Построение дерева решений проекта Вероятностная оценка риска Метод Монте-Карло Метод Монте-Карло продолжение. Метод Монте-Карло Имитационное моделирование по методу Монте-Карло Monte-Carlo Simulation позволяет построить математическую модель для проекта с неопределенными значениями параметров, и, зная вероятностные распределения параметров проекта, а также связь между изменениями параметров корреляцию получить распределение доходности проекта. Блок-схема, представленная на рисунке отражает укрупненную схему работы с моделью. Применение метода имитации Монте-Карло требует использования специальных математических пакетов например, специализированного программного пакета Гарвардского университета под названием Risk-Master , в то время, как метод сценариев может быть реализован даже при помощи обыкновенного калькулятора. Упоминаемый ранее программный пакет Risk-Master позволяет в диалоговом режиме осуществить процедуру подготовки информации к анализу рисков инвестиционного проекта по методу Монте-Карло и провести сами расчеты. Первый шаг при применении метода имитации состоит в определении функции распределения каждой переменной, которая оказывает влияние на формирование потока наличности. Как правило, предполагается, что функция распределения являются нормальной, и, следовательно, для того, чтобы задать ее необходимо определить только два момента математическое ожидание и дисперсию. Как только функция распределения определена, можно применять процедуру Монте-Карло. Алгоритм метода имитации Монте-Карло Шаг 1. Опираясь на использование статистического пакета, случайным образом выбираем, основываясь на вероятностной функции распределения значение переменной, которая является одним из параметров определения потока наличности. Выбранное значение случайной величины наряду со значениями переменных, которые являются экзогенными переменными используется при подсчете чистой приведенной стоимости проекта. Шаги 1 и 2 повторяются большое количество раз, например , и полученные значений чистой приведенной стоимости проекта используются для построения плотности распределения величины чистой приведенной стоимости со своим собственным математическим ожиданием и стандартным отклонением. Используя значения математического ожидания и стандартного отклонения, можно вычислить коэффициент вариации чистой приведенной стоимости проекта и затем оценить индивидуальный риск проекта, как и в анализе методом сценариев. Теперь необходимо определить минимальное и максимальное значения критической переменной, а для переменной с пошаговым распределением помимо этих двух еще и остальные значения, принимаемые ею. Границы варьирования переменной определяются, просто исходя из всего спектра возможных значений. По прошлым наблюдениям за переменной можно установить частоту , с которой та принимает соответствующие значения. В этом случае вероятностное распределение есть то же самое частотное распределение, показывающее частоту встречаемости значения, правда, в относительном масштабе от 0 до 1. Вероятностное распределение регулирует вероятность выбора значений из определенного интервала. В соответствии с заданным распределением модель оценки рисков будет выбирать произвольные значения переменной. До рассмотрения рисков мы подразумевали, что переменная принимает одно определенное нами значение с вероятностью 1. И через единственную итерацию расчетов мы получали однозначно определенный результат. В рамках модели вероятностного анализа рисков проводится большое число итераций, позволяющих установить, как ведет себя результативный показатель в каких пределах колеблется, как распределен при подстановке в модель различных значений переменной в соответствии с заданным распределением. Задача аналитика, занимающегося анализом риска, состоит в том, чтобы хотя бы приблизительно определить для исследуемой переменной фактора вид вероятностного распределения. При этом основные вероятностные распределения, используемые в анализе рисков, могут быть следующими: Эксперт присваивает переменной вероятностное распределение, исходя из своих количественных ожиданий и делает выбор из двух категорий распределений: Существование коррелированных переменных в проектном анализе вызывает порой проблему, не рассмотреть которую означало бы заранее обречь себя на неверные результаты. Ведь без учета коррелированности, скажем, двух переменных - компьютер, посчитав их полностью независимыми, генерирует нереалистичные проектные сценарии. Допустим цена и количество проданного продукта есть две отрицательно коррелированные переменные. Если не будет уточнена связь между переменными коэффициент корреляции , то возможны сценарии, случайно вырабатываемые компьютером, где