Как в Excel вычислить определённый интеграл
Совет 1: Как вычислить определённый интеграл в Excel
Раздел 2 - вычисление в ms excel определенных интегралов
Опубликовано 10 Авг Рубрика: Справочник Excel 12 комментариев. Формулировка в предыдущем предложении определяет сущность понятия интегрирования. Интеграл чего-либо — это сумма всех малых частей этого чего-либо. Чем больше количество этих малых частей, тем точнее значение интеграла соответствует действительности, определяя признак изучаемого объекта. Функция — это описание зависимости некоторого признака или свойства объекта от аргумента. Определенный интеграл функции — площадь фигуры. Площадь тоже является признаком фигуры, но зависит от двух переменных — высоты и ширины — и представляет собой качественно иной новый признак. Подробно рассмотрим два наиболее точных метода численного интегрирования функции одной переменной — метод трапеций и метод парабол или метод Симпсона. Есть еще метод прямоугольников, но мы его проигнорируем из-за невысокой точности. Все, что требуется для понимания и применения метода трапеций и метода Симпсона на практике представлено далее на рисунке. Суммарная площадь под графиком функции на участке от x 1 до x n — это и есть искомая величина, которая является определенным интегралом функции на этом участке и находится как сумма площадей всех криволинейных трапеций. Точно вычислить аналитически площадь криволинейной трапеции бывает сложно или даже невозможно. Для приближенного вычисления площади криволинейной трапеции можно заменить участок кривой прямой линией и, получив простую фигуру — обычную трапецию, найти по известной формуле ее площадь. В этом суть метода трапеций. Если участок кривой линии над двумя криволинейными трапециями заменить параболой, проведенной через три характерные точки, то получим новую криволинейную трапецию с одной из сторон в виде параболы. Количество новых фигур будет в два раза меньше, чем количество исходных трапеций. Площадь этих новых фигур вычисляется по простой формуле. В этом смысл метода Симпсона. Идею замены участка любой кривой участком параболы высказывал Исаак Ньютон, но первым вывел формулу английский математик Томас Симпсон. Метод Симпсона для вычисления интегралов является самым точным из приближенных численных методов. Если вычисление интегралов методом трапеций не имеет ограничений, то для того, чтобы реализовать метод Симпсона необходимо выполнить два условия. Разбить площадь на четное количество частей, то есть n должно быть нечетным числом! Расстояния между точками по оси x должны быть одинаковыми! Определенной сложностью является связать вычисление интегралов с реальными задачами из жизни. Рассмотрение примеров — лучший способ устранения подобных препятствий. Воздух из помещения подается вентилятором в коллекторы, нагревается от солнца и поступает назад в помещение. Каждую минуту измеряется и записывается температура воздуха на входе в коллекторы и на выходе при постоянном воздушном потоке. Требуется определить количество тепловой энергии полученной в течение суток. Более подробно о преобразовании солнечной энергии в тепловую и электрическую и об экспериментах Алексея я постараюсь рассказать в отдельной статье. Следите за анонсами, многим, я думаю, это будет интересно. Запускаем MS Excel и начинаем работу — выполняем вычисление интеграла. В столбец C заносим температуры нагретого воздуха t 2i , измеренные на выходе из коллекторов в градусах Цельсия. В столбец D записываем