Таблица истинности
Информатика: таблица истинности. Построение таблиц истинности
Совет 1: Как построить таблицу истинности
Основоположником алгебры логики является английский математик и логик Дж. Буль — , положивший в основу своего логического учения аналогию между алгеброй и логикой. Современная алгебра логики является разделом математической логики и изучает логические операции над высказываниями с точки зрения их истинностного значения истина, ложь. Высказывания могут быть истинными, ложными или содержать истину и ложь в разных соотношениях. Логическое высказывание — это любое повествовательное предложение, в отношении которого можно однозначно утверждать, что его содержание истинно или ложно. Очевидно, что не всякое предложение может быть логическим высказыванием, т. Истинность или ложность получаемых таким образом сложных высказываний определяется значением простых высказываний. Очевидно, что поскольку элементарные высказывания А и В истинны, то истинно и составное высказывание А и В. Каждая логическая связка рассматривается как операция над логическими высказываниями и имеет свое название и обозначение. Логических значений всего два: Это соответствует цифровому представлению — 1 и 0. Результаты каждой логической операции можно записать в виде таблицы. Такие таблицы называют таблицами истинности. Логическое отрицание, инверсия лат. Операция, используемая относительно одной величины, называется унарной. Таблица значений данной операции имеет вид. Геометрически отрицание можно представить следующим образом: Для обозначения конъюнкции применяются также следующие знаки: Данное высказывание может быть истинным только в том случае, если выполняются оба условия, в противном случае высказывание ложно. Геометрически конъюнкцию можно представить следующим образом: Для обозначения дизъюнкции применяются также следующие знаки: Это высказывание будет истинным, если выполняются оба условия или хотя бы одно из условий. Геометрически логическое сложение можно представить следующим образом: Высказывание истинно, если выполняется какое-то одно из условий. Эта операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием, а второе — следствием. Результат операции ложен только тогда, когда предпосылка есть истина, а следствие — ложь. Для операции импликации справедливо утверждение, что из лжи может следовать все что угодно, а из истины — только истина. Эквивалентность, двойная импликация, равнозначность лат. Для обозначения эквивалентности применяются также следующие знаки: Примером эквивалентности является высказывание: Зная значения простых высказываний, можно на основании таблиц истинности определить значения сложных высказываний. При этом важно знать, что для представления любой функции алгебры логики достаточно трех операций: Приоритет выполнения логических операций следующий: С помощью логических переменных и логических операций любое логическое высказывание можно формализовать, т. При этом элементарные высказывания, образующие составное высказывание, могут быть абсолютно не связаны по смыслу, но это не мешает определять истинность или ложность составного высказывания. В логических операциях смысл высказываний не учитывается, рассматривается только их истинность или ложность. Рассмотрим, например, построение составного высказывания из высказываний А и В , которое было бы ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны. В таблице истинности для операции сложения по модулю два находим: А высказывание может быть, например, таким: Последовательность выполнения операций следующая: Таблица истинности для импликации имеет вид. При таком определении среди логических выражений необходимо различать:. Логические выражения могут включать в себя функции, алгебраические операции, операции сравнения и логические операции. В этом случае приоритет выполнения действий следующий:. В логическом выражении могут использоваться скобки, которые изменяют порядок выполнения операций. После этих вычислений окончательно получим: В алгебре логики выполняются основные законы, позволяющие производить тождественные преобразования логических выражений. Доказательства этих утверждений производят на основании построения таблиц истинности для соответствующих записей. Равносильные преобразования логических формул имеют то же назначение, что и преобразования формул в обычной алгебре. Они служат для упрощения формул или приведения их к определенному виду путем использования основных законов алгебры логики. Под упрощением формулы , не содержащей операций импликации и эквивалентности, понимают равносильное преобразование, приводящее к формуле, которая содержит либо меньшее по сравнению с исходной число операций, либо меньшее число переменных. Некоторые преобразования логических формул похожи на преобразования формул в обычной алгебре вынесение общего множителя за скобки, использование переместительного и сочетательного законов и т. Для преобразования здесь можно применить закон идемпотенции, распределительный закон; операцию переменной с инверсией и операцию с константой. При преобразовании применяются правило де Моргана, операция переменной с ее инверсией, операция с константой. Получаем выражение, равносильное исходному: Операция импликации ложна только в случае, когд а из истинной посылки следует ложь. Логические выражения могут быть использованы для описания геометрических областей. В этом случае задача формулируется так: Задано изображение геометрической области. Записать логическое выражение, описывающее множество точек, принадлежащих ей. Заданную геометрическую область можно представить в виде набора следующих