Extracted and adapted from http://www.ugr.es/~pmrivas/calculo-grado-en-informatic/derivadas-taylor-2014.wxmx

derivadas-taylor-2014.wxm

/* [wxMaxima batch file version 1] [ DO NOT EDIT BY HAND! ]*/
/* [ Created with wxMaxima version 22.04.0 ] */
/* [wxMaxima: title   start ]
 Derivación (tema 7 de maxima.pdf)
   [wxMaxima: title   end   ] */


/* [wxMaxima: section start ]
Comando diff(f(x),x)
   [wxMaxima: section end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
Podéis hacer uso del menú: Análisis --> Derivar
   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
diff(sin(x),x);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
diff(sin(x),x,14);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
diff(sin(t),x,1);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
diff(sin(t),t,1);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
Para presentar la función derivada usamos el comando define:
   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
define(g(x),diff(sin(x),x));
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
g(0);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: subsect start ]
Recta tangente y rectas secantes
   [wxMaxima: subsect end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
f(x):=x^3-2*x^2-x+2;
define(df(x),diff(f(x),x));
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
tangente(x,a):=f(a)+df(a)*(x-a);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
Por ejemplo:
   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
tangente(x,9);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
wxdraw2d(color=blue,
                key="funcion",
                explicit(f(x),x,-2,3),
                color=red,
                key="tangente",
                explicit(tangente(x,1),x,-2,3),
                point_type=filled_circle,
                color=dark-blue,
                points([[1,f(1)]]),
                grid=true);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
Y ahora las rectas secantes.
En primer lugar, definimos la recta que pasa por 
los puntos (a,b) y (c,d):
   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
recta(x,a,b,c,d):=x*(b-d)/(a-c)+(a*d-c*b)/(a-c);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
Y ahora dibujamos en un mismo gráfico la función f, la recta tangente en el punto
(1,f(1)) y la recta secante que pasa por (1,f(1)) y por (1+0.6,f(1+0.6)).
   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
wxdraw2d(
point_type=filled_circle,
color=dark-blue,
points([[1,f(1)],[2,f(2)]]),
point_type=filled_circle,
color=blue,
key="funcion",
explicit(f(x),x,-2,3),
color=red,
key="tangente",
explicit(tangente(x,1),x,-2,3),
color=dark-green,
key="secante",
explicit(recta(x,1,f(1),2,f(2)),x,-2,3),
grid=true);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
Con una animación veremos cómo van aproximándose 
las rectas secantes a la recta tangente.
Hacemos esto con incrementos decrecientes: h=1,0.9,0.8,0.7,...0.1.
   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
incrementos:0.1*reverse(makelist(i,i,1,10));
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
with_slider(
n,incrementos,
[f(x),tangente(x,1),recta(x,1,f(1),1+n,f(1+n))],
[x,-2,3]);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: section start ]
Máximos y mínimos relativos
   [wxMaxima: section end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
Vamos a calcular los extremos relativos de la siguiente función:
   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
remfunction(all);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
f(x):=2*x^4+4*x;
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
wxplot2d([f(x)], [x,-2,1])$
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
Calculamos, en primer lugar, los 
puntos críticos de la función:
   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
define(df1(x),diff(f(x),x));
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
puntos:solve(df1(x)=0,x);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
puntos[3];
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
a:float(rhs(%));
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
Vamos a decidir si el punto crítico es de extremo o no
   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
df1(-1);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
df1(0);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
O podemos utilizar el test de la derivada segunda:
   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
define(df2(x),diff(f(x),x,2));
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
df2(a);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
Por tanto, en el punto x=a se alcanza un mínimo relativo.
   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
¿Hay más extremos relativos? No
¿Se alcanza el mínimo absoluto? Sí
   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: section start ]
Hacer los ejemplos 7.4, 7.5, 7.6 y 
7.7 del 
tema 7 de maxima.pdf.
   [wxMaxima: section end   ] */


