myFunc

0605.jsx

function cashImg(url){
  const {ipcRenderer} = require("electron");
  var cashUrl = ""
  ipcRenderer.send("downloadImgSig",url);
  const imgMakeTask = new Promise((resolve,reject) =>{
    ipcRenderer.once("imgManagerResponsed",(event,arg) =>{
        console.log("breakpoint1:",arg);
        resolve(arg);
      })
    });
  imgMakeTask.then((value) => {
      console.log("breakpoint2:",value);
      cashUrl = cashUrl + value;
      console.log("breakpoint3:",cashUrl);
  });
  return cashUrl;
};

ipcRenderer.onで動作するcallbackは非同期になります。
なので受け取る側も非同期で動作するコード(promiseの解決に従って動くコード)を書く必要があります。
以下にサンプルコードを書いておきます。（拡張子が.jsxだったので、Reactと推察しています。動作確認はしていませんので、動かなかったらすみません。。）

function cashImg(url){
  const {ipcRenderer} = require("electron");
  var cashUrl = ""
  ipcRenderer.send("downloadImgSig",url);
  return new Promise((resolve,reject) =>{
    ipcRenderer.once("imgManagerResponsed",(event,arg) =>{
      console.log("cashUrl:",arg);
      resolve(arg);
    })
  });
};

class Component extends React.Component {
  constructor(props) {
    super(props)
    this.state = { cashUrl: '' }
  }
  handleClick() {
    cashImg('http://example.com').then(cashUrl => {
      this.setState({ cashUrl })
    })
  }
  render () {
    return <div> <button onClick={() => this.handleClick()}>Click</button></div>
  }
}

蛇足ですが、非同期処理のコードはasync/awaitというES2017で策定された構文で書くと直感的に書けます（動作は変わりません）
https://developer.mozilla.org/en-US/docs/Web/JavaScript/Reference/Statements/async_function
使用しているElectronのバージョンにもよりますが、最新を使っていればこれも動作すると思います。

  async handleClick() {
    try {
      const cashUrl = await cashImg('http://example.com')
      this.setState({ cashUrl })
    } catch (e) {
      // error handling
    }
  }