Neamar/article-1.tex

## article-1.tex
Comme le dit jadis, par un matin de janvier au début du \century{XX} siècle, monsieur Ernst Zermelo : \quote{Brrr, fait pas chaud aujourd'hui.}

\quote{Mais qu'à cela ne tienne !}, ajouta-t-il avant de s'en retourner gratter derrière son bureau en bois d'acacia\footnote{Cet article ne cite pas suffisamment ses sources.}. Axiomatiser\footnote{21 points au Scrabble} la théorie des ensembles, et par la même occasion toutes les mathématiques, c'est pas une mince affaire. Alors, entre deux complétions, pour se détendre, il travaille sur d'autres "petits" théorèmes. C'est en 1904 qu'il publie une "petite" démonstration, celui du théorème de bon ordre, qui finira par s'appeler théorème de Zermelo\footnote{17 points au Scrabble}.

\begin[Théorème de Zermelo]{quote}
Donne-moi un ensemble, je te définirai un bon ordre. C'est-à-dire que n'importe quel sous-ensemble (non-vide) dudit ensemble contiendra un plus petit élément.
\end{quote}

Ouais, bon, ça a pas l'air comme ça, mais d'une part c'est pas si simple à démontrer, d'autre part, c'est tout à fait contre-intuitif. Ben oui. Un plus petit élément sur $\mathbb{R}$, c'est déjà bizarre. Mais sur n'importe quel sous-ensemble de $\mathbb{R}$... alors, la communauté mathématique réagit avec véhémence, et pointe du doigt une toute petite phrase de rien du tout : l'énonciation par Zermelo de l'existence d'une fonction "de choix"\footnote{C'est pas comme ça qu'il le dit, évidement, vous verrez plus bas une explication de ce que "de choix" veut dire.} pour tout ensemble. Dès lors, on regarde cette histoire de choix avec un oeil suspicieux. L'infini pose \l[http://omnilogie.fr/LM]{encore une fois} problème. Car si l'on peut choisir un bonbon dans une boîte de bonbons, choisir deux bonbons dans deux boîtes de bonbons... peut continuer comme ça jusqu'à l'infini ?
Zermelo répond alors à ses détracteurs \quote{Bah, j'ai admis cette propriété, c'est un axiome, quoi. On verra plus tard pour les explications, j'en ai encore pour quatre ans et je suis à vous.}

Et en effet, en 1908, Ernst Zermelo publie un papier dans lequel il énonce 7 axiomes :

\item Axiome d'extensionnalité : si tout élément de A appartient à B et vice versa, alors A = B ;
\item Axiome des ensembles élémentaires : il existe un unique ensemble vide, pour tout a définissable il existe un unique ensemble singleton {a}, et pour tout a,b définissables il existe un unique ensemble {a,b} ;
\item Axiome de séparation : si une propriété P est définie sur un ensemble A, alors il existe un sous-ensemble de A tel que P soit vraie pour tout élément de ce sous-ensemble ;
\item Axiome de l'ensemble des parties : pour tout ensemble A, il existe un ensemble A' dont les éléments sont les sous-ensembles de A ;
\item Axiome de la réunion : pour tout ensemble A, il existe un ensemble ∪A dont les éléments sont les éléments de chacun des éléments de A\footnote{Il faut là faire un petit détour pour bien comprendre ce que cela signifie. D'après Zermelo, tout objet mathématique peut se définir sous la forme d'un ensemble, et le reste de son papier est consacré à cette constatation. Ici, A est donc un ensemble... et chacun de ses éléments est lui aussi un ensemble. On peut donc parler d'un élément d'un élément de A.} ;
\item Axiome de l'infini : il existe un ensemble qui contient l'ensemble vide et qui est stable par l'application de la fonction x->x∪{x} ;
\item Et pour finir, le fameux axiome du choix : pour un ensemble A, il existe une fonction f telle que si x∈A, f(x)∈x, donc une fonction qui "choisit" un élément dans chaque ensemble.

