= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
Файл: >>>>>> Скачать ТУТ!
= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =
Характеристика поля
Конечное поле
Тема 19. Конечные области целостности и поля. Поля простого порядка.Элементы, кратные единице. Характеристика поля.Векторное представление элементов поля. Характеристика и размерность.
Понятие конечного поля используется в теории чисел [3] , теории групп [3] , алгебраической геометрии [3] , криптографии [4]. Конечным полем называется конечное множество , на котором определены произвольные операции, называемые сложением, умножением, вычитанием и делением, кроме деления на 0 в соответствии с аксиомами поля [5]. Мультипликативная группа конечного поля циклична. Эта группа является циклической , то есть в ней есть порождающий элемент , а все остальные элементы получаются возведением в степень порождающего [5]. Это поле можно представить следующим образом. Ниже приведены примеры таких полей с двумя элементами и тремя элементами. Тем не менее, существует поле, состоящее из четырёх элементов см. Характеристика каждого конечного поля является простым числом. Данные поля являются изоморфными друг другу, т. Сложения и умножения определены как сложение и умножение чисел по модулю 3. Начала теории конечных полей восходят к XVII и XVIII веку. Над этой темой работали такие учёные, как Пьер Ферма , Леонард Эйлер , Жозеф Луи Лагранж и Адриен Мари Лежандр , которых можно считать основателями теории конечных полей простого порядка. Однако больший интерес представляет общая теория конечных полей, берущая своё начало с работ Гаусса и Галуа [19]. До некоторого времени эта теория находила применение только в алгебре и теории чисел, однако впоследствии были найдены новые точки соприкосновения с алгебраической геометрией , комбинаторикой и теорией кодирования [3]. В году восемнадцатилетний Эварист Галуа опубликовал работу [20] , которая положила основу общей теории конечных полей. Далее Галуа показывает, что эти значения образуют поле и мультипликативная группа этого поля является циклической. Таким образом, эта работа является первым камнем в фундаменте общей теории конечных полей. На самом деле, первая работа в этом направлении была написана Гауссом примерно в году, однако при его жизни это исследование так и не было издано. Вероятно, данное исследование было проигнорировано редактором его сочинений, поэтому на свет эта работа появилась только в посмертном издании в году [23]. К этому же году относится первая попытка дать аксиоматический подход к теории конечных полей, осуществленная Генрихом Вебером , который пытался объединить в своей работе понятия, возникшие в различных разделах математики, в том числе и понятие конечного поля [25]. Далее в году Джозеф Веддербёрн ru en доказывает малую теорему Веддербёрна о том, что любое конечное тело коммутативно, то есть является полем. Современное аксиоматическое определение поля с конечными полями в качестве частного случая принадлежит Эрнсту Стейницу и изложено в его работе года [26]. Диофантово уравнение является уравнением с целыми коэффициентами, в котором переменные также принимают целочисленные значения. Большую волну обсуждения таких уравнений вызвал Ферма , сформулировав свои теоремы. В частности, он отмечает, что. Годом создания теории корректирующих кодов считается год , в котором была опубликована статья Клода Шеннона , в которой он показывает, что наличие ошибок при передаче информации по какому-либо каналу зависит в том числе от соотношения скорости передачи и пропускной способности канала. Скорость передачи должна быть выше пропускной способности. Шеннон привел доказательства, но они были признаны несостоятельными [29]. Конструктивный подход предложил Ричард Хэмминг , задав тем самым вектор развития многих более поздних статей данной тематики. В своей работе Хэмминг построил простой код , исправляющий ошибки определенным образом. Вскоре подобные коды были построены над произвольными конечными полями Голеем в году [31]. Однако наибольший вклад в эту теорию принадлежит все же Хэммингу [30]. Конечные поля получили широчайшее применение в криптографии. Основополагающей работой считается статья Диффи и Хелмана по криптографии с открытым ключом, в которой был предложен