Момент инерции материальной точки и твердого тела
Момент инерции
Момент инерции материальной точки и твердого тела
Моментом инерции тела системы относительно данной оси Oz или осевым моментом инерции называется скалярная величина, разная сумме произведений масс всех точек тела системы на квадраты их расстояний от этой оси: Из определения следует, что момент инерции тела или системы относительно любой оси является величиной положительной и не равной нулю. В дальнейшем будет показано, что осевой момент инерции играет при вращательном движении тела такую же роль, какую масса при поступательном, т. Согласно формуле 2 момент инерции тела равен сумме моментов инерции всех его частей относительно той же оси. Для одной материальной точки, находящейся на расстоянии h от оси,. Единицей измерения момента инерции в СИ будет 1 кг в системе МКГСС —. Для вычисления осевых моментов инерции можно расстояния точек от осей выражать через координаты этих точек например, квадрат расстояния от оси Ох будет и т. Тогда моменты инерции относительно осей будут определяться формулами: Часто в ходе расчетов пользуются понятием радиуса инерции. Радиусом инерции тела относительно оси называется линейная величина определяемая равенством где М — масса тела. Из определения следует, что радиус инерцни геометрически равен расстоянию от оси той точки, в которой надо сосредоточить массу всего тела, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего тела. Зная радиус инерции, можно по формуле 4 найти момент инерции тела и наоборот. Формулы 2 и 3 справедливы как для твердого тела, так и для любой системы материальных точек. В случае сплошного тела, разбивая его на элементарные части, найдем, что в пределе сумма, стоящая в равенстве 2 , обратится в интеграл. В результате, учитывая, что где — плотность, а V — объем, получим Интеграл здесь распространяется на весь объем V тела, а плотность и расстояние h зависят от координат точек тела. Аналогично формулы 3 для сплошных тел примут вид Формулами 5 и 5 удобно пользоваться при вычислении моментов инерции однородных тел правильной формы. При этом плотность будет постоянной и выйдет из-под знака интеграла. Найдем моменты инерции некоторых однородных тел. Тонкий однородный стержень длиной l и массой М. Вычислим его момент инерции относительно оси перпендикулярной стержню и проходящей через его конец А рис. Направим вдоль АВ координатную ось Тогда для любого элементарного отрезка длины d величина , а масса , где — масса единицы длины стержня. В результате формула 5 дает Заменяя здесь его значением, найдем окончательно 2. Тонкое круглое однородное кольцо радиусом R и массой М. Найдем его момент инерции относительно оси перпендикулярной плоскости кольца и проходящей через его центр С рис. Круглая однородная пластина или цилиндр радиусом R и массой М. Вычислим момент инерции круглой пластины относительно оси перпендикулярной пластине и проходящей через ее центр см. Для этого выделим элементарное кольцо радиусом и шириной рис. Площадь этого кольца , а масса где — масса единицы площади пластины. Тогда по формуле 7 для выделенного элементарного кольца будет а для всей пластину Заменяя здесь его значением, найдем окончательно Такая же формула получится, очевидно, и для момента инерции однородного круглого цилиндра массой М и радиусом R относительно его оси рис. Прямоугольная пластина, конус, шар. Опуская выкладки, приведем формулы, определяющие моменты инерции следующих тел читатель может получить их самостоятельно, а также найти эти и другие формулы в различных справочниках: Моменты инерции неоднородных тел и тел сложной конфигурации можно определять экспериментально с помощью соответствующих приборов. АБСОЛЮТНО ТВЕРДОЕ ТЕЛО; СИЛА. СВЯЗИ И ИХ РЕАКЦИИ Глава II. ПРОЕКЦИЯ СИЛЫ НА ОСЬ И НА ПЛОСКОСТЬ. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ СТАТИКИ Глава III. РАСЧЕТ ПЛОСКИХ ФЕРМ Глава VI. ТРЕНИЕ КАЧЕНИЯ Глава VII. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Глава XIV. ВИНТОВОЕ ДВИЖЕНИЕ Раздел третий. ДИНАМИКА ТОЧКИ Глава XV. ОСНОВНЫЕ ВИДЫ СИЛ Глава XVI. МЕСТНЫЕ СИСТЕМЫ ОТСЧЕТА Раздел четвертый. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Глава XXIII. ДВИЖЕНИЕ РАКЕТЫ Глава XXIV. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ДИНАМИКИ Глава XXIX. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ Глава XXX. МАЛЫЕ СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ Глава XXXI. РАДИУС ИНЕРЦИИ Моментом инерции тела системы относительно данной оси Oz или осевым моментом инерции называется скалярная величина, разная сумме произведений масс всех точек тела системы на квадраты их расстояний от этой оси: В результате формула 5 дает. Заменяя здесь его значением, найдем окончательно 2. Тогда по формуле 7 для выделенного элементарного кольца будет а для всей пластину Заменяя здесь его значением, найдем окончательно. Такая же формула получится, очевидно, и для момента инерции однородного круглого цилиндра массой М и радиусом R относительно его оси рис.
