20230107_skewness.tex

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\documentclass[b5paper,xelatex,ja=standard,10pt]{bxjsarticle}
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\makeatletter
\renewcommand*\l@section{\@dottedtocline{1}{0.0em}{4.0em}}
\makeatother

\title{{\bf 標本歪度の漸近分布}}
\author{Chihiro Mihara}
\date{}

\setlength\parindent{0pt}

\begin{document}
% 地の文の文字色をグレーに変更する
\addfontfeatures{Color=DarkGray}
\addCJKfontfeatures{Color=DarkGray}
\maketitle
\vspace{-20pt}

\begin{thebibliography}{9}
\bibitem{vaart_2000} A. W. van der Vaart. Asymptotic Statistics. Cambridge University Press, 2000.
\end{thebibliography}


\begin{PROP}[colback=White]{定義〈歪度〉}
確率変数 $X$ の歪度 $\lambda$ は、$X$ の3次の中心モーメント $\mu_{3}$ と $X$ の標準偏差 $\sigma$ を用いて $\lambda \equiv \mu_{3} / \sigma^3$ と定義される。
\end{PROP}

\begin{PROP}[colback=White]{定義〈標本歪度〉}
標本 $(X_1, \, X_2, \, \cdots, \, X_n)$ の標本歪度 $l_n$ は以下のように定義される。
\begin{equation*}
l_n \equiv \frac{n^{-1}\sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X}_n)^3 }{ \Bigl( n^{-1}\sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X}_n)^2 \Bigr)^{3/2}}
\end{equation*}
\end{PROP}

\begin{PROP}[colback=White]{問題}
いま、$X_1, \, X_2, \, \cdots, \, X_n$ が独立に同一の分布から生成されているとする。このとき、標本 $(X_1, \, X_2, \, \cdots, \, X_n)$ の標本歪度 $l_n$ の漸近分布を求めよ。
\end{PROP}

中心極限定理とデルタ法を利用するため、$l_n$ を $\overline{X_n}, \, \overline{X_n^2} , \, \cdots$ で表すことを目指すと、\begin{equation*}
\begin{split} l_n &= \frac{n^{-1}\sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X_n})^3 }{ \bigl( n^{-1}\sum_{i=1}^{n} (X_i - \overline{X_n})^2 \bigr)^{3/2}} \\ &= \frac{n^{-1}\sum_{i=1}^{n} (X_i^3 - 3 X_i^2 \overline{X_n} + 3 X_i \overline{X_n}^2 - \overline{X_n}^3) }{ \bigl( n^{-1}\sum_{i=1}^{n} (X_i^2 -2 X_i \overline{X_n} + \overline{X_n}^2 ) \bigr)^{3/2}} \\ &= \frac{ (\overline{X_n^3} - 3 \overline{X_n^2} \overline{X_n} + 2 \overline{X_n}^3) }{ ( \overline{X_n^2} - \overline{X_n}^2 )^{3/2}} \\ & \equiv \phi( \overline{X_n}, \, \overline{X_n^2} , \, \overline{X_n^3} )\end{split}
\end{equation*}
となる。ここで、$\phi(x_1, \, x_2, \, x_3)$ は以下のような関数であり、これは $\{ (x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R}^3 \, | \, x_2 > x_1^2\}$ 上で微分可能である。後々のためヤコビ行列 $\phi'(x_1, \, x_2, \, x_3)$ も求めておく。
\begin{equation}
\begin{split} \phi(x_1, \, x_2, \, x_3) &= \displaystyle \frac{x_3- 3 x_1 x_2 + 2 x_1^3}{(x_2 - x_1^2)^{3/2}}
\end{split}
\end{equation}
\small
\begin{align*}
\phi'(x_1, \, x_2, \, x_3)^{\top} &= 
\left( \begin{array}{c}
 \displaystyle \frac{(-3x_2 + 6 x_1^2 )(x_2 - x_1^2)^{3/2} + 3 x_1 (x_3- 3 x_1 x_2 + 2 x_1^3) (x_2 - x_1^2)^{1/2}}{(x_2 - x_1^2)^3}  \\ \displaystyle \frac{-3x_1 (x_2 - x_1^2)^{3/2} - (3/2) (x_3- 3 x_1 x_2 + 2 x_1^3) (x_2 - x_1^2)^{1/2}}{(x_2 - x_1^2)^3} \\ \displaystyle \frac{1}{(x_2 - x_1^2)^{3/2}}
\end{array} \right)
\\
&= \frac{1}{(x_2 - x_1^2)^{3/2}}
\left( \begin{array}{c}
 (-3x_2 + 6 x_1^2 ) + 3 x_1 (x_3- 3 x_1 x_2 + 2 x_1^3) (x_2 - x_1^2)^{-1/2} \\ -3x_1 - (3/2) (x_3- 3 x_1 x_2 + 2 x_1^3) (x_2 - x_1^2)^{-1/2} \\ 1
\end{array} \right)
\stepcounter{equation}\tag{\theequation}
\end{align*}
\normalsize

