Абсолютная сходимость
05. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку
Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов
Для несобственных интегралов применимы формулы интегрирования по частям и замены переменной: Так, например, вычислим интеграл: Признаки сравнения для неотрицательных функций. В этом разделе мы будем предполагать, что все подынтегральные функции неотрицательны на всей области определения. До сих пор мы определяли сходимость интеграла, вычисляя его: При решении практических задач, однако, важно в первую очередь установить сам факт сходимости, и только затем вычислять интеграл к тому же первообразная часто не выражается через элементарные функции. Сформулируем и докажем ряд теорем, которые позволяют устанавливать сходимость и расходимость несобственных интегралов от неотрицательных функций, не вычисляя их. Пусть функции f x и g x интегрируемы по любому отрезку [ a , b ] и при удовлетворяют неравенствам. Монотонно возрастающая функция имеет конечный предел тогда и только тогда, когда она ограничена сверху. G b ограничена , F b ограничена, то есть сходится. Пусть расходится F b неограничена G b неограничена, то есть расходится. Исследовать на сходимость интегралы 5. Функция не имеет первообразной, выражающейся через элементарные функции, поэтому исследовать сходимость с помощью предельного перехода невозможно. При имеет место ; интеграл сходится сходится. При ; интеграл расходится расходится расходится. В качестве "стандартного" интеграла, с которым сравнивается данный, обычно берётся интеграл типа , часто называемый интегралом Дирихле. Здесь сравнить подынтегральную функцию с какой-либо степенью x невозможно, так как числитель - неограниченная функция, поэтому рассуждаем по-другому. При ln x - бесконечно большая низшего порядка по сравнению с любой положительной степенью x , поэтому ограниченная функция, поэтому , интеграл от большей функции сходится, следовательно, исходный интеграл тоже сходится; На всём промежутке интегрирования отбросив бесконечно большие низших порядков в числителе и знаменателе, мы увеличили числитель и уменьшили знаменатель ; интеграл сходится, поэтому исходный интеграл сходится. Понятно, что бесконечно большие низших порядков в числителе и знаменателе не влияют на сходимость интеграла; в то же время, отбросив их, мы уменьшим подынтегральную функцию, а из сходимости интеграла от меньшей функции не следует сходимость интеграла от большей функции. Абсолютная сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку. В предыдущем разделе рассматривались интегралы от знакоположительных знакопостоянных функций; мы убедились, что для таких несобственных интегралов существуют хорошие методы исследования их сходимости. Можно показать, что если сходится интеграл , то обязательно сходится интеграл идея доказательства: В последней сумме оба слагаемые - монотонно возрастающие с ростом b , ограниченные сверху, следовательно, имеющие конечный предел при. Отсюда следует, что имеет конечный предел и предыдущая сумма. Обратное утверждение неверно, то есть при сходимости интеграла интеграл может расходиться. Введём важное понятие абсолютной сходимости. Если сходится интеграл , то интеграл называется сходящимся абсолютно. Если сходится интеграл , а интеграл расходится, то интеграл называется сходящимся условно. Примеры исследования интегралов на абсолютную сходимость: Приведённые примеры показывают, что переход от к и применение к последнему интегралу методов исследования на сходимость несобственных интегралов от неотрицательных функций, в случае его сходимости, позволяет сделать вывод и о сходимости притом, абсолютной исходного интеграла. Если же интеграл от f x расходится, решение задач значительно усложняется. Докажем, что этот интеграл сходится. Интегрируем его по частям: Для последнего интеграла , то есть он сходится абсолютно, следовательно, исходный интеграл сходится. Докажем, что для исходного интеграла абсолютной сходимости нет, то есть что расходится. Так как , то , для последнего интеграла, по доказанному выше, существует конечный предел при , для предыдущего - нет, следовательно, расходится. Вывод - исходный интеграл сходится условно. Установить условную сходимость несобственного интеграла по бесконечному промежутку при отсутствии абсолютной сходимости позволяют два следующих признака: Применим, например, признак Дирихле к. Особенность на правом конце промежутка интегрирования. Пусть функция f x определена на полуинтервале [ a , b , интегрируема по любому отрезку , и имеет бесконечный предел при. Несобственным интегралом от f x по отрезку [ a , b ] называется предел. Если этот предел конечен, говорят, что интеграл сходится; если предел не существует или бесконечен, говорят, что интеграл расходится. Особенность во внутренней точке промежутка интегрирования. Пусть функция f x определена на отрезке [ a , b ] , имеет бесконечный предел при стремлении аргумента к какой-либо внутренней точке c этого отрезка: Несобственным интегралом от f x по отрезку [ a , b ] называется. Интеграл сходится, если оба эти пределы существуют и конечны, в противном случае интеграл расходится. Несколько особенностей на промежутке интегрирования. Этот случай сводится к предыдущим. Тогда несобственный интеграл определяется как. Решение с применением формулы Ньютона-Лейбница: Как и для несобственных интегралов первого рода, для интегралов второго рода вводится понятие абсолютной сходимости, позволяющее в ряде случаев свести исследование сходимости интегралов от произвольных функций к исследованию сходимости интегралов от неотрицательных функции, и рассматриваются признаки сравнения для таких интегралов. Ввиду того, что принципиальная сторона вопроса изучена на случае интегралов первого рода, кратко перечислим основные факты. Будем предполагать, что подынтегральная функция имеет особенность на левом конце промежутка интегрирования. Признак сравнения в предельной форме. Пусть неотрицательные функции f x и g x интегрируемы по любому отрезку и пусть существует конечный. Тогда несобственные интегралы и сходятся или расходятся одновременно. Сравнение интеграла со "стандартным" интегралом в предельной форме даёт правило: Так как при , и интеграл от большей функции сходится, то данный интеграл сходится; Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов от разрывных функций определяется аналогично тому, как это было сделано для несобственных интегралов по бесконечному промежутку Исследовать на сходимость интеграл: Так как , то исходный интеграл сходится абсолютно. При отсутствии абсолютной сходимости установить условную сходимость можно с помощью признаков Абеля и Дирихле:
27. Несобственные интегралы, критерий Коши сходимости несобственных интегралов. Признаки сходимости: признак сравнения, признаки Абеля и Дирихле.