цена и количество проданной продукции будут вместе либо высоки, либо низки, что естественно негативно отразится на результате. Проведение расчетных итераций является полностью компьютеризированная часть анализа рисков проекта. В процессе каждой итерации происходит случайный выбор значений ключевых переменных из специфицированного интервала в соответствии с вероятностными распределениями и условиями корреляции. Затем рассчитываются и сохраняются результативные показатели например, NPV. И так далее, от итерации к итерации. Завершающая стадия анализа проектных рисков - интерпретация результатов, собранных в процессе итерационных расчетов. Результаты анализа рисков можно представить в виде профиля риска. На нем графически показывается вероятность каждого возможного случая имеются в виду вероятности возможных значений результативного показателя. Часто при сравнении вариантов капиталовложений удобнее пользоваться кривой, построенной на основе суммы вероятностей кумулятивный профиль риска. Такая кривая показывает вероятности того, что результативный показатель проекта будет больше или меньше определенного значения. Проектный риск, таким образом, описывается положением и наклоном кумулятивного профиля риска. Кумулятивный интегральный, накопленный профиль риска, показывает кумулятивное вероятностное распределение чистой текущей стоимости NPV с точки зрения банкира, предпринимателя и экономиста на определенный проект. При сравнении нескольких одноцелевых проектов выбирается тот, у которого NPV больше при соблюдении сказанного в предыдущем предложении. Главная страница Библиотека управления Форум Каталог консалтинговых компаний Войти в личный кабинет Поиск компаний Семинары Новости и пресс-релизы Конференции Программы и видеокурсы Маркетинговые исследования Бизнес-планы Тендеры, закупки, торги. Финансовый анализ Менеджмент Маркетинг Бизнес-планирование Инвестиции и инвесторы Оценка Консалтинг Налоговое планирование и контроль Информационные технологии в управлении Программное обеспечение и корпоративные системы Компании, организации и их деятельность Антикризисные материалы Управленческий учет и аудит Полные архивы журналов Карта сайта. Metrika ; yaCounter
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны. Предложена методическая разработка темы с целью продемонстрировать насколько описываемый метод является мощным и универсальным инструментом для решения различных задач во многих областях знаний. Тема моделирования обычно изучается в школе на примере адекватного представления процессов например, движения по выбранным приближенным уравнениям. Статистическое моделирование, наоборот, не предполагает изначально знание математических связей и позволяет получить их на основе многократного наблюдения компьютерной генерации возможных событий в представленной модели. Изучение данного материала возможно, например, на занятиях по подготовке к олимпиадам по программированию. С этой целью выбрано часть задач, предложенных на олимпиадах по Ленинградской области. Подборка задач позволяет совместное изучение темы школьниками различных классов, имеет игровой и занимательный характер, рассматривает применение и характеристики метода с различных сторон. В ходе разбора задач указаны некоторые приемы программирования, проводится начальное знакомство с важными понятиями теории вероятности, неразрывно связанной с данным методом. Для освоения темы приводятся задачи для самостоятельного решения с указаниями к получению правильных ответов. Метод статистического моделирования или метод Монте-Карло назван так в честь столицы княжества Монако, известной своими многочисленными казино, в которых публика растрачивает или увеличивает свои доходы согласно законам распределения случайных величин. Все или почти все различные исходы с учетом, когда монета может упасть на ребро проявятся, если многократно рассмотреть случайное развитие одного и того же начального состояния смоделировать некоторое количество историй -- N. Это вероятностная сходимость, то есть чем больше историй, тем достоверней можно утверждать, что наш результат близок к истинному. Для задач с элементами неопределенности - а в реальном мире все задачи такие - это даже естественно. Таким образом, для увеличения точности результата на один порядок, требуется разыграть в раз больше историй. Данный способ, однако, мало приемлем для программирования. Как правило, при решении задач методом Монте-Карло используются процедуры, которые с помощью рекуррентных формул генерируют случайные числа, равномерно распределенные на промежутке [0, 1]. В Pascal для этого используется стандартная функция RANDOM. Для отладки программы бывает важно уметь воспроизвести