Современные особенности отличия учета основных средств в соответствии с РСБУ и МСФО
Глава 6. По сравнению с основным делом, которым занимался Берия в 30-е годы, право же, сущей мелочью выглядят какие-то коммунальные сплетни о том
Теория сравнений
Пусть — кольцо целых чисел, — фиксированное целое число и — множество всех целых чисел, кратных. Два целых числа а и b называют сравнимыми по модулю , если делит. Если а сравнимо с b по модулю , то это записывается так: Отношение сравнимости по модулю обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности, т. Следовательно, отношение сравнимости индуцирует разбиение множества Z целых чисел на классы эквивалентности, которые называются классами вычетов по модулю т. Отметим, что отношение сравнимости по модулю совпадает с отношением сравнимости по модулю Отношение сравнимости по модулю 0 совпадает с отношением равенства. Любые два целых числа сравнимы по модулю 1. Так как отношение сравнимости по модулю есть отношение эквивалентности на множестве Z, то классы эквивалентности, т. Любые два класса вычетов по модулю либо совпадают, либо не пересекаются. Объединение всех классов вычетов по модулю совпадает с множеством Z всех целых чисел. Пусть А и В — классы вычетов по модулю. Смежные классы, совпадают тогда и только тогда, когда СВОЙСТВО 1. Если А — класс вычетов по модулю — любой элемент из А, то. Числа сравнимы по модулю тогда и только тогда, когда при делении на они дают одинаковые остатки. Пусть при делении с остатком чисел а и b на получаются частные q и и остатки Предположим, что Вычитая из первого равенства второе, получим Если , то согласно определению сравнимости а — b делится на и поэтому. С другой стороны, если то в силу 1 делится на , т. Многие свойства сравнений аналогичны свойствам равенств. Сравнения можно почленно складывать и вычитать, т. Сравнения можно почленно перемножить, т. В частности, обе части сравнения можно умножить на одно и то же целое число. Обе части сравнения можно разделить на их общий множитель, если он взаимно простой с модулем. Если и число с взаимно простое с , то делит. Обе части сравнения и модуль можно разделить на их общий делитель. Если то делится на Следовательно, делится на , т. Пусть есть любой делитель числа т. Если то а Доказательство. Если то делится на. Так как — делитель , то делится на. КВАНТОРЫ Запись высказываний на языке логики предикатов. ЗАКОНЫ ЛОГИКИ Предикатные формулы. Основные свойства операций над множествами. Диаграммы Эйлера — Венна. ОТНОШЕНИЯ ПОРЯДКА Упорядоченное множество. БИНАРНЫЕ ОПЕРАЦИИ Виды бинарных операций. Подмножества, замкнутые относительно операций. Аддитивная и мультипликативная формы записи. КОЛЬЦА Простейшие свойства кольца. КОЛЬЦО ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ Естественное умножение в аддитивной группе целых чисел. Отношение делимости в кольце целых чисел. Геометрическое представление комплексных чисел. Корни n-й степени из произвольного комплексного числа. Базис конечной системы векторов. Ранг конечной системы векторов. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Равносильные системы линейных уравнений и элементарные преобразования системы. Равенство строчечного и столбцового рангов матрицы. Связь между решениями неоднородной линейной системы и решениями ассоциированной с ней однородной системы. Теоремы о следствиях системы линейных уравнений. Однородные системы линейных уравнений. Решение системы линейных уравнений методом последовательного исключения переменных. ОПЕРАЦИИ НАД МАТРИЦАМИ И ИХ СВОЙСТВА Транспонирование произведения матриц. ОБРАТИМЫЕ МАТРИЦЫ Элементарные матрицы. Запись и решение системы n линейных уравнений с n переменными в матричной форме. Необходимые и достаточные условия равенства нулю определителя. ПРАВИЛО КРАМЕРА Правило Крамера. Условия, при которых система n линейных однородных уравнений с n переменными имеет ненулевые решения. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Ортонормированный базис евклидова пространства. Операции над линейными отображениями. Связь между координатными столбцами вектора относительно различных базисов. Связь между матрицами линейного оператора относительно различных базисов. ЛИНЕЙНЫЕ АЛГЕБРЫ Алгебра линейных операторов векторного пространства Изоморфизм алгебры линейных операторов и полной матричной алгебры. ОБРАТИМЫЕ ОПЕРАТОРЫ Полная линейная группа. Линейные операторы с простым спектром. Условия, при которых матрица подобна диагональной матрице. Следствия однородной системы линейных неравенств. Критерий несовместности системы линейных неравенств. Неотрицательные решения системы линейных уравнений и системы линейных неравенств. Теорема двойственности для стандартных задач. Теорема двойственности для канонических задач. СИМПЛЕКС-МЕТОД Упражнения Глава десятая. ПОДГРУППЫ И СМЕЖНЫЕ КЛАССЫ Смежные классы. Разложение целых чисел на простые множители. Число и сумма натуральных делителей числа. Бесконечность множества простых чисел. АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА И КОНЕЧНЫЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ Конечные цепные дроби. Неравенства для функции Т х. Простые числа в арифметических прогрессиях. Теоремы Эйлера и Ферма. СРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ ПО ПРОСТОМУ МОДУЛЮ Сравнения первой степени. Сравнения высших степеней по простому модулю. Индексы по простому модулю. ФАКТОР-КОЛЬЦО Сравнения и классы вычетов по идеалу. Теорема об эпиморфизмах колец. КОЛЬЦА ГЛАВНЫХ ИДЕАЛОВ Простые и составные элементы области целостности. Факториальность кольца главных идеалов. КОЛЬЦО ПОЛИНОМОВ Теорема о существовании простого трансцендентного расширения коммутативного кольца. Деление полинома на двучлен и корни полинома. Теорема о наибольшем возможном числе корней полинома в области целостности. Алгебраическое и функциональное равенства полиномов. ПОЛИНОМЫ НАД ПОЛЕМ Алгоритм Евклида. Неприводимые над данным полем полиномы. Разложение полинома в произведение нормированных неприводимых множителей. Неприводимые кратные множители полинома. Нормальное представление полинома и степень полинома. Леммы о симметрических полиномах. Основная теорема о симметрических полиномах. Наименьшее значение модуля полинома. Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел. УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕЙ И ЧЕТВЕРТОЙ СТЕПЕНИ Исследование корней уравнения третьей степени с действительными коэффициентами. СРАВНЕНИЯ И ИХ СВОЙСТВА Сравнения в кольце целых чисел. Смежные классы, совпадают тогда и только тогда, когда.
Введение Методы теории сравнений широко применяются в различных областях науки, техники, экономики. Этот раздел алгебры занимает важное место в вузовском образовании математиков, физиков и других специалистов, однако очень часто изучается недостаточно глубоко. Задача данной курсовой работы — изучить теоретический материал и рассмотреть ряд основополагающих задач по одному из основных разделов теории чисел: Основная часть курсовой работы состоит из трех глав. В первой главе раскрываются основные понятия теории сравнений, такие как сравнения в кольце целых чисел, основные теоремы и свойства сравнений. Во второй главе рассматриваются сравнения первой степени с одной переменной. Далее рассматриваются сравнения высших степеней и системы сравнений первой степени. В приложении приводятся примеры решения текстовых задач, которые сводятся к неопределенным уравнениям первого порядка и решаются с помощью сравнений. Изложение теоретического материала иллюстрируется большим количеством примеров с подробными решениями. Понятие сравнения было введено впервые Гауссом. Несмотря на свою кажущуюся простоту, это понятие очень важно и имеет много приложений. Возьмем произвольное фиксированное натуральное число и будем рассматривать остатки при делении на m различных целых чисел. При рассмотрении свойств этих остатков и произведении операций над ними удобно ввести понятие так называемого сравнения по модулю. Целые числа и называются сравнимыми по модулю , если разность делится на , то есть если. Для краткости будем это соотношение между и записывать:. Число , стоящее под знаком модуля, будем всегда считать положительным, то есть запись будет означать, что. Если разность не делится на , то мы будем записывать:. Согласно определению, означает, что делится на. Теорема 1 признак сравнимости двух чисел по модулю. Два целых числа и сравнимы по модулю тогда и только тогда, когда и имеют одинаковые остатки при делении на. Пусть остатки при делении и на равны, то есть. Обратно, пусть это означает, что или. Разделим на ; получим Подставив в 1. Определим, сравнимы ли числа и по модулю. При делении и на получаются одинаковые остатки Следовательно,. Два