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soluciones-prueba2.wxm

/* [wxMaxima batch file version 1] [ DO NOT EDIT BY HAND! ]*/
/* [ Created with wxMaxima version 22.04.0 ] */
/* [wxMaxima: title   start ]
Examen B-II
   [wxMaxima: title   end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
Este es uno de los tipos de examen de prácticas del día 21 de diciembre. 
He de agradecer al alumno Antonio Jiménez Martínez, del grupo
1ºB del Grado en Ingeniería Informática, su amabilidad por cederme 
sus soluciones para que estén a disposición de todos sus compañeros.
   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: section start ]
Ejercicio1:
Se considera la ecuación 2+tan(x^2-3x+1)=e^{1-x^2}.


(a) Dibuja en un mismo gráfico los dos miembros 

de la ecuación dada. Y calcula el punto de 

corte de ambas gráficas en el intervalo [0,1].

 

(b) Utiliza el método de bisección (con un error de 10^{-8}
y una precisión de 10^{-9}) 

para calcular
 la solución de dicha ecuación en el intervalo 
[0,1]. ¿En qué paso del bucle se encuentra la solución?


   [wxMaxima: section end   ] */


/* [wxMaxima: subsect start ]
(a)
   [wxMaxima: subsect end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
En primer lugar, nos aseguramos de trabajar en numérico:
   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
numer:true;
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
Presentamos las funciones que constituyen los dos miembros de la
ecuación dada:
   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
f(x):=2+tan(x^2-3*x+1);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
g(x):=%e^(1-x^2);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
Y dibujamos, en un mismo gráfico, ambas curvas:
   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
plot2d([f(x),g(x)], [x,0,1])$
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
Creamos una función llamada h(x)=f(x)-g(x) y calculamos su cero con "find_root".
El comando solve no funciona para este tipo de ecuaciones.

   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
h(x):=2+tan(x^2-3*x+1)-%e^(1-x^2);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
Este es el punto de corte de las dos gráficas respecto a abscisas:
   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
find_root(h(x),x,0,1);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: subsect start ]
 (b)
   [wxMaxima: subsect end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
Cargamos el método de bisección:
   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
biseccion2(expr,var,ext_inf,ext_sup):=
block(
[a,b,c,err:10^(-8),prec:10^(-9)],
a:ext_inf,
b:ext_sup,
/* extremos del intervalo */
/* número de pasos */
local(log2,f),
define(log2(x),log(x)/log(2)),
define(f(x),subst(x,var,expr)),
pasos:ceiling(log2((b-a)/err)),
/* comprobamos las condiciones iniciales */
if f(a)*f(b)>0 then error("Error: no hay cambio de signo"),
/* ¿se alcanza la solución en los extremos? */
if abs(f(a)) < prec then return(a),
if abs(f(b)) < prec then return(b),
for i:1 thru pasos do
(j:i,
c:(a+b)/2,
if abs(f(c))< prec then return ([j,c]),
if f(a)*f(c)< 0 then b:c else a:c
),
[j,c])$
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
Y lo aplicamos a la función h(x).
   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
Calculamos la solución y el paso en el que se encuentra, este es el paso 27.
   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
biseccion2(h(x),x,0,1);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: section start ]
Ejercicio2:
Programa el método de la regula falsi en n pasos con una 
precisión similar al método de bisección

empleado en el ejercicio anterior. 
Aplícalo para resolver la ecuación x^3=11.
   [wxMaxima: section end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
Cargamos el método de la regula falsi:
   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
regulafalsi(expr,var,ext_inf,ext_sup,n):=
block(
[a,b,c,p,prec:10^(-9)],
a:ext_inf,
b:ext_sup,
local(f),
define(f(x),subst(x,var,expr)),
pasos:n,
if f(a)*f(b)>0 then error("Error: no hay cambio de signo"),
if abs(f(a)) < prec then return(a),
if abs(f(b)) < prec then return(b),
for i:1 thru pasos do
(j:i,
c:(f(b)*a-f(a)*b)/(f(b)-f(a)),
if abs(f(c))< prec then return ([j,c]),
if f(a)*f(c)< 0 then b:c else a:c
),
[j,c])$
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
Presentamos la función a la que le vamos a calcular el cero; 
es decir, a la que le vamos a aplicar el método de la 
regula falsi:
   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
remfunction(f);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
f(x):=x^3-11;
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
Dibujamos la gráfica para ver en qué intervalo aplicar el método:
   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
plot2d([f(x)], [x,-4,4])$
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
Lo aplicamos en [0,4] y con 50 pasos:
   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
regulafalsi(f(x),x,0,4,50);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
Como podemos ver, con 37 pasos llega a calcular la solución segun la precisión introducida.
   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
Calculamos directamente la solución real de x^3=11
para comparar el resultado obtenido con el 
método anterior:
   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
float(11^(1/3));
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: section start ]
Ejercicio3:  Ejercicio 5.9 del tema 5 de prácticas.

