каких значениях параметра уравнение а имеет действительные различные корни; б не имеет действительных корней; в имеет один корень? Схема решения такого типа задач заключается в выполнении одного действия: При каком значении параметра уравнение имеет один корень? Подведение итогов урока и выдача домашнего задания. Виета и ей обратной, решение задач на применение этих теорем фронтальный опрос. Не решая уравнения, определите знаки его корней. Не используя формулу найти корни квадратного уравнения. Составьте квадратное уравнение с заданными корнями: Постановка с учащимися темы и цели урока. Работа по группам, по карточкам или решение ключевых задач данной темы. Доклад о Франсуа Виете. Решение заданий и выделение этапов решения задач. Ниже представлены конспекты уроков: Открывайте тетради, запишите число, классная работа. Ребята решают самостоятельно — на каждое задание по 30 сек. Что же называется уравнением? Равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой, называют уравнением. Что называют корнем уравнения? Корнем уравнения называется то значение неизвестного, при котором это уравнение обращается в верное числовое равенство. Что значит решить уравнение? Это значит найти все его корни или установить, что их нет. Неравенства , в которых и — заданные числа, а — неизвестное, называют линейными неравенствами с одним неизвестным. Что называется решением неравенства с неизвестным? Решением неравенства с одним неизвестным называется то значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство. Это значит найти все его решения или установить, что их нет. Какими свойствами уравнений неравенств вы пользовались при решении? Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположенный. Обе части уравнения можно разделить или умножить на одно и то же число, отличное от нуля. При решении неравенств пользовались следующими свойствами: Если из одной части неравенства перенести в другую часть слагаемое с противоположенным знаком, то получится равносильное неравенство. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится равносильное неравенство. Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства сменится на противоположенный. Но иногда в уравнениях и неравенствах некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами. Такие буквы называются параметрами. Предполагается, что эти параметры могут принимать любые числовые значения, то есть одно уравнение неравенство с параметрами задает множество уравнений неравенств для всех значений параметров. Назовите в заданиях 1 и 2 параметр под буквами г. Параметр обозначается любой буквой латинского алфавита, обычно первыми буквами: Уравнение неравенство , содержащее параметр называется уравнением неравенством с параметром. Сегодня мы начнем изучать тему: Решение уравнений, неравенств, систем, содержащих параметр — один из труднейших разделов математики. Очень часто такие задачи встречаются на вступительных экзаменах по математике, а также на ГИА. Но в учебниках такие задачи не выделены в отдельную тему. Поэтому учиться решать задачи с параметрами мы будем на элективном курсе. Ребята, как вы думаете, с каких уравнений и неравенств мы начнем изучение данного курса? И какая будет цель нашего урока? Научиться решать линейные уравнения и неравенства, содержащие параметр. В уравнении или неравенстве может быть один, два, три параметра и даже больше. Например, , Но мы с вами в основном будем рассматривать уравнения и неравенства с одним параметром. Если дано уравнение , которое надо решить относительно переменной , и в котором буквой обозначено произвольное число, то говорят, что задано уравнение с параметром. Если , то это неравенство с одной переменной и одним параметром. Решить уравнение с параметром — значит найти его корни при всех значениях параметра. Перебрать все значения параметра мы не можем, обычно множество значений параметра разбивают на подмножества и решают уравнение неравенства для значений параметра из этих подмножеств. Теперь перейдем к рассмотрению примеров. Операционно — познавательный этап. Это линейное уравнение с параметром. Назовите в нем параметр и неизвестную величину. Какова область допустимых значений параметра и переменной в уравнении?. Переменная и параметр — любые действительные числа. Посмотрите внимательно на уравнение. Чтобы его решить, нужно обе части уравнения разделить на коэффициент перед , то есть на. Но, как мы знаем, делить ну ноль нельзя. Поэтому нам нужно рассмотреть случаи, когда