Элементы комбинаторики
Сколькими способами можно рассадить 5 человек на 6 местах?
Сколькими способами можно разделить 16 одинаковых кубиков между четырьмя детьми? Та же задача, но если каждый должен получить не менее двух кубиков?
Высшая математика — просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: Наш форум и библиотека: Не нашлось нужной задачи? Задайте вопрос на форуме! Высшая математика для чайников, или с чего начать? Векторы для чайников Скалярное произведение векторов Линейная не зависимость векторов. Базис векторов Переход к новому базису Векторное и смешанное произведение векторов Формулы деления отрезка в данном отношении Прямая на плоскости Простейшие задачи с прямой на плоскости Линейные неравенства Как научиться решать задачи по аналитической геометрии? Эллипс Гипербола и парабола Задачи с линиями 2-го порядка Как привести уравнение л. Полярные координаты Как построить линию в полярной системе координат? Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида. Множества и действия над ними Основы математической логики Формулы и законы логики Уравнения высшей математики Комплексные числа Выражения, уравнения и с-мы с комплексными числами Действия с матрицами Как вычислить определитель? Свойства определителя и понижение его порядка Как найти обратную матрицу? Матричные выражения Матричные уравнения Как решить систему линейных уравнений? Матричный метод решения системы Метод Гаусса для чайников Несовместные системы и системы с общим решением Как найти ранг матрицы? Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы. Примеры решений Замечательные пределы Методы решения пределов Бесконечно малые функции. Эквивалентности Правила Лопиталя Сложные пределы Пределы последовательностей Пределы по Коши. Примеры решений Логарифмическая производная Производные неявной, параметрической функций Простейшие задачи с производной Производные высших порядков Что такое производная? Производная по определению Как найти уравнение нормали? Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных. Графики и свойства элементарных функций Как построить график функции с помощью преобразований? Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи. Область определения функции двух переменных. Линии уровня Основные поверхности Предел функции 2 переменных Повторные пределы Непрерывность функции 2п Частные производные Частные производные функции трёх переменных Производные сложных функций нескольких переменных Как проверить, удовлетворяет ли функция уравнению? Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов. Примеры решений Метод замены переменной в неопределенном интеграле Интегрирование по частям Интегралы от тригонометрических функций Интегрирование дробей Интегралы от дробно-рациональных функций Интегрирование иррациональных функций Сложные интегралы Определенный интеграл Как вычислить площадь с помощью определенного интеграла? Теория для чайников Объем тела вращения Несобственные интегралы Эффективные методы решения определенных и несобственных интегралов S в полярных координатах S и V, если линия задана в параметрическом виде Длина дуги кривой S поверхности вращения Приближенные вычисления определенных интегралов Метод прямоугольников. Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты. Ряды для чайников Как найти сумму ряда? Признаки Коши Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница Ряды повышенной сложности. Степенные ряды Разложение функций в степенные ряды Сумма степенного ряда Равномерная сходимость Другие функциональные ряды Приближенные вычисления с помощью рядов Вычисление интеграла разложением функции в ряд Как найти частное решение ДУ приближённо с помощью ряда? Вычисление пределов Ряды Фурье. Двойные интегралы Как вычислить двойной интеграл? Примеры решений Двойные интегралы в полярных координатах Как найти центр тяжести плоской фигуры? Тройные интегралы Как вычислить произвольный тройной интеграл? Криволинейные интегралы Интеграл по замкнутому контуру Формула Грина. Работа силы Поверхностные интегралы. Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса. Примеры решений типовых задач комплексного анализа Как найти функцию комплексной переменной? Решение ДУ методом операционного исчисления Как решить систему ДУ операционным методом? Основы теории вероятностей Задачи по комбинаторике Задачи на классическое определение вероятности Геометрическая вероятность Задачи на теоремы сложения и умножения вероятностей Зависимые события Формула полной вероятности и формулы Байеса Независимые испытания и формула Бернулли Локальная и интегральная теоремы Лапласа Статистическая вероятность Случайные величины. Математическое ожидание Дисперсия дискретной случайной величины Функция распределения Геометрическое распределение Биномиальное распределение Распределение Пуассона Гипергеометрическое распределение вероятностей Непрерывная случайная величина, функции F x и f x Как вычислить математическое ожидание и дисперсию НСВ? Равномерное распределение Показательное распределение Нормальное распределение. Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, сообщите мне об этом. Заказать контрольную Часто задаваемые вопросы Гостевая книга. Авторские работы на заказ. По высшей математике и физике. На данном уроке мы коснёмся элементов комбинаторики , которые потребуются для дальнейшего изучения теории вероятностей. Следует отметить, что комбинаторика является самостоятельным разделом высшей математики а не частью тервера и по данной дисциплине написаны увесистые учебники, содержание которых, порой, ничуть не легче абстрактной алгебры. Однако нам будет достаточно небольшой доли теоретических знаний, и в данной статье я постараюсь в доступной форме разобрать основы темы с типовыми комбинаторными задачами. А многие из вас мне помогут ;-. В узком смысле комбинаторика — это подсчёт различных комбинаций, которые можно составить из некоторого множества дискретных объектов. Под объектами понимаются какие-либо обособленные предметы или живые существа — люди, звери, грибы, растения, насекомые и т. При этом комбинаторику совершенно не волнует, что множество состоит из тарелки манной каши, паяльника и болотной лягушки. Принципиально важно, что эти объекты поддаются перечислению — их три дискретность и существенно то, что среди них нет одинаковых. С множеством разобрались, теперь о комбинациях. Самыми распространёнными видами комбинаций являются перестановки объектов, их выборка из множества сочетание и распределение размещение. Давайте прямо сейчас посмотрим, как это происходит:. Не пугайтесь малопонятных терминов, тем более, некоторые из них действительно не очень удачны. Это значит, что в данном параграфе будут рассматриваться множества, которые состоят из различных объектов. Выкладываем фрукты слева направо в следующем порядке:. Хорошо, здесь не составило особого труда перечислить все возможные случаи, но как быть, если предметов больше? Уже с четырьмя различными фруктами количество комбинаций значительно возрастёт! Формальный подсчёт проводится по формуле количества сочетаний: Количество комбинаций легко проверить по той же формуле: Кстати, формула количества сочетаний сохраняет смысл и для пустой выборки: Читатели, внимательно изучившие вводный урок по теории вероятностей , уже кое о чём догадались. Для того чтобы раздать два фрукта, сначала нужно их выбрать. Но комбинаций сейчас будет в два раза больше. Рассмотрим, например, первую пару фруктов: В данном случае работает формула количества размещений: Так, в рассмотренном примере, важно не только то, что можно просто выбрать, например, грушу и банан, но и то, как они будут распределены размещены между Дашей и Наташей. В простейших случаях можно пересчитать все возможные комбинации вручную, но чаще всего это становится неподъемной задачей, именно поэтому и нужно понимать смысл формул. Количество всех возможных перестановок выражается формулой. Обратите внимание, что здесь не имеет значения круглый ли стол, квадратный, или вообще все люди сели встали, легли на скамейку вдоль одной стены — важно лишь количество объектов и их взаимное расположение. Помимо перестановок людей, часто встречается задача о перестановках различных книг на полке, но это было бы слишком просто даже для