До сих пор рассматривались интегралы от знакоположительных знакопостоянных функций. Теперь пусть подынтегральная функция таких ограничений не имеет, то есть может быть и знакочередующейся функцией. Если наряду с собственным интегралом по бесконечному промежутку Сходится и интеграл по этому же промежутку, то первый интеграл называется Абсолютно сходящимся. Если интеграл Сходится, а интеграл расходится, то первый интеграл называется Условно сходящимся. Исследовать на абсолютную сходимость интеграл: В начале исследуется данный интеграл вообще на сходимость, для чего проведем интегрированние по частям: Так как последний интеграл сходится, то по признаку сравнения сходится и интеграл , причем абсолютно. Исходный интеграл при этом является сходящимся кстати, сходимость этого можно определить быстрее с помощью признака сходимости Дирихле, который будет рассмотрен позже. Чтобы исследовать исходный интеграл на абсолютную сходимость, надо рассмотреть интеграл: Так как при , то имеем: Интеграл аналогично исходному интегралу сходится, а интеграл расходится; стало быть, и интеграл является расходящимся. При этом исходный интеграл является условно сходящимся. Установить условную сходимость интеграла: Установить абсолютную сходимость интеграла: Установить условную сходимость при отсутствии абсолютной сходимости в ряде случаев позволяет так называемый Признак сходимости Дирихле , в котором исследуется структура подынтегральной функции, если ее можно представить в виде произведения двух функций, а именно: А функция при непрерывно дифференцируема и монотонна, причем:. При выполнении условий, налагаемых на функции и интеграл. С помощью этого признака условную сходимость интеграла в примере 8 при отсутсвии абсолютной сходимости можно определить следующим образом:. Имеем интеграл , который не является абсолютно сходящимся. Представим подынтегральную функцию этого интеграла в виде произведения двух функций, то есть: Функция интегрируема и ограничена на бесконечном промежутке, так как: Поскольку все условия признака Дирихле Формулы 7 И 8 выполнены, то исследуемый интеграл сходится условно, ибо абсолютная сходимость этого интеграла места не имеет, что было показано в примере 8. Пусть , тогда ; если ; если ; итак, имеем: Поскольку все условия признака Дирихле формулы 7 и 8 выполнены, то исследуемый интеграл сходится. Исследуем интеграл на абсолютную сходимость, для чего рассмотрим интеграл. Интеграл сходится по признаку Дирихле, а интеграл расходящийся; стало быть, интеграл тоже расходящийся, при этом исследуемый интеграл сходится условно. Интеграл типа 9 можно исследовать на условную сходимость ещё и с помощью так называемого Признака сходимости Абеля , в котором так же исследуется структура подынтегральной функции, если её можно представить в виде произведения двух функций и , на которые теперь наклкдываются следующие ограничения: Сходится, а функция при непрерывно дифференциируема, монотонна и непрерывна, а потому имеет конечный предел, то есть:. Исследуемый интеграл представим следующим образом: Так как интеграл от функции по бесконечному промежутку сходится см. Характер сходимости исходного итеграла сходится условно или абсолютно определится после исследования данного интеграла на абсолютную сходимость, для чего надо исследовать интеграл: Так как , то. Интеграл сходится по признаку Дирихле, так как , а. Интеграл расходится, что можно установить по предельному признаку сравнения: Стало быть, интеграл тоже расходящийся. Теперь ясен и характер сходимости исходного интеграла: Исследовать характер сходимости интеграла: Так же решение контрольных, написание курсовых и рефератов по другим предметам. Решение контрольных по математике!!! Связаться с нами E-mail: Главное меню Главная Заказать контрольную Цены Оплата FAQ Отзывы клиентов Ссылки Примеры решений Методички по математике Помощь по другим предметам. Home Методички по математике Сходимость несобственных интегралов Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов по бесконечному промежутку До сих пор рассматривались интегралы от знакоположительных знакопостоянных функций. При выполнении условий, налагаемых на функции и интеграл 9 Сходится. С помощью этого признака условную сходимость интеграла в примере 8 при отсутсвии абсолютной сходимости можно определить следующим образом: Исследовать на абсолютную и условную сходимость интеграл: Сначала сделаем в исследуемом интеграле замену переменной: Установить условную сходимость интегралов Фронеля: При выполнении указанных условий 10 и 11 интеграл типа 9 сходится.
Новости новороссии 02 02 2017
Тесты по физике 9 класс волков
Сколько баллов надо на бюджет
Проблема оценки эффективности государственного управления
Настроить вай фай на сони иксперия