и. При каких значениях параметра коэффициент перед равен нулю? Такие значения параметра называют контрольными значениями параметра КЗП. Учитывая ОДЗ и КЗП нужно рассмотреть три случая: Подставим это значение в уравнение, тогда оно примет вид: Какой вывод можно сделать о переменной. Тогда, в силу того, что коэффициент перед не обращается в ноль, то разделим на него левую и правую части уравнения. Так же как при решении линейного уравнения с параметром мы находим область допустимых значений параметра и неизвестной величины. Но, в отличие от решения линейных уравнений с параметром, при решении линейного неравенства с параметром нужно учитывать то, что при делении на отрицательное число изменяется знак неравенства. Значит, нам нужно найти КЗП, и отметить их на числовой прямой. Также на числовой прямой отмечается ОДЗ параметра. КЗП - , то есть. Так как ОДЗ — любое действительное число, то на числовой прямой отмечается. Теперь определимся со знаком неравенства на каждом промежутке. Для этого возьмем, например, и подставим в исходное уравнение. Чередуем знаки, и получаем, что нам надо рассмотреть наше неравенство на трех промежутках. Возьмем, для начала промежутке, где неравенство принимает положительные значения: Теперь рассмотрим следующий промежуток: Нам осталось посмотреть, что будем при? Подставляем в исходное уравнение, получаем , — неверно, значит решений нет. А что будет, если? Теперь нужно правильно записать ответ. Получаем, что уравнение не имеет решений. Теперь давайте обобщим наши знания и постараемся составить схему решения линейных уравнений и неравенств с параметром. Каков был первый этап при решении линейного уравнения с параметром? Что вторым шагом делали при решении уравнения? А вот что мы делали третьим шагом при решении неравенства? Следующий шаг общий — решаем уравнение неравенство при каждом контрольном значении параметра и при значениях, отличных от контрольных. И какой последний шаг, как при решении уравнений, так и при решении неравенств? Но помимо простых линейных уравнений и неравенств существуют еще линейные уравнения и неравенства, приводимые к линейным. Неравенства решаются сложнее, чем уравнения — поэтому рассмотрим, например, неравенство. Но перед нами более сложное неравенство, поэтому наша цель привести данное неравенство к виду , то есть надо выделить коэффициент перед неизвестным. Вынесем коэффициент перед , получим -. Теперь решаем данное неравенство, следуя схеме. Отмечаем ОДЗ и КПЗ на числовой прямой: Теперь определимся со знаками. Подставляя в неравенство , получим следующую расстановку знаков: Теперь рассмотрим следующие случаи: Что нового вы для себя узнали сегодня на уроке? Решаем уравнение при каждом контрольном значении параметра и при значениях, отличных от контрольных. Они состоят в том, что когда решаем неравенство знак его может поменяться — поэтому нужно убедиться, каким будет выражение, на которое происходит деление. Внимательно посмотрите на доску: Назовите среди них полные квадратные уравнения. Давайте вспомним, какие квадратные уравнения называются полными квадратными уравнениями. Если в квадратном уравнении второй коэффициент и свободный член не равны нулю, то такое уравнение называют полным квадратным уравнением. Дано полное квадратное уравнение. Как его будем решать? Итак, мы вспомнили, как решаются квадратные уравнения. А что будет, если помимо неизвестного в уравнении появится параметр? И какая цель нашего урока? Записываем тему нашего урока: Линейным или квадратным является уравнение относительно при а , б , в , г? При уравнение будет выглядеть следующим образом: Это квадратное уравнение с параметром. Назовите параметр и неизвестную переменную. Значит, какие 2 случая нам нужно рассмотреть? Чем это уравнение отличается от предыдущего? Далее решаем по нашему плану. Какая была цель нашего урока? Выводы по главе II. Он включает в себя пояснительную записку, в которой прописываются цели изучения данного элективного курса, также прописываются темы, которые содержит данный элективный курс. В пояснительной записке представлено примерное учебно — тематическое планирование, а также даны методические рекомендации к реализации элективного курса. В связи с этим предлагается проведение элективного курса для 9 класса. Во многих школьных учебниках по алгебре задачи с параметрами представлены разрозненно, нет теории по решении таких задач. Поэтому необходимо выделить основные типы задач с параметрами и методы их