Характеризуется распределением масс в теле: Единица измерения в Международной системе единиц СИ: Осевой момент инерции тела J a является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то. Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит от массы , формы и размеров тела, а также и от положения тела по отношению к этой оси. Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобьём тонкостенный цилиндр на элементы с массой dm и моментами инерции dJ i. Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула 1 преобразуется к виду. Разобьём его на тонкие кольца толщиной dr. Масса и момент инерции тонкого кольца радиуса r составит. Разобьём конус на тонкие диски толщиной dh , перпендикулярные оси конуса. Радиус такого диска равен. Масса и момент инерции такого диска составят. Разобьём шар на тонкие диски толщиной dh , перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте h от центра сферы, найдём по формуле. Для вывода воспользуемся формулой момента инерции однородного шара радиуса R:. Разобьём стержень на малые фрагменты длиной dr. Масса и момент инерции такого фрагмента равна. По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен. Большое значение для исследований внутренней структуры планет и их спутников имеют их безразмерные моменты инерции. Безразмерный момент инерции тела радиуса r и массы m равен отношению его момента инерции относительно оси вращения к моменту инерции материальной точки той же массы относительно неподвижной оси вращения, расположенной на расстоянии r равному mr 2. Эта величина отражает распределение массы по глубине. Одним из методов её измерения у планет и спутников является определение доплеровского смещения радиосигнала, передаваемого АМС , пролетающей около данной планеты или спутника. Например, у Луны безразмерный момент инерции близок к 0,4 равен 0, , поэтому предполагают, что она относительно однородна, её плотность с глубиной меняется мало. Безразмерный момент инерции Земли меньше, чем у однородного шара равен 0, , что является аргументом в пользу существования у неё плотного ядра [5] [6]. Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины [1] [7]:. Ось OX называется главной осью инерции тела , если центробежные моменты инерции J xy и J xz одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке O тела, называются главными моментами инерции данного тела [7]. Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции [7]. Геометрический момент инерции объёма относительно оси — геометрическая характеристика тела, выражаемая формулой [8]:. Геометрический момент инерции площади относительно оси — геометрическая характеристика тела, выражаемая формулой [8]:. В строительных расчетах, литературе и сортаментах металлопроката часто указывается в см 4. Через геометрический момент инерции площади выражается момент сопротивления сечения:. Здесь r max — максимальное расстояние от поверхности до оси. Моментом инерции твёрдого тела относительно некоторой плоскости называют скалярную величину, равную сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от этой точки до рассматриваемой плоскости [9]. Центральный момент инерции можно выразить через главные осевые моменты инерции, а также через моменты инерции относительно плоскостей [9]:. Выбором соответствующей системы координат матрица тензора инерции может быть приведена к диагональному виду. В собственном базисе координатные оси направлены вдоль главных осей тензора инерции, а также совпадают с главными полуосями эллипсоида тензора инерции. Выражение 1 в собственной системе координат имеет вид: Расстояние от центра эллипсоида до некоторой его точки связано со значением момента инерции тела вдоль прямой, проходящей через центр эллипсоида и эту точку:. Материал из Википедии — свободной энциклопедии. Для вывода воспользуемся формулой момента инерции однородного шара радиуса R: Безразмерные моменты инерции планет и их спутников [2] [3] [4]. Действительно, у первого из этих цилиндров масса в среднем сосредоточена дальше от оси, чем у второго, поэтому и момент инерции этого цилиндра должен быть больше, чем у сплошного. С другой стороны, в пределе при стремлении r 1 к r 2 формула для полого толстостенного цилиндра должна приобрести тот же вид, что и формула для полого тонкостенного цилиндра. Большая Российская энциклопедия , Journal of Geophysical Research Физика Земли и планет. Краткий курс теоретической механики. Основной курс теоретической механики. Эта статья входит в число добротных статей русскоязычного раздела Википедии. Физические величины по алфавиту Классическая механика. Страницы, использующие волшебные ссылки ISBN Страницы, использующие волшебные ссылки PMID Википедия: Добротные статьи по алфавиту. Навигация Персональные инструменты Вы не представились системе Обсуждение Вклад Создать учётную запись Войти. Пространства имён Статья Обсуждение. Просмотры Читать Править Править вики-текст История. В других проектах Викисклад. Эта страница последний раз была отредактирована 4 июня в Текст доступен по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike ; в отдельных случаях могут действовать дополнительные условия. Свяжитесь с нами Политика конфиденциальности Описание Википедии Отказ от ответственности Разработчики Соглашение о cookie Мобильная версия. Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса r и массы m. Сплошной цилиндр или диск радиуса r и массы m. Полый толстостенный цилиндр массы m с внешним радиусом r 2 и внутренним радиусом r 1. Сплошной цилиндр длины l , радиуса r и массы m. Полый тонкостенный цилиндр кольцо длины l , радиуса r и массы m. Прямой тонкий стержень длины l и массы m. Тонкостенная сфера радиуса r и массы m. Шар радиуса r и массы m. Конус радиуса r и массы m. Равнобедренный треугольник с высотой h , основанием a и массой m. Правильный треугольник со стороной a и массой m. Квадрат со стороной a и массой m. Прямоугольник со сторонами a и b и массой m. Правильный n-угольник радиуса r и массой m. Момент инерции на Викискладе.
Момент инерции
Формы и методы эмпирического познания
Сколько ходитьс дренажами
Как самим сделать майонез видео
Бюстгальтеры милавица каталог
Серия стихия огня
Где заказать дешевые шторы