Et avec tout ça, on peut développer la théorie des ensembles, mais aussi les théories d'analyses, de géométrie, d'algèbre... en bref, toutes les mathématiques\footnote{À l'exception cependant de la théorie des ordinaux et des grands cardinaux.}. Et en plus, cela permet d'éviter les paradoxes comme celui de Russel. Le seul problème, c'est cet axiome du choix. Non content d'impliquer le théorème de Zermelo, il implique aussi d'autres résultats fâcheux, comme l'existence de parties de $\mathbb{R}$ non mesurables, ou dans une version plus bizarre encore \l[http://omnilogie.fr/1P0]{le paradoxe de Banach-Tarsky}\footnote{Un peu d'auto-publicité ne nuit pas.}. En bref, il a l'air un peu louche ; les mathématiciens prennent donc soin à chaque nouveau théorème de préciser si oui ou non ils ont besoin d'admettre l'axiome "de Zermelo" pour le démontrer. Deux branches des mathématiques\footnote{29 points au Scrabble} se développent, et certains théorèmes ne sont vrais que dans l'une ou l'autre de ces branches (par exemple, sans l'axiome du choix, une réunion d'un nombre dénombrable d'ensembles dénombrables peut être indénombrable\footnote{19 points au Scrabble}). Il faudra attendre \l[http://omnilogie.fr/Q7]{Kurt Gödel} et sa notion de démontrabilité pour pouvoir affirmer en 1938 que les résultats obtenus avec l'axiome du choix, bien que souvent perturbants, ne sont pas contradictoires.

Paul Cohen complète cela en 1963 en prouvant que la négation de l'axiome du choix n'est pas non plus contradictoire ; il mérite donc bien son titre d'axiome car il n'est ni vrai, ni faux.

Aujourd'hui encore, bien que cet axiome soit communément admis, notamment dans les théories d'algèbre (car pour trouver une base à tout espace vectoriel, vous avez besoin de l'axiome du choix), on le manipule toujours avec des pincettes.

Et vous voilà arrivé au bout de cet article. Vous connaissez désormais la base de toute la théorie des ensembles de Zermelo (Z), souvent appelée Zermelo-Fr\aenkel (ZF) quand on y ajoute la théorie des ordinaux. Si vous admettez l'axiome du choix, vous obtenez la théorie ZFC, qui n'est ni plus ni moins que l'univers mathématique que vous explorez depuis la maternelle jusqu'à vos études supérieures. Eh oui. Ces heures passées à réviser, à faire des antisèches, à rentrer ses formules dans sa calculette... tout ça pour apprendre des petits corolaires évidents des propriétés qui se trouvent juste là\footnote{2 points au Scrabble}.

## article-2.tex
    La veille de la Toussaint, le 31 octobre, c'est la fête d'Halloween. Son nom vient de l'anglais \i{"All Hallows Eve"} signifiant en anglais \i{"the eve of All Saints' Day"} que l'on peut traduire par « la veillée de la Toussaint ». Elle prend ses racines dans une ancienne fête païenne : la fête de Samain ( ou Samhain), une fête religieuse célébrant le début de la saison « sombre » de l'année celtique, celle-ci composée de deux saisons : une saison sombre et une saison claire. La fête de Samain est devenue Halloween quand les chrétiens ont cherché à modifier les pratiques religieuses celtiques tout en supprimant les druides qui étaient comme les leaders religieux.

    Elle est à l'origine une fête des îles Anglo-Celtes\footnote{Grande-Bretagne et l'Irlande}. "Oíche Shamhna" de son nom gaélique, elle est une fête très populaire en Irlande, Écosse et au Pays de Galles depuis des décennies. \labelimage[Jack-o'-lantern]{http://www.iledelabarbade.com/wp-content/uploads/2013/10/E-citrouille-Halloween-Lumi%C3%A8res.jpg}D'ailleurs la citrouille d'Halloween ou  "Jack-o'-lantern", est elle-même issue d'une légende irlandaise.
De part ses origines Irlandaises, elle est introduite en Amérique après leur émigration massive aux Etats-Unis après la grande famine de 1845 à 1851. Puis elle s'y popularise dès 1920 et apparaisse les Jack-o'-lanterns faites à partir de citrouilles alors qu'elles étaient auparavant confectionnées avec des rutabagas.

Halloween est aujourd'hui célébrée essentiellement au Royaume-Uni, en Irlande, aux États-Unis, au Canada, en Australie et en Nouvelle-Zélande.
La tradition moderne  veut que les enfants déguisés en êtres qui font peur (fantômes, sorcières, monstres, vampires...)  aillent sonner aux portes demander des bonbons en disant "Trick or treat!" (« Farce ou friandise ! »)

\image[description]{/images/O/40a35986ed95961f41ce2b39baedba37.png}

## article-3.tex
Rares sont les personnes qui n'ont jamais entendu parler de cette boisson gazeuse à forte teneur en sucre . Symbole de l'Amérique , de la surconsommation et de la malbouffe , le Coca Cola a conquis la planète au cours du \c{ XX } siècle .
Les chiffres générés par la vente de ce soda sont vertigineux : en 2010 , plus de 72 milliards de litres en furent sirotés , ce qui représente environ 100 milliards de dollars de chiffre d'affaire pour la firme d'Atlanta .

