Метод координат в пространстве: формулы и комментарии репетитора
Запись навигация
Материал по теме "Метод координат"
В геометрии применяются различные методы решения задач - это синтетический чисто геометрический метод, метод преобразований, векторный, метод координат и другие. Они занимают различное положение в школе. Основным методом считается синтетический, а из других наиболее высокое положение занимает метод координат потому, что он тесно связан с алгеброй. Изящество синтетического метода достигается с помощью интуиции, догадок, дополнительных построений. Координатный метод этого не требует: Придавая геометрическим исследованиям алгебраический характер, метод координат переносит в геометрию наиболее важную особенность алгебры - единообразие способов решения задач. Если в арифметике и элементарной геометрии приходится, как правило, искать для каждой задачи особый путь решения, то в алгебре и аналитической геометрии решения проводятся по общему для всех задач плану, легко приспособляемому к любой задаче. Перенесение в геометрию свойственных алгебре и поэтому обладающих большой общностью способов решения задач составляет главную ценность метода координат. Другое достоинство метода координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных изображений. Сущность метода координат как метода решения задач состоит в том, что, задавая фигуры уравнениями и выражая в координатах различные геометрические соотношения, мы можем решать геометрическую задачу средствами алгебры. Обратно, пользуясь координатами, можно истолковывать алгебраические и аналитические соотношения и факты геометрически и таким образом применять геометрию к решению алгебраических задач. В отношении школьного курса геометрии можно сказать, что в некоторых случаях метод координат дает возможность строить доказательства и решать многие задачи более рационально, красиво, чем чисто геометрическими способами. Метод координат связан, правда, с одной геометрической сложностью. Одна и та же задача получает различное аналитическое представление в зависимости от того или иного выбора системы координат. И только достаточный опыт позволяет выбирать систему координат наиболее целесообразно. Родился в Турине в зажиточной дворянской семье. Через несколько дней от чахотки умерла его мать, выходила и сохранила ему жизнь кормилица. В 8 лет Рене отдали на полное попечение в одну из лучших иезуитских коллегий. С детства Декарт любил решать задачи и все свое свободное время посвящал изучению математики. Декарт изучал философию, математику, физику, астрономию, филологию. Декарт впервые показал, как можно применить математику для наглядного изображения и математического анализа для самых разнообразных явлений природы и общества. В его работах впервые появляются: Косоугольная система координат отличается от прямоугольной тем, что ее оси не перпендикулярны. Координаты точки определяются как в прямоугольной системе координат по прямым параллельным осям. Полярные координаты точки определяются следующим образом: Начало луча, точка О, называется полюсом, а ось ОХ — полярной осью. Для определения положения точки М в полярной системе координат указывают расстояние от полюса до этой точки и направление, в котором она находится. Каждая прямая задается уравнением. При этом числа a,b,c определяются для каждой прямой однозначно с точностью до пропорциональности если умножить их на одно и то же число , то полученное уравнение будет определять ту же прямую. Если дан треугольник АВС и на его основании точка D , лежащая между точками В и С, то справедливо равенство: Вычислим все величины, входящие в равенство:. Из определения скалярного произведения получаем: Дан квадрат ABCD со стороной а. Определите расстояние между серединой отрезка АМ , где М — середина ВС , и точкой N на стороне CD , делящей ее так, что CN: Введем систему координат с центром в вершине В. Тогда Найдем уравнение плоскости. Заметим, что не проходит через начало координат, поэтому и уравнение можно разделить на D; получим следующее уравнение: Итак уравнение плоскости имеет вид:. Теперь находим расстояние от точки В1 0,0,1 до плоскости. В этой системе координат вершины основания пирамиды имеют координаты: А 0;0;0 , В 2;2 ;0 , С 4;0;0. Обозначив через x , у, z координаты вершины пирамиды S, найдем их из условия:. Вычитая из первого уравнения третье, получаем. Вычитая из первого уравнения второе, получаем. Подставив в первое и второе уравнения, найденные значения , , получаем. Таким образом, вершина S имеет координаты S. Так как сфера описана около пирамиды SABC, то. Это соотношение в координатном виде равносильно системе уравнений: После вычитания четвертого уравнения системы из первого ее уравнения получаем: Подставив в это уравнение вместо a и b их найденные значения, получаем. Тогда искомая площадь S сферы равна: Стандартные задачи на применение метода координат в пространстве 1. Тетраэдр DABC задан координатами своих вершин D 2; 1; 3 ,. Эмулятор аппаратного трекера для передачи gps-координат в реальном режиме времени для Android Прямой геодезической задачи — отыскание координат второго пункта, при известных координатах первого, азимуту В данной работе будут рассмотрены три метода приближённого интегрирования определённого