В теоретической механике тела считают абсолютно твердыми, то есть расстояния между точками тела остаются во время движения неизменными. Задание движения и изучение кинематических характеристик движения всего тела в целом. Движение тела называют поступательным, если любая прямая, проведенная в нем, остается во все время его движения параллельной самой себе. При этом виде движения все точки тела описывают одинаковые траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения. Пусть точки А и В принадлежат телу, совершающему поступательное движение. Таким образом, для задания поступательного движения тела достаточно задать движение одной его точки. Это можно сделать одним из методов кинематики точки. Движение тела называют вращательным, если две его или неизменно с ним связанные точки остаются во все время движения неподвижными. Прямая, проходящая через эти неподвижные точки, называется осью вращения. Все точки оси вращения также неподвижны. Остальные точки тела описывают траектории в виде окружностей с центрами на оси вращения в перпендикулярных ей плоскостях. Этот угол называют углом поворота тела и измеряют в радианах. Зависимость угла поворота тела от времени, т. Выберем положительное направление оси вращения, тогда угол поворота считается положительным, если при наблюдении с положительного направления оси вращения, поворот тела представляется происходящим против хода часовой стрелки. Угловая скорость тела в данный момент времени равна первой производной по времени от угла поворота. Угловую скорость удобно представить в виде вектора , который направлен по оси вращения в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки и равный по модулю угловой скорости рис. Связь между этими единицами измерения дается формулой. Угловое ускорение тела можно также изобразить в виде вектора , направленного по оси вращения и совпадающего с направлением вектора , если вращение тела ускоренное рис. Обычно момент времени начала отсчета принимают равным нулю. Скорость и ускорение точки тела при вращательном движении определяют исходя из естественного способа задания движения, используя кинематические характеристики вращательного движения. Так как длина дуги окружности равна , где h — расстояние от точки до оси вращения радиус окружности , то из формулы 13 следует:. Вектор скорости перпендикулярен радиусу окружности, которую описывает точка при своем движении, и направлен в сторону вращения тела рис. Ускорение точки определим через его составляющие, применяя формулы 14 , 15 , Скорость точки можно записать в векторной форме, которую называют формулой Эйлера. Эта формула определяет скорость точки тела как по модулю, так и по направлению. Используя эту формулу, можно получить векторные формулы для определения составляющих ускорения точки тела:. Движение тела называют плоским, если все его точки движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости. Так как любая прямая, проведенная в теле перпендикулярно неподвижной плоскости движется поступательно, то есть все ее точки движутся одинаково, то для изучения движения тела достаточно изучить движение плоской фигуры, полученной от пересечения тела любой плоскостью Q, параллельной неподвижной плоскости. Закон плоского движения записывают как зависимость от времени t координат некоторой его точки, называемой полюсом, например точки А, т. Плоское движение можно рассматривать как совокупность поступательного движения вместе с полюсом и вращательного вокруг полюса. Векторы угловой скорости и углового ускорения считают направленными перпендикулярно к плоскости движения. За полюс выбирают точку, у которой линейные скорость и ускорение известны либо могут быть определены по данным задачи. В векторной форме выражение скорости произвольной точки В имеет вид:. Формула 34 выражает теорему о распределении скоростей: Так как вектор перпендикулярен отрезку АВ рис. Если обозначить угол с направлением вектора скорости и прямой через , а с направлением через , то получим выражение этой теоремы в виде. Из формулы 31 следует, что если за полюс выбрать точку, скорость которой в данный момент времени равна нулю, то формула 31 упростится. Если тело не совершает поступательного движения, то такая точка существует, и притом одна. Ее называют мгновенным центром скоростей МЦС и часто обозначают через Р рис. Тогда для произвольной точки М сечения тела можно записать выражение ее скорости в виде. МР — расстояние точки М до мгновенного центра скоростей. Вектор скорости направлен перпендикулярно отрезку в сторону поворота плоской фигуры. В общем случае мгновенный центр скоростей находится в точке пересечения перпендикуляров, проведенных через две точки