протокол обмена ключами [4]. В этой работе использовались конечные поля определенного вида. Позже появилось великое множество криптографических протоколов и криптосистем, основанных на применении конечных полей. Алгоритмы на основе эллиптических кривых , являющиеся одним из ключевых объектов изучения в современной криптографии, также используют конечные поля [33]. Также зачастую качество шифрования зависит от способности быстро генерировать большие простые числа. Соответственно, встает задача построения алгоритма разложения числа на простые множители определение простоты того или иного числа. Михаэль Рабин опубликовал исследование, в котором он предлагает тест простоты на основе свойств мультипликативной группы поля [34]. В году Р. Рой-Чоудхури опубликовали работу, в которой исследовали семейства многочленов над конечными полями. Хоквингем обобщил их теорию, что привело к созданию кода БЧХ , частным случаем которого является широко известный код Рида — Соломона , имеющий очень обширное применение. Код БЧХ используется также в системе связи некоторых зондов NASA таких как Voyager [35]. Материал из Википедии — свободной энциклопедии. Версия от 22 ноября года. Handbook of Finite Fields. A History of Abstract Algebra. The Unpublished Section Eight: On the Way to Function Fields over a Finite Field. Издательство иностранной литературы, Коды с обнаружением и исправлением ошибок. Стандарт криптографической защиты - AES. Элементарное введение в эллиптическую криптографию. Алгебраические и алгоритмические основы. Rabin, Probabilistic Algorithm for Testing Primality, J. Общая алгебра Теория полей. Страницы, использующие волшебные ссылки ISBN. Навигация Персональные инструменты Вы не представились системе Обсуждение Вклад Создать учётную запись Войти. Пространства имён Статья Обсуждение. Просмотры Читать Править Править вики-текст История. В других проектах Викисклад. Эта страница последний раз была отредактирована 2 июля в Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike ; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия. Свяжитесь с нами Политика конфиденциальности Описание Википедии Отказ от ответственности Разработчики Соглашение о cookie Мобильная версия.
Указатель — Разделы — Обозначения — Автор — О проекте. Почтите его память хотя бы чтением его биографии [4]. Сложный для понимания материал! Желающим сначала быстро понять как применяется эта теория к задачам помехоустойчивого кодирования — см. В настоящем разделе буква обозначает простое число. Множество классов вычетов по простому модулю образует поле относительно операций сложения и умножения. Рассмотрим теперь конечные поля самого общего вида. Любое такое поле должно содержать нейтральный элементы относительно сложения и умножения: Начнем последовательно складывать единичные элементы. Поскольку, по предположению, поле содержит лишь конечное число элементов, то элементы последовательности должны повторяться. Если при , то. Пусть первый нулевой элемент последовательности имеет номер: Оба элемента и по предположению, ненулевые, а их произведение — нулевой элемент. Но это противоречит свойству поля. Оставшееся утверждение теоремы докажите самостоятельно. Простое число из предыдущей теоремы называется характеристикой конечного поля. Порядок число элементов любого конечного поля равен некоторой степени его характеристики: В предыдущей теореме было доказано, что конечное поле характеристики содержит различных элементов:. Это множество обладает всеми свойствами поля и изоморфно полю. Действительно, по предположению , но тогда. Таким образом , то есть соответствие сохраняет результат сложения. Результат умножения также сохраняется, поскольку на основании свойств поля в частности, дистрибутивности умножения относительно сложения , следует. Установленный изоморфизм позволяет утверждать, что любой элемент имеет обратный среди чисел того же множества: Если в поле нет других элементов, то и теорема доказана: Предположим, что существует и. Если , то, по доказанному в предыдущем абзаце, существует обратный к элементу и этот элемент находится в том же множестве. Тогда из последнего равенства следует, что. Если же , то тогда и. Если в поле нет других элементов, то и. В противном случае, существует элемент , не