интеграла: Все эти методы будут подробно выведены с оценкой погрешности каждого из них Нефть и нефтепродукты метод определения содержания воды Методы обучения и их классификация Метод координат — способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Система координат — комплекс определений, реализующий метод координат, то есть способ определять положение точки или тела с помощью чисел или других символов. Цели изучения метода координат Можно выделить следующие цели изучения метода координат в школьном курсе геометрии: Суть метода координат Сущность метода координат как метода решения задач состоит в том, что, задавая фигуры уравнениями и выражая в координатах различные геометрические соотношения, мы можем решать геометрическую задачу средствами алгебры. Метод координат - это универсальный метод. Прямоугольная Декартова система координат Декарт Рене Родился в Турине в зажиточной дворянской семье. Направление задается углом поворота от луча ОХ до луча ОМ Метод координат формулы Длина вектора по его координатам Формула для нахождения координат середины отрезка Расстояние между двумя точками Уравнение окружности , центр окружности ,радиус r Уравнение прямой , при условии уравнением прямой в прямоугольной системе координат является уравнение первой степени Каждая прямая задается уравнением. Расстояние от точки до прямой m ,равно Расстояние от точки до плоскости , равно Вывод формулы. Опустим из точки перпендикуляр АВ на плоскость , заданную уравнением. Пусть - точка пересечения этого перпендикуляра с плоскостью. Тогда - расстояние от точки до плоскости. Поскольку вектор перпендикулярен плоскости ,он коллинеарен вектору. Это означает, что ,если , или ,если , то есть. Перепишем это равенство в координатах: Выберем систему координат как показано на рисунке. В выбранной системе координат вершины треугольника АВС будут иметь следующие координаты: Вычислим все величины, входящие в равенство: Подставим все эти значения в левую часть равенства: Зная что , вычислить скалярное произведение Решение. По свойству скалярного произведения раскроем скобки: Тогда точки M и N , согласно условию, будут иметь координаты: Так как Е — середина АМ , то ее координаты будут следующими: Найдем расстояние между точками E и N: Дан куб АВСDA1B1C1D1 с ребрами длины 1. На его боковом ребре АА 1 взята точка Е так, что. НА ребре ВС взята точка F так, что Через центр куба и точки Е и F проведена плоскость. Найти расстояние от вершины В до плоскости. Итак уравнение плоскости имеет вид: Основанием треугольной пирамиды SАВС является равносторонний треугольник АВС, сторона которого равна 4. Найдите площадь сферы, описанной около этой пирамиды. Введем в пространстве декартову прямоугольную систему координат так, чтобы ее начало совпадало с вершиной А данной пирамиды, направление оси абсцисс — с направлением луча АС, ось аппликат была перпендикулярна плоскости основания АВС пирамиды. Обозначив через x , у, z координаты вершины пирамиды S, найдем их из условия: Решая систему уравнений Вычитая из первого уравнения третье, получаем. Пусть центр О сферы имеет координаты a, b, c, а ее радиус равен R. Тетраэдр DABC задан координатами своих вершин D 2; 1; 3 , А 1; 0; 0 , В -1; 1; 0 , С 2; -1; 0. Найдите площадь поверхности тетраэдра, если известны координаты вершин его основания: В этом реферате собраны основные сведения о методе координат, которые имеются у старшеклассников, и в нем можно охватить одним взглядом весь пройденный материал. Надеюсь, данный реферат будет полезен ученикам при подготовке к урокам и выпускному экзамену Список используемой литературы: Счастье это когда тебя понимают Явный метод Эйлера
На первый взгляд, выглядит угрожающе, но достаточно немного практики — и все будет работать великолепно. Поскольку эта плоскость проходит через точки M, N и K, то координаты этих точек должны обращать уравнение в верное числовое равенство. Найти координаты вектора, перпендикулярного данной плоскости. А что, если в задаче нет векторов — есть только точки, лежащие на прямых, и требуется вычислить угол между этими прямыми? Эта теорема одинаково работает и на плоскости, и в пространстве. В пространстве расположены три точки, заданные своими координатами: Найти координаты векторов AB, AC и BC. Следовательно, чтобы найти его координаты, надо из координат точки B вычесть координаты точки A: Аналогично, начало вектора AC — все та же точка A, зато конец — точка C. Наконец, чтобы найти координаты вектора BC, надо из координат точки C вычесть координаты точки B: Обратите внимание на вычисление координат последнего вектора BC: Это касается переменной y: Не допускайте таких глупых ошибок! Если вы внимательно прочитаете задачу C2, то с удивлением обнаружите, что никаких векторов там нет. Там только прямые да плоскости. Для начала разберемся с прямыми. Кто-нибудь понял, что написано в предыдущем абзаце? Я и сам не понял, поэтому объясню проще: Если ввести систему координат и рассмотреть вектор с началом и концом в этих точках, получим так называемый направляющий вектор для прямой:. Зачем нужен этот вектор? Дело в том, что угол между двумя прямыми — это угол между их направляющими векторами. Таким образом, мы переходим от непонятных прямых к конкретным векторам, координаты которых легко считаются. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 проведены прямые AC и BD 1. Найдите координаты направляющих векторов этих прямых. Введем систему координат с началом в точке A и осями x, y, z, направленными вдоль прямых AB, AD и AA 1 соответственно. Теперь найдем координаты направляющего вектора для прямой AC. Нам потребуются две точки: Теперь разберемся с прямой BD 1. На ней также есть две точки: В правильной треугольной призме ABCA 1 B 1 C 1 , все ребра которой равны 1, проведены прямые AB 1 и AC 1. Для начала разберемся с прямой AB 1. Теперь найдем направляющий вектор для AC 1. Все то же самое — единственное отличие в том, что у точки C 1 иррациональные координаты. Небольшое, но очень важное замечание насчет последнего примера. Если начало вектора совпадает с началом координат, вычисления резко упрощаются: К сожалению, это верно лишь для векторов. Например, при работе с плоскостями присутствие на них начала координат только усложняет выкладки. Нормальные векторы — это не те векторы, у которых все в порядке, или которые чувствуют себя хорошо. По определению, нормальный вектор нормаль к плоскости — это вектор, перпендикулярный данной плоскости. Другими словами, нормаль — это вектор, перпендикулярный любому вектору в данной плоскости. Наверняка вы встречали такое определение — правда, вместо векторов речь шла о прямых. Однако чуть выше было показано, что в задаче C2 можно оперировать любым удобным объектом — хоть прямой, хоть вектором. Итак, плоскость тоже можно успешно заменить вектором — той самой нормалью. Всякая плоскость задается в пространстве тремя точками. Как найти уравнение плоскости а следовательно — и нормали , мы уже обсуждали в самом начале статьи. Однако этот процесс у многих вызывает проблемы, поэтому приведу еще парочку примеров:. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 проведено сечение A 1 BC 1. Найти нормальный вектор для плоскости этого сечения, если начало координат находится в точке A, а оси x, y и z совпадают с ребрами AB, AD и AA 1 соответственно. Поскольку плоскость не проходит через начало координат, ее уравнение выглядит так: Поскольку эта плоскость проходит через точки A 1 , B и C 1 , то координаты этих точек обращают уравнение плоскости в верное числовое равенство. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 проведено сечение AA 1 C 1 C. Поскольку плоскость проходит через точки A 1 и C, координаты этих точек обращают уравнение плоскости в верное числовое равенство. Вообще говоря, в приведенных задачах надо составлять систему уравнений и решать ее. Получится три уравнения и три переменных, но во втором случае одна из них будет свободной, то есть принимать произвольные значения. Очень часто в задаче C2 требуется работать с точками, которые делят отрезок пополам. Координаты таких точек легко считаются, если известны координаты концов отрезка. Тогда координаты середины отрезка — обозначим ее точкой H — можно найти по формуле:. Единичный куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 помещен в систему координат так, что оси x, y и z направлены вдоль ребер AB, AD и AA 1 соответственно, а начало координат совпадает с точкой A. Точка K — середина ребра A 1 B 1. Найдите координаты этой точки. Поскольку точка K — середина отрезка A 1 B 1 , ее координаты равных среднему арифметическому координат концов. Теперь найдем координаты точки K:. Найдите координаты точки L, в которой пересекаются диагонали квадрата A 1 B 1 C 1 D 1. Из курса планиметрии известно, что точка пересечения диагоналей квадрата равноудалена от всех его вершин. ЕГЭ ОГЭ Мои курсы Вебинары Школьникам Студентам Блог Обо мне Метод координат в пространстве 30 мая Для того, чтобы использовать метод координат, надо хорошо знать формулы. Уравнение плоскости в трехмерном пространстве: Поскольку координаты векторов нам даны, подставляем их в первую формулу: Составим и решим систему уравнений: Получили, что уравнение плоскости имеет вид: Вычисление координат векторов А что, если в задаче нет векторов — есть только точки, лежащие на прямых, и требуется вычислить угол между этими прямыми? Чтобы найти координаты вектора, надо из координат его конца вычесть координаты начала. Вычисление направляющих векторов для прямых Если вы внимательно прочитаете задачу C2, то с удивлением обнаружите, что никаких векторов там нет. Если ввести систему координат и рассмотреть вектор с началом и концом в этих точках, получим так называемый направляющий вектор для прямой: Вычисление нормальных векторов для плоскостей Нормальные векторы — это не те векторы, у которых все в порядке, или которые чувствуют себя хорошо. Однако этот процесс у многих вызывает проблемы, поэтому приведу еще парочку примеров: Координаты середины отрезка Очень часто в задаче C2 требуется работать с точками, которые делят отрезок пополам. Тогда координаты середины отрезка — обозначим ее точкой H — можно найти по формуле: Другими словами, координаты середины отрезка — это среднее арифметическое координат его концов. Теперь найдем координаты точки K:
Складывание массива русских актов
Приказ минкультуры 558 от 25.08 10
Инструкция автосигнализации шерхан
Ria новости россия сегодня
Состави назначение проекта организации строительства