次に、$( \overline{X_n}, \, \overline{X_n^2} , \, \overline{X_n^3} )$ に中心極限定理を適用する。$X_1$ の原点周りの $k$ 次モーメントを $\alpha_k$ とすると、$(X_1, X_1^2, X_1^3)$ の分散共分散行列 $V^{(X)}$ は、
\small
\begin{align*}
V^{(X)} &= \mathbb{E} \left[  \left( \begin{array}{ccc}
(X_1 - \alpha_1)(X_1 - \alpha_1)
& (X_1 - \alpha_1)(X_1^2 - \alpha_2) 
& (X_1 - \alpha_1)(X_1^3 - \alpha_3)
\\
(X_1^2 - \alpha_2)(X_1 - \alpha_1)
& (X_1^2 - \alpha_2)(X_1^2 - \alpha_2) 
& (X_1^2 - \alpha_2)(X_1^3 - \alpha_3)
\\
(X_1^3 - \alpha_3)(X_1 - \alpha_1)
& (X_1^3 - \alpha_3)(X_1^2 - \alpha_2) 
& (X_1^3 - \alpha_3)(X_1^3 - \alpha_3)
\end{array} \right) \right]
\\
&= \mathbb{E} \left[  \left( \begin{array}{ccc}
X_1^2 - 2\alpha_1 X_1 + \alpha_1^2
& X_1^3 - \alpha_1 X_1^2 - \alpha_2 X_1 + \alpha_1 \alpha_2 
& X_1^4 - \alpha_1 X_1^3 - \alpha_3 X_1 + \alpha_1 \alpha_3 
\\
X_1^3 - \alpha_1 X_1^2 - \alpha_2 X_1 + \alpha_1 \alpha_2
& X_1^4 - 2\alpha_2 X_1^2 + \alpha_2^2
& X_1^5 - \alpha_2 X_1^3 - \alpha_3 X_1^2 + \alpha_2 \alpha_3
\\
X_1^4 - \alpha_1 X_1^3 - \alpha_3 X_1 + \alpha_1 \alpha_3
& X_1^5 - \alpha_2 X_1^3 - \alpha_3 X_1^2 + \alpha_2 \alpha_3
& X_1^6 - 2\alpha_3 X_1^3 + \alpha_3^2
\end{array} \right) \right]
\\
&= \left( \begin{array}{ccc}
\alpha_2 - 2\alpha_1 \alpha_1 + \alpha_1^2
& \alpha_3 - \alpha_1 \alpha_2 - \alpha_2 \alpha_1 + \alpha_1 \alpha_2 
& \alpha_4 - \alpha_1 \alpha_3 - \alpha_3 \alpha_1 + \alpha_1 \alpha_3 
\\
\alpha_3 - \alpha_1 \alpha_2 - \alpha_2 \alpha_1 + \alpha_1 \alpha_2
& \alpha_4 - 2\alpha_2 \alpha_2 + \alpha_2^2
& \alpha_5 - \alpha_2 \alpha_3 - \alpha_3 \alpha_2 + \alpha_2 \alpha_3
\\
\alpha_4 - \alpha_1 \alpha_3 - \alpha_3 \alpha_1 + \alpha_1 \alpha_3
& \alpha_5 - \alpha_2 \alpha_3 - \alpha_3 \alpha_2 + \alpha_2 \alpha_3
& \alpha_6 - 2\alpha_3 \alpha_3 + \alpha_3^2
\end{array} \right)
\\
&= \left( \begin{array}{ccc}
\alpha_2 - \alpha_1^2
& \alpha_3 - \alpha_1 \alpha_2 
& \alpha_4 - \alpha_1 \alpha_3 
\\
\alpha_3 - \alpha_1 \alpha_2
& \alpha_4 - \alpha_2^2
& \alpha_5 - \alpha_2 \alpha_3 
\\
\alpha_4 - \alpha_1 \alpha_3 
& \alpha_5 - \alpha_2 \alpha_3 
& \alpha_6 - \alpha_3^2
\end{array} \right)
\stepcounter{equation}\tag{\theequation} 
\end{align*}
\normalsize
となる。よって、中心極限定理より以下が成り立つ。
\begin{equation}
\label{clt}
\begin{split}
\sqrt{n} \left(
\begin{array}{c}
\overline{X_n} - \alpha_1 \\ \overline{X_n^2} - \alpha_2 \\ \overline{X_n^3} - \alpha_3
\end{array}
\right)
\rightsquigarrow
\mathcal{N} \left(
\left(
\begin{array}{c}
0 \\ 0 \\ 0
\end{array}
\right), \; V^{(X)}
\right)
\end{split}
\end{equation}
したがって、$T^{(X)} = (T^{(X)}_1, \, T^{(X)}_2, \, T^{(X)}_3)$ を (\ref{clt}) の右辺の3変量正規分布にしたがう確率ベクトルとすると、デルタ法より、以下の (\ref{delta}) が成り立つ。ただし、$\lambda$ は $X_1$ の歪度であり、$\lambda = \phi(\alpha_1, \, \alpha_2, \, \alpha_3)$ であることを用いた。
\begin{equation*}
\sqrt{n} \bigl( \phi( \overline{X_n}, \, \overline{X_n^2} , \, \overline{X_n^3} ) - \phi(\alpha_1, \, \alpha_2, \, \alpha_3)\bigr) \rightsquigarrow \phi'(\alpha_1, \, \alpha_2, \, \alpha_3) T^{(X)}
\end{equation*}
\begin{equation}
\label{delta}
\Rightarrow \quad \sqrt{n} ( l_n - \lambda ) \rightsquigarrow \phi'(\alpha_1, \, \alpha_2, \, \alpha_3) T^{(X)}
\end{equation}

