Что такое степень числа Возведение в степень отрицательного числа Порядок действий в примерах со степенями
Калькулятор степеней онлайн
Как возводить в дробную степень?
В продолжение разговора про степень числа логично разобраться с нахождением значения степени. Этот процесс получил название возведение в степень. В этой статье мы как раз изучим, как выполняется возведение в степень, при этом затронем все возможные показатели степени — натуральный, целый, рациональный и иррациональный. И по традиции подробно рассмотрим решения примеров возведения чисел в различные степени. Начать следует с объяснения, что называют возведением в степень. Возведение в степень — это нахождение значения степени числа. Таким образом, нахождение значение степени числа a с показателем r и возведение числа a в степень r — это одно и то же. Теперь можно переходить непосредственно к правилам, по которым выполняется возведение в степень. По определению степень числа a с натуральным показателем n равна произведению n множителей, каждый из которых равен a , то есть,. Таким образом, чтобы возвести число a в степень n нужно вычислить произведение вида. Отсюда ясно, что возведение в натуральную степень базируется на умении выполнять умножение чисел, а этот материал охвачен в статье умножение действительных чисел. Рассмотрим решения нескольких примеров. Осталось лишь выполнить умножение целых чисел: Данная степень равна произведению вида. Вспомнив, как выполняется умножение смешанных чисел , заканчиваем возведение в степень: Что касается возведения в натуральную степень иррациональных чисел, то его проводят после предварительного округления основания степени до некоторого разряда, позволяющего получить значение с заданной степенью точности. Например, пусть нам требуется возвести число пи в квадрат. Если округлить число пи до сотых, то получим , а если взять , то возведение в степень даст. Здесь стоит сказать, что во многих задачах нет необходимости возводить в степень иррациональные числа. Обычно ответ записывается либо в виде самой степени, например, , либо по возможности проводится преобразование выражения: В заключение этого пункта отдельно остановимся на возведении в первую степень. Здесь достаточно знать, что число a в первой степени — это есть само число a , то есть,. Возведение в целую степень удобно рассматривать для трех случаев: Так как множество целых положительных чисел совпадает со множеством натуральных чисел, то возведение в целую положительную степень есть возведение в натуральную степень. А этот процесс мы рассмотрели в предыдущем пункте. Переходим к возведению в нулевую степень. Таким образом, возведение любого отличного от нуля действительного числа в нулевую степень дает единицу. Чтобы закончить с возведением в целую степень, осталось разобраться со случаями целых отрицательных показателей. В знаменателе этой дроби находится степень с целым положительным показателем, значение которой мы умеем находить. Осталось лишь рассмотреть несколько примеров возведения в целую отрицательную степень. По определению степени с целым отрицательным показателем имеем. Значение степени в знаменателе легко находится: Найдем его значение, выполнив умножение десятичных дробей столбиком: Запишем полученное число в виде обыкновенной дроби, умножив числитель и знаменатель полученной дроби на 10 при необходимости смотрите преобразование дробей , имеем. Минус первая степень числа a равна числу, обратному числу a. Возведение числа в дробную степень базируется на определении степени с дробным показателем. Известно, что , где a — любое положительное число, m — целое, а n — натуральное число. На практике равенство на основании свойств корней обычно применяется в виде. По определению степени с дробным показателем. Вычисляем значение степени под знаком корня, после чего извлекаем кубический корень: По определению степени с дробным показателем и на основании свойств корней справедливы равенства. Теперь извлекаем корень , наконец, возводим в целую степень. Очевидно, что полученные результаты возведения в дробную степень совпадают. Отметим, что дробный показатель степени может быть записан в виде десятичной дроби или смешанного числа, в этих случаях его следует заменить соответствующей обыкновенной дробью, после чего выполнять возведение в степень. Запишем показатель степени в виде обыкновенной дроби при необходимости смотрите статью перевод десятичных дробей в обыкновенные: Теперь выполняем возведение в дробную степень: Следует также сказать, что возведение чисел в рациональные степени является достаточно трудоемким процессом особенно когда в числителе и знаменателе дробного показателя степени находятся достаточно