Реферат: Система линейных уравнений
Способы решения систем линейных уравнений
Методы решения систем линейных уравнений
Многие теоретические и практические вопросы приводят не к одному уравнению, а к целой системе уравнений с несколькими неизвестными. Особенно важен случай системы линейных уравнений , то есть системы m уравнений 1ой степени с n неизвестными:. Здесь x1, …, xn — неизвестные, а коэффициенты записаны так, что индексы при них указывают на номер уравнения и номер неизвестного. Значение систем 1-й степени определяется не только тем, что они простейшие. На практике часто имеют дело с заведомо малыми величинами, старшими степенями которых можно пренебречь, так что уравнения с такими величинами сводятся в первом приближении к линейным. Не менее важно, что решение систем линейных уравнений составляет существенную часть при численном решении разнообразных прикладных задач. Способы решения систем линейных уравнений — очень интересная и важная тема. Системы уравнений и методы их решения рассматриваются в школьном курсе математики, но недостаточно широко. А для того, чтобы перейти к исследованию данной темы, также нужно было познакомиться с темой матриц и определителей. Этот же материал вообще в школьной программе не изучается. В процессе знакомства с данной работой приобретаются навыки, с помощью которых в последующем решение систем линейных уравнений станет намного проще, понятнее и быстрее. Цель моей работы заключается в том, чтобы изучить различные способы решения систем линейных уравнений для применения их на практике. Как видно из структуры системы 1 , в общем случае число неизвестных не обязательно должно быть равно числу уравнений самой системы. Числа а11, а12, …, а mn называются коэффициентами системы , а b 1 , b 2 , …, bm — её свободными членами. Первый индекс коэффициентов а ij соответствует номеру уравнения, а второй индекс — номеру неизвестной х i , при которой коэффициент поставлен. Индекс свободного члена bi соответствует номеру уравнения, в которое входит bi. Дадим определения некоторых понятий, необходимых при изучении системы уравнений. Система уравнений называется совместной , если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной , если не имеет решений. Совместная система уравнений называется определенной , если она имеет одно единственное решение, и неопределенной , если она имеет по крайней мере два различных решения. Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными , если они имеют одно и тоже множество решений. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Определителем системы 2 называется определитель, составленный из коэффициентов а ij. Докажем, что в этом случае система 2 является определенной, то есть имеет одно единственное решение. Свободный член уравнения 3 отличается от коэффициента при х 1 тем, что коэффициенты а1 i , а2 i , …, а ni заменены свободными членами b 1 , b 2 , …, bn уравнения 2. Рассмотренный метод решения системы уравнений называется правилом Крамера , а формулы 4 — формулами Крамера. Однородная система п линейных уравнений, с n неизвестными. Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю. Система линейных уравнений называется однородной, если все входящие в нее уравнения являются линейными однородными уравнениями. Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что однородная система линейных уравнений 5 имеет нулевое решение:. Поэтому важно выяснить, при каких условиях она является определенной. Покажем, что однородная система п линейных уравнений с п неизвестными имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель ее равен нулю. Так как однородная система уравнений является частным случаем неоднородной системы, то к ней применимо правило Крамера. Поэтому система, равносильная системе 3 , будет иметь вид. Более удобным является так называемый метод Гаусса. Он применим и в более общем случае системы линейных уравнений, т. Требуется найти все решения системы уравнений 6. Будем производить над системой элементарные преобразования: Очевидно, что если мы проделаем над уравнениями системы 6 любое из приведенных выше преобразований, то получим систему, равносильную исходной. При необходимости систему 6 будем подвергать еще одному виду преобразований — перенумерации переменных и уравнений. Идея этого преобразования заключается в следующем. Если, например, возникает необходимость, чтобы в каком-то уравнении системы например, в k - м неизвестная x 1 стояла на первом месте, то в результате перенумерации соответствующее уравнение запишется в виде. Пусть теперь система 6 не содержит уравнений вида 7 или 8. Это значит, что в каждом уравнении системы хотя бы один из коэффициентов отличен от нуля. Пусть a 11 в противном случае, применив элементарные преобразования, мы сможем добиться, чтобы первый коэффициент первого уравнения был отличен от нуля. Оставив первое уравнение без изменения, исключим из всех уравнений системы 6 , начиная со второго, неизвестную х1. В результате этих преобразований мы получим равносильную систему. Заметим, что в системе 9 число уравнений может быть и меньше m , так как среди них могут оказаться уравнения вида 7 , которые, как мы условились ранее, можно отбросить. В результате получим систему. Может оказаться, что в процессе преобразования на каком-то шаге в полученной системе окажется уравнение вида 8. В этом случае система 7 не имеет решений. Предположим теперь, что среди уравнений полученной системы нет уравнения вида 8. Тогда для решения системы 6 необходимо решить систему 9 , что не составляет особого труда. Рассмотрим два возможных случая. Подставив это значение в предпоследнее уравнение системы 7 , имеющее вид. Подставив это значение неизвестной в предпоследнее уравнение системы 10 , найдем выражение для неизвестной хk-1, и т. В результате указанная система уравнений 6 приводится к виду. Им можно придать различные значения и затем из системы 6 найти значения неизвестных х1, х2, …, х k. Заметим, что если в процессе приведения системы 6 к системе 11 была произведена перенумерация неизвестных, то в системе 11 необходимо вернуться к их первоначальной нумерации. На практике процесс решения системы уравнений облегчается тем, что указанным выше преобразованиям подвергают не саму систему, а матрицу, составленную из коэффициентов уравнений системы 6 и их свободных членов. При этом каждому элементарному преобразованию, проведенному над системой 6 , соответствует преобразование над матрицей Как уже было отмечено, под общей системой линейных уравнений мы понимаем систему 2 в которой число неизвестных необязательно совпадает с числом уравнений. Пусть дана общая система линейных уравнений 2 и требуется установить признак существования решения этой системы, то есть условия, при которых система 2 является совместной. Для того чтобы система 2 линейных неоднородных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы был равен рангу ее основной матрицы. Пусть система 2 совместна и c 1 , c2 , Тогда имеют место равенства:. Согласно предложению 2, последний столбец матрицы В может быть вычеркнут без изменения ее ранга. При этом мы из матрицы В получим матрицу А. Таким образом, если ci, cz , Покажем, что при этом система уравнений 2 совместна. Рассмотрим r базисных столбцов матрицы А. Очевидно, что они будут базисными столбцами и матрицы В. Согласно теореме о базисных строках и столбцах, последний столбец матрицы В можно представить как линейную комбинацию базисных столбцов, а следовательно, и как линейную комбинацию всех столбцов матрицы А, то есть где c 1 , c 2 ,. Доказанная теорема совместности системы линейных уравнений называется теоремой Кронекера — Капелли. Ранг основной матрицы этой системы равен 2, так как существует отличный от нуля минор второго порядка этой матрицы, а все миноры третьего порядка равны нулю. Ранг расширенной матрицы этой системы равен 3, так как существует отличный от нуля минор третьего порядка этой матрицы. Согласно критерию Кронекера — Капелли система несовместна, то есть не имеет решений. Используя критерий Кронекера — Капелли, проведем исследование системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными x и y: В этом случае каждое уравнение этой системы в отдельности определяет прямую на плоскости, где задана система координат xOy. Это дает возможность придать геометрический характер дальнейшим рассуждениям при исследовании системы В данной работе я изучила пути решения систем линейных уравнений наиболее простые и быстрые, также весь материал я исследовала не только теоретически, но и практически, приводя некоторые примеры в тексте. ГДЗ Билеты Дипломные работы Доклады Изложения Книги Контрольные работы Курсовые работы Лабораторные работы Научные работы Отчеты по практике Рефераты Сочинения Статьи Учебные пособия Шпаргалки. Система линейных уравнений Содержание Введение 1. Однородная система п линейных уравнений, с n неизвестными 4. Метод Гаусса решения общей системы с линейных уравнений 5. Критерий совместности общей системы линейных уравнений Заключение Список литературы Введение Многие теоретические и практические вопросы приводят не к одному уравнению, а к целой системе уравнений с несколькими неизвестными. Особенно важен случай системы линейных уравнений , то есть системы m уравнений 1ой степени с n неизвестными: Основные понятия В самом общем случае система линейных уравнений имеет следующий вид: Правило Крамера Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными: Однородная система п линейных уравнений, с n неизвестными Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю. Однородная система п линейных уравнений с п неизвестными имеет вид: Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что однородная система линейных уравнений 5 имеет нулевое решение: Таким образом, однородная система линейных уравнений 5 всегда совместна. Итак, пусть дана система, содержащая m линейных уравнений с п неизвестными: Критерий совместности общей системы линейных уравнений Как уже было отмечено, под общей системой линейных уравнений мы понимаем систему 2 в которой число неизвестных необязательно совпадает с числом уравнений. Тогда имеют место равенства: Имеют место следующие утверждения. Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными Справедливы и обратные утверждения. Это дает возможность придать геометрический характер дальнейшим рассуждениям при исследовании системы 13 Теорема 2. Сначала докажем достаточность условий. Теперь докажем необходимость условий. Доказательство проведём методом от противного. Заключение В данной работе я изучила пути решения систем линейных уравнений наиболее простые и быстрые, также весь материал я исследовала не только теоретически, но и практически, приводя некоторые примеры в тексте. Теория матриц издание третье.
Как начать тему для разговора с девушкой
Gsm сигнализация сторож
Красноярск ачинск расписание
Слабая полоскана тестена беременность фото
Как пишется характеристика на сотрудника образец
Схема зарядного устройства для аккумулятора на lm317
Бои на двоих играть
Ажурные носки крючком схемы
К 23 февраля презентации
Проблема алкоголизма в литературных произведениях
Open source data science platform net
Майские праздники 2017 сколько отдыхаем
Скачать физрук на телефон mp4
Расписание автобуса 13а в туле
Как удалить аккаунт почты на андроиде