Sa recette originale , élaborée en 1885 , est un mythe soigneusement entretenu . Mais saviez-vous que sa mise au point par le pharmacien John Pemberton à Colombus est en réalité inspirée d'une célèbre recette du vieux continent ?
En effet , il est de notoriété publique que le Coca Cola est un ersatz du vin Mariani , médicament confectionné à partir de 1863 par le chimiste corse Angelo Mariani . Des personnalités du monde entier ont apprécié les vertus de ce breuvage , de Voltaire au pape Léon XIII jusqu'à notre fameux pharmacien américain , Pemberton .

Cette recette contenant du vin de Bordeaux et des feuilles de coca péruvienne n'est plus produite depuis 1910 . Si le ministère du redressement productif avait existé à cette époque , nul doute qu'il aurait cru en ce nectar \i{ corsé } qui a remis sur pied bien des hommes . . .

## article-4.tex
                    Un outil de travail performant

        Le chef-d'oeuvre anatomique qui se balance au bout de nos bras n'a, pour l'instant, aucun rival.

        Un poignet, une paume, cinq doigts ... Aucun autre outils n'est capable à la fois de visser une ampoule, enfonçer un clou avec un marteau, assembler nos smartphones et autres ordinateurs portables, cueillir une cerise, pianoter négligemment, griffonner des notes, lancer une pièce ou reconnaître les yeux fermés le bouton STOP de son réveille-montre.

‘'Parmi tout ce qui existe dans le monde biologique ou matériel, notre main est l'organe qui assure la plus vaste gamme de tâches possibles, la plus grande adaptabilité, elle présente, de fait, un parfait compromis entre précision et puissance''(1)

        Cet  organe a joué un rôle dans le  destin d'Homos Sapiens. ‘' Il y a tout lieu de penser que ce sont les mains qui ont fait ce que nous sommes aujourd'hui, des êtres qui agissent sur le monde de manière active et créative.Dans beaucoup d'activités performatives, les mains prennent même le contrôle, elles possèdent leur propre savoir-faire, leur propre intelligence''(2)

        ‘'C'est la partie du corps la plus représentée dans notre cerveau, aussi bien dans le cortex sensoriel que dans le cortex moteur ; près de la moitié des neurones lui sont consacrés''(3)
	Comme le dit jadis, par un matin de janvier au début du \century{XX} siècle, monsieur Ernst Zermelo : \quote{Brrr, fait pas chaud aujourd'hui.}

	\quote{Mais qu'à cela ne tienne !}, ajouta-t-il avant de s'en retourner gratter derrière son bureau en bois d'acacia\footnote{Cet article ne cite pas suffisamment ses sources.}. Axiomatiser\footnote{21 points au Scrabble} la théorie des ensembles, et par la même occasion toutes les mathématiques, c'est pas une mince affaire. Alors, entre deux complétions, pour se détendre, il travaille sur d'autres "petits" théorèmes. C'est en 1904 qu'il publie une "petite" démonstration, celui du théorème de bon ordre, qui finira par s'appeler théorème de Zermelo\footnote{17 points au Scrabble}.

	\begin[Théorème de Zermelo]{quote}
	Donne-moi un ensemble, je te définirai un bon ordre. C'est-à-dire que n'importe quel sous-ensemble (non-vide) dudit ensemble contiendra un plus petit élément.
	\end{quote}

	Ouais, bon, ça a pas l'air comme ça, mais d'une part c'est pas si simple à démontrer, d'autre part, c'est tout à fait contre-intuitif. Ben oui. Un plus petit élément sur $\mathbb{R}$, c'est déjà bizarre. Mais sur n'importe quel sous-ensemble de $\mathbb{R}$... alors, la communauté mathématique réagit avec véhémence, et pointe du doigt une toute petite phrase de rien du tout : l'énonciation par Zermelo de l'existence d'une fonction "de choix"\footnote{C'est pas comme ça qu'il le dit, évidement, vous verrez plus bas une explication de ce que "de choix" veut dire.} pour tout ensemble. Dès lors, on regarde cette histoire de choix avec un oeil suspicieux. L'infini pose \l[http://omnilogie.fr/LM]{encore une fois} problème. Car si l'on peut choisir un bonbon dans une boîte de bonbons, choisir deux bonbons dans deux boîtes de bonbons... peut continuer comme ça jusqu'à l'infini ?
	Zermelo répond alors à ses détracteurs \quote{Bah, j'ai admis cette propriété, c'est un axiome, quoi. On verra plus tard pour les explications, j'en ai encore pour quatre ans et je suis à vous.}