сечения тела к направлению их скоростей. Имеются частные случаи определения положения мгновенного центра скоростей МЦС. При качении без скольжения плоской фигуры по неподвижной поверхности, МЦС точка P, рис. Направление скоростей двух точек сечения тела имеют к ним общий перпендикуляр рис. В этом случае используют пропорциональность модуля скорости точек сечения тела их расстоянию до МЦС. Тогда расстояние от этих точек до МЦС, то есть его положение на общем перпендикуляре к скоростям, определяется формулами. Скорость точки можно определить и в аналитической форме на основании формул 30 , то есть через проекции вектора скорости точки на неподвижные оси координат:. В этих формулах — искомые скорости точки М в проекциях на неподвижные оси координат; — проекции скорости полюса на неподвижные оси; — угловая скорость плоской фигуры; координаты полюса А и точки М в неподвижной системе координат соответственно. Модуль скорости точки М по известным проекциям определяется формулой. Взяв от уравнения 34 производную по времени, получим теорему о распределении ускорений точек при плоском движении тела:. Из формулы 44 следует: В этой формуле полное ускорение произвольной точки В плоской фигуры; ускорение полюса; центростремительное ускорение при вращении фигуры вокруг полюса и направлено к полюсу; вращательное ускорение вокруг полюса и направлено перпендикулярно прямой АВ в сторону направления углового ускорения ; ускорение точки В при вращении плоской фигуры вокруг полюса А рис. Это ускорение из точки В направлено под углом к лучу ВА, тангенс угла равен. Из уравнений 41 , 42 можно получить ускорения точки в аналитической форме, то есть через проекции на неподвижные оси координат:. FAQ Обратная связь Вопросы и предложения. Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Кинематика простейших движений твердого тела В теоретической механике тела считают абсолютно твердыми, то есть расстояния между точками тела остаются во время движения неизменными. Основными задачами кинематики твердого тела являются: Изучение движения каждой из точек тела в отдельности. Так как длина дуги окружности равна , где h — расстояние от точки до оси вращения радиус окружности , то из формулы 13 следует: Полное ускорение точки определяется по модулю выражением рис. Используя эту формулу, можно получить векторные формулы для определения составляющих ускорения точки тела: Плоское плоскопараллельное движение тела Движение тела называют плоским, если все его точки движутся в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости. Уравнения , 28 позволяют найти закон движения произвольной точки сечения плоской фигуры рис. Определение скорости точки при плоском движении тела За полюс выбирают точку, у которой линейные скорость и ускорение известны либо могут быть определены по данным задачи. В векторной форме выражение скорости произвольной точки В имеет вид: В векторной форме эта скорость определяется формулой. Таким образом, выражение скорости точки может быть записано в виде. Тогда для произвольной точки М сечения тела можно записать выражение ее скорости в виде 36 и по модулю она равна.
Кинематика точки и твердого тела. В данной лекции рассматриваются следующие вопросы: Краткие сведения по истории развития кинематики. Способы задания движения точки. Определение скорости и ускорения точки при координатном способе задания движения точки. Определение ускорения в полярных координатах. Определение скорости и ускорения точки при естественном способе задания движения точки. Касательное и нормальное ускорение точки. Некоторые частные случаи движения точки. Основной задачей кинематики является нахождение положения тела в любой момент времени, если известны его положение, скорость и ускорение в начальный момент времени. Механическое движение - это изменение положения тел или частей тела относительно друг друга в пространстве с течением времени. Для определения положения движущегося тела или точки в разные моменты времени с телом, по отношению к которому изучается движение, жестко связывают какую-нибудь систему координат, образующую вместе с этим телом систему отсчета. Тело отсчета - тело или группа тел , принимаемое в данном случае за неподвижное, относительно которого рассматривается движение других тел. Система отсчета - это система координат, связанная с телом отсчета, и выбранный способ измерения времени рис. Изображать систему отсчета будем в виде трех координатных осей не показывая тело, с которым они связаны. Движение тел совершается в пространстве с течением времени. Пространство в механике мы рассматриваем, как трехмерное евклидово пространство. Время является скалярной, непрерывно