входящий в это подмножество, и мы рассмотрим множество. Дальнейший ход доказательства аналогичен предыдущим рассуждениям. Поскольку, по предположению, число элементов поля конечно, то процесс должен завершиться за конечное число шагов и если последний шаг имеет номер , то получим утверждение теоремы. Рассмотрим поле, состоящее из -х элементов. Два из них — это нейтральные элементы и. Два оставшихся обозначим и. Попробуем выписать для этих элементов таблицы сложения и умножения, руководствуясь только аксиомами поля. На основании того, что характеристика поля равна получаем Чему может равняться сумма? Если , то, прибавляя к обеим частям равенства , на основании предыдущего равенства, получаем , что противоречит предположению, что отличен от и. Аналогичным приемом показываем невозможность равенства — оно приводит к. На основании аксиомы поля 3 , для элемента должен существовать противоположный относительно сложения; мы пока не знаем, чему он равен, но знаем, что он существует. Обозначим его , тогда. Прибавим этот элемент к обеим частям предполагаемого равенства , получим , что незаконно. Остается лишь один возможный вариант: Отсюда просто получается и второе равенство: Итак, таблица сложения с учетом обязательной для поля коммутативности этой операции частично заполнена:. Пытаемся заполнить оставшиеся места. Чему может быть равна сумма? Равенство невозможно, поскольку из него следовало бы, что. Если , то прибавляя к обеим частям равенства получим, с использованием уже заполненных частей таблицы, что , что снова приводит к неверному равенству. Для доказательства противоречивости этого равенства приходится использовать операцию умножения. По аксиоме поля 8 , имеем: Умножим его на равенство , с использованием аксиомы 4 приходим к , откуда , что невозможно. Теми же самыми рассуждениями доказываем, что и. Эта сумма не может быть равна ни , ни , поскольку, по предположению,. Равенство также невозможно, поскольку, прибавляя к обеим его частям , и используя результат предыдущего абзаца, приходим к тому же противоречию: Таким образом, единственный оставшийся вариант: Окончательно таблица сложения должна иметь вид:. Вариант отпадает, поскольку из него домножением на обратный относительно умножения следует. Заметим, что на том же основании,. Вариант влечет за собой , что также невозможно. Возможно ли, чтобы , то есть чтобы элемент был обратен самому себе? С помощью таблицы сложения получим тогда цепочку следствий:. Итак, произведение может быть равно только. Аналогично доказывается, что может быть равно только. Итак, цепочкой рассуждений мы пришли к выводу: Однако, остался открытым вопрос:. Нет ли противоречий в этих построенных таблицах? В самом деле, возможно, что существует не найденная нами цепочка действий, которая приведет к противоречию с каким-то результатом из полученных таблиц. Ответ на этот вопрос оказывается отрицательным: Рассмотрим множество, состоящее из квадратных матрицы второго порядка В этом множестве операцию сложения определим как операцию сложения матриц по модулю:. Можно проверить, что таблицы действий с элементами этого множества совпадают с таблицами, приведенными выше. Любое такое поле называется полем Галуа и обозначается 1. Любой элемент удовлетворяет равенству. Доказательство аналогично доказательству малой теоремы Ферма. Обозначим для краткости , и рассмотрим все ненулевые элементы поля. Если , то домножим его на все эти элементы:. Получились снова элементы поля. Они все отличны от поскольку в поле не существует делителей нуля и все различны:. Следовательно множество совпадает со множеством , но тогда произведения элементов этих множеств одинаковы:. Произведение ненулевых элементов поля отлично от , следовательно. Умножив его на , получим равенство из условия теоремы, которому будет удовлетворять и. При доказательстве теоремы 2 из предыдущего пункта было показано, что в любом поле найдутся элементов таких, что любой элемент поля можно выразить в виде их линейной комбинации с коэффициентами из множества. Выразим в виде таких линейных комбинаций элементы:. Эта система уравнений, рассматриваемая относительно элементов поля является линейной и однородной. В этом месте доказательства мы воспользуемся аналогией задачи с задачей решения системы линейных