	Et en effet, en 1908, Ernst Zermelo publie un papier dans lequel il énonce 7 axiomes :

	\item Axiome d'extensionnalité : si tout élément de A appartient à B et vice versa, alors A = B ;
	\item Axiome des ensembles élémentaires : il existe un unique ensemble vide, pour tout a définissable il existe un unique ensemble singleton {a}, et pour tout a,b définissables il existe un unique ensemble {a,b} ;
	\item Axiome de séparation : si une propriété P est définie sur un ensemble A, alors il existe un sous-ensemble de A tel que P soit vraie pour tout élément de ce sous-ensemble ;
	\item Axiome de l'ensemble des parties : pour tout ensemble A, il existe un ensemble A' dont les éléments sont les sous-ensembles de A ;
	\item Axiome de la réunion : pour tout ensemble A, il existe un ensemble ∪A dont les éléments sont les éléments de chacun des éléments de A\footnote{Il faut là faire un petit détour pour bien comprendre ce que cela signifie. D'après Zermelo, tout objet mathématique peut se définir sous la forme d'un ensemble, et le reste de son papier est consacré à cette constatation. Ici, A est donc un ensemble... et chacun de ses éléments est lui aussi un ensemble. On peut donc parler d'un élément d'un élément de A.} ;
	\item Axiome de l'infini : il existe un ensemble qui contient l'ensemble vide et qui est stable par l'application de la fonction x->x∪{x} ;
	\item Et pour finir, le fameux axiome du choix : pour un ensemble A, il existe une fonction f telle que si x∈A, f(x)∈x, donc une fonction qui "choisit" un élément dans chaque ensemble.

	Et avec tout ça, on peut développer la théorie des ensembles, mais aussi les théories d'analyses, de géométrie, d'algèbre... en bref, toutes les mathématiques\footnote{À l'exception cependant de la théorie des ordinaux et des grands cardinaux.}. Et en plus, cela permet d'éviter les paradoxes comme celui de Russel. Le seul problème, c'est cet axiome du choix. Non content d'impliquer le théorème de Zermelo, il implique aussi d'autres résultats fâcheux, comme l'existence de parties de $\mathbb{R}$ non mesurables, ou dans une version plus bizarre encore \l[http://omnilogie.fr/1P0]{le paradoxe de Banach-Tarsky}\footnote{Un peu d'auto-publicité ne nuit pas.}. En bref, il a l'air un peu louche ; les mathématiciens prennent donc soin à chaque nouveau théorème de préciser si oui ou non ils ont besoin d'admettre l'axiome "de Zermelo" pour le démontrer. Deux branches des mathématiques\footnote{29 points au Scrabble} se développent, et certains théorèmes ne sont vrais que dans l'une ou l'autre de ces branches (par exemple, sans l'axiome du choix, une réunion d'un nombre dénombrable d'ensembles dénombrables peut être indénombrable\footnote{19 points au Scrabble}). Il faudra attendre \l[http://omnilogie.fr/Q7]{Kurt Gödel} et sa notion de démontrabilité pour pouvoir affirmer en 1938 que les résultats obtenus avec l'axiome du choix, bien que souvent perturbants, ne sont pas contradictoires.

	Paul Cohen complète cela en 1963 en prouvant que la négation de l'axiome du choix n'est pas non plus contradictoire ; il mérite donc bien son titre d'axiome car il n'est ni vrai, ni faux.

	Aujourd'hui encore, bien que cet axiome soit communément admis, notamment dans les théories d'algèbre (car pour trouver une base à tout espace vectoriel, vous avez besoin de l'axiome du choix), on le manipule toujours avec des pincettes.

	Et vous voilà arrivé au bout de cet article. Vous connaissez désormais la base de toute la théorie des ensembles de Zermelo (Z), souvent appelée Zermelo-Fr\aenkel (ZF) quand on y ajoute la théorie des ordinaux. Si vous admettez l'axiome du choix, vous obtenez la théorie ZFC, qui n'est ni plus ni moins que l'univers mathématique que vous explorez depuis la maternelle jusqu'à vos études supérieures. Eh oui. Ces heures passées à réviser, à faire des antisèches, à rentrer ses formules dans sa calculette... tout ça pour apprendre des petits corolaires évidents des propriétés qui se trouvent juste là\footnote{2 points au Scrabble}.
	La veille de la Toussaint, le 31 octobre, c'est la fête d'Halloween. Son nom vient de l'anglais \i{"All Hallows Eve"} signifiant en anglais \i{"the eve of All Saints' Day"} que l'on peut traduire par « la veillée de la Toussaint ». Elle prend ses racines dans une ancienne fête païenne : la fête de Samain ( ou Samhain), une fête religieuse célébrant le début de la saison « sombre » de l'année celtique, celle-ci composée de deux saisons : une saison sombre et une saison claire. La fête de Samain est devenue Halloween quand les chrétiens ont cherché à modifier les pratiques religieuses celtiques tout en supprimant les druides qui étaient comme les leaders religieux.