температуры холодного воздуха t 1i , поступающего на вход коллекторов. На графике ниже показана экспериментальная кривая зависимости мощности, развиваемой коллекторами, от времени. Количество тепловой энергии, выработанной за промежуток времени — это интеграл этой функции, и значение интеграла — это заштрихованная площадь под кривой. Вычисляем в ячейках столбца G площади трапеций, суммируем их и находим общее количество энергии, выработанной за день. Рассчитываем в ячейках столбца H элементарные площади по методу парабол, суммируем их и находим общее количество энергии по методу Симпсона. Исходная таблица содержит строку. Давайте уменьшим её в 30 раз и оставим всего 15 строк, увеличив тем самым интервалы между замерами с 1 минуты до 30 минут. Не смотря на оставшуюся неожиданно весьма высокую точность полученных результатов, метод трапеций дает в данном случае относительную ошибку в 2 раза большую, чем метод Симпсона. Вычисление интегралов численными методами в Excel позволяет эффективно и быстро решать сложные практические задачи, обеспечивая очень высокую точность результатов. Так как мы существуем в пространстве и времени, то и всё окружающее нас изменяется или в пространстве или во времени. Это означает, что аргументом x функций y интересующих нас процессов или объектов чаще всего являются длина или время. Например, пройденный путь — это интеграл функции скорости аргумент — время , площадь плотины — это интеграл функции высоты аргумент — длина , и т. Понимание сути интегрального исчисления и умение использовать его на практике вооружает вас, как специалиста, мощным оружием в осознанном изучении окружающего мира! Отзывы и комментарии к статье, уважаемые читатели, пишите в блоке, расположенном ниже статьи. Чтобы получать информацию о выходе новых статей на блоге подпишитесь на анонсы в окне, расположенном вверху страницы или сразу после статьи. С этого момента к вам на почтовый ящик будет пару раз в месяц приходить небольшое уведомление о появлении на моем блоге новой статьи. Ссылка на скачивание файла с примером: Хотя и не часто но приходится сталкиваться с анализом функциональных зависимостей. Благодарю Вас за напоминание что есть интегралы и ,конечно, за Ваше решение в EXCEL. А можете мне уточнить почему в примере, в формулах делитель , и ? В методе трапеций мощности складываются, делятся на 2 и умножаются на 1 минуту, выраженную в часах. Большое спасибо за статью , очень понятно и интересно написано, очень пригодилась в качестве благодарности рекомендую пару бесплатных приёмов по привлечению читателей. Вы можете использовать следующие теги: Прикладные расчеты в программах MS Excel и OOo Calc. О блоге Все статьи блога О себе Обратная связь. Вычисление интегралов в Excel Опубликовано 10 Авг Рубрика: Признак значение функции — высота фигуры. Аргумент независимая переменная — ширина фигуры. Функция — описание зависимости высоты от ширины. Практика вычисления интегралов в Excel. Аналогично и по формуле Симпсона. Я не знаю, что Вы считаете, Иван, но делитель в формуле Симпсона, конечно, равен 3. Гидравлический расчет трубопроводов О тепловой энергии простым языком! Как узнать модуль зубчатого колеса? Регистры отопления из труб Теплопотери через пол и стены в грунт Расчет длины развертки Расчет звездочки цепной передачи Температурный график отопления Расчет геометрии зубчатой передачи Снеговая нагрузка Ввод данных в Excel через форму База данных в Excel Расчет клиноременной передачи ВСЕ СТАТЬИ БЛОГА.