/* [wxMaxima: section start ]
Polinomio de Taylor 
(Volvemos al capítulo 10)
   [wxMaxima: section end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
Acabamos de ver cómo la recta tangente a una función en un punto aproxima localmente
a dicha función en ese punto. Es decir, que si sustituimos una función por su recta tangente en
un punto, estamos cometiendo un error como se puede ver. En efecto, si dibujamos en una misma
gráfica la función f (x) = cos(x) y su recta tangente en cero, 
obtenemos:
   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
f(x):=cos(x);
define(df(x),diff(f(x),x));
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
p(x):=f(0)+df(0)*x;
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
wxplot2d([f(x),p(x)], [x,-3,3], [y,-2,2])$
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
wxplot2d([f(x),p(x)],[x,-3,3],[y,-2,2]);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
En cuanto nos alejamos un poco del punto de tangencia
(en este caso el 0), la función coseno y su tangente no se
parecen en nada. La forma de mejorar la aproximación
será aumentar el grado del polinomio que usamos, y la
cuestión es, fijado un grado n, qué polinomio de grado
menor o igual al fijado es el que más se parece a la función.
El criterio con el que elegiremos el polinomio será
hacer coincidir las sucesivas derivadas, esto es, el polinomio
de Taylor de orden n de una función f en un punto
a.  
Definimos el polinomio de Taylor.
   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
El programa tiene una orden que permite calcular directamente el polinomio de Taylor centrado
taylor en un punto a. Se trata del comando taylor
   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
taylor(f(x),x,0,5);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
taylor(sin(x),x,0,8);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
Si hacemos un gráfico conjunto:
   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
wxplot2d([f(x),taylor(f(x),x,0,100)],
[x,-60,60],[y,-2,2]);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
Vamos a aumentar el grado del polinomio de Taylor:
   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
wxplot2d([f(x),taylor(f(x),x,0,16)],
[x,-4,4],[y,-2,2]);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
Y ahora aumentamos el rango de la variable x:
   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
wxplot2d([f(x),taylor(f(x),x,0,8)],
[x,-40,40],[y,-2,2]);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
LLegamos a la conclusión de que taylor aproxima 
mejor a medida que el orden n sea
mayor. Pero lo hace siempre localmente; es decir,
cuando nos alejamos del punto a protagonista, las dos 
gráficas se separan.
   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
kill(all);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: subsect start ]
Ejemplo: Dibujar, en un mismo gráfico,
f(x)=sin(x)+cos(x), y los cuatro primeros 
polinomios de taylor en cero.
   [wxMaxima: subsect end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
remfunction(f);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
f(x):=sin(x)+cos(x);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
define(t1(x),taylor(f(x),x,0,1));
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
define(t2(x),taylor(f(x),x,0,2));
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
define(t3(x),taylor(f(x),x,0,3));
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
define(t4(x),taylor(f(x),x,0,4));
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
wxdraw2d(color=blue,key="funcion",
explicit(f(x),x,-%pi/2,%pi/2),
         color=red, explicit(t1(x),x,-%pi/2,%pi/2),
         color=yellow, explicit(t2(x),x,-%pi/2,%pi/2),
         color=green, explicit(t3(x),x,-%pi/2,%pi/2),
         color=purple,explicit(t4(x),x,-%pi/2,%pi/2));
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
Mejor, hacemos una animación:
   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
with_slider(n,makelist(i,i,1,20),
                [f(x),taylor(f(x),x,0,n)],[x,-10,10],[y,-3,3]);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: section start ]
Ejercicios: (página 168 del capítulo 10)
   [wxMaxima: section end   ] */


/* [wxMaxima: subsect start ]
Ejercicio 10.6. 
Estudia los extremos relativos del 
polinomio de Taylor de
orden 5 centrado en el origen de la función
f(x)= cos(x)+e^x.

   [wxMaxima: subsect end   ] */



/* Old versions of Maxima abort on loading files that end in a comment. */
"Created with wxMaxima 22.04.0"$