изменяющейся величиной. В задачах кинематики время t принимают за независимое переменное аргумент. Все другие переменные величины расстояния, скорости и т. Для решения задач кинематики надо, чтобы изучаемое движение было как-то задано описано. Координата х точки М - это проекция конца радиуса-вектора точки М на ось О х. Обычно пользуются прямоугольной системой координат Декарта. В этом случае положение точки М на линии, плоскости и в пространстве определяют соответственно одним х , двумя х, у и тремя х, у, z числами - координатами рис. Материальная точка - тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь. Этой моделью пользуются в тех случаях, когда линейные размеры рассматриваемых тел много меньше всех прочих расстояний в данной задаче или когда тело движется поступательно. Поступательным называется движение тела , при котором прямая, проходящая через любые две точки тела, перемещается, оставаясь параллельной самой себе. Поэтому для описания такого движения тела достаточно описать движение его одной произвольной точки. В дальнейшем под словом "тело" будем понимать "материальная точка". Линия, которую описывает движущееся тело в определенной системе отсчета, называется траекторией. Вид траектории зависит от выбора системы отсчета. Например, траекторией тела, свободно падающего в вагоне, который движется равномерно и прямолинейно, является прямая вертикальная линия в системе отсчета, связанной с вагоном, и парабола в системе отсчета, связанной с Землей. В зависимости от вида траектории различают прямолинейное и криволинейное движение. Путь s - скалярная физическая величина, определяемая длиной траектории, описанной телом за некоторый промежуток времени. Проекция перемещения на ось О х: Модуль перемещения не может быть больше пути: Знак равенства относится к случаю прямолинейного движения, если направление движения не изменяется. Зная перемещение и начальное положение тела, можно найти его положение в момент времени t: Векторный способ задания движения точки. Геометрическое место концов вектора r , то есть годограф этого вектора, определяет траекторию движущейся точки. Уравнения представляют собой уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Они определяют закон движения точки при координатном способе задания движения. Чтобы получить уравнение траектории надо из уравнений движения исключить параметр t. Нетрудно установить зависимость между векторным и координатным способами задания движения. Если движение точки задано в полярных координатах. Движение точки задано уравнениями. Движение точки может быть задано с помощью и других координат. Например, цилиндрических или сферических. Среди них будут не только линейные размеры, но и углы. При необходимости, с заданием движения цилиндрическими и сферическими координатами можно познакомиться по учебникам. При движении точка М перемещается в положения M 1 , М 2 , Чтобы знать положение точки М на траектории в любой момент времени, надо знать зависимость. За положительное направление отсчета дуговой координаты s принимают направление движения точки в момент, когда она занимает положение О. Таким образом, движение точки считается заданным естественным способом, если известна траектория и уравнение или закон движения точки по траектории. Если движение точки задано координатным способом, то пройденный путь определяется по формуле. Конечно, за 1 сек. Понятие скорости точки в равномерном прямолинейном движении относится к числу элементарных понятий. Скорость - мера механического состояния тела. Она характеризует быстроту изменения положения тела относительно данной системы отсчета и является векторной физической величиной. Движение точки называется равномерным, если приращения радиуса-вектора точки за одинаковые промежутки времени равны между собой. Вектор v называется скоростью прямолинейного и равномерного движения полностью его определяет. При неравномерном движении эта формула не годится. Введем сначала понятие о средней скорости точки за какой-нибудь промежуток времени. Итак, вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиуса-вектора точки по времени. Определение скорости точки при координатном способе задания движения. Таким образом, проекции скорости точки на координатные оси равны первым производным от соответствующих координат точки по времени. Итак, численная величина скорости точки в данный момент времени равна первой производной от расстояния криволинейной координаты s точки по времени. Определение скорости точки при естественном способе задания движения. Следовательно, скорость точки есть первая производная по времени от закона движения: Направлен вектор скорости, как было установлено