или несколько чисел, дающие при делении на одинаковые остатки, называются равноостаточными или сравнимыми по модулю. Если и имеют одинаковые остатки при делении на , то остатки от деления и на также равны. Если остатки от деления на одинаковы у чисел и , а также у и , то и тоже имеют одинаковые остатки при делении на. Если и произвольное целое число, то. Если , то , , но тогда условие дает , то есть. Если и произвольное натуральное число, то. Если , где и произвольные натуральные числа, то. Если и , то. Тогда по транзитивности сравнений получим, что. Если , то при любом целом ,. Переход от сравнений , к сравнениям. Так как из сравнения следует , то из сравнений и следует также, что и. Если и произвольный многочлен с целыми коэффициентами, то. Если , то, согласно теоремам 7 и 11, имеем:. Если и многочлен с целыми коэффициентами, то. Любое слагаемое левой или правой части сравнения можно перенести с противоположным знаком в другую часть. Ввиду симметричности отношения сравнения достаточно рассмотреть случай, когда дано сравнение. Складывая это сравнение со сравнением , получаем. В левой и правой частях сравнения можно добавлять или отбрасывать одно и то же слагаемое. Если и , то есть , то, складывая эти сравнения, получаем. Аналогично из и получаем. Поскольку левую и правую части сравнения можно менять местами, утверждение верно и для слагаемых правой части. Из , в силу транзитивности отношения делимости получаем ,. Если , то множество общих делителей и совпадает с множеством общих делителей и. Если , то , , , любой общий делитель чисел и является общим делителем чисел и , и, наоборот, если и , то. Поскольку пара и пара имеют одни и те же общие делители, то и. Если , , то , где. Если , , то , то и, согласно свойствам наименьшего общего кратного,. Сравнением первой степени с одной переменной называется сравнение вида. Будем говорить, что целое число удовлетворяет сравнению 2. Обозначим через разность , то есть. А так как число удовлетворяет сравнению 2. Число решений сравнения по это число решений этого сравнения в какой-либо полной системе вычетов по модулю. Полная система наименьших неотрицательных вычетов по модулю 7: Если , то , следовательно, не удовлетворяет сравнению. Если , то , следовательно, удовлетворяет сравнению, а поэтому класс вычетов по является решением сравнения. Таким образом, сравнение имеет одно решение или, в другом виде,. Классы вычетов по mod Полная система наименьших по абсолютной величине вычетов по mod Проверим для каждого из этих чисел, будет ли выполнено условие. Получили, что ни одно из чисел, взятых из полной системы вычетов, не удовлетворяет сравнению, следовательно, данное сравнение не имеет решения. Предположим, что существует решение: Тогда удовлетворяет сравнению, то есть верное сравнение. Отбросив его, получим, что сравнение 2. Если и то сравнение не имеет решения. Пусть теперь , тогда будем иметь: Так как по определению НОД число , то из последнего сравнения получим:. Таким образом, полагая в 1 , что НОД , мы пришли к сравнению такого же вида, но с условием: Пусть дано сравнение 2. Так как НОД , то класс вычетов по mod m принадлежит мультипликативной группе классов вычетов, взаимно простых с mod m. Поэтому по свойству группы уравнение имеет единственное решение , где класс вычетов по mod m, взаимно простых с m. Значит, для , но тогда , отсюда. Обозначим через класс вычетов no mod m, тогда получим, что для следовательно, , a верное сравнение, то есть класс является решением сравнения 2. Это решение единственно, так как существует единственный класс. А так как данное сравнение имеет 1 решение, то остальные числа: Заметим, что для нахождения решения сравнения первой степени с одной переменной если оно есть существует несколько способов:. Если модуль m является простым числом, то есть , число не делится на , то сравнение имеет единственное решение. Следовательно, множество классов вычетов образует поле по отношению сложения и умножения классов вычетов. Вычислить остаток при делении на Сравнение для применения теоремы Эйлера сократим на 3 очевидно,. Так как , то по теореме Ферма показатель 99 можно уменьшить по модулю 4. Получаем, что из следует:. Умножаем на 3 обе части сравнения и модуль: Отсюда почленным сложением сравнений найдем: Затем, возводя в ю степень обе части сравнения, получаем. Сравнение рассмотрим