псевдослучайные числа, а для генерации другой последовательности случайных чисел используется процедура RANDOMIZE. Очень полезным для понимания данного метода является моделирование игровых вероятностных ситуаций бросание монеты или кубика, блуждания. Три игрока с номерами 1, 2 и 3 , имеющие изначально X, Y и Z жетонов соответственно, играют в следующую игру. В каждом раунде каждый игрок ставит на кон один жетон. Затем бросают кубик, на котором цифры 4, 5, 6 заменены на 1, 2 и 3. При выпадении числа i игрок с номером i забирает с кона все три жетона. Игра заканчивается, когда кто-нибудь из игроков проигрывает все жетоны. Введем функцию f X, Y, Z , как среднюю длительность игры среднее количество раундов при заданных начальных капиталах X, Y, Z. Ваша задача состоит в том, чтобы определить эту функцию. Для этого необходимо смоделировать игру на компьютере, накопить экспериментальные результаты, проанализировать их, а затем выдвигать гипотезы о виде функции f, проверять их для разных входных значений, и, отбросив неподходящие, найти решение. Моделирование игры не вызывает трудности программа приведена ниже. Последний недостаток компенсируется тем, что с использованием данного метода вместе со значением может одновременно определяться и его погрешность по формулам:. Поэтому метод по праву называют порой прецизионным или точным в смысле, что известна точность рассчитываемых величин, и это может служить точкой отсчета для проверки программ, использующих другие приближенные методы. Иногда, чтобы избежать потери значащих цифр при суммировании, среднее значение определяется в программе после каждого испытания по формуле:. Метод Монте-Карло применяется для выбора наилучших стратегий в задачах, где присутствуют много случайных факторов. Игрок A выбирает комбинацию из цифр 0 и 1 длиной 3 знака например, Игрок B выбирает свою комбинацию отличную от игрока A. Подбрасывается монета и записываются результаты бросания например, Игра прекращается в тот момент, когда в последовательности цифр на конце возникает комбинация, выбранная A или B побеждает A или B соответственно. Парадокс заключается в том, что какую бы комбинацию цифр не выбрал игрок A, его соперник B может выбрать другую комбинацию, которая ему дает больше шансов на выигрыш. При решении задачи полученные результаты по пункту a не будут совпадать с данными из таблицы, так как число опытов ограничено, тем не менее, позволяют дать качественный ответ по пункту б. Метод Монте-Карло используется для определения вероятности наступления какого-либо события. Пусть дана ось с отмеченными на ней целочисленными точками. Сыщик ищет Чиполлино случайным образом, блуждая по соседним целочисленным точкам. Если он попадет в точку 0, то найдет Чиполлино, а если попадет в точку N, то свалится в пропасть. С какой вероятностью сыщик найдет Чиполлино? Чем больше мы проведем испытаний, тем точнее в идеале мы определяем численное значение вероятности. Очевидно, что вероятность P удовлетворяет условию: Смоделируйте многократный поиск сыщика из точки k, доля удачных попыток от общего их числа дает приближенную оценку искомой вероятности. На основании этой оценки сформулируйте простую формулу для нахождения вероятности события обозначим ее P 0 k , указанного в задаче. Игра ведется до тех пор, пока игрок не обанкротится или выиграет Nмонет. Последовательность испытаний, в которой каждое следующее испытание зависит только от исхода предыдущего, называется цепью Маркова. Метод Монте-Карло универсален и применим как для задач, в условиях которых присутствует элемент неопределенности, так и для полностью детерминированных задач. Иногда трудно найти алгоритм или функциональные зависимости для решения сложных задач, однако возможно переформулировать условие задачи таким образом, чтобы использовать для нахождения решения метод Монте-Карло. Найти площадь пересечения трех окружностей с заданными радиусами и координатами центров окружностей. Аналитические выкладки для определения площади пересечения достаточно сложны. Метод Монте-Карло позволяет приближенно вычислить площадь объем области, даже в том случае, когда имеется лишь возможностью определить, принадлежит ли точка данной области. Опишем квадрат около одной из окружностей например, меньшего радиуса. Будем случайным образом кидать точки в этот квадрат. Часть из них m попадет в область пересечения трех окружностей. Найти объем V их общей части. Фривольное условие задачи предполагает строгую формулировку: В таинственном мире бесконечных рядов. Количество их f N. Выберем случайные натуральные числа не превосходящие фиксированного достаточно большого числа N для числителя и знаменателя дроби. Строго говоря, мы должны