ранее, по касательной к траектории. Если величина скорости в данный момент будет больше нуля, то вектор скорости направляется в положительном направлении. Ускорение — векторная физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости. Оно показывает, на какую величину изменяется скорость тела за единицу времени. В СИ единицей ускорения является метр на секунду в квадрате м с 2. Пусть в некоторый момент времени t движущаяся точка находится в положении М и имеет скорость v , а в момент t 1 приходит в положение M 1 и имеет скорость v 1 рис. При прямолинейном движении с возрастающей по модулю скоростью рис. При прямолинейном движении с убывающей по модулю скоростью рис. В пределе, когда точка М стремится к М , эта плоскость занимает положение так называемой соприкасающейся плоскости, то есть плоскости, в которой происходит бесконечно малый поворот касательной к траектории при элементарном перемещении движущейся точки. Определение ускорения при координатном способе задания движения. Модуль и направление ускорения найдутся из формул. Подставив во второе, получим уравнение траектории: Составляющие скорости по осям и вектор её показаны в масштабе на рис. Для a x и a y имеем выражение. Определение ускорения при естественном способе задания движения. Эти оси, называемые осями естественного трехгранника или скоростными естественными осями , направлены следующим образом: Нормаль Mn , лежащая в соприкасающейся плоскости в плоскости самой кривой, если кривая плоская , называется главной нормалью, а перпендикулярная к ней нормаль Mb - бинормалью. Естественные оси — это подвижные оси, связанные с движущейся точкой М и образующие правую прямоугольную систему координат. Плоскость, проходящая через обе нормали главную нормаль n и бинормаль b , называется нормальной плоскостью. Координатная плоскость, проходящая через касательную нормаль n , называется соприкасающейся плоскостью. Вычислим проекции a , на две другие оси. Тогда на основании теоремы о проекции суммы или разности векторов на ось получим: Этот угол между касательными к кривой в точках М и М 1 называется углом смежности. Обращаясь теперь к чертежу рис. Правую часть выражения a n преобразуем так, чтобы в нее вошли отношения, пределы которых нам известны. Эти векторы изображают касательную и нормальную составляющие ускорения точки. Как отмечалось выше, для описания движения тела необходимо выбрать тело отсчета и связать с ним систему координат. В качестве тела отсчета может выступать любое тело. В разных системах отсчета будут различны вид траектории, значения скорости, перемещения и других величин. В этом и заключается относительность движения. Таким образом, если тело одновременно участвует в нескольких движениях, то результирующее перемещение точки равно векторной сумме перемещений, совершаемых ею в каждом из движений. В этом состоит установленный экспериментально принцип независимости движений. Разделив уравнение 1 на промежуток времени, за который произошли перемещения человека и парохода, получим закон сложения скоростей: Этот закон был установлен Г. Такие скорости в физике называют нерелятивистскими. Пользуясь полученными результатами, рассмотрим некоторые частные случаи движения точки. Равномерное прямолинейное движение - это движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает равные перемещения, т. Следовательно, проекция скорости тела. Зависимость кинематических величин от времени можно изобразить графически. Изобразим графики скорости, перемещения, пути и координаты для трех тел: Графики скорости представлены на рис. Площадь заштрихованного прямоугольника численно равна пути s модулю перемещения , пройденному телом 1 за время t 1. Графики движения зависимости координаты от времени изображены на рис. С помощью графика движения можно определить: Равноускоренное прямолинейное движение - это движение, при котором скорость тела за любые равные промежутки времени изменяется одинаково, т. Пусть в момент времени t 0 скорость тела равна v 0 , в момент времени t - v. Эти зависимости кинематических величин от времени изобразим графически для трех тел рис. Для нахождения перемещения воспользуемся графиком скорости рис. Мысленно разбив все время движения тела на малые промежутки времени и найдя перемещение за каждый отдельный промежуток времени, суммируем эти перемещения. Исключая из уравнений скорости и перемещения время t, получим: Графиком перемещения является парабола, положение вершины которой зависит от направлений начальной скорости и ускорения рис. Найдем закон равномерного криволинейного движения. Тогда, беря от левой и правой части равенства определенные интегралы в соответствующих