областей: При построении логического выражения используются нестрогие неравенства, а это значит, что границы фигур также принадлежат заштрихованной области. Если использовать строгие неравенства, то границы учитываться не будут. Границы, не принадлежащие области, обычно изображаются пунктиром. Искомая область представляет собой пересечение трех полуплоскостей. В результате получим область, которая изображена на рис Логические функции очень удобны для описания работы электрических схем. Так, для схемы, представленной на рис. Функцию Y называют функцией проводимости. Для схемы, представленной на рис. В схеме на рис. Для более сложной схемы функция проводимости будет иметь вид: Схема также может содержать контакты на замыкание. В этом случае размыкаемый контакт как выключатель обеспечивает загорание лампочки, когда кнопка отпущена, а не нажата. Для таких схем размыкающий выключатель описывается отрицанием. Две схемы называются равносильными , если через одну из них ток проходит тогда, когда он проходит и через другую. Из двух равносильных схем более простой считается схема, функция проводимости которой содержит меньшее число элементов. Задача нахождения наиболее простых схем среди равносильных очень важна. Математический аппарат алгебры логики очень удобен для описания того, как функционируют аппаратные средства компьютера. Любая информация при обработке на компьютере представляется в двоичной форме, т. Обработку двоичных сигналов, соответствующих 0 и 1, выполняют в компьютере логические элементы. Логические элементы, которые выполняют основные логические операции И, ИЛИ, НЕ, представлены на рис. Условные обозначения логических элементов являются стандартными и используются при составлении логических схем компьютера. С помощью этих схем можно реализовать любую логическую функцию, описывающую работу компьютера. Технически компьютерный логический элемент реализуется в виде электрической схемы, которая представляет собой соединение различных деталей: На вход логического элемента, который называют также вентилем, поступают электрические сигналы высокого и низкого уровней напряжения, на выход выдается один выходной сигнал также либо высокого, либо низкого уровня. Эти уровни соответствуют одному из состояний двоичной системы: Каждый логический элемент имеет свое условное обозначение, которое выражает его логическую функцию, но не указывает на то, какая именно электронная схема в нем реализована. Это упрощает запись и понимание сложных логических схем. Работу логических схем описывают с помощью таблиц истинности. Из логических элементов составляются электронные логические схемы, выполняющие более сложные логические операции. Набор логических элементов, состоящий из элементов НЕ, ИЛИ, И, с помощью которых можно построить логическую структуру любой сложности, называется функционально полным. Для логической формулы всегда можно записать таблицу истинности , т. В этом случае таблица должна содержать все возможные комбинации аргументов функции формулы и соответствующие значения функции результаты формулы на заданном наборе значений. Удобной формой записи при нахождении значений функции является таблица, содержащая, кроме значений переменных и значений функции, также значения промежуточных вычислений. Если функция принимает значение 1 при всех наборах значений переменных, она является тождественно-истинной ; если при всех наборах входных значений функция принимает значение 0, она является тождественно-ложной ; если набор выходных значений содержит как 0, так и 1, функция называется выполнимой. Приведенный выше пример является примером тождественно-истинной функции. Зная аналитическую форму логической функции, всегда можно перейти к табличной форме логических функций. С помощью заданной таблицы истинности можно решить обратную задачу, а именно: Различают две формы построения аналитической зависимости логической функции по таблично заданной функции. Дизъюнктивно нормальная форма ДНФ — сумма произведений, образованных из переменных и их отрицаний для ложных значений. Построить функцию, определяющую, что первое число равно второму, используя метод ДНФ. Таблица истинности функции имеет вид. Выбираем наборы значений аргументов, в которых функция равна 1. Это первая и четвертая строки таблицы строку заголовка при нумерации не учитываем. Записываем логические произведения аргументов этих наборов, объединив их логической суммой: Записываем отрицание относительно аргументов выбранных наборов, имеющих ложное значение четвертая строка таблицы; второй набор в формуле; первый и второй элементы: Конъюнктивно нормальная форма КНФ — произведение сумм, образованных из переменных и их отрицаний для истинных значений. Рассмотрим предыдущий пример, т. Для заданной функции ее таблица истинности имеет вид. Выбираем наборы значений аргументов, в которых функция равна 0. Это вторая и третья строки строку заголовка при нумерации не учитываем. Записываем логические суммы аргументов этих наборов, объединив их логическим произведением: Записываем отрицание относительно аргументов выбранных наборов, имеющих истинное значение вторая строка таблицы, первый набор формулы, второй элемент; для третьей строки, а это второй набор формулы, первый элемент: Полученные двумя методами значения функций являются эквивалентными. Для доказательства этого утверждения используем правила логики: Для приведенной таблицы истинности построить логическую функцию, используя метод ДНФ. Составление таблиц истинности — один из способов решения логических задач. При использовании такого способа решения, условия, которые содержит задача, фиксируются