отдельно по модулям 3 и 5 делители Так как и , то. Среди целых чисел от 0 до 14 возможные остатки при делении на 15 только 1, 6, 11 сравнимы с 1 по модулю 5. А среди этих трех только 1 сравнима с 1 по модулю 3, то есть. Число не делится на 3 первое слагаемое делится, а второе не делится и не делится на 5. Так как 3 и 5 есть простые числа, то с ними взаимно просто и взаимно просто с Разложить в цепную дробь. Проверить разложение, свернув цепную дробь последовательным вычислением подходящих дробей. Пусть обозначает элемент цепной дроби, ю подходящую дробь, подходящей дроби. Будем вычислять подходящие дроби по рекуррентной формуле. Сократите дробь , применяя алгоритм Евклида. Сколько натуральных чисел взаимно просто с и не превосходит это число? Найти все целочисленные решения уравнения. НОД и Тогда класс вычетов по модулю m является решением сравнения 2. Так как НОД , то сравнение имеет одно решение. Кроме того, Возьмем целое число , , тогда , следовательно, получим сравнение: Поэтому целое число удовлетворяет сравнению, а, значит, класс вычетов по модулю m является решением сравнения. НОД , поэтому сравнение имеет единственное решение. Найдем такое целое число k , чтобы делилось на 5. НОД , следовательно, сравнение имеет одно решение. Так как , то по теореме Эйлера имеет место сравнение где функция Эйлера. Выберем , тогда при подстановке его вместо в сравнение 2. Следовательно, удовлетворяет сравнению 2. Полная система наименьших по абсолютной величине вычетов по модулю Проверим, какое из этих чисел удовлетворяет сравнению, то есть. Это будет , так как. Найдем такое целое число , при котором. Сравнением n -й степени с одной переменной называется сравнение вида. Целое число удовлетворяет сравнению 3. Пусть дано сравнение 3. Тогда весь класс по mod m состоит из чисел, удовлетворяющих сравнению 3. Число удовлетворяет сравнению 3. Но тогда по свойству сравнений , поэтому по транзитивности получим, что , отсюда следует, что число удовлетворяет сравнению 3. А так как произвольное из , то, следовательно, весь класс вычетов по mod m состоит из чисел, удовлетворяющих сравнению 3. Если класс mod m является решением сравнения 3. Числом решений сравнения 3. Задача нахождения чисел, удовлетворяющих сравнению 3. Чтобы решить сравнение , можно. Удобнее брать полную систему наименьших по абсолютной величине вычетов по mod. Если сравнение имеет несколько решений , то эти решения можно записывать в виде то есть принимает любые значения, сравнимые с одним из чисел вместо записи. Сравнение не имеет решения. Задача нахождения решения сравнения проще, чем рассматриваемая в курсе алгебры задача нахождения решения уравнения. Так как решая уравнение в некотором бесконечном множестве R, С нельзя перебрать все числа. А решая сравнение , ищем решение в конечном кольце Z m классов вычетов по mod m. Следовательно, с помощью конечного числа операций можно найти все решения. Но надо заметить, что при больших m будут громоздкие вычисления, поэтому надо изучить способы, позволяющие определить число решений, а иногда и способы нахождения решения с помощью возможно меньшего числа операций. Пусть и многочлены с целыми коэффициентами и целое число удовлетворяет сравнению 3. Тогда весь класс вычетов mod m состоит из чисел, удовлетворяющих этому сравнению. Следовательно, число удовлетворяет сравнению 3. Таким образом, класс вычетов состоит из чисел, удовлетворяющих сравнению 3. Если и сравнения 3. Но степени их различны степень первого сравнения равна 1, степень второго — 3. Поэтому класс вычетов по модулю является решением сравнения. Возьмем целое число , взаимно простое с модулем: Умножим последнее сравнение почленно на , получим верное сравнение:. Обратно, если класс вычетов по модулю решение сравнения 3. Поэтому класс вычетов по модулю решение сравнения 3. Таким образом, сравнения 3. Пусть даны сравнения Тогда сравнения эквивалентны. Умножим почленно верные сравнения на некоторое целое число:. Следовательно, сравнения и эквивалентны. Заметим, из доказанной теоремы, в частности, следует, что сравнение заменится эквивалентным, если отбросить или добавить слагаемое с коэффициентами, делящимися на модуль. Переходя от сравнений 1-й степени к сравнениям более высоких степеней, целесообразно сначала рассмотреть тот случай, когда модуль — простое число. В этом случае имеется ряд весьма важных