большие числа , который обычно проводится с использованием вычислительной техники. В заключение этого пункта остановимся на возведении числа нуль в дробную степень. Дробной степени нуля вида мы придали следующий смысл: Итак, нуль в дробной положительной степени равен нулю, например,. А нуль в дробной отрицательной степени не имеет смысла, к примеру, не имеют смысла выражения и 0 -4,3. Иногда возникает необходимость узнать значение степени числа с иррациональным показателем. При этом в практических целях обычно достаточно получить значение степени с точностью до некоторого знака. Сразу отметим, что это значение на практике вычисляется с помощью электронной вычислительной техники, так как возведение в иррациональную степень вручную требует большого количества громоздких вычислений. Но все же опишем в общих чертах суть действий. Чтобы получить приближенное значение степени числа a с иррациональным показателем , берется некоторое десятичное приближение показателя степени , и вычисляется значение степени. Это значение и является приближенным значением степени числа a с иррациональным показателем. Чем более точное десятичное приближение числа будет взято изначально, тем более точное значение степени будет получено в итоге. В качестве примера вычислим приближенное значение степени 2 1, Возьмем следующее десятичное приближение иррационального показателя: Таким образом, 2 1, Если взять более точное десятичное приближение иррационального показателя степени, например, , то получим более точное значение исходной степени: Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www. Степень, ее свойства, возведение в степень Возведение в степень, правила, примеры. Возведение числа в натуральную степень. Возведение в целую степень. Возведение числа в дробную степень. Возведение в иррациональную степень. На этом возведение в степень завершено. Покажем два способа решения. МатематикаЖ учебник для 5 кл. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений. Математика пособие для поступающих в техникумы.
В заметке описаны четыре простейших алгоритма возведения в целую степень: На этих примерах проиллюстрированы основные методы доказательства корректности алгоритма: Дан краткий обзор материалов по множественному возведению в степень, описаны некоторые приложения темы в олимпиадных задачах. Алгоритмы приведены на языке Python. На выбор Python в качестве языка-иллюстратора есть, по крайней мере, три причины:. Для рекурсивной реализации это также нетрудно доказать. А ведь в криптографии приходится иметь дело с числами длиной в сотни и иногда даже тысячи битов, поэтому данный алгоритм для возведения в столь большие степени абсолютно неприменим. В олимпиадных задачах тысячебитная степень вряд ли встретится, но вот степень с восемнадцатью нулями вполне возможна. Поэтому у нас есть все причины перейти к следующему алгоритму. Осталось показать, что он возвратит правильный результат. У нас есть асимптотическая оценка сложности алгоритма, но мы также можем посчитать точное количество умножений. Сначала, как и выше, проведём неформальный анализ. С учётом этого замечания получаем:. Просматривать их можно слева направо, а можно справа налево. Соответственно получаем две версии алгоритма. Иногда их называют бинарным алгоритмом возведения в степень слева направо или справа налево. Обычно рассматривается один из методов, а второй предлагается в качестве упражнения. Но мы рассмотрим оба. Иногда это позволяет существенно сэкономить время, затрачиваемое на умножение. Например, в тестах простоты встречается ситуация степени с малым основанием и большим показателем. Доказательство будем проводить методом инварианта: Значит, инвариант после завершения текущего шага сохраняется. При этом на каждом шаге с единицей мы производим умножение. Соответственно имеет смысл искать кратчайшую аддитивную цепь, потому что она минимизирует количество умножений. Доказано, что задача нахождения оптимальной аддитивной цепи является NP-полной. Кроме того, существуют эвристические алгоритмы поиска цепей. Обзор аддитивных цепей имеется у Дональда Кнута во втором томе той самой книги. К сожалению, я не нашёл материалов по этой теме на русском языке. Handbook of Applied Cryptography Menezes, van Oorschot, Vanstone, глава 14, раздел 6. A Survey of Fast Exponentiation Methods Daniel M. Algorithms for multi-exponentiation Bodo Moller. Improved Techniques for Fast Exponentiation Bodo Moller. Handbook of Elliptic and Hyperelliptic Curve Cryptography Cohen et al. Чтобы предотвратить переполнение при умножении, заметим, что умножение по модулю — это то же возведение в степень, только в аддитивной терминологии,. Различий будет ровно два: Теперь проблема переполнения перенеслась на сложение, дав нам больше пространства для манёвра. Приведённый ниже алгоритм также демонстрирует один из возможных способов обработки случая отрицательных показателей степени. Как известно, критерием обратимости элемента в кольцах вычетов является его взаимная простота с модулем. Отмечу, что приведённая реализация хотя и является достаточно эффективной для олимпиадных задач, всё же допускает много оптимизаций. Одна из них — ускорение модулярного умножения, например, с помощью алгоритма Монтгомери. Применение в олимпиадных задачах Применение в олимпиадных задачах Линейные рекуррентные соотношения Возведение в степень матриц может использоваться для быстрого решения линейных рекуррентных соотношений. Более того, эффективного детерминированного алгоритма для этой задачи пока не известно. Верно и обратное утверждение: На этом наблюдении основан вероятностный тест простоты, называемый тестом Ферма. Поэтому основной вопрос состоит в следующем: Одним из известнейших приложений алгоритмов возведения в степень является протокол Диффи-Хеллмана. Предположим, что Алиса и Боб хотят иметь общий секрет. О нём знают они двое и знают злоумышленники, прослушивающие канал связи. Вот тут и начинается магия. Очень интересная и полезная публикация. В том числе и я. Остальные два легко можно сопроводить кодом. Так и не понял, в чём были ошибки — вроде бы набрал точно тот же код LaTeX. Но теперь отображается нормально. Добавлены коды решений в предпоследние два раздела. Поскольку решения громоздкие, я добавил ссылки на Ideone. Вот только не видно дополнительных вкладок. Текст в них совпадает с текстом фона. Я попробовал погуглить, как это исправить: Засчитано, как по мне это существенно превышает размер обычной творческой задачи, поэтому 50 баллов. Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться. Мечникова Menu Skip to content. Additional Tasks SQL CGI GOOGLE Charts API SVG Word of the Week Где кончается арифметика? Перегрузка операций, наследование и все в кучу О нас Вопросы. Регистрация Войти RSS записей RSS комментариев WordPress. Mazurok Software developer AI Scientist Ass. Можно возводить в степень числа, перестановки, матрицы, многочлены… Любой из приведённых ниже алгоритмов пригоден для всех указанных случаев, если соответствующим образом реализовать оператор умножения. Множественное возведение в степень. Handbook of Applied Cryptography Menezes, van Oorschot, Vanstone, глава 14, раздел 6 A Survey of Fast Exponentiation Methods Daniel M. Bernstein Handbook of Elliptic and Hyperelliptic Curve Cryptography Cohen et al. Модулярное возведение в степень. Модулярное возведение в степень В языке Python реализована длинная арифметика: Применение в олимпиадных задачах. Применение в олимпиадных задачах Линейные рекуррентные соотношения Возведение в степень матриц может использоваться для быстрого решения линейных рекуррентных соотношений. Теорема Ферма гарантирует следующие характеристики алгоритма: Нажмите, чтобы поделиться на Twitter Открывается в новом окне Нажмите здесь, чтобы поделиться контентом на Facebook. Картинки-ссылки также исправлены Войдите, чтобы ответить. Мазурок Игорь Евгеньевич says: Антоненко Александр Сергеевич says: Добавить комментарий Отменить ответ Для отправки комментария вам необходимо авторизоваться. Мышка и зернышки e-olymp Простая задачка Шарика e-olymp Максимальный подпалиндром e-olymp Деление Гольдбаха Вычисление математических выражений e-olymp Обрезка строки e-olymp Оптимальное умножение матриц e-olymp Новый Лабиринт Амбера Универсальное дерево отрезков Монстр Код Хаффмана Просто RSQ Душевая кабина Черная пятница Ровно 20 простых делителей Вывод чисел в обратном порядке Числа Фибоначчи Совершенные числа Лабиринт e-olymp Поиск набора образцов e-olymp Статическая сложность e-olymp Химические реакции e-olymp Путёвки Интересная последовательность e-olymp Счастливые билеты e-olymp Банкомат Возведение в целую степень А А A А e-olimp Обход в глубину e-olimp Range Variation Query I. Кратчайший путь e-olimp ГАС Очередь e-olimp Сортировка очередями e-olimp Конденсация графа e-olimp Дек неограниченного размера как список деков Какой треугольник? Покупка воды e-olimp Proudly powered by WordPress Theme: Рекурсивная реализация def pow a , n: Итеративная реализация def pow a , n: Царев Николай Александрович Швандт Максим Альбертович Ковальський Олександр Дмитрович Нарусевич Никита Мирославович 7. Макогон Владимир Сакович 1.
Общепризнанные принципы и нормы международного трудового права
Тотал вар арена новости
Пословица о любви к родине
Сигнализация starline а6 инструкция по эксплуатации
Сколько стоит установить колодец для воды