пределах, получим. Окончательно находим закон равномерного криволинейного движения в виде. Следовательно, при равномерном движении путь, пройденный точкой, расчет пропорционального времени, а скорость движения равна отношению пути ко времени. Равнопеременным называется такое криволинейное движение точки, при котором касательное ускорение остается все время величиною постоянной: Формулу представим в виде. Вторично интегрируя, найдем закон равнопеременного криволинейного движения точки в виде. Если при криволинейном движении точки модуль скорости возрастает, то движение называется ускоренным, а если убывает - замедленным. Свободное падение - это движение тела под действием только силы тяжести. На тело, падающее в воздухе, кроме силы тяжести действует сила сопротивления воздуха, следовательно, такое движение не является свободным падением. Свободное падение — это падение тел в вакууме. Ускорение g , которое сообщает телу сила тяжести, называют ускорением свободного падения. Оно показывает, на какую величину изменяется скорость свободно падающего тела за единицу времени. Галилео Галилей установил закон Галилея: Убедиться в этом можно, используя трубку Ньютона или стробоскопический метод. Трубка Ньютона представляет собой стеклянную трубку длиной около 1 м, один конец которой запаян, а другой снабжен краном рис. Поместим в трубку три разных предмета, например дробинку, пробку и птичье перо. Затем быстро перевернем трубку. Все три тела упадут на дно трубки, но в разное время: Но так падают тела в том случае, когда в трубке есть воздух рис. Стоит только воздух откачать насосом и снова перевернуть трубку, мы увидим, что все три тела упадут одновременно рис. В земных условиях g зависит от географической широты местности. Ускорение свободного падения зависит от высоты h тела над поверхностью планеты. Его, если пренебречь вращением планеты, можно рассчитать по формуле: Как следует из последней формулы, с увеличением высоты подъема тела над поверхностью планеты ускорение свободного падения уменьшается. Если пренебречь вращением планеты, то на поверхности планеты радиусом R. Для его описания можно использовать формулы равноускоренного движения: Движение тела, брошенного вертикально. Свободно падающее тело может двигаться прямолинейно или по криволинейной траектории. Это зависит от начальных условий. При выбранной системе координат движение тела описывается уравнениями: Из последней формулы можно найти время падения тела с высоты h: Подставляя найденное время в формулу для скорости, получим модуль скорости тела в момент падения: Движение тела описывается уравнениями: Из уравнения скорости видно, что тело движется равнозамедленно вверх, достигает максимальной высоты, а затем движется равноускоренно вниз. Движение тела, брошенного горизонтально. Сопротивлением воздуха будем пренебрегать. Для описания движения необходимо выбрать две оси координат — Ох и Оу. Начало отсчета координат совместим с начальным положением тела. Тогда движение тела опишется уравнениями: Анализ этих формул показывает, что в горизонтальном направлении скорость тела остается неизменной, то есть тело движется равномерно. В вертикальном направлении тело движется равноускоренно с ускорением g, то есть так же, как тело, свободно падающее без начальной скорости. Для этого из уравнения 3 найдем время. Следовательно, тело, брошенное горизонтально, движется по параболе. Скорость тела в любой момент времени направлена по касательной к параболе см. Модуль скорости можно рассчитать по теореме Пифагора: Зная высоту h, с которой брошено тело, можно найти время t1, через которое тело упадет на землю. Из уравнения 4 находим: Движение тела, брошенного под углом к горизонту. Для описания движения необходимо выбрать две оси координат — Ох и Оу рис. Начало отсчета совместим с начальным положением тела. Проекции начальной скорости на оси Оу и О х: Тогда движение тела будет описываться уравнениями: Из этих формул следует, что в горизонтальном направлении тело движется равномерно, а в вертикальном — равноускоренно. Траекторией движения тела будет парабола. Следовательно, сколько времени тело поднимается на максимальную высоту, столько времени оно опускается с этой высоты. Подставляя в уравнение координаты х 6 значение времени t 2 , найдем: Мгновенная скорость в любой точке траектории направлена по касательной к траектории см. Таким образом, движение тела, брошенного под углом к горизонту или в горизонтальном направлении, можно рассматривать как результат двух независимых движений — горизонтального равномерного и вертикального равноускоренного свободного падения без начальной скорости или движения тела, брошенного вертикально