чайника:. Для того чтобы составить четырёхзначное число нужно задействовать все четыре карточки цифры на которых различны! Хорошенько подумайте над задачей! Вообще, это характерная черта комбинаторных и вероятностных задач — в них НУЖНО ДУМАТЬ. И зачастую думать по-житейски, как, например, в разборе вступительного примера с фруктами. Нет, конечно, я не призываю тупо прорабатывать другие разделы математики, однако должен заметить, что те же интегралы можно научиться решать чисто механически. В учебниках обычно даётся лаконичное и не очень понятное определение сочетаний, поэтому, в моих устах формулировка будет не особо рациональной, но, надеюсь, доходчивой:. Иными словами, отдельно взятое сочетание — это уникальная выборка из элементов, в которой не важен их порядок расположение. Общее же количество таких уникальных сочетаний рассчитывается по формуле. Таким образом, у нас имеют место сочетания деталей. Здесь, конечно же, не нужно ворочать огромные числа. В похожей ситуации я советую использовать следующий приём: Для этого числитель следует представить в виде. Это значит, что из набора 15 различных деталей можно составить одну тысячу триста шестьдесят пять уникальных сочетания 4 деталей. То есть, каждая такая комбинация из четырёх деталей будет отличаться от других комбинаций хотя бы одной деталью. Применительно к разобранной задаче:. Это пример для самостоятельного решения. Чем приятны многие комбинаторные задачи, так это краткостью — главное, разобраться в сути. И суть, бывает, открывается с различных сторон. Разберём весьма поучительный пример:. Сколько всего партий сыграно в турнире? Исходя из проведённых рассуждений, общее количество сыгранных партий рассчитывается по формуле. Такое решение полностью корректно см. Однако один из посетителей сайта заметил, что на самом деле здесь можно руководствоваться самыми что ни на есть банальными сочетаниями: Эквивалентной является задача о рукопожатиях: К слову, шахматисты тоже пожимают друг другу руку перед каждой партией. Ну а вывода тут два: Количество размещений рассчитывается по формуле. Сколькими способами им можно сдать по одной карте? Теперь давайте рассмотрим, какую-нибудь одну из семи тысяч ста сорока комбинаций, например: КП, 9Ч, 7Ч; КП, 7Ч, 9Ч; 9Ч, КП, 7Ч; 9Ч, 7Ч, КП; 7Ч, КП, 9Ч; 7Ч, 9Ч, КП. И аналогичный факт справедлив для любого уникального набора из трёх карт. А таких наборов, не забываем, мы насчитали. Не нужно быть профессором, чтобы понять, что найденное количество сочетаний следует умножить на шесть:. По существу, получилась наглядная проверка формулы , окончательный смысл которой мы проясним в следующем параграфе. Возможно, у вас остался вопрос, а кто же раздавал карты? В студенческой группе 23 человека. Сколькими способами можно выбрать старосту и его заместителя? Краткое решение и ответ в конце урока. Постараюсь повторить принципы максимально кратко:. Вспоминаем демонстрационную задачу с яблоком, грушей и бананом: То есть, можно взять 1 фрукт любой из трёх ИЛИ какое-нибудь сочетание двух фруктов ИЛИ все три фрукта. Заметьте, что сложение комбинаций предполагает безразличие выбора без разницы будет ли выбран один, два или 3 фрукта. Студенческая группа состоит из 23 человек, среди которых 10 юношей и 13 девушек. Сколькими способами можно выбрать двух человек одного пола? Таким образом, двух человек одного пола без разницы — юношей или девушек можно выбрать: Рассмотрим ту же студенческую группу, которая пошла на танцы. Сколькими способами можно составить пару из юноши и девушки? Таким образом, одного юношу и одну девушку можно выбрать: Когда из каждого множества выбирается по 1 объекту, то справедлив следующий принцип подсчёта комбинаций: То есть, Олег может пригласить на танец любую из 13 девушек, Евгений — тоже любую из тринадцати, и аналогичный выбор есть у остальных молодых людей. Всё зависит от условия той или иной задачи! Похожий принцип справедлив и для более сложных комбинаций, например: Иными словами, каждая пара юношей 45 уникальных пар может выступать с любой парой девушек 78 уникальных пар. А если рассмотреть распределение ролей между