доказать, что характер соотношения не изменится при увеличении числа N. Мы же будем это предполагать во всех задачах, так как математические критерии, гарантирующие сходимость решения, известны в редких случаях. Сходимость можно проверять для различного числа испытаний например, увеличивая в 10 раз. Свойство равномерного распределения случайных чисел на отрезке [0,1] означает, что вероятность попасть очередному числу, сгенерированному ДСЧ, в любой выбранный отрезок из [0,1] равна длине этого отрезка проверьте моделированием. Поэтому смоделировать событие обозначим его C , реализующееся с вероятностью P можно так: Если есть несколько независимых событий, то им следует сопоставить непересекающиеся отрезки с длинами, соответствующими вероятностям событий. Равномерность распределения точек по отрезку справедлива для большого числа сгенерированных случайных точек. Для k случайных точек получим совершенно иную картину распределения. На шахматную доску случайным образом бросают 64 зерна. Определить, как зерна по количеству распределятся в клетках. Пронумеруем клетки шахматной доски от 0 до Случайное попадание зерна на какую-либо клетку моделируем случайным выбором клетки с помощью датчика случайных чисел RANDOM В результате моделирования оказывается, что вероятнее всего: Генератор случайных чисел можно использовать для построения различных геометрических объектов. Приведем алгоритм построения простейшего лабиринта. Лабиринты служат основой многочисленных игровых программ и олимпиадных задач. На плоскости чертится прямоугольник, задающий границы лабиринта. Внутри прямоугольника выбирается точка координаты которой задаются случайным образом , не лежащая на ранее построенных границах. От точки в случайном направлении вправо, влево, вверх, вниз рисуется линия границы до пересечения с какой-либо другой линией. Чтобы проходы в лабиринте были одинаковой ширины, координаты точки задаются с заранее выбранным шагом например, на целочисленной сетке. Такой алгоритм построения не дает циклических путей в лабиринте и, следовательно, в нем всегда можно найти выход. Они предложили использовать стохастический подход дляаппроксимации многомерных интегралов в уравнениях переноса, возникших в связи с задачей о движении нейтрона в изотропной среде. Идея была развита Уламом, который, раскладывая пасьянсы во время выздоровления после болезни, задался вопросом, какова вероятность того, что пасьянс сложится. Вместо того, чтобы использовать обычные для подобных задач соображения комбинаторики, Улам предположил, что можно просто поставить эксперимент большое число раз и, подсчитав число удачных исходов, оценить вероятность. Он же предложил использовать компьютеры для расчётов методом Монте-Карло. Появление первых электронных компьютеров, которые могли с большой скоростью генерировать псевдослучайные числа, резко расширило круг задач, для решения которых стохастический подход оказался более эффективным, чем другие математические методы. После этого произошёл большой прорыв и метод Монте-Карло применялся во многих задачах, однако его использование не всегда было оправдано из-за большого количества вычислений, необходимых для получения ответа с заданной точностью. Название метода происходит от названия коммуны в княжестве Монако, широко известного своими многочисленными казино, поскольку именно рулетка является одним из самых широко известныхгенераторов случайных чисел. Основные заслуги в развитии метода в это время принадлежат сотрудникам лабораторий ВВС США и корпорации RAND. Одними из первых Метод Монте-Карло для расчёта ливней частиц применили советские физики А. В х годах в новой области математики -- теории вычислительной сложности было показано, что существует класс задач, сложность количество вычислений, необходимых для получения точного ответа которых растёт с размерностью задачи экспоненциально. Иногда можно, пожертвовав точностью, найти алгоритм, сложность которого растёт медленнее, но есть большое количество задач, для которого этого нельзя сделать например, задача определения объёма выпуклого тела вn-мерном евклидовом пространстве и метод Монте-Карло является единственной возможностью для получения достаточно точного ответа за приемлемое время. В настоящее время основные усилия исследователей направлены на создание эффективных Монте-Карло алгоритмов различных физических, химических и социальных процессов для параллельных вычислительных систем. Предположим, необходимо взять интеграл от некоторой функции. Воспользуемся неформальным геометрическим описаниеминтеграла и будем понимать его как площадь под графиком этой функции. Для определения этой площади можно воспользоваться одним из обычных численных методов