   [wxMaxima: section end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
Tenemos que calcular la solución de la siguiente ecuación por iteración funcional. 
La función es: g(x)=x^2-5*x+2. Si despejamos x de esta función para llegar al tipo
de ecuaciones f(x)=x para aplicar este método; la ecuación se despeja de tres formas:
    (1) x=(x^2+2)/5; por tanto llamamos f(x)=(x^2+2)/5;
    (2) x=x^2-4*x+2; por tanto llamamos h(x)=x^2-4*x+2;
    (3) x=sqrt(5*x-2); por tanto llamamos t(x)=sqrt(5*x-2).
Ahora aplicaremos el método de iteración funcional a cada una de estas funciones 
en los puntos exigidos: 0.5 ,   1  y  6.
   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
remfunction(f,g,h);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
En primer lugar, vamos a calcular las soluciones de 
la ecuación inicialmente planteada:
   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
define(g(x), x*x-5*x+2);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
plot2d([g(x)], [x,-1,6],
 [plot_format, gnuplot])$
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
Como se trata de una ecuación de segundo grado,
le aplicamos el comando solve para ver cuáles serían sus 
soluciones:
   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
solve(g(x)=0,x);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
Cargamos el método de iteración funcional para 
encontrar un punto fijo de una función:
   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
iter(expr,var,inicio,pasos):=block(
        [x0,x1],
        x0:inicio,
        local(f),
        define(f(x),subst(x,var,expr)),
        for i:1 thru pasos do(
        x1:f(x0),
        x0:x1),  
        x1
)$
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: subsect start ]
Le aplicamos el método de iteración funcional a la función f(x)
en cada uno de los tres puntos que nos proponen:
   [wxMaxima: subsect end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
define(f(x),(x^2+2)/5);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
iter(f(x),x,0.5,10);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
iter(f(x),x,1.5,10);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
iter(f(x),x,6,10);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
Como podemos ver al aplicar el método a la función f(x), con 0.5 y 1 
converge a una de las soluciones, mientras que comenzando en 6,
el método diverge.
   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: subsect start ]
Le aplicamos el método de iteración funcional a la función h(x)
en cada uno de los tres puntos que nos proponen:
   [wxMaxima: subsect end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
define(h(x),x*x-4*x+2);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
iter(h(x),x,0.5,10);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
iter(h(x),x,1.5,10);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
iter(h(x),x,6,10);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
Como podemos ver al aplicar el método a la función h(x), en los 
tres puntos de aplicación la sucesión tiende a infinito; es decir, 
el método diverge comenzando en cualquier caso.
   [wxMaxima: comment end   ] */


/* [wxMaxima: subsect start ]
Le aplicamos el método de iteración funcional a la función t(x)
en cada uno de los tres puntos que nos proponen:
   [wxMaxima: subsect end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
define(t(x),sqrt(5*x-2));
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
iter(t(x),x,0.5,10);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
iter(t(x),x,1.5,10);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: input   start ] */
iter(t(x),x,6,10);
/* [wxMaxima: input   end   ] */


/* [wxMaxima: comment start ]
Como podemos ver al aplicar el método a la función t(x) en los tres puntos 
converge a una de las soluciones.
   [wxMaxima: comment end   ] */



/* Old versions of Maxima abort on loading files that end in a comment. */
"Created with wxMaxima 22.04.0"$