уравнений с коэффициентами из множества. Условия разрешимости таких систем могут быть сформулированы в терминах определителей — то есть полиномиальных функций от коэффициентов системы. Аналог этого объекта для конечного поля очевиден и принципиально вычисляем — поскольку его формальное определение использует только операции сложения и умножения элементов поля. Однако детали этого переноса результатов из бесконечного множества в конечное поле оставляю не освещенными 2. Поскольку эта однородная система имеет нетривиальное решение , ее определитель должнен быть равен нулевому элементу поля:. Определитель в левой части является полиномом от степени с коэффициентами, которые полиномиально же зависят от величин , т. Если бы мы имели дело с обычными алгебраическими уравнениями одной переменной с целыми коэффициентами, то мы могли бы сделать заключение о существовании зависимости между коэффициентами этих уравнений в виде некоторого алгебраического равенства см. В случае же конечного поля, можно вывести более глубокое заключение: Осталось только ввести операцию деления полиномов в конечном поле, к чему мы и приступаем. Полином с целыми коэффициентами называется неприводимым по модулю p если его нельзя представить в виде. В противном случае будем говорить, что полином приводим по модулю p ; в этом случае будем также говорить, что делится на по модулю , или что является делителем по модулю. Очевидно, что если полином приводим в , то он приводим по любому модулю. Приводим ли полином по модулю? Этот полином неприводим в. Тем не менее по модулю он раскладывается на линейные множители, один из которых угадывается подстановкой:. Рассмотрим всевозможные комбинации потенциально возможных линейных множителей с коэффициентами из множества:. Рассмотрим полином степени с целыми коэффициентами и нормализованный то есть со старшим коэффициентом равным: Доказать, что частное и остаток от деления произвольного полинома на будут полиномами с целыми коэффициентами. Всюду в этом пункте полином предполагается нормализованным и. Полиномы называются сравнимыми по двойному модулю если их разность может быть представлена в виде. Иными словами, остаток от деления на представляет собой полином, все коэффициенты которого кратны:. В [1] для этого понятия используется обозначение. Найти все значения параметра , при которых полиномы будут сравнимы по модулю. Остаток от деления равен , по модулю он сравним с. Коэффициент при делится на только при условии. Пусть — нормализованный неприводимый по модулю полином степени. Множество полиномов рассматриваемое относительно операции сложения по модулю:. Все элементы множества различны, поскольку каждый определяется набором своих коэффициентов однозначно. Каждый из коэффициентов, независимо от других, может принимать различных значений, следовательно. Введенные во множестве операции удовлетворяют аксиомам 1 - 8 поля; сложность вызовет лишь проверка аксиомы 8 о существовании полинома, обратного произвольному полиному относительно умножения по двойному модулю. Требуется удостовериться, что существует полином такой, что. Если тождественно равен константе , то искомый полином тоже будет константой: Последнее сравнение имеет решение для любого , это решение будет единственны в том же множестве, и оно называется мультипликативным обратным числу по модулю. Соответствующую теорию и сопутствующие алгоритмы нахождения см. Вся оставшаяся часть доказательства представляет собой, фактически, алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя полиномов и — вместе с нахождением его линейного представления. Отличие от классического алгоритма Евклида будет заключаться в том, что по выполнении каждого деления целочисленных полиномов, мы будем избавляться от появляющихся в выражениях частных и остатков знаменателей дробей сохраняя целочисленность полиномов. Такая операция оказывается возможной за счет того, что во множестве можно организовать операцию деления, которая не выведет за пределы этого множества — если операция умножения этих чисел вводится по модулю простого числа. Поскольку коэффициенты делимого и делителя целочислены, то коэффициенты частного и остатка будут рациональными числами; при этом знаменатели дробей могут быть только степенями числа: Заменим каждое