(\ref{delta}) の右辺の分布は多変量正規分布にしたがう確率ベクトルの線形変換だが、多変量正規分布にしたがう確率ベクトルの線形変換は多変量正規分布にしたがうので、結局 $\sqrt{n} ( l_n - \lambda )$ は正規分布にしたがう\footnote{分布の特性関数を用いると証明しやすい。}。具体的に、以下となる。
\begin{equation}
\label{char}
\sqrt{n} ( l_n - \lambda ) \rightsquigarrow \mathcal{N} \Bigl( 0, \; \phi'(\alpha_1, \, \alpha_2, \, \alpha_3)^{\top} V^{(X)} \phi'(\alpha_1, \, \alpha_2, \, \alpha_3) \Bigr)
\end{equation}

(\ref{char}) 式の分散を計算すればよいが、このベクトルと行列とベクトルの積の計算は項が多い。\\
ここで、$X_1$ を1次関数で変換した $Y_1 \equiv a X_1 + b$ なる確率変数を考える。標本歪度の定義より、$l_n = \phi( \overline{X_n}, \, \overline{X_n^2} , \, \overline{X_n^3} ) = \phi( \overline{Y_n}, \, \overline{Y_n^2} , \, \overline{Y_n^3} )$ であるので、$Y_1$ の原点周りの $k$ 次モーメントを $\beta_k$ とすると、以下の (\ref{delta2}) も成り立つ。ただし、$T^{(Y)}$ は (\ref{clt2}) の右辺の3変量正規分布にしたがう確率ベクトルである。
\begin{equation}
\label{clt2}
\begin{split}
\sqrt{n} \left(
\begin{array}{c}
\overline{Y_n} - \beta_1 \\ \overline{Y_n^2} - \beta_2 \\ \overline{Y_n^3} - \beta_3
\end{array}
\right)
\rightsquigarrow
\mathcal{N} \left(
\left(
\begin{array}{c}
0 \\ 0 \\ 0
\end{array}
\right), \;
V^{(Y)}
\right)
\end{split}
\end{equation}
\begin{equation*}
V^{(Y)} \equiv \left(
\begin{array}{ccc}
\beta_2 - \beta_1^2
& \beta_3 - \beta_1 \beta_2 
& \beta_4 - \beta_1 \beta_3 
\\
\beta_3 - \beta_1 \beta_2
& \beta_4 - \beta_2^2
& \beta_5 - \beta_2 \beta_3 
\\
\beta_4 - \beta_1 \beta_3 
& \beta_5 - \beta_2 \beta_3 
& \beta_6 - \beta_3^2
\end{array}
\right)
\end{equation*}
\begin{align*}
\label{delta2}
& \quad \sqrt{n} \bigl( \phi( \overline{Y_n}, \, \overline{Y_n^2} , \, \overline{Y_n^3} ) - \phi(\beta_1, \, \beta_2, \, \beta_3)\bigr) \rightsquigarrow \phi'(\beta_1, \, \beta_2, \, \beta_3) T^{(Y)} \\
\Rightarrow & \quad \sqrt{n} ( l_n - \lambda ) \rightsquigarrow \phi'(\beta_1, \, \beta_2, \, \beta_3) T^{(Y)} \\
\Rightarrow & \quad \sqrt{n} ( l_n - \lambda ) \rightsquigarrow \mathcal{N} \Bigl( 0, \; \phi'(\beta_1, \, \beta_2, \, \beta_3)^{\top} V^{(Y)} \phi'(\beta_1, \, \beta_2, \, \beta_3) \Bigr)
\stepcounter{equation}\tag{\theequation} 
\end{align*}

