Число T в этом случае является периодом функции. Например, функция имеет период , периодом функции является. Каждое слагаемое тригонометрического ряда является периодической функцией периода так как - имеет любой. Пусть тригонометрический ряд равномерно сходится на отрезке следовательно, и на любом отрезке и его сумма равна. Для определения коэффициентов этого ряда воспользуемся следующими равенствами:. Учитывая это, получим, что сумма равномерно сходящегося на отрезке тригонометрического ряда — непрерывная функция на всей числовой оси. В частности, равномерная сходимость на отрезке данного тригонометрического ряда не нарушится, если все члены ряда умножить на или на. В результате почленного интегрирования равномерно сходящегося ряда 4. Аналогично, умножая равенство 4. Достаточные признаки разложимости функции в ряд Фурье. Напомним, что точку x o разрыва функции f x называют точкой разрыва первого рода, если существуют конечные пределы справа и слева функции f x в окрестности точки. Если функция f x имеет период и на отрезке непрерывна или имеет конечное число точек разрыва первого рода и, кроме того, отрезок можно разбить на конечное число отрезков так, что внутри каждого из них f x монотонна, то ряд Фурье для функции f x сходится при всех значениях x. Причём в точках непрерывности функции f x его сумма равна f x , а в точках разрыва функции f x его сумма равна , то есть среднему арифметическому предельных значений слева и справа. Кроме того, ряд Фурье для функции f x сходится равномерно на любом отрезке, который вместе со своими концами принадлежит интервалу непрерывности функции f x. Функция f x удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье, поэтому можно записать:. Заметим, что произведение двух чётных или двух нечётных функций — чётная функция, а произведение чётной функции на нечётную функцию — нечётная функция. Пусть теперь f x — чётная периодическая функция с периодом , удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье. Тогда, используя вышеуказанное свойство интегралов, получим:. Таким образом, ряд Фурье для чётной функции содержит только чётные функции — косинусы и записывается так:. Рассуждая аналогично, получаем, что если f x — нечётная периодическая функция, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, то, следовательно, ряд Фурье для функции нечётной содержит только нечётные функции — синусы и записывается следующим образом:. Так как заданная нечетная функция f x удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье, то. Подберём а так, чтобы период функции f at был равен , то есть , откуда. Тогда подстановка сжатие или растяжение по оси ОХ приводит к. Это функция удовлетворяет условиям разложимости в ряд Фурье, так как она кусочно-гладкая или кусочно-монотонная на отрезке. Пусть f x — чётная, кусочно-монотонная или кусочно-гладкая функция на отрезке [ -l, l ], тогда её можно разложить на этом отрезке в ряд Фурье. Если f x — нечётная функция, кусочно-монотонная или кусочно-гладкая на отрезке [ -l, l ] , то. При этом коэффициенты ряда определяются формулами 4. Следует заметить, что все сделанные раньше замечания относительно разложения в ряд Фурье функции f x , заданной на отрезке [ интервале ], остаются справедливыми и для функции f x , заданной на отрезке [интервале -l, l ]. Аналогично всё сказанное о разложении функции на отрезке [ интервале ], переносится на отрезок [ интервале ]. Функция f x — нечётная, удовлетворяющая условиям разложимости в ряд Фурье, поэтому на основании формул 4. Сдача сессии и защита диплома - страшная бессонница, которая потом кажется страшным сном. Идеи производственно-потребительских общин великих социалистов-утопистов: Фурье Интеграл Фурье Интеграл Фурье Интеграл Фурье для четной или нечетной функции Комплексная форма интеграла Фурье Комплексная форма ряда Фурье Основные теоретические сведения. При воздействии на цепь сигналов произвольной формы широко используется спектральный частотный метод анализа электрических цепей Пример выделения сезонной волны с использованием рядов Фурье Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций Ряд Фурье. Интеграл Фурье Сходимость ряда Фурье. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Тригонометрическим рядом называется ряд вида: Каждое слагаемое тригонометрического ряда является периодической функцией периода так как - имеет любой период, а период равен , а значит, и. Для определения коэффициентов этого ряда воспользуемся следующими равенствами:
Приведем примеры разложения функций в ряды Фурье. Периодическая функция f х с периодом определена следующим образом: Эта функция кусочно монотонная и ограниченная рис. Следовательно, она допускает разложение в ряд Фурье. В каждой точке разрыва сумма ряда равна среднему арифметическому ее пределов справа и слева, т. Периодическая функция с периодом оцределена следующим образом: Эта функция тоже кусочно монотонна и ограничена на отрезке. Определим ее коэффициенты Фурье: И Таким образом, получаем ряд Этот ряд сходится во всех точках, сумма равна данной функции. Периодическая с периодом функция определена следующим образом; Эта функция рис; кусочно монотонна и ограничена на отрезке Вычислим ее коэффициенты Фурье: Следовательно, для рассматриваемой функции, ряд Фурье имеет вид Это равенство справедливо во всех точках кроме точек разрыва. Периодическая с периодом функция определена следующим образом; см. Значит, ряд Фурье данной функции имеет вид Так как функция кусочно монотонна, ограничена и непрерывна, то это равенство выполняется во всех точках. Периодическая с периодом функция f х определена следующим образом: Таким образом, ряд Фурье будет иметь вид В точках разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому ее пределов справа и слева т. Уравнение движения тела при сопротивлении среды, пропорциональном скорости. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными. Некоторые типы дифференциальных уравнений второго порядка, приводимых к уравнениям первого порядка. Понятие о теории устойчивости Ляпунова. Разностный метод приближенного решения дифференциальных уравнений, основанный на применении формулы Тейлора.. Приближенный метод интегрирования систем дифференциальных уравнений первого порядка Упражнения к главе XIII ГЛАВА XIV. Вычисление интегралов, зависящих от параметра Упражнения к главе XIV ГЛАВА XV. Некоторые его применения Упражнения к главе XV ГЛАВА XVI. Доказательство существования решения дифференциального уравнения. Теорема единственности решения дифференциального уравнения Упражнения к главе XVI ГЛАВА XVII. Понятие о линейном функциональном пространстве. Аналогия между разложением функций в ряд Фурье и разложением векторов Упражнения к главе XVII ГЛАВА XVIII. Вывод уравнения колебаний струны. Уравнение распространения тепла в стержне. Задачи, приводящие к исследованию решений уравнения Лапласа. Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах. Решение задачи Дирихле методом конечных разностей Упражнения к главе XVIII ГЛАВА XIX. Изображение функции с измененным масштабом независимой переменной. Дифференциальные уравнения механических колебаний. Дельта-функция и ее изображение Упражнения к главе XIX ГЛАВА XX. Относительная частота случайного события. Плотность распределения непрерывной случайной величины. Функция распределения, или интегральный закон распределения. Вероятность попадания значения случайной величины в заданный интервал. Выражение нормального закона распределения через срединное отклонение. Определение параметров закона распределения. Теорема Лапласа Упражнения к главе XX ГЛАВА XXI. Примеры разложения функций в ряды Фурье Приведем примеры разложения функций в ряды Фурье. Таким образом, получаем ряд Это равенство имеет место во всех точках, кроме точек разрыва. Таким образом, получаем ряд Этот ряд сходится во всех точках, сумма равна данной функции. Периодическая с периодом функция определена следующим образом;. Таким образом, ряд Фурье будет иметь вид. В точках разрыва функции сумма ряда равна среднему арифметическому ее пределов справа и слева т.
https://gist.github.com/eb7897885c04549578d0e84a39965ba8
https://gist.github.com/b4233b1c938714f7e7eba224b5cda54d
https://gist.github.com/061d68171896802015176eb85fcf83cc