теорем, которые, вообще говоря, неверны для составных модулей. Вместе с тем теория сравнений по простому модулю является основой, на которой строится изучение сравнений по составному модулю. Во всей этой главе буквой будем обозначать модуль, представляющий собой простое число. Если , то сравнение. Рассмотрим сравнение 1-й степени ; поскольку то и сравнение имеет решение. Найдем число , удовлетворяющее этому сравнению, то есть такое, что. Тогда сравнение эквивалентно сравнению. Решаем сравнение и находим. Данное нам сравнение эквивалентно сравнению. Если и многочлены с целыми коэффициентами, то сравнения по простому модулю. Пусть удовлетворяет сравнению 3,15 , то есть. Поскольку при любом согласно теореме Ферма , то. Пользуясь той же теоремой Ферма, получаем, что если удовлетворяет сравнению 3,16 , то , и, таким образом, сравнения 3,15 и 3,16 эквивалентны. Сравнение по простому модулю , степень которого больше, чем этот модуль или равна ему, может быть заменено эквивалентным сравнением степени, меньшей. Пусть многочлен с целыми коэффициентами степени. При делении на , частное и остаток будут также многочленами с целыми коэффициентами:. Согласно предыдущей теореме, сравнения и эквивалентны. Сравнение заменить эквивалентным сравнением степени, меньшей чем 7. Мы получим эквивалентное сравнение, если заменим на , на , на. Таким образом, заданное сравнение эквивалентно сравнению. Если многочлены с целыми коэффициентами: Пусть решение сравнения 3. Поскольку все коэффициенты делятся на , будем также иметь , поэтому. Из сравнимости произведения с нулем по модулю следует, что по крайней мере один из этих множителей сравним с нулем по этому модулю, то есть решение по крайней мере одного из сравнений 3. В сравнении левую часть можно представить в виде , и мы находим все решения этого сравнения, решая сравнения: Все эти четыре класса удовлетворяют нашему сравнению. Сравнение степени по простому модулю с коэффициентом при старшем члене, не делящимся на , может иметь не больше чем решений. Утверждение теоремы верно при. Действительно, в этом случае мы имеем сравнение 1-й степени: Применим теперь для доказательства теоремы метод полной математической индукции. Предположим, что утверждение теоремы верно для всех многочленов — й степени со старшими коэффициентами, не делящимися на простой модуль. Возьмем теперь произвольный многочлен — й степени:. Если это сравнение не имеет ни одного решения, то число решений меньше чем. Если же это сравнение имеет решения, то возьмем любое число , удовлетворяющее ему, и разделим на. Согласно теореме Безу будем иметь:. Коэффициенты многочлена -й степени могут быть найдены по схеме Горнера и представляют собой целые числа, причем. Поскольку удовлетворяет сравнению 3. Сравнение имеет одно решение, а сравнение представляет собой сравнение — й степени по простому модулю с коэффициентом при старшем члене , не делящемся на , и, по предположению, может иметь не больше чем решений. Таким образом, сравнение 5 имеет не больше, чем , то есть не больше чем решений. Очевидно, что вместе с классом этому сравнению удовлетворяет и класс. Коэффициент при старшем члене не делится на простой модуль , поэтому сравнение не может иметь больше двух решений. Для составных модулей эта теорема неверна. Сравнение степени по составному модулю с коэффициентом при старшем члене, не делящемся на модуль или даже взаимно простом с модулем, может иметь больше чем решений. Например, сравнение имеет 4 решения: Если сравнение степени по простому модулю имеет больше чем решений, то все коэффициенты сравнения делятся на. Возьмем любое простое число. Если сравнение имеет больше чем одно решение, то , то есть. Таким образом, при теорема верна. Предположим, что утверждение теоремы верно для многочленов степени, меньшей чем , то есть предположим, что число решений сравнения степени, меньшей чем , может превосходить степень сравнения только тогда, когда все коэффициенты делятся на модуль. Возьмем любое сравнение степени:. В таком сравнении делится на , а тогда сравнение. Поскольку уже раньше было установлено, что , утверждение теоремы верно для. Согласно принципу математической индукции справедливость теоремы доказана. Пусть многочлен с целыми коэффициентами и свободным членом , где простое число, причем. Сравнение имеет решений тогда и только тогда, когда все коэффициенты