Дифференциал (Differential) - это
§24. Дифференциал функции
Дифференциал функции, его геометрический смысл
Свойства первого дифференциала функции.
Дифференциал
Дифференциал функции
Дифференциалом функции в некоторой точке x называется главная, линейная часть приращения функции. Дифференциал, является главной, линейной относительно частью приращения функции; чем меньше , тем большую долю приращения составляет эта часть. В этом можно убедиться, мысленно передвигая перпендикуляр, опущенный из точки P см. Нужно помнить, что если x — исходное значение аргумента, а - наращенное значение, то производная в выражении дифференциала берётся в исходной точке x ; в формуле 1 этого не видно из записи. В этом и следующем параграфах каждую из функций будем считать дифференцируемой при всех рассматриваемых значениях её аргументов. С — постоянная величина 5. Формулы 5 — 9 получаются из соответствующих формул для производной умножением обеих частей каждого равенства на. Пользуясь приближенным значением числа, нужно иметь возможность судить о степени его точности. С этой целью вычисляют его абсолютную и относительную погрешности. Абсолютная погрешность приближенного числа равна абсолютной величине разности между точным числом и его приближенным значением:. Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности этого числа к абсолютной величине соответствующего точного числа:. Иногда, прежде чем применить формулу 11 , требуется предварительно преобразовать исходную величину. Как правило, это делается в двух целях. Во-первых, надо добиться, чтобы величина была достаточно малой по сравнению с , так как чем меньше , тем точнее результат приближенного вычисления. Во-вторых, желательно, чтобы величина вычислялась просто. Понятие дифференциала подсказывает, что если какой-Либо процесс по характеру своего изменения близок к линейному, то приращение функции мало отличается от дифференциала. Кроме того, если функция имеет конечную производную в некоторой точке х, то ее приращение и дифференциал также бесконечно малы при , стремящемся к нулю:. Потому что произведение ограниченной функции на бесконечно малую при DX, стремящемся к нулю, есть функция бесконечно малая. Более того, эти две бесконечно малые функции при эквивалентны:. Эквивалентность и дает возможность при малых приращениях аргумента приближенно считать. Что может дать эта формула? Пусть в некоторой точке сравнительно просто вычисляются значения и. Тогда в другой точке , отстоящей недалеко от , возможно представление:. Здесь остается открытым вопрос о точности получаемого результата. Это обстоятельство снижает ценность данной формулы приближенного вычисления, но в основном она полезна и широко применяется на практике. Какой будет гипотенуза этого треугольника, если катет a уменьшить на 0,2 м рис. Применим теперь формулу В обоих случаях мы получили приближенное значение искомой величины. Но в первом случае погрешность возникает в результате приближенных вычислений, а во втором, сравнительно более простом, — В связи с применением приближенной формулы к ней также может добавиться погрешность, вызванная приближенными вычислениями. Отметим, что при уменьшении катета a На 0,2 м гипотенуза с уменьшилась примерно на 0,08 м, а полученные нами приближенные значения при этом отличаются лишь на 0, м. Определим, как в этом случае изменится катет A:. Если на некотором промежутке график функции представляет собой непрерывную линию, иными словами, такую линию, которую можно провести без карандаша от листа бумаги, то такая функция называется непрерывной на этом промежутке. Существуют также функции, которые непрерывными не являются. Все функции, изучаемые нами в школьном курсе математики, — это функции непрерывные на каждом промежутке, на котором они определены. Отметим, что если на некотором промежутке функция имеет производную, то на этом промежутке она непрерывна. Обратное утверждение является неверным. Функция, которая непрерывна на промежутке, может не иметь производной в некоторых точках этого промежутка. Для построения графика функции обычно сначала исследуют свойства этой функции с помощью ее производной по схеме, аналогичной схеме при решении задачи 1. Результаты исследования удобно записывать в виде таблицы. Затем, используя таблицу, строят график функции. Для более точного построения графика обычно находят точки его пересечения с осями координат и — при необходимости — еще несколько точек графика. Для краткости решения задач на построение графиков функции большую часть рассуждений проводят устно. Первообразной функции f x на промежутке a; b называется такая функция F x , что выполняется равенство для любого х из заданного промежутка. Если принять во внимание тот факт, что производная от константы С равна нулю, то справедливо равенство. Все множество первообразных функции f x называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается. Выражение называют подынтегральным выражением, а f x — подынтегральной функцией. Подынтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f x. На основании свойств производной можно сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла свойства первообразной. Производная результата интегрирования равна подынтегральной функции. Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы. Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла. Промежуточные равенства первого и второго свойств неопределенного интеграла приведены для пояснения. Для доказательства третьего и четвертого свойств достаточно найти производные от правых частей равенств: Эти производные равны подынтегральным функциям, что и является доказательством в силу первого свойства. Оно же используется в последних переходах. Таким образом, задача интегрирования является обратной задаче дифференцирования, причем между этими задачами очень тесная связь:. Чтобы проверить правильность выполненного интегрирования достаточно вычислить производную полученного результата. Если полученная в результате дифференцирования функция окажется равной подынтегральной функции, то это будет означать, что интегрирование проведено верно;. На этом свойстве основано непосредственное вычисление неопределенных интегралов. Мы знаем из дифференциального исчисления, что достаточно заглянуть в таблицу производных основных элементарных функций. То есть, имеем множество первообразных. Искомая первообразная примет вид. Если таблицу производных основных элементарных функций переписать в виде дифференциалов, то из нее по второму свойству неопределенного интеграла можно составить таблицу первообразных. Здравый смысл и формы заблуждений Mathematica. Функции, ее определяющие V. Функция здравого смысла V. Закрепление и осмысление знаний VI. Здравый смысл в сравнении с безумием VIII. Смысл Страшного Суда Ангины: Бессмысленность есть расширение Бессмысленность появляется, чтобы дать Вам шанс раскрыть наибольшие возможности своей жизни Богословское осмысление вопросов экологии В интегральной и дифференциальной форме. Астрономия Биология География Другие языки Интернет Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Механика Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Транспорт Физика Философия Финансы Химия Экология Экономика Электроника.
Решение суда 1 инстанции образец
Джунусова морское право
Эдас 801 инструкция
Где делают загранпаспорт в ульяновске
Как сделать дом для кота из футболки
Прицеп зил ммз 554 технические характеристики