программа ммф

Методы
математической физики
Лектор — Татьяна Юрьевна Михайлова
5-й семестр
1. Основные
уравнения математической физики
и постановка краевых задач
Уравнение малых поперечных колебаний струны. Поперечные ко-
лебания мембраны. Система уравнений акустики. Уравнение тепло-
проводности и диффузии. Задачи, приводящие к уравнениям Лапла-
са и Пуассона. Классификация линейных дифференциальных урав-
нений второго порядка. Задача Коши для гиперболических и парабо-
лических уравнений. Краевые задачи для эллиптических уравнений.
Смешанные задачи для гиперболических и параболических уравне-
ний. Корректность. Пример Адамара.
2. Гиперболические уравнения
Задача Коши для волнового уравнения. Распространение волн в
пространстве. Формулы Пуассона и Кирхгофа. Метод спуска. Фор-
мула Даламбера. Принцип Гюйгенса. Применение метода разделения
переменных к решению краевых задач для гиперболических уравне-
ний. Задача на собственные значения для уравнения Гельмгольца.
3. Эллиптические уравнения
Задачи Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа. Решение для
простейших областей методом разделения переменных. Регулярные
гармонические функции. Преобразование Кельвина. Формулы Гри-
на. Интегральные представления решений задач Дирихле и Неймана.
Теорема о среднем. Принцип экстремума для гармонических функ-
ций. Доказательство единственности решения задачи Дирихле для
уравнения Лапласа. Функция Грина. Формулы Пуассона для шара и
полупространства. Применение потенциалов к решению краевых за-
дач. Ньютонов потенциал. Потенциалы простого и двойного слоя, их
основные свойства. Сведение краевых задач к интегральным уравне-
ниям. Доказательство теорем существования и единственности с по-
мощью теоремы Фредгольма.
4
4. Параболические уравнения
Задача Коши для уравнения теплопроводности. Применение ин-
тегральных преобразований для построения фундаментального ре-
шения уравнения теплопроводности. Функция источника, или фун-
даментальное решение уравнения теплопроводности. Функция оши-
бок. Смешанная задача для уравнения теплопроводности. Примене-
ние функции Грина.
5. Элементы
теории представлений групп
Группа вращений трехмерного евклидова пространства и ее одно-
параметрические подгруппы. Понятие представления группы. Уни-
тарные, приводимые и вполне приводимые представления. Неприво-
димое представление и его вес. Построение канонического базиса
неприводимого представления. Представление группы вращений в про-
странстве однородных гармонических полиномов. Вид собственных
функций инвариантного оператора. Сферические гармоники и их
основные свойства. Приложение к задаче о колебании шара. Спинор-
ное представление группы вращений. Группа SU (2). Произведение
двух неприводимых представлений и его разложение на неприводи-
мые.
6. Уравнения
и системы уравнений первого порядка
с частными производными
Линейные и квазилинейные уравнения первого порядка. Характе-
ристики. Постановка и решение задачи Коши. Линейные и квазили-
нейные системы уравнений первого порядка. Характеристические по-
верхности. Уравнение характристических нормалей. Классификация.
Постановка задачи Коши. Система типа Коши — Ковалевской. При-
ведение гиперболической системы в двумерном случае к канониче-
скому виду. Инварианты Римана. Соотношения на характеристиках.
Симметрические t-гиперболические системы по Фридрихсу. Интеграл
энергии и построение области единственности решения задачи Коши.
Уравнение Гамильтона — Якоби. Постановка смешанных задач для
гиперболических систем.