	Elle est à l'origine une fête des îles Anglo-Celtes\footnote{Grande-Bretagne et l'Irlande}. "Oíche Shamhna" de son nom gaélique, elle est une fête très populaire en Irlande, Écosse et au Pays de Galles depuis des décennies. \labelimage[Jack-o'-lantern]{http://www.iledelabarbade.com/wp-content/uploads/2013/10/E-citrouille-Halloween-Lumi%C3%A8res.jpg}D'ailleurs la citrouille d'Halloween ou "Jack-o'-lantern", est elle-même issue d'une légende irlandaise.
	De part ses origines Irlandaises, elle est introduite en Amérique après leur émigration massive aux Etats-Unis après la grande famine de 1845 à 1851. Puis elle s'y popularise dès 1920 et apparaisse les Jack-o'-lanterns faites à partir de citrouilles alors qu'elles étaient auparavant confectionnées avec des rutabagas.

	Halloween est aujourd'hui célébrée essentiellement au Royaume-Uni, en Irlande, aux États-Unis, au Canada, en Australie et en Nouvelle-Zélande.
	La tradition moderne veut que les enfants déguisés en êtres qui font peur (fantômes, sorcières, monstres, vampires...) aillent sonner aux portes demander des bonbons en disant "Trick or treat!" (« Farce ou friandise ! »)

	\image[description]{/images/O/40a35986ed95961f41ce2b39baedba37.png}
	Rares sont les personnes qui n'ont jamais entendu parler de cette boisson gazeuse à forte teneur en sucre . Symbole de l'Amérique , de la surconsommation et de la malbouffe , le Coca Cola a conquis la planète au cours du \c{ XX } siècle .
	Les chiffres générés par la vente de ce soda sont vertigineux : en 2010 , plus de 72 milliards de litres en furent sirotés , ce qui représente environ 100 milliards de dollars de chiffre d'affaire pour la firme d'Atlanta .

	Sa recette originale , élaborée en 1885 , est un mythe soigneusement entretenu . Mais saviez-vous que sa mise au point par le pharmacien John Pemberton à Colombus est en réalité inspirée d'une célèbre recette du vieux continent ?
	En effet , il est de notoriété publique que le Coca Cola est un ersatz du vin Mariani , médicament confectionné à partir de 1863 par le chimiste corse Angelo Mariani . Des personnalités du monde entier ont apprécié les vertus de ce breuvage , de Voltaire au pape Léon XIII jusqu'à notre fameux pharmacien américain , Pemberton .

	Cette recette contenant du vin de Bordeaux et des feuilles de coca péruvienne n'est plus produite depuis 1910 . Si le ministère du redressement productif avait existé à cette époque , nul doute qu'il aurait cru en ce nectar \i{ corsé } qui a remis sur pied bien des hommes . . .
	Un outil de travail performant

	Le chef-d'oeuvre anatomique qui se balance au bout de nos bras n'a, pour l'instant, aucun rival.

	Un poignet, une paume, cinq doigts ... Aucun autre outils n'est capable à la fois de visser une ampoule, enfonçer un clou avec un marteau, assembler nos smartphones et autres ordinateurs portables, cueillir une cerise, pianoter négligemment, griffonner des notes, lancer une pièce ou reconnaître les yeux fermés le bouton STOP de son réveille-montre.

	‘'Parmi tout ce qui existe dans le monde biologique ou matériel, notre main est l'organe qui assure la plus vaste gamme de tâches possibles, la plus grande adaptabilité, elle présente, de fait, un parfait compromis entre précision et puissance''(1)

	Cet organe a joué un rôle dans le destin d'Homos Sapiens. ‘' Il y a tout lieu de penser que ce sont les mains qui ont fait ce que nous sommes aujourd'hui, des êtres qui agissent sur le monde de manière active et créative.Dans beaucoup d'activités performatives, les mains prennent même le contrôle, elles possèdent leur propre savoir-faire, leur propre intelligence''(2)

	‘'C'est la partie du corps la plus représentée dans notre cerveau, aussi bien dans le cortex sensoriel que dans le cortex moteur ; près de la moitié des neurones lui sont consacrés''(3)