остатка от деления на кратны. Пусть , где и многочлены с целыми коэффициентами, причем степень меньше чем. Пусть коэффициенты делятся на. Обозначим через и соответственно число решений сравнений. Сравнение по теореме Ферма имеет решений. Каждое из этих решений является решением хотя бы одного из сравнений: Поскольку при этом , получаем , то есть из делимости коэффициентов на следует, что число решений сравнения 3. Если решение сравнения 3. Таким образом, каждое из решений сравнения 3. Следовательно, все коэффициенты делятся на. Сравнению удовлетворяют классы и. Имеет ли это сравнение еще одно решение? Делим на , находим: Некоторые из рассмотренных нами теорем можно легко обобщить на случай сравнений с несколькими неизвестными вида:. Если в левой части сравнения 3. Если среди слагаемых есть член вида. Если где , то в показателе для можно отбросить и получить эквивалентное сравнение, в котором слагаемое будет заменено на Проделав такие операции для всех слагаемых по отношению к каждому из неизвестных, входящему с показателем , получим сравнение, эквивалентное первоначальному, в котором степень по отношению к каждому неизвестному будет не больше чем. Если сравнение степень которого по каждому неизвестному меньше чем , удовлетворяется при всех целых , то все коэффициенты многочлена делятся на. Проведем индукцию по числу неизвестных. При утверждение теоремы верно. Предположим, что утверждение теоремы верно при , и возьмем произвольное тождественное сравнение , степень которого по каждому неизвестному меньше чем. Если наибольший показатель степени неизвестного , то сравнение можно представить в виде:. Если вместо подставить любые целые числа, то получим тождественное сравнение с неизвестной степени. Все коэффициенты этого сравнения: Поскольку согласно предположению для многочленов от аргументов утверждение теоремы верно, все коэффициенты этих многочленов, а следовательно, и многочлена должны делиться на. Согласно принципу полной математической индукции утверждение теоремы верно для любого числа аргументов. Систему сравнений первой степени с одним и тем же неизвестным, но с разными модулями, запишем в общем виде так:. Общий способ способ последовательного решения состоит в том, что сначала находится из первого сравнения, где — наименьший неотрицательный или абсолютно наименьший вычет по модулю и берется класс чисел. Затем это значение подставляется во второе сравнение, что дает. В результате получается значение в виде класса чисел, удовлетворяющих первым двум сравнениям системы. Дальше это значение подставляется в третье сравнение системы, так же находится , затем находится и подставляется в четвертое сравнение системы и т. Заметим, что можно идти и несколько иным путем: Если окажется, что хотя бы одно из сравнений системы 4. Если для сравнений системы 4. Сравнения этой системы можно решить относительно и свести решение системы 4. Если в системе 4. Этим способом можно решать и систему 4. Поэтому класс вычетов является решением системы. Можно записать этот класс иначе: Итак, данная система сравнений имеет решение. В работе изложены основы теории сравнений. Задача данной курсовой работы разработка учебного пособия, которое содержит достаточный теоретический и практический материал. В данной работе достаточно полно изложены основные моменты теории, они иллюстрируются примерами, которые позволяют глубже понять рассматриваемые вопросы. Материал курсовой работы может быть использован как при изучении соответствующего курса теории чисел, так и для спецкурсов по алгебре, в частности, для тех специальностей, на которых нет курса теории чисел, уже на младших курсах обучения. Приведенный список литературы позволяет при необходимости рассмотреть некоторые более сложные моменты теории сравнений и их приложений. Алгебра и теория чисел: Практические занятия по алгебре и теории чисел. Задачник-практикум по теории чисел. Все материалы в разделе "Математика". В работе приводится список литературы по теме. Возьмем произвольное фиксированное натуральное число. Признаки сравнения для сходимости числовых рядов. Образное сравнение в научно-популярном лингвистическом тексте. Учение Михала Калецкого -
Как на границе растаможить авто
Таблица нормативов по русскому жиму
Можно ли убрать растяжки с помощью спорта
Правила оформления схем цифровых устройств
Как вернуть часы на панель задач