интегрирования: Предположим, что для функции, представленной на рисунке 2, достаточно разбиения на 25 отрезков и, следовательно, вычисления 25 значений функции. Представим теперь, мы имеем дело с -мерной функцией. Тогда нам необходимо отрезков и столько же вычислений значения функции. При размерности функции больше 10 задача становится огромной. Поскольку пространства большой размерности встречаются, в частности, в задачах теории струн, а также многих других физических задачах, где имеются системы со многими степенями свободы, необходимо иметь метод решения, вычислительная сложность которого бы не столь сильно зависела от размерности. Именно таким свойством обладает метод Монте-Карло. Рассмотрим случайную величину , равномерно распределённую на отрезке интегрирования. Тогда также будет случайной величиной, причём еёматематическое ожидание выражается как. Но математическое ожидание случайной величины можно легко оценить, смоделировав эту случайную величину и посчитав выборочное среднее. Итак, бросаем точек, равномерно распределённых на , для каждой точки вычисляем. Затем вычисляем выборочное среднее:. Этот метод имеет и геометрическую интерпретацию. Для определения площади под графиком функции можно использовать следующий стохастический алгоритм:. Для малого числа измерений интегрируемой функции производительность Монте-Карло интегрирования гораздо ниже, чем производительность детерминированных методов. Тем не менее, в некоторых случаях, когда функция задана неявно, а необходимо определить область, заданную в виде сложных неравенств, стохастический метод может оказаться более предпочтительным. При том же количестве случайных точек, точность вычислений можно увеличить, приблизив область, ограничивающую искомую функцию, к самой функции. Для этого необходимо использовать случайные величины с распределением, форма которого максимально близка к форме интегрируемой функции. На этом основан один из методов улучшения сходимости в вычислениях методом Монте-Карло: Моделирование по методу Монте-Карло представляет собой автоматизированную математическую методику, предназначенную для учета риска в процессе количественного анализа и принятия решений. Эта методика применяется профессионалами в разных областях, таких как финансы, управление проектами, энергетика, производство, проектирование, НИОКР, страхование, нефтегазовая отрасль, транспорт и охрана окружающей среды. Каждый раз в процессе выбора направления дальнейших действий моделирование по методу Монте-Карло позволяет специалисту, принимающему решения, рассматривать целый спектр возможных последствий и оценивать вероятность их наступления. Этот метод демонстрирует возможности, лежащие на противоположных концах спектра результаты игры ва-банк и принятия наиболее консервативных мер , а также вероятные последствия умеренных решений. Впервые этим методом воспользовалась ученые, занимавшиеся разработкой атомной бомбы; его назвали в честь Монте-Карло -- курорта в Монако, известного своими казино. Получив распространение в годы Второй мировой войны, метод Монте-Карло стал применяться для моделирования всевозможных физических и теоретических систем. В рамках метода Монте-Карло анализ риска выполняется с помощью моделей возможных результатов. При создании таких моделей любой фактор, которому свойственна неопределенность, заменяется диапазоном значений -- распределением вероятностей. Затем выполняются многократные расчеты результатов, причем каждый раз используется другой набор случайных значений функций вероятности. Порой для завершения моделирования бывает необходимо произвести тысячи и даже десятки тысяч перерасчетов -- в зависимости от количества неопределенностей и установленных для них диапазонов. Моделирование по методу Монте-Карло позволяет получить распределения значений возможных последствий. При использовании распределений вероятностей переменные могут иметь разные вероятности наступления разных последствий. Распределения вероятностей представляют собой гораздо более реалистичный способ описания неопределенности переменных в процессе анализа риска. Ниже перечислены наиболее распространенные распределения вероятностей. Чтобы описать отклонение от среднего, пользователь определяет среднее или ожидаемое значение и стандартное отклонение. Значения, расположенные посредине, рядом со средним, характеризуются наиболее высокой вероятностью. Нормальное распределение симметрично и описывает множество обычных явлений -- например, рост людей. К примерам переменных, которые описываются нормальными распределениями, относятся темпы инфляции и цены на энергоносители. Значения имеют положительную асимметрию и в отличие от нормального распределения