с помощью специально составленных таблиц. Составить таблицу истинности для охранного устройства, которое использует три датчика и срабатывает при замыкании только двух из них. Составить расписание уроков на день, учитывая, что урок информатики может быть только первым или вторым, урок математики — первым или третьим, а физики — вторым или третьим. Возможно ли составить расписание, удовлетворив всем требованиям? Сколько существует вариантов расписания? В спортивный лагерь приехали трое друзей — Петр, Борис и Алексей. Каждый из них увлекается двумя видами спорта. Известно, что таких видов спорта шесть: Составим таблицу и отразим в ней условия задачи, заполнив соответствующие клетки цифрами 0 и 1 в зависимости от того, ложно или истинно соответствующее высказывание. Из условия 4 следует, что Борис не увлекается ни лыжами, ни теннисом, а из условий 3 и 5, что Петр не умеет играть в футбол, хоккей, теннис и бадминтон. Следовательно, любимые виды спорта Петра — лыжи и плавание. Из условий 1 и 2 следует, что Борис не футболист. Таким образом, в футбол играет Алексей. Окончательно получаем, что Борис увлекается хоккеем и бадминтоном. Итоговая таблица будет выглядеть следующим образом:. Петр увлекается лыжами и плаванием, Борис играет в хоккей и бадминтон, а Алексей занимается футболом и теннисом. Intro, "PT Sans", sans-serif; text-align: Все для самостоятельной подготовки к ЕГЭ. Таблицы истинности и логические схемы Алгебра логики Алгебра логики Алгебра логики англ. Основные операции алгебры логики 1. Примеры решения задач Пример 1. Рассмотрим последовательно все предложенные слова: При таком определении среди логических выражений необходимо различать: В этом случае приоритет выполнения действий следующий: Теперь должны быть выполнены операции отрицания, затем логического умножения и сложения: Тождественные преобразования логических выражений В алгебре логики выполняются основные законы, позволяющие производить тождественные преобразования логических выражений. Рассмотрим на примерах некоторые приемы и способы, применяемые при упрощении логических формул: Здесь для упрощения применяется закон поглощения. При преобразовании применяются правило де Моргана, операция переменной с ее инверсией, операция с константой Примеры решения задач Пример 1. Применяем правило де Моргана для В и С: А — истина, В — ложь, С — истина. Каково наибольшее целое число X, при котором истинно высказывание 35 Решение. Запишем таблицу истинности для операции импликации: Использование логических выражений для описания геометрических областей Логические выражения могут быть использованы для описания геометрических областей. Рассмотрим описание геометрической области с помощью логического выражения на примерах. Можно решить обратную задачу, а именно: В результате получим область, которая изображена на рис.: Использование логических функций для описания электрических схем Логические функции очень удобны для описания работы электрических схем. Использование аппарата алгебры логики при проектировании логических схем Математический аппарат алгебры логики очень удобен для описания того, как функционируют аппаратные средства компьютера. Построение таблиц истинности логических выражений Для логической формулы всегда можно записать таблицу истинности , т. Алгоритм построения ДНФ следующий: Таблица истинности функции имеет вид X1 X2 F X1, X2 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 Решение. Алгоритм построения КНФ следующий: Для заданной функции ее таблица истинности имеет вид X1 X2 F X1, X2 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 Решение. Таким образом, получена запись логической функции в КНФ. Построить логическую функцию для заданной таблицы истинности: Используем алгоритм ДНФ для построения исходной функции: Формула достаточно громоздка, и ее следует упростить: Таблицы истинности для решения логических задач Составление таблиц истинности — один из способов решения логических задач. Задача легко решается, если составить соответствующую таблицу: Борис — самый старший; играющий в футбол младше играющего в хоккей; играющие в футбол и хоккей и Петр живут в одном доме; когда между лыжником и теннисистом возникает ссора, Борис мирит их; Петр не умеет играть ни в теннис, ни в бадминтон. Какими видами спорта увлекается каждый из мальчиков? Так как видов спорта шесть, получается, что все мальчики увлекаются разными видами спорта. Итоговая таблица будет выглядеть следующим образом: Футбол Хоккей Лыжи Плавание Бадминтон Теннис Петр 0 0 1 1 0 0 Борис 0 1 0 0 1 0 Алексей 1 0 0 0 0 1 Ответ: Как подготовиться к ЕГЭ по информатике? Начни онлайн-курс ЕГЭ по информатике прямо сейчас. Доступ для групп Написать нам. Русский язык Математика профильная Математика базовая Обществознание Физика История. Биология Химия География Информатика ОГЭ. Варианты Отзывы Партнерская программа Юридические документы. Вконтакте Одноклассники Facebook Google. Да, я хочу получать по email интересные новости от Экзамера. Пожалуйста, расскажите нам подробности:. Доступ до 1 июля г. Необходимо заполнить все поля, кроме телефона.
Схема расположения люка в пустотной плите
Сколько живут амадины гульда
Дымоход для буржуйки своими руками
Детская мебель в северодвинске каталог фото
Сколько сохнет цинкарь
Должностная инструкция специалиста по режиму
Как починить телефон дома
Правила поведения детей на батуте памятка
Damien dawn silent scream перевод
Выгодный курс доллара в хабаровске
Импульсы ночь не отпускает текст
Таблица тиражей столото 6 из 45
Семена почта россии москва каталог
Энерген в капсулах состав
Конвертна свадьбусвоими руками шаблоны