решения. После изучения многой методической и математической литературы все задачи с параметрами можно разбить на обширные темы, которые будут изучать девятиклассники. При изучении нового материала необходимо использовать технологию работы с ключевой задачей. На основании решения ключевых задач определенных тем вырабатывается определенный алгоритм, который позволяет ученикам средней школы систематизировать свои знания и облегчает процесс решения задач с параметрами. Некоторые занятия элективного курса проводились на практике. Практика показала, что у детей возрастает интерес не только к решению разнообразных задач с параметрами, но и к самому предмету математика. Такой элективный курс необходим школьникам не только для подготовки к сдаче ГИА, но и для дальнейшего изучения математики. Учитель должен правильно построить этот курс, учитывая возрастные и интеллектуальные способности учащихся. Схемы решения линейных уравнений и неравенств с параметром пустая таблица. Находим ОДЗ неизвестного и параметра. Находим значения параметра, при которых коэффициент при x равен нулю — контрольные значения. Схемы решения линейных уравнений и неравенств с параметром заполненная таблица. Отмечаем найденные значения параметра на оси и определяем знак коэффициента на каждом из промежутков. Решаем уравнение неравенство при каждом контрольном значении параметра и при значениях, отличных от контрольных. Задания для проведения классной и домашней работы взяты из учебника Виленкина Н. Линейные уравнения и неравенства с параметром [1]. Решите уравнение относительно ;. Решите неравенство относительно ;. Решите уравнение относительно , при всех допустимых значениях параметра. Решите неравенство относительно , при всех допустимых значениях параметра. При каких значениях параметра один из корней уравнения равен удвоенному другому? Известно, что корни уравнения на один меньше корней уравнения. Найти и корни каждого из уравнений. При каких значениях корни равны по модулю, но противоположны по знаку. Найти сумму квадратов всех корней уравнения. При каких значениях уравнение имеет два различных действительных положительных корня? При каких значениях корни уравнения имеет два различных действительных положительных корня? Найти все значения параметра , при которых корни уравнения больше, чем 1. Найти все значения параметра , при которых корни уравнения меньше, чем 1. При каких значениях один из корней уравнения меньше 1, а другой больше 1? Определить количество корней уравнения графическим методом. Определить количество корней уравнения аналитическим методом. При каком значении система уравнений имеет бесконечное множество решений? При каждом значении параметра решите систему. Алгебра для 8 класса: Алгебра и математический анализ для 11 класса: Алгебра для 9 класса: Сборник задач по алгебре: Задачи с параметрами — М.: Теория и технология обучения математике в средней школе: Концепция профильного обучения на старшей ступени общего образования. Задачи с параметрами и методы их решения: Оникс; Мир и Образование, Решение задач с параметрами. Алгебра и начала анализа: Новикова Теория и практика организации предпрофильной подготовки. Элективные курсы как содержательная основа профильного обучения. Российский государственный педагогический университет им. Методика разработки элективных курсов. Современные средства оценивания результатов обучения: Толковый словарь математических терминов. Выберите специальность, которую Вы хотите получить: Учитель английского языка Учитель биологии Учитель географии Учитель информатики Учитель испанского языка Учитель истории Учитель китайского языка Учитель математики Учитель мировой художественной культуры Учитель начальных классов Учитель немецкого языка Учитель обществознания Учитель основ безопасности жизнедеятельности Учитель основ религиозных культур и светской этики Учитель русского языка и литературы Учитель физики Учитель физической культуры Учитель французского языка Учитель химии Воспитатель детей дошкольного возраста Главный бухгалтер образовательного учреждения Менеджер образования Методист образовательной организации Педагог дополнительного образования детей и взрослых Педагог по обучению лиц с ограниченными возможностями здоровья Педагог среднего профессионального образования Педагог-библиотекарь Педагог-воспитатель группы продлённого дня Педагог-организатор Педагого-психолог Преподаватель бухгалтерского учета Преподаватель высшей школы Преподаватель маркетинга Преподаватель права Преподаватель экологии Преподаватель экономики Социальный педагог Специалист в области воспитания Специалист в области охраны труда Специалист в сфере закупок Специалист по безопасности и антитеррористической защищенности объектов территорий образовательной организации Специалист по организации и предоставлению туристских услуг Специалист по организационному и документационному обеспечению управления организацией Специалист по управлению персоналом и оформлению трудовых отношений. Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок". По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца. ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ. Профессиональной переподготовки 30 курсов от руб. Курсы для всех от руб. Повышение квалификации 36 курсов от руб. Лицензия на осуществление образовательной деятельности: Адрес редакции и издательства: Правообладатель товарного знака ИНФОУРОК: Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов. Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако редакция сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи. Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ Эл. Астрономия Биология Воспитательная работа География Директору, завучу Доп. Классному руководителю Логопедия Математика Музыка Начальные классы ОБЖ Обществознание Русский язык и литература Социальному педагогу Технология Украинский язык Физика Физкультура Химия Школьному психологу Языки народов РФ. Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца часов. Начало обучения новой группы: Подать заявку на курс. Проект "Задачи с параметрами". Элективные курсы в системе предпрофильного обучения математике 7 1. Элективные курсы в статье [22] характеризуются как обязательные курсы по выбору учащихся из компонента образовательного учреждения, входящие в состав профиля обучения. Методологические положения о задачах с параметрами Задачи с параметрами — одни из наиболее сложных задач школьного курса математики. Допустимые значения параметра В пособии Мирошина В. Типы и методы решения задач с параметрами в девятилетней школе В учебном пособии Галицкого М. При каких значениях произведение корней уравнения равно нулю? Тогда, согласно теореме Виета, получаем , где , , следовательно, чтобы произведение корней уравнения было равно нулю — нужно, чтобы , , то есть. Выражая из каждого уравнения системы , получаем 1 если , то система не имеет решений; 2 если , то система имеет бесконечно много решений; 3 если или , то система имеет единственное решение. Пусть , тогда , , , и. Знак а Знак D Если , то трехчлен имеет отрицательный дискриминант и положительный старший коэффициент. При каких значениях параметра любое решение неравенства являются одновременно решениями неравенства? X 0 1 3 y 9 3 3 4 Строим график функции рис. В зависимости от параметра указать, сколько решений имеет данная система Решение: В зависимости от параметра указать, сколько решений имеет данная система В основу изучения задач с параметрами положена работа с ключевой задачей. Выводы по главе I Элективные курсы — обязательные для посещения курсы, которые учащиеся выбирают сами из имеющихся в учебном заведении комплекта и входящие в состав профиля на старшей ступени школы. УМЕЕТ - применять аналитические и графические методы решения задач с параметрами; - осуществлять выбор рационального метода решения задач и обосновать сделанный выбор; - решать линейные уравнения, неравенства, содержащие параметры; - решать неполные квадратные уравнения; - решать системы двух линейных уравнений с двумя переменными; - решать квадратные уравнения и неравенства с применением: Содержание элективного курса Весь элективный курс состоит из следующих тем:
Пословицы и поговорки башкирские
Сибутрамин сколько выводится из организма
Инструкция лекарства дицинон
Задачи с параметрами В презентации представлен проект Т.П. Ефремовой «Решение задач с параметром в 7-11 классах». Данную работу можно использовать на уроках. - презентация
Межкультурные конфликты и способы их преодоления
Digma hit 7070mg характеристики
Китайская оптическая звуковая карта 5.1 и андроид
Графический метод решения задач с параметрами
Где находится улица черняховского в калининграде
Тест драйв лада калина 2 универсал
Проект "Задачи с параметрами"
Стихи рождественского которые легко учатся
Сколько платят за ребенка в спб
Расписание электричек чудово обухово
Урок по теме "Методы решения задач с параметрами"
Японские стихи день рождения