рациональное число вида. Произведя все подобные замены в последнем полиномиальном тождестве, получим его целочисленный вариант. Может ли полином оказаться тождественно равным? Итак, не равен тождественно. Пусть он тождественно равен ненулевой константе при. Из последнего тождества тогда следует, что в качестве полинома , удовлетворяющего. Предположим, что полином не является константой: Разделим целочисленный полином на целочисленный полином:. Коэффициенты частного и остатка будут рациональными числами; при этом знаменатели дробей могут быть только степенями старшего коэффициента полинома. Повторяем процедуру избавления от знаменателей, использованную в предыдущем абзаце. Приходим к целочисленному тождеству. Если полином тождественно равен константе: В противном случае 3. Подставим в это тождество представление для из его определения в предыдущем абзаце:. Из него следует, что в качестве полинома , удовлетворяющего. Наконец, если полином не является константой: И повторяем рассуждения предыдущих абзацев. Рано или поздно процедура последовательного деления остатков должна закончиться, поскольку на каждом этапе происходит понижение степеней остатков. Пусть последний ненулевой остаток появляется на -м шаге:. Умножив тождество на приведем его к виду. Далее возвращаемся назад в алгоритме последовательного деления. Из предпоследнего шага можно выразить через и , подставив их выражения в последнее тождество, получим. Возвращаемся еще на один шаг назад, выражаем правую часть последнего тождества через предшествующие остатки, и т. В конце концов, придем к представлению. Практическое нахождение элемента, обратного в поле Галуа заданному, возможно разными способами. Все они, прямо или опосредовано, завязаны на полиномиальное тождество, известное под названием тождества Безу: При фиксированных полиномах и его выполнимость хотя бы при одной паре полиномов и имеет место тогда и только тогда, когда и взаимно просты: Можно воспользоваться любым из этих способов для получения промежуточного результата в задаче обращения элемента в поле Галуа: Проиллюстрируем эту идею на примере. В поле , порожденном полиномов , найти элемент обратный. Избавляемся от знаменателей в коэффициентах полинома:. Строгое — с формальной точки зрения — введение объекта предыдущей теоремы должно было производиться на основе классов вычетов по модулю: Я пренебрег строгостью в ущерб наглядности. Из этих же соображений 5 , часто ниже буду использовать тот же объект в варианте. Иногда это более удобно по сравнению с использованной в теореме версией, — хотя бы потому, что коэффициенты полиномов уменьшаются по абсолютной величине. Полином является неприводимым по модулю. Согласно теореме, множество из четырех полиномов с операцией сложения по модулю и операцией умножения по двойному модулю образует поле. Результаты операций, собранные в таблицы. Конечные поля одинакового порядка изоморфны, то есть между элементами этих полей можно установить такое взаимно-однозначное соответствие, которое сохраняет результаты сложения и умножения элементов. В настоящем пункте под неприводимым полиномом понимается нормализованный неприводимый полином. Любой неприводимый по модулю полином степени является делителем полинома по модулю. В предыдущем пункте было доказано, что если неприводимый по модулю полином степени , то множество полиномов степеней с коэффициентами из образует поле Галуа относительно введенных операций сложения по модулю и умножения по двойному модулю. Но тогда любой полином должен удовлетворять обобщенной теореме Ферма:. В частности, это должно быть справедливо и для. Полученное в ходе доказательства утверждение о том, что любой полином должен обладать свойством хочется проверить косвенным образом. Таким образом, чтобы найти все неприводимые по модулю полиномы степени следует разложить полином на неприводимые по модулю множители. При этом часть множителей может иметь степень. Однако, существование для любых и неприводимых по модулю полиномов степени еще требует доказательства. Если элемент удовлетворяет неприводимому уравнению степени , то равенство возможно тогда и только тогда, когда делится на. Полином разлагается по модулю на неприводимые полиномы, степени которых равны или или делителям. Обозначим через 6 число