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陳亮廷 理想上範疇的完備化過程可以當作 是從 Cat 範疇到 Cat 範疇的 endo-functor，
完備化前後的範疇大小要一致 。有些構造像是對範疇取 Cauchy completion 的話，
原本是 small category 的話（所有的 objects 是某個給定 Grothendieck universe 內的 Set），
取 completion 後還是 small；或是粘上有限的 coproducts 也可以保持大小不變。

但並不是所有的 completion 都可以保持範疇的大小，例如 ind-completion 就是一例。
考慮「有限集合」所構成的範疇，他跟「有限序數」組成的範疇是相等的是個小範疇，
但是取 ind-completion 後會相等於「所有集合」構成的範疇，因為所有的集合是有限子集的 directed union，但這是一個大範疇。
讚 · 回覆 · 5月15日 23:24 · 已編輯

陳亮廷 至於怎麼解決的，Max Kelly 做了一個我還沒看懂的構造方式，
設計一種 CAT（所有 larget category 的 category..）
使得把這個完備化的過程真的看作一種 endofunctor 甚至是 2-monad，不會出現大小不合的問題 ..
讚 · 回覆 · 1 · 5月15日 18:46