Освоение приемов работы в Ms Excel при вычислении сумм и интегралов. Приближенное вычисление определенных интегралов методом прямоугольников и методом трапеций. С геометрической точки зрения определенный интеграл — есть площадь фигуры, ограниченной графиком функции и прямыми , ,. Функция называется подынтегральной функцией. Чтобы приближенно вычислить эту площадь, разделим интервал интегрирования на равных отрезков длиной каждый. Тогда координата левого конца i -го отрезка определяется по формуле , где ,. Простейший приближенный расчет площади под кривой состоит в нахождении суммы площадей прямоугольников, у каждого из которых основание совпадает с отрезком , а высота равна значению функции в точке метод левых прямоугольников. Можно высоту брать равной значению функции в точке метод правых прямоугольников или в точке метод центральных прямоугольников. При использовании метода левых прямоугольников формула для вычисления площади выглядит следующим образом:. Можно повысить точность вычисления определенного интеграла, если заменить на каждом интервале , дугу графика отрезком хордой , соединяющем точки с координатами и. В этом случае фигура, ограниченная графиком функции и прямыми , , приближенно заменяется не прямоугольником, а трапецией, и искомый определенный интеграл рассчитывается как сумма площадей всех таких трапеций:. Формула может быть существенно упрощена, но мы оставим это для курса вычислительной математики сейчас можете попытаться упростить ее самостоятельно. Замена графика функции хордами, описанная в методе трапеций, позволяет при помощи электронных таблиц довольно легко определять приближенное значение длины дуги графика на интервале. В этой задаче рассматриваемая кривая представляется в виде ломанной, длина s которой равна сумме длин её звеньев. Длину звена, построенного на отрезке , можно найти как длину гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами, равными и , используя известную теорему Пифагора. В результате суммирования длин всех звеньев, получаем:. Следует отметить, что точность приближенного вычисления интегралов зависит от величины , то есть от количества отрезков, на которые разбивается интервал интегрирования. При отсутствии погрешностей округления, чем больше , тем выше точность с ростом N погрешность вычислений сходится к нулю. В качестве примера вычислим интеграл с точностью представления результатов вычислений до 4 знаков после запятой. В ячейку А6 вводим нижнюю границу интервала интегрирования , равную 0,5. В следующую ячейку А7 вводим значение 0,51, отстоящее от нижней границы на шаг. Рекомендуется выбирать шаг в зависимости от требуемой точности вычисления интеграла. Затем выделяем обе ячейки А6 и А7. В правой нижней части выделенной области есть жирная черная точка — маркер заполнения, — тянем её мышкой вниз, пока не получим число, соответствующее верхней границе интеграла, т. Это достигается в ячейке А Выделим мышкой столбцы С , Е и G , указывая мышкой их заголовки. Вызовем с помощью правой кнопки мыши контекстное меню выделенных столбцов и выберем в нем опцию Формат ячеек. Далее, на закладке Число , выберем в качестве числового формата — Числовой и укажем отображаемое число десятичных знаков 4. Теперь вычислим определенный интеграл с помощью метода левых прямоугольников. Выделим ячейку С6 и протянем маркер заполнения вниз, до ячейки С Таким образом, в столбце C мы получили площади всех прямоугольников. Выделим ячейку С и нажмем на кнопку Автосумма на панели Стандартные. Нажмем Enter, подтверждая этим предложенную формулу. В результате получим сумму всех выше расположенных чисел в столбце, т. Вычислим определенный интеграл с помощью метода трапеций. Выделите ячейку Е6 и протяните маркер заполнения вниз до ячейки Е Так мы вычислили площади всех трапеций. Выделив ячейку Е , вычислите их сумму с помощью кнопки Автосумма на панели Стандартные. Мы получили значение интеграла, найденное методом трапеций. Вычислим длину графика функции на интервале [0,5; 2,5]. Выделите ячейку G6 и протяните маркер заполнения вниз до ячейки G В ячейке G , используя Автосумму , найдите приближенное значение искомой длины графика. Повторите в соседних столбцах все расчеты при меньшем шаге интегрирования, например, при шаге 0, Сравните результаты с полученными ранее. Проанализируйте их и сделайте выводы. FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Раздел 2 - вычисление в ms excel определенных интегралов Цель работы: Приближенное вычисление длины кривой. Проведение экспериментов и решение задач. Пояснения к выполнению работы 1. При использовании метода левых прямоугольников формула для вычисления площади выглядит следующим образом: В этом случае фигура, ограниченная графиком функции и прямыми , , приближенно заменяется не прямоугольником, а трапецией, и искомый определенный интеграл рассчитывается как сумма площадей всех таких трапеций: В результате суммирования длин всех звеньев, получаем: Вычисления провести по варианту и записать в отчет. Соседние файлы в папке Рабочая профессия
Как восстановить первоначально виндовс
Технология проектирования программируемых логических интегральных схем баумана
Автомобиль киа соренто технические характеристики
Инструкции по сборке кухонной мебели
Коллективное заявление в полицию о мошенничестве образец