неприводимых по модулю полиномов степени. Имеет место равенство здесь суммирование производится по всем индексам , являющимися делителями числа. Определить для случая простого. Установить для этого случая асимптотику при. Если в каноническом разложении числа на множители содержатся только различные простые числа, то имеет место равенство: Поскольку , то имеем:. В поле Галуа первообразным корнем степени n из единицы называется элемент , который удовлетворяет условиям. Будем также говорить, что принадлежит показателю n или, что имеет порядок n. Последний вариант соответствует определению порядка элемента группы , каковой относительно операции умножения и является поле Галуа. В поле Галуа существуют первообразные корни степени из единицы. В поле первообразный корень степени из единицы называется примитивным элементом поля. Количество примитивных элементов поля равно , где — функция Эйлера. В любом поле Галуа группа относительно умножения — циклическая , иными словами: Выбрав в качестве неприводимого по модулю полинома 7 , получим, что элементами поля должны быть полиномы степени не выше с коэффициентами из множества. Возьмем в качестве примитивного элемента поля полином тождественно равный 8. Получим, последовательным возведением его в степень: Полином содержит неприводимые по модулю сомножители степени. Если бы первообразный корень степени из единицы удовлетворял бы уравнению степени , то, в силу теоремы 1, он удовлетворял бы также и уравнению , что, ввиду неравенства невозможно. Разложить полином на неприводимые по модулю множители. Воспользуемся результатом из пункта УРАВНЕНИЕ ДЕЛЕНИЯ КРУГА. Здесь полиномы — неприводимы в. Чтобы найти разложение на неприводимые по модулю полиномы, воспользуемся сначала результатом теоремы 3 для определения количества этих неприводимых полиномов. Таким образом, получаем что по модулю имеется в-точности неприводимых линейных полинома, оба уже наблюдаются в разложении:. Неприводимый полином -й степени единствен — и он также уже содержится в разложении:. Что касается неприводимых полиномов -й степени, то их должно быть. Один из них уже содержится в разложении:. Найти все неприводимые по модулю полиномы -й степени. Для получения этих полиномов — в соответствии с теоремой 3 — надо разложить на множители полином. Оба полученных полинома -й степени неприводимы по модулю , поскольку по теореме 3 получаем. Здесь и из теоремы имеем. Разложим полином на неприводимые множители над:. Здесь полином должен быть неприводим по модулю. Полином должен раскладываться по модулю на два множителя -й степени. Будем искать один из этих множителей методом неопределенных коэффициентов. Если взять его равным , то результатом деления на него полинома будет. Коэффициенты остатка приравняем нулю по модулю:. Если из первого сравнения взять , то из второго сравнения получим. Это сравнение решений не имеет 9. Следовательно, из первого сравнения надо выбрать альтернативный вариант:. Если , то или. Неприводимыми по модулю полиномами -й степени являются и. Наибольшую важность для приложений в теории кодирования имеют поля. Рассмотрим примеры полей из полиномов с коэффициентами из множества — о таких полиномах часто говорят как о полиномах над GF 2. На этих примерах мы проиллюстрируем еще раз результаты предыдущих пунктов. Теперь надо определить операцию умножения. Разложение полинома на неприводимые по модулю множители приведено в предыдущем пункте:. При любом выборе неприводимого полинома степени из трех, участвующих в этом разложении, операция умножения по двойному модулю будет удовлетворять аксиомам поля. Проверим это для выбора. Следующая таблица выражает все полиномы из поля через посредство выражений для степеней:. В третьем столбце стоят двоичные наборы коэффициентов полиномов, рассматриваемых в разложении по убывающим степеням. В четвертом столбце отмечены примитивные элементы поля, то есть элементы, степени которых порождают все ненулевые элементы поля одним из них являлся полином, тождественно равный , по которому, собственно, и составлена таблица; с тем же успехом мы могли бы рассматривать и или , и т. Количество примитивных элементов равно. Все они обязаны удовлетворять алгебраическим уравнениям, степеней равных делителям числа. Все эти уравнения можно