вверх. Методические рекомендации по решению задач. Рассмотрим, что может быть целью кинематических задач. Нас может интересовать изменение кинематических величин в процессе движения , то есть получение сведений об изменении координат, скорости, ускорения, а также соответствующих угловых величин. В ряде задач, например, в задаче о движении тела под углом к горизонту, требуется узнать о значениях физических величин в конкретных состояниях: В случаях, когда тело одновременно участвует в нескольких движениях например, качение шара или рассматривается относительное движение нескольких тел, возникает необходимость установить соотношения между перемещениями, скоростями и ускорениями линейными и угловыми , то есть найти уравнения кинематической связи. Несмотря на большое разнообразие задач по кинематике, можно предложить следующий алгоритм их решения: Выбрать систему отсчета на основании анализа условия задачи. Для этого нужно выбрать тело отсчета и связать с ним систему координат, указав начало отсчета координат, направление осей координат, момент начала отсчета времени. При выборе положительных направлений руководствуются направлением движения скорости или направлением ускорения. Составить на основании законов движения систему уравнений в векторном виде для всех тел, а затем в скалярной форме, спроецировав на координатные оси эти векторные уравнения движения. Ответ необходимо получить в виде аналитической формулы в общем виде , а в конце произвести числовые расчеты. Уравнения движения точки можно рассматривать как параметрические уравнения ее траектории. Чтобы получить уравнения траектории точки в координатной форме, исключим время t из уравнений ее движения. Траекторией точки является парабола. Скорость и ускорение точки. Заметим, что v x , а х и а у не зависят от времени t. Локомотив, принятый за точку, совершает равнозамедленное движение в соответствии с уравнениями. Используя условия задачи, получим. Из составленной системы уравнений находим время остановки и путь остановки локомотива. Неподвижную систему отсчета свяжем с Землей, подвижную — с поездом, в котором находится пассажир. В проекциях на ось О х: Так как путь, пройденный встречным поездом относительно первого, равен длине поезда, то время. Пароход идет от Нижнего Новгорода до Астрахани 5,0 суток, а обратно - 7,0 суток. Как долго будет плыть плот от Нижнего Новгорода до Астрахани? Стоянки и задержки в движении исключить. Неподвижную систему отсчета свяжем с берегом, подвижную — с водой. Будем считать, что скорость воды на всем пути одинакова и скорость парохода относительно воды постоянна и равна модулю мгновенной скорости парохода относительно воды. Зная время движения, можно найти скорость: Из формул 1 и 2 имеем: Решая систему уравнений 3 и 4 относительно v p , получим: Найдем время движения плота: Определите начальную скорость и ускорение тела. Так как начальная скорость в этом случае одинакова, то. Найдите ускорение автомобиля, мгновенную скорость в конце второй секунды и перемещение за 2,0 с. Зная путь, пройденный телом за первую секунду, можно найти ускорение: Скорость в конце второй секунды найдем по формуле. Перемещение за 2 с можно рассчитать по формулам: Подставим в уравнение движения вместо t заданное значение времени t 1: Подставим в это выражение значения А , В, С, t 1 и произведем вычисления: Подставим сюда значения В ,С , t 1: Подставим значения С , t 1: Знак минус указывает на то, что направление вектора ускорения совпадает с отрицательным направлением координатной оси, причем в условиях данной задачи это имеет место для любого момента времени. Через какое время груз достигнет земли, если: Описать графически соответствующие движения груза в осях s t , v t и a t. Графики движение объекта отмечены 1 на рисунке. Графики движение объекта отмечены 2 на рисунке. В верхней точке траектории скорость становится равной нулю, поэтому. Подставляя второе уравнение системы в первое, получим. Графики движение объекта отмечены 3 на рисунке. Определить расстояние между шаром и грузом в момент, когда груз достигает высшей точки своего подъема. Через какое время груз пролетит мимо шара, падая вниз. Координата груза в точке В. За это время воздушный шар опустился до точки А ; его координата. Расстояние между точками А и В: Рассмотрим движение самолета в системе отсчета, связанной с землей. Проведем ось ОХ в направлении на восток, а ось OY - на север. Тогда скорость движения самолета в выбранной системе отсчета. Уравнение 1 в проекции на оси. Возводя в квадрат правые и левые части уравнений 3 и складывая полученные уравнения, находим. Найти высоту подъема тела и его начальную скорость. Движение тела вверх является