участниками, то комбинаций будет ещё больше. Ноль не годится, так как в этом случае число перестаёт быть трёхзначным. По условию, число должно делиться на 5. Число делится на 5, если оно заканчивается на 5 либо на 0. Таким образом, в младшем разряде нас устраивают 2 цифры. Умножение здесь имеет тот же смысл: А теперь задача для самостоятельного решения… сейчас придумаю что-нибудь поинтереснее, …пусть будет про ту же русскую версию блэкджека:. Для тех, кто не знает: Кстати, не надо считать пример примитивным. Блэкджек — это чуть ли не единственная игра, для которой существует математически обоснованный алгоритм, позволяющий выигрывать у казино. Желающие могут легко найти массу информации об оптимальной стратегии и тактике. Это очень важное условие! Повторюсь, что при перестановках имеет значение лишь количество различных объектов и их взаимное расположение. В зависимости от настроения Вася может рассаживать животных полукругом на диване, в ряд на подоконнике и т. Желающие могут для удобства представить, что коты разноцветные например, белый, чёрный, рыжий и полосатый и перечислить все возможные комбинации. Предполагается, что коты ходят гулять только через дверь, при этом вопрос подразумевает безразличие по поводу количества животных — на прогулку могут выйти 1, 2, 3 или все 4 кота. Наверное, вы догадались, что полученные значения следует просуммировать: Энтузиастам предлагаю усложнённую версию задачи — когда любой кот в любой выборке случайным образом может выйти на улицу, как через дверь, так и через окно 10 этажа. Ситуация предполагает не только выбор 2 животных, но и их размещение по рукам: Ну и для очистки совести что-нибудь поконкретнее на умножение комбинаций…. В лифт этажного дома сели 3 пассажира. Каждый независимо от других с одинаковой вероятностью может выйти на любом начиная со 2-го этаже. В случае затруднений пассажирам полезно дать имена и порассуждать, в каких комбинациях они могут выйти из лифта. В этом случае сначала целесообразно ознакомиться с практическими примерами, и только потом осмысливать общую формулировку. Сколько различных буквосочетаний можно получить перестановкой карточек со следующими буквами: Причём, физически карточки могут сильно отличаться: Но по смыслу задачи даже такие карточки считаются одинаковыми , поскольку в условии спрашивается о буквосочетаниях. К — повторяется 3 раза; О — повторяется 3 раза; Л — повторяется 2 раза; Ь — повторяется 1 раз; Ч — повторяется 1 раз; И — повторяется 1 раз. По формуле количества перестановок с повторениями: Для быстрого расчёта большого факториального значения удобно использовать стандартную функцию Экселя: На практике вполне допустимо не записывать общую формулу и, кроме того, опускать единичные факториалы: Но предварительные комментарии о повторяющихся буквах обязательны! Другой типовой пример перестановок с повторениями встречается в задаче о расстановке шахматных фигур, которую можно найти на складе готовых решений в соответствующей pdf-ке. А для самостоятельного решения я придумал менее шаблонное задание:. Алексей занимается спортом, причём 4 дня в неделю — лёгкой атлетикой, 2 дня — силовыми упражнениями и 1 день отдыхает. Сколькими способами он может составить себе расписание занятий на неделю? И опять — по факту те же 2 силовые тренировки могут сильно отличаться друг от друга, но по контексту задачи с точки зрения расписания они считаются одинаковыми элементами. Характерная особенность этого вида комбинаций состоит в том, что выборка проводится из нескольких групп, каждая из которых состоит из одинаковых объектов. В студенческой столовой продают сосиски в тесте, ватрушки и пончики. Сколькими способами можно приобрести пять пирожков? Что может быть в выборке? Прежде всего, следует отметить, что в выборке обязательно будут одинаковые пирожки так как выбираем 5 штук, а на выбор предложено 3 вида. Варианты тут на любой вкус: В кошельке находится достаточно большое количество 1-, 2-, 5- и рублёвых монет. Сколькими способами можно извлечь три монеты из кошелька? Из моего личного опыта, могу сказать, что сочетания с повторениями — наиболее редкий гость