получить из разложения полинома на неприводимые по модулю множители. Чтобы избежать путаницы, будем рассматривать неприводимые полиномы относительно переменной. Проверяем, что полиномы удовлетворяют уравнению ; везде ниже сравнения вычисляются по двойному модулю:. Оставшиеся примитивных элемента поля, именно, должны удовлетворять другому уравнению -й степени, которое соответствует одному из оставшихся неприводимых полиномов этой степени. В самом деле, они удовлетворяют уравнению:. Последние вычисления проводились с учетом и с использованием построенной выше таблицы для степеней. Примитивные элементы поля, то есть элементы порядка , исчерпаны. Все остальные элементы поля имеют порядки, равные или , то есть — в соответствии с теоремой предыдущего пункта — делителям числа. Итак, элемент поля принадлежит показателю , этому же показателю принадлежат и его степени, то есть полиномы. Все эти полиномы удовлетворяют уравнению , соответствующему третьему неприводимому полиному -й степени из разложения. На всякий случай, осуществим выборочную проверку:. Теперь рассмотрим оставшиеся элементы поля: Они должны принадлежать показателю , что и немедленно проверяется. Кроме того, они должны удовлетворять неприводимому уравнению из разложения. Выбор однозначен — единственным кандидатом является уравнение -й степени:. Наконец, нейтральные элементы поля и — с ними все просто. Поле Галуа одновременно обладает свойствами циклической группы , линейного пространства и алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. С одной стороны, все ненулевые элементы поля можно представить как степени одного единственного. С другой стороны, операция сложения полиномов эквивалентна сложению векторов, составленных из их коэффициентов. Заметим, что в линейном пространстве не вводится аналога умножения векторов — такого, чтобы при умножении двух векторов получался снова вектор. С третьей стороны, все элементы поля разбиваются на подмножества, каждому из которых соответствует неприводимое алгебраическое уравнение — говорят, что элементы поля являются корнями неприводимых над GF 2 полиномов. Для предыдущего примера составить аналоги таблицы степеней при выборе в качестве а ; б ; а также подходящего примитивного элемента. Теперь займемся неприводимыми полиномами. Сначала оценим их число — в абсолютном количестве, а также в отношении к общему количеству полиномов степени:. Теперь обобщим результаты разобранных в предыдущем пункте примеров. Будем рассматривать полиномы над. Нас будут интересовать решения уравнения. Любой такой элемент будем называть корнем полинома в поле. Пусть — неприводимый по модулю полином степени и — его корень. Тогда множество корней в поле совпадает с. С другой стороны, все элементы множества различны. Действительно, если бы выполнялось равенство. Все корни неприводимого полинома принадлежат одному показателю имеют одинаковый порядок. Показатель корней неприводимого полинома называется показателем , которому этот полином принадлежит. Если неприводимый полином принадлежит показателю , то он является делителем полинома , но не является делителем ни одного из полиномов при. Неприводимый полином степени над называется примитивным , если его корнем является примитивный элемент поля. В этом случае, этот корень принадлежит показателю , и по теореме 2, все корни принадлежат тому же показателю, то есть являются примитивными элементами поля. Получается, что число должно делиться нацело на. Результат, который вовсе не очевиден из элементарных соображений. Тем не менее, он верен даже для случая когда вместо рассматривается составное число; см. Неприводимый полином степени является примитивным тогда и только тогда, когда он не является делителем ни одного из полиномов при. Если каноническое разложение числа имеет вид: Из трех неприводимых полиномов -й степени: Примитивные полиномы -й степени см. Короткая жизнь Эвариста Галуа. N 1, , cc. Полиномы, неприводимые по модулю. Полиномы над GF 2. Полиномы над GF p. Настоящий раздел поддерживается компанией. Заметим, что любой не тождественно нулевой полином из такого поля всегда нормализован.
Экономическая теория и экономическая политика
Цвет морской волны с какими цветами
Образец заполнения журнала здоровья
Умник кз тесты 2016
Фз 273 статья 108