несимметричны. Такое распределение используется для отражения величин, которые не опускаются ниже нуля, но могут принимать неограниченные положительные значения. Примеры переменных, описываемых логнормальными распределениями, включают стоимость недвижимого имущества, цены на акции и нефтяные запасы. Все величины могут с равной вероятностью принимать то или иное значение, пользователь просто определяет минимум и максимум. К примерам переменных, которые могут иметь равномерное распределение, относятся производственные издержки или доходы от будущих продаж нового продукта. Пользователь определяет минимальное, наиболее вероятное и максимальное значения. Наибольшую вероятность имеют значения, расположенные возле точки максимальной вероятности. В число переменных, которые могут быть описаны треугольным распределением, входят продажи за минувший период в единицу времени и уровни запасов материальных оборотных средств. Пользователь определяет минимальное, наиболее вероятное и максимальное значения -- так же, как при треугольном распределении. Однако величины в диапазоне между наиболее вероятным и предельными значениями проявляются с большей вероятностью, чем при треугольном распределении, то есть отсутствует акцент на предельных значениях. Пример использования PERT-распределения -- описание продолжительности выполнения задачи в рамках модели управления проектом. Пользователь определяет конкретные значения из числа возможных, а также вероятность получения каждого из них. Примером может служить результат судебного процесса: При моделировании по методу Монте-Карло значения выбираются случайным образом из исходных распределений вероятности. Каждая выборка значений называется итерацией; полученный из выборки результат фиксируется. В процессе моделирования такая процедура выполняется сотни или тысячи раз, а итогом становится распределение вероятностей возможных последствий. Таким образом, моделирование по методу Монте-Карло дает гораздо более полное представление о возможных событиях. Оно позволяет судить не только о том, что может произойти, но и о том, какова вероятность такого исхода. Результаты демонстрируют не только возможные события, но и вероятность их наступления. Характер данных, получаемых при использовании метода Монте-Карло, позволяет создавать графики различных последствий, а также вероятностей их наступления. Это важно при передаче результатов другим заинтересованным лицам. За редким исключением детерминистский анализ затрудняет определение того, какая из переменных в наибольшей степени влияет на результаты. При проведении моделирования по методу Монте-Карло несложно увидеть, какие исходные данные оказывают наибольшее воздействие на конечные результаты. В детерминистских моделях очень сложно моделировать различные сочетания величин для различных исходных значений, и, следовательно, оценить воздействие по-настоящему отличающихся сценариев. Применяя метод Монте-Карло, аналитики могут точно определить, какие исходные данные приводят к тем или иным значениям, и проследить наступление определенных последствий. Это очень важно для проведения дальнейшего анализа. Метод Монте-Карло позволяет моделировать взаимозависимые отношения между исходными переменными. Для получения достоверных сведений необходимо представлять себе, в каких случаях при увеличении некоторых факторов соответствующим образом возрастают или снижаются другие. Связь стохастических процессов и дифференциальных уравнений. Алгоритм Бюффона для определения числа Пи. Геометрический алгоритм Монте-Карло интегрирования. Применение метода Монте-Карло в логистике. Алгоритм Метрополиса, квантовый метод Монте-Карло. Изучение особенностей метода статистического моделирования, известного в литературе под названием метода Монте-Карло, который дает возможность конструировать алгоритмы для ряда важных задач. Решение задачи линейного программирования графическим методом. Случайная выборка из генеральной совокупности. Определение адекватности принятой эконометрической модели. Линейная регрессионная модель вида. Система нормальных уравнений в матричной форме. Понятие имитационного моделирования, применение его в экономике. Этапы процесса построения математической модели сложной системы, критерии ее адекватности. Метод Монте-Карло - разновидность имитационного моделирования. Определение площади фигуры аналитическим методом с помощью вычисления определенного интеграла и методом статистических испытаний Монте-Карло. Построение графиков для наглядной демонстрации результатов эксперимента. Финансовый анализ инвестиционного проекта с использованием модулей "Анализ чувствительности", "Анализ по методу Монте-Карло" и "Анализ безубыточности" компьютерной