на практике, чего не скажешь о следующем виде комбинаций:. И всё бы было ничего, но довольно неожиданный прикол заключается в том, что любой объект исходного множества мы можем выбирать сколько угодно раз. Типовым примером является кодовый замок с несколькими дисками, но по причине развития технологий актуальнее рассмотреть его цифрового потомка:. Таким образом, по правилу умножения комбинаций, четырёхзначный пин-код можно составить: А теперь с помощью формулы. И кто сказал, что в комбинаторике нет никакого практического смысла? Познавательная задача для всех читателей mathprofi. Согласно государственному стандарту, автомобильный номерной знак состоит из 3 цифр и 3 букв. Не так их, кстати, и много. В крупных регионах такого количества не хватает, и поэтому для них существуют по несколько кодов к надписи RUS. Решение и ответ в конце урока. Хотя в учебных целях, наверное, мало кто прорешивал. Наше увлекательное занятие подошло к концу, и напоследок я хочу сказать, что вы не зря потратили время — по той причине, что формулы комбинаторики находят ещё одно насущное практическое применение: Когда карточка с нулём располагается на 1-м месте, то число становится трёхзначным, поэтому данные комбинации следует исключить. Таким образом, из предложенного набора можно составить: По правилу умножения комбинаций: По правилу умножения комбинаций, всего можно составить: Как можно отблагодарить автора? Качественные работы без плагиата — Zaochnik. Копирование материалов сайта запрещено. Уравнение плоскости Прямая в пространстве Задачи с прямой в пространстве Основные задачи на прямую и плоскость Треугольная пирамида Элементы высшей алгебры: Однородные системы линейных уравнений Метод Гаусса-Жордана Решение системы уравнений в различных базисах Линейные преобразования Собственные значения и собственные векторы Пределы: Приближенные вычисления с помощью дифференциала Метод касательных Функции и графики: Непрерывность, точки разрыва Область определения функции Асимптоты графика функции Интервалы знакопостоянства Возрастание, убывание и экстремумы функции Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика Полное исследование функции и построение графика Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Экстремальные задачи ФНП: Частные производные неявно заданной функции Производная по направлению и градиент функции Касательная плоскость и нормаль к поверхности в точке Экстремумы функций двух и трёх переменных Условные экстремумы Наибольшее и наименьшее значения функции в области Метод наименьших квадратов Интегралы: Дифференциальные уравнения первого порядка Однородные ДУ 1-го порядка ДУ, сводящиеся к однородным Линейные неоднородные дифференциальные уравнения первого порядка Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах Уравнение Бернулли Дифференциальные уравнения с понижением порядка Однородные ДУ 2-го порядка Неоднородные ДУ 2-го порядка Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Метод вариации произвольных постоянных Как решить систему дифференциальных уравнений Задачи с диффурами Методы Эйлера и Рунге-Кутты Числовые ряды: Признак Лейбница Ряды повышенной сложности Функциональные ряды: Примеры решений Кратные интегралы: Работа силы Поверхностные интегралы Элементы векторного анализа: Основы теории поля Поток векторного поля Дивергенция векторного поля Формула Гаусса-Остроградского Циркуляция векторного поля и формула Стокса Комплексный анализ: Подготовка к ЕГЭ По высшей математике и физике Помогут разобраться в теме, подготовиться к экзамену.
Приспособленностьв процессе эволюции возникаетв результате
Гибриды возникающие при скрещивании различных видов
Сердечное давление низкоечто делатьи причины
Хороший сайт где можно скачать книги
Когда сажать гладиолусы в открытый грунт весной
Практическое значение простейших
Как отомстить демону
Рено роботизированная коробка передач отзывы
Понятие канона в искусстве
Сколько букв используется в номерах россии
Катамаран своими руками чертежи
Схема подключения эсп ваз 2114
Слушать музыку остановите вите
Шаблоны для ручного фрезера своими руками
Духи женские франция каталог