равнозамедленным с ускорением - g и происходит в течение времени t 1 , а движение вниз — равноускоренным с ускорением g и происходит в течение времени t 2. Уравнения, описывающие движение на участках АВ и ВА, образуют систему: Свободно падающее тело в последнюю секунду движения прошло половину пути. Найти высоту, с которой оно брошено и время движения. Второй корень не подходит, так как время движения, исходя из условия задачи, должно превышать одну секунду. Сопротивление воздуха не учитывать. Перемещение брошенного горизонтально камня можно разложить на два: Движение тела является сложным. Оно участвует в равномерном движении по горизонтали и равноускоренном с ускорением g по вертикали. Поэтому участок АВ описывается уравнениями: Для точки А эти уравнения принимают вид: Скорость в точке А: Как видно из рисунка, эти треугольники подобны, а это означает, что их стороны пропорциональны: Подставляя t 1 в 2 , получим. На каком расстоянии от места бросания оно упадет на землю? Какое время он будет в движении? Горизонтальная и вертикальная составляющие начальной скорости. Движение на участке ОА можно разложить на два простых движения: Если тело участвует одновременно в нескольких движениях, то в каждом из них оно участвует независимо от другого, следовательно, время движения на участке АВ определяется временем движения вниз — t 2. При равномерном движении по горизонтали за равные промежутки времени тело проходит равные участки пути, следовательно,. Каковы начальная скорость v 0 и ускорение точки a? Движение материальной точки описывается уравнениями: Выражения для мгновенной скорости получаются путем дифференцирования уравнения движения. Выражения для средней скорости находятся как отношение изменения криволинейной координаты к времени: Получим выражения для среднеарифметической скорости: Ответим на вопрос условия задачи. Материальная точка движется равномерно по криволинейной траектории. В какой точке траектории ускорение максимально? Материальная точка движется согласно закону: Записать уравнение для проекции скорости. Сравнивая это уравнение с уравнением условия задачи, получаем. Когда проекция вектора отрицательна? Только в том случае, когда вектор направлен против оси координат. Изобразим на рисунке начальную координату, векторы скорости и ускорения. Запишем уравнение для скорости в виде. Видно, что ускорение не зависит от времени. Охарактеризовать движение на каждом участке графика. Следовательно, в точке пересечения графика с осью абсцисс происходит поворот, изменение направления движения. Видно, чтобы получить это значение не обязательно строить и анализировать график. Подставим это значение в первое уравнение: Изобразим, как двигалась точка. Путь до поворота, как видно из рисунка, равен изменению координаты: Поскольку в данном состоянии точка находится после поворота, то пройденный путь уже не равняется изменению координаты перемещению , а складывается из двух слагаемых: Средняя путевая скорость вычисляется по формуле. В рассмотренной задаче описан один из наиболее простых видов движения - движение с постоянным ускорением. Тем не менее, данный подход к анализу характера движения является универсальным. Установить связь между координатой частицы и ее скоростью. Движение материальной точки описывается уравнением: Найти уравнение траектории частицы у х. Вначале получим зависимости x t и y t , решая задачу первого класса. Из полученных уравнений исключим время t. Из второго уравнения получаем. Обратим внимание, что координата х должна быть отрицательной, что соответствует положительным значениям времени t. Получилось дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Искомую зависимость скорости от времени можно получить, применяя любое из двух исходных уравнений. В эти три уравнения входят четыре переменных: Исключим a и t. С учетом выражения 1 получаем дифференциальное уравнение. Искомая зависимость скорости от координаты имеет вид. В задаче рассматривается движение материальной точки камня в поле силы тяжести Земли. Следовательно, это движение с постоянным ускорением свободного падения g , направленным вертикально вниз. Движение камня рассматривается относительно наблюдателя, находящегося на земле. Движение двумерное - по горизонтали и вертикали. Применим координатный способ описания. Начало координат поместим на поверхности земли, ось х направим горизонтально, ось у - вертикально вверх. В условии задачи рассматривается начальное состояние, состояние А , соответствующее моменту непосредственно перед ударом камня о землю, и состояние В, соответствующее наивысшей точке траектории. Изобразим эти состояния на рисунке и нарисуем векторы скорости в