結局 (\ref{delta2}) 式の分散を計算することになるが、いま、$\beta_1 = a \alpha_1 + b, \, \beta_2 = a^2 \alpha_2 + 2ab \alpha_1 + b^2, \, \beta_2 - \beta_1^2 = a^2(\alpha_2 - \alpha_1^2)$ であり、$a, \, b$ は任意なので、$a = \sqrt{(\alpha_2 - \alpha_1^2)}, \; b = - a \alpha_1$ とすれば、$\beta_2 - \beta_1^2 = 1, \, \beta_1 = 0, \; \beta_2 = 1$ となり、$\phi'(\beta_1, \, \beta_2, \, \beta_3)$ と $V^{(Y)}$ の式がシンプルになる。
\begin{equation*}
\phi'(\beta_1, \, \beta_2, \, \beta_3)^{\top} = 
\left( \begin{array}{c}
-3 \\
- (3/2) \beta_3 \\ 1
\end{array} \right)
\end{equation*}
\begin{equation*}
V^{(Y)} \equiv \left(
\begin{array}{ccc}
1
& \beta_3
& \beta_4
\\
\beta_3
& \beta_4 - 1
& \beta_5 - \beta_3 
\\
\beta_4
& \beta_5 - \beta_3 
& \beta_6 - \beta_3^2
\end{array}
\right)
\end{equation*}
シンプルになったので (\ref{delta2}) 式の分散を計算すると、
\begin{equation*}
\phi'(\beta_1, \, \beta_2, \, \beta_3)^{\top} V^{(Y)} \phi'(\beta_1, \, \beta_2, \, \beta_3)
= 9 + \frac{35}{4} \beta_3^2 + \frac{9}{4} \beta_3^2 \beta_4 - 3 \beta_3 \beta_5 - 6 \beta_4 + \beta_6
\end{equation*}
となる。ここで、$\beta_k$ は $X_1$ を1次関数で変換した $Y_1 \equiv a X_1 + b$ という確率変数の原点周りのモーメントだが、いま、$a = \sqrt{(\alpha_2 - \alpha_1^2)} = \sigma, \; b = - a \alpha_1$ としたので、$\beta_k = \mu_k / \sigma^k$ になっている。ここで、$\mu_k$ は $X_1$ の $k$ 次の中心モーメント、$\sigma$ は $X_1$ の標準偏差である。それを反映すると、以下となる。
\begin{equation*}
\phi'(\beta_1, \, \beta_2, \, \beta_3)^{\top} V^{(Y)} \phi'(\beta_1, \, \beta_2, \, \beta_3)
= 9 + \frac{35}{4} \frac{\mu_3^2}{\sigma^6} + \frac{9}{4} \frac{\mu_3^2 \mu_4}{\sigma^{10}} - 3 \frac{\mu_3 \mu_5}{\sigma^8} - 6 \frac{\mu_4}{\sigma^4} + \frac{\mu_6}{\sigma^6}
\end{equation*}
これを (\ref{delta2}) 式に代入して、標本歪度の漸近分布を得る。
\begin{equation}
\label{ans_}
\sqrt{n} ( l_n - \lambda ) \rightsquigarrow \mathcal{N} \Bigl( 0, \; 9 + \frac{35}{4} \frac{\mu_3^2}{\sigma^6} + \frac{9}{4} \frac{\mu_3^2 \mu_4}{\sigma^{10}} - 3 \frac{\mu_3 \mu_5}{\sigma^8} - 6 \frac{\mu_4}{\sigma^4} + \frac{\mu_6}{\sigma^6} \Bigr)
\end{equation}
%\vspace{10pt}
\hrulefill

もし $X_1$ が正規分布にしたがうならば、$\mu_3 = \mu_5 = 0, \; \mu_4 / \sigma^4 = 3, \; \mu_6 / \sigma^6 = 15$ であるので、
\begin{equation}
\label{ans}
\sqrt{n} ( l_n - \lambda ) \rightsquigarrow \mathcal{N} \Bigl( 0, \; 6 \Bigr)
\end{equation}

\end{document}

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% 数式フォント用
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% 独自の命題枠の定義
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