имитирующей системы Project Expert 6 Holding. Стратегия формирования капитала проекта. Его преимущество и недостатки, области применения. Решение задач по оптимизации использования ресурсов, управлению запасами и системе массового обслуживания с помощью средств аналитического и имитационного моделирования. Построение имитационной модели технологического процесса методом Монте-Карло, ее исследование на адекватность. Оценка и прогнозирование выходных характеристик технологического процесса с помощью регрессионных моделей. Разработка карт контроля качества. Статистическая модель случайного процесса. Типы имитации, ее достоинства и возможности. Простая имитационная модель системы обработки документов. Использование для моделирования языка Siman. Его основные моделирующие блоки. Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т. PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах. Главная Библиотека "Revolution" Экономико-математическое моделирование Моделирование методом Монте-Карло. История рождения метода Монте-Карло. Особенности решения задач, построения алгоритмов и интегрирования, в условиях которых присутствует элемент неопределенности при помощи метода Монте-Карло. Геометрический алгоритм моделирования методом Монте-Карло. Общие сведения про метод Монте-Карло 1. Моделировании метода Монте-Карло 2. LongInt; x, y, z, j: Данная задача достаточно хорошо характеризует метод Монте-Карло, а именно: Идею метода - ожидаемый результат игры может быть оценен усреднением результатов большого числа игр это число так и называется - математическим ожиданием или средним значением. То есть результат приближенно равен числу , где x i - результат игры i, а N- число всех проведенных игр испытаний Достоинство метода - незнание a priori до опыта функциональных зависимостей исследуемой задачи в целом, выявление этих зависимостей a posteriori после опыта. Недостатки метода - неопределенное время расчета варианты примера 1 при больших числах X, Y, Z ; - приближенное вычисление результата. Последний недостаток компенсируется тем, что с использованием данного метода вместе со значением может одновременно определяться и его погрешность по формулам: При больших N формулу можно упростить: Иногда, чтобы избежать потери значащих цифр при суммировании, среднее значение определяется в программе после каждого испытания по формуле: При решении задачи полученные результаты по пункту a не будут совпадать с данными из таблицы, так как число опытов ограничено, тем не менее, позволяют дать качественный ответ по пункту б Метод Монте-Карло используется для определения вероятности наступления какого-либо события. Данную задачу можно решить точно, используя рекуррентную формулу: Integer; x, y, r, rr: Real; begin for j: LongInt; begin Randomize; FillChar Count, SizeOf Count , 0 ; for i: Построим лабиринт, используя приведенный выше алгоритм. Integer; x, y, n: Дальнейшее развитие и современность В х годах метод использовался для расчётов при разработке водородной бомбы. Численное интегрирование функции детерминистическим методом Предположим, необходимо взять интеграл от некоторой функции. Моделировании метода Монте-Карло Обычный алгоритм Монте-Карло интегрирования Предположим, требуется вычислить определённый интеграл Рассмотрим случайную величину , равномерно распределённую на отрезке интегрирования. Тогда также будет случайной величиной, причём еёматематическое ожидание выражается как где -- плотность распределения случайной величины , равная на участке. Таким образом, искомый интеграл выражается как. Затем вычисляем выборочное среднее: В итоге получаем оценку интеграла: Точность оценки зависит только от количества точек. Численное интегрирование функции методом Монте-Карло Для определения площади под графиком функции можно использовать следующий стохастический алгоритм: Использование выборки по значимости. Как выполняется моделирование по методу Монте-Карло В рамках метода Монте-Карло анализ риска выполняется с помощью моделей возможных результатов. Метод статистического моделирования метод Монте-Карло. Метод статистических испытаний Монте-Карло. Оценка запаса прочности бизнеса с использованием модулей "Анализ чувствительности", "Анализ по методу Монте-Карло" и "Анализ безубыточности". Методы определения параметров и характеристик случайных процессов. Имитационное моделирование производственных и технологических процессов. Имитационное моделирование экономических процессов. Другие документы, подобные "Моделирование методом Монте-Карло".
https://gist.github.com/50e1404da8889a9102b1e9b34e751950
https://gist.github.com/a0f996399afbad32361926048b1bdf30
https://gist.github.com/12d545e2e0045f9e823279389e560ac2