каждом состоянии. Поскольку применяется координатный способ описания, каждый вектор разложим на составляющие. Как было отмечено ранее, вектор ускорения во всех состояниях одинаков и равен g. Движение с постоянным ускорением описывается хорошо известными уравнениями: Конкретизируем их для данной задачи. По оси х камень движется из начала координат без ускорения равномерно со скоростью v 0 x. По оси y камень движется из точки с координатой h с ускорением свободного падения, направленным против оси у и с начальной скоростью v 0у. Отразим эти данные в начальных условиях. В этом состоянии камень оказался спустя t A секунд после начала движения. На рисунке указаны вектор скорости в этой точке v A направленный по касательной к траектории и его составляющие. Применим уравнения движения к данному состоянию: В эти четыре уравнения входят следующие неизвестные: Разрешим полученную систему уравнений относительно указанных неизвестных. Видно, что в уравнение 3 входит одна неизвестная величина - t A. Решим это квадратное уравнение, преобразовав его предварительно к приведенному виду: Время не может быть отрицательным, следовательно, отрицательный корень не имеет смысла. Уравнения 1 , 2 , 4 позволяют найти все оставшиеся величины: Модуль скорости выразим по теореме Пифагора. Из рисунка видно, что. Чтобы найти нормальную и тангенциальную составляющие вектора ускорения, разложим вектор g. Учитывая, что нормальное ускорение связано с модулем скорости соотношением. В этом состоянии камень оказался спустя t В секунд после начала движения. На рисунке указан вектор скорости в этой точке v В , направленный горизонтально по оси х. Время t В найдем из уравнения 4. Видно, что уравнения 1 и 2 не потребовались при решении этой задачи. Найти расстояние между остановками и максимальную скорость трамвая. Отличительной чертой его движения является заданная в условии задачи зависимость ускорения от координаты. Совместим начало координат с остановкой А. Отметим положение остановки В и тоски С, в которой скорость трамвая максимальна. В начальном и конечном состояниях скорости равны нулю, а в состоянии С скорость максимальна, поэтому ускорение производная скорости по времени равно нулю. Следовательно, необходимо уравнение, связывающее v и x. Подставим в уравнение 2 соответствующие значения координаты и скорости. Применим кинематические уравнения к состоянию С. Подставим в уравнения 1 и 2 соответствующие значения координаты и ускорения. Из 1а выразим координату точки С. Как будут направлены векторы ускорений поездов? Как найти уравнение ее траектории? Что можно сказать об ускорениях этих тел при их движении? Одинаковые ли расстояния проходят при этом правые и левые колеса автомобиля? С какой скоростью движутся точки А , В, С, D колеса велосипеда относительно оси? Модуль скорости первого велосипедиста увеличивается, а модуль скорости второго — уменьшается. Различаются ли направления ускорений велосипедистов относительно дороги? Обладает ли любая точка на ободе колеса тангенциальным и нормальным ускорениями, если вращение происходит с постоянной угловой скоростью? Спортсмен может следовать за ним по той же окружности, а также вне и внутри этой окружности. Каково соотношение скоростей спортсмена и катера в этих случаях? Будет ли движение частицы равномерным? Напишите уравнения движения тел. Нарисуйте графики v x t. Уравнения их движения имеют вид: Как определяют скорость и ускорение? В какие промежутки времени это движение происходит ускоренно и в какие — замедленно? Определить, как движется точка? Может ли человек, находящийся на нем, быть в состоянии покоя в системе отсчета, связанной с Землей? Чему равна скорость первого автомобиля относительно второго? Какой из графиков соответствует равномерному движению? Через 4 с скорость автомобиля будет равна: В какой момент времени проекция скорости тела на ось ОХ будет равна нулю? Какую скорость он будет иметь через 3 с после начала падения? Проекция ее скорости на вертикальное направление меняется со временем согласно графику на рисунке. В какой момент времени стрела достигла максимальной высоты? Чему равна скорость человека в системе отсчета, связанной с берегом? Модуль ускорения имеет максимальное значение на участке. Какой путь прошло тело за интервал време ни от 2 до 8 с? Чему равно время падения? Как изменится центростремительное ускорение точки, если скорость увеличить в 2 раза и радиус окружности увеличить в 2 раза;. Уфа, почтовый ящик Состояния объекта и их характеристики.
https://gist.github.com/0905264865eda735fdfe5ae81e02a2df
https://gist.github.com/4020e1a2c74f4ccbb23d62e8